Знаете ли вы, уважаемый читатель, что такое расстояние между двумя точками? Ну, конечно же, знаете – это знают все: надо соединить эти точки отрезком и измерить его длину. Очень хорошо. Значит, когда говорят, что от Москвы до Владивостока столько-то километров, мысленно соединяют эти города отрезком прямой… Нет, тут что-то не так, ведь вследствие шарообразности Земли этот отрезок пройдёт под землёй. А расстояния между городами всё-таки измеряются по поверхности Земли. Значит, расстояние между Москвой и Владивостоком надо мерить так: натянуть между этими двумя городами нитку по глобусу, измерить её длину и затем умножить на масштаб. На более научном языке тот же способ излагается так: находим дугу большого круга, соединяющую Москву и Владивосток, и измеряем её. (Для простоты изложения мы принимаем, что Земля – это в точности шар; именно тогда можно говорить о «больших кругах», т. е. о тех окружностях на поверхности Земли, центр которых совпадает с центром Земли.) Допустим, что мы нашли расстояние между нашими городами именно таким способом (можно даже внести поправку на отклонение формы Земли от шара). Но если мы теперь откроем железнодорожный справочник, то мы увидим совсем другое расстояние – и это понятно, поскольку там расстояние указывается в километрах железнодорожного пути. А в справочнике автомобильных дорог – ещё одно расстояние, в километрах автодорог. (Мы игнорируем как незначительное то обстоятельство, что автодорога от Москвы до Владивостока до сих пор не проложена.)

Итак, мы обнаружили четыре разных расстояния между Москвой и Владивостоком. Которое же из них истинное? А ведь есть ещё и другие способы измерения расстояния. Всем известно, что капитаны добрых старых времён измеряли путь по пучинам вод не иначе как количеством выкуренных трубок. Вот более серьёзный пример: представим себе неоднородное прозрачное вещество, внутри которого распространяется свет. Тогда расстояние между двумя точками уместно измерять временем прохождения света от одной точки до другой, и это время будет зависеть не только от геометрического расстояния между точками, но и от меняющихся на его пути оптических свойств среды.

Повторим вопрос: какой же из способов измерения расстояния приводит к истинному расстоянию? Ответ: все. Просто мы имеем дело с разными представлениями о расстоянии, или, как говорят, с разными метриками.

Вот, скажем, в случае Москвы и Владивостока мы имели четыре разные метрики: 1) евклидову метрику, когда расстояние между двумя точками пространства измеряется длиной соединяющего их отрезка, пусть даже и протыкающего насквозь нашу планету; 2) сферическую метрику, когда расстояние между двумя точками мерится по поверхности сферы; 3) железнодорожную метрику, когда расстояние между двумя точками измеряется длиною рельсового пути между ними; 4) автомобильную метрику, когда расстояние измеряется длиной автомобильного пути.

А давайте подумаем, можно ли расстояние между двумя точками туристского маршрута измерять временем перехода. Если мы так сделаем, то расстояние от точки А, лежащей под горой, до точки В, расположенной на горе, может оказаться больше, чем расстояние от В до А, что как-то нехорошо. (По той же причине нельзя мерить расстояние количеством затраченного топлива.) В наших предыдущих примерах такого неприятного эффекта не наблюдалось, и расстояние было симметричным. А вот между площадями Москвы измерять расстояние при помощи пробега автомобиля нельзя: такое расстояние оказалось бы несимметричным (ввиду наличия улиц с односторонним движением и вызванной этим необходимости объездов).

Можно попытаться выделить те свойства, которые присущи всем мыслимым способам измерения расстояния. Таких свойств оказалось три. Во-первых, расстояние от любого места до этого же самого места равно нолю, а расстояние между различными местами не может быть равно нолю. Во-вторых, расстояние от одного места до второго должно быть равно расстоянию от второго места до первого (свойство симметричности расстояния). В-третьих, мы не можем сократить расстояние от А до В, если по дороге зайдём в пункт С. Все эти свойства оформляются в виде так называемых аксиом метрики. А метрикой называется функция, ставящая в соответствие двум объектам расстояние между ними.

Итак, мы познакомились с различными способами измерения расстояния; все они подчиняются аксиоматике метрики. Но бывают и совсем другие измерения. Так, размер комнаты обычно измеряют площадью её пола. Однако если нужно клеить обои, то важнее другое измерение – площадь стен. Немаловажное значение имеет и объём комнаты. Когда перемещают товар, то иногда его мерят по весу (столько-то тонн угля), иногда по объёму (столько-то кубометров газа), а в иных случаях – скажем, при таможенных расчётах – и по стоимости (на такую-то сумму денег). А сельскохозяйственные угодья можно измерять количеством снимаемого урожая. Все эти способы подчиняются аксиомам меры.

Представим себе, что у нас есть нечто, что может делиться на части. Это может быть проволока, или жилой фонд, или какой-то товар, или лесной массив. Далее каждой части мы ставим в соответствие некоторое число, называемое мерой этой части. Например, в случае проволоки мерой части, т. е. куска проволоки, может служить её длина или вес, но мы должны остановиться на одном из этих вариантов. В случае жилого фонда часть состоит из какого-то количества комнат или квартир, а мерой может служить или, как обычно, площадь, или, скажем, объём (чего на практике, кажется, не встречается). В случае товара мерой части может служить или её вес, или объём, или цена – но, конечно, мы должны выбрать что-нибудь одно. В случае леса частями являются его участки, а мерой может служить количество кубометров вырубленной на нём древесины – или, что более приятно в экологическом отношении, цена, вырученная за собранные на этом участке шишки.

Во всех этих случаях мера каждой части есть неотрицательное действительное число. Очевидны основные свойства меры. Ну, например, мера пустой части должна быть равна нолю. Но это не главное свойство меры. Главное свойство меры состоит в её аддитивности. Это значит, что при сложении частей меры должны тоже складываться; разумеется, слагаемые части должны при этом не перекрываться. Достаточно потребовать, чтобы это правило действовало для сложения двух частей, т. е. чтобы выполнялось следующее: если две неперекрывающиеся части соединяются в одну, то мера образовавшейся суммарной части должна быть равна сумме мер тех двух частей, из которых эта суммарная часть составлена. А тогда это свойство аддитивности будет автоматически распространяться на сложение любого конечного числа частей. Действительно, меру части, полученной слиянием частей А, В и С, можно вычислить так: сперва объединить А и В, мера объединённой части будет равна сумме мер частей А и В; а затем к этой объединённой части присоединить С; в результате окажется, что результирующая мера равна сумме мер всех трёх частей. И так для сложения любого конечного числа частей. Поэтому изложенный вариант свойства аддитивности называется свойством конечной аддитивности.

Однако для развития теории меры свойство конечной аддитивности часто оказывается недостаточным, и востребованным оказывается его обобщение на случай бесконечного числа слагаемых. Чтобы мы имели дело с полноценной мерой, должно выполняться следующее правило счётной аддитивности: если А₁, А₂, A₃, …, А_п, … есть последовательность неперекрывающихся частей и мы соединили их все в новую часть, то мера этой образовавшейся суммарной части равна сумме ряда, составленного из мер всех отдельных членов нашей последовательности. Заметим, что свойство конечной аддитивности вытекает из свойства счётной аддитивности. Это обосновывается следующим простым рассуждением. Сумма двух частей А и В равна сумме членов бесконечной последовательности, у которой первые два члена совпадают соответственно с А и В, а остальные члены совпадают с пустой частью. Составленный из мер числовой ряд будет выглядеть в этом случае так: мера части А плюс мера части В плюс нули, нули, нули… Сумма этого ряда как раз и будет равна сумме мер частей А и В.

Мы уже почти готовы дать точное определение меры. Чтобы перейти на математический уровень, вместо слова «часть» будем использовать слово «подмножество». Когда говорят о подмножествах, всегда имеют в виду некоторое универсальное множество, чьими частями и являются рассматриваемые подмножества. В случае проволоки таким множеством будет множество её точек; это если игнорировать её толщину. (А если не игнорировать – множество линейных координат поперечных срезов; линейная координата – это расстояние от начала проволоки до среза.) Всякий кусок проволоки можно рассматривать как подмножество такого множества. В случае жилого фонда универсальным множеством будет множество всех точек пространства, принадлежащих включённым в этот фонд комнатам и квартирам. В случае товара универсальным множеством служит множество всех единиц, из которых состоит товар. Например, в случае мебели – это предметы мебели, а в случае угля или газа – материальные точки, т. е. мельчайшие частицы, из которых состоит топливо. В случае лесного массива универсальным множеством можно считать множество принадлежащих этому массиву деревьев.

Перед окончательным определением – ещё два примера. Представим себе пространство, заполненное материальными телами, имеющими массу; тогда, очевидно, имеет смысл говорить о суммарной массе, заключённой в данном объёме пространства, а более общо – данном множестве точек пространства. Мы получаем функцию, относящую к некоторым множествам точек пространства их (множеств) массу. Эта функция является мерой. Универсальное множество здесь – множество всех точек пространства.

Другой пример – с тем же универсальным множеством. Поставим в соответствие данному объёму пространства вероятность того, что интересующее нас событие происходит именно в пределах этого объёма. Более общо, припишем некоторым множествам вероятность того, что событие происходит в одной из точек этого множества. Функция, относящая к множеству соответствующую вероятность, является мерой. Этот простой пример позволяет понять, почему вся современная теория вероятностей (следуя высказанному в начале 1930-х гг. предложению великого математика Колмогорова) имеет своим фундаментом теорию меры.

Мера есть функция, аргументами которой служат подмножества универсального множества. Не предполагается, что мера есть у всякого подмножества; те подмножества, у которых она есть, называются измеримыми. Скажем, в случае товара: при измерении его по стоимости не всякое собрание единиц этого товара можно считать товаром, имеющим стоимость. Даже газ должен поступать достаточно компактными объёмами; если мы, скажем, мысленно отберём в рассматриваемую часть каждую десятую молекулу газа, то полученное подмножество молекул будет слишком разреженным, чтобы признать его частью того самого газа – не в физическом, а в потребительском смысле.

В аксиоматиках метрики и меры участвовало помимо исходных (неопределяемых) понятий этих аксиоматик также и понятие действительного числа. Возможны два подхода к введению в рассмотрение действительных чисел. При одном подходе мы их строим (используя в качестве строительного материала натуральные числа), при другом – определяем аксиоматически. Если мы выбираем второй подход, то в систему аксиом как метрики, так и меры должны быть включены и аксиомы действительных чисел.