В названии этого параграфа два учёных слова – «аксиоматика» и «аксиоматизация». Аксиоматика, или аксиоматическая система, – это то же самое, что система аксиом. А аксиоматизация какой-либо теории – это процесс создания аксиоматики для этой теории.

Только что мы познакомились с древнейшей аксиоматической системой – системой геометрических аксиом (куда мы включаем и постулаты!) Евклида. Посмотрим теперь, как устроены современные системы аксиом геометрии. Мы сделаем это на примере наиболее известной из таких систем. Она была создана на рубеже XIX и XX вв. великим немецким математиком Давидом Гильбертом и называется поэтому системой аксиом Гильберта. На этом примере мы сможем увидеть и проанализировать многие свойства, характерные для аксиоматических систем вообще.

Чтобы устройство системы аксиом Гильберта, да и любой системы аксиом геометрии было более понятным, сделаем важное предварительное замечание. В аксиомах геометрии встречаются те или иные геометрические понятия, такие, например, как 'угол'. Чтобы понимать смысл аксиомы, мы должны иметь представление о смысле использованных в аксиомах понятий, говоря попросту, понимать, чтó эти понятия означают. Но как можно составить представление о том или ином понятии? Есть два основных способа, один из которых мы условно назовём наглядным, а другой, столь же условно, – дефиниционным (от лат. definitio – определение).

При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном – с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый': для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях «металлический стол» или «фиолетовая корова» можно получить и не прибегая к примерам (в случае «фиолетовой коровы» это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол – это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова – это такая корова, которая является фиолетовой.

Наглядным способом осуществляется и первое знакомство с такими математическими понятиями, как, скажем, «шар» или «прямая». Однако здесь надо проявить осторожность и понимать, что арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или шарик подшипника, ведь, строго говоря, геометрических шаров в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Отметим, что в трактате Евклида термин «прямая» обозначает не всю бесконечную прямую линию, а именно отрезок. Представление о бесконечности было, по-видимому, чуждо античной математике, да и всему античному мировоззрению. Представление о бесконечном следует отличать от представления о неограниченно продолжаемом; для ясности бесконечное часто называют в этом противопоставлении актуально бесконечным, а неограниченно продолжаемое – потенциально бесконечным. Разумеется, древние понимали, что, сколько раз ни откладывай отрезок в одну и ту же сторону, его можно будет отложить в ту же сторону ещё раз – это и есть пример неограниченной продолжаемости (она же потенциальная бесконечность). Актуальная же бесконечность в данном случае означает разрешение рассматривать всю прямую целиком, т. е. как объект, который возникнет после завершённого (а в реальности ни в какой момент не завершающегося!) процесса прикладывания отрезков друг к другу.

Итак, для того, чтобы получить представление о бесконечной прямой, одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населён этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (как говорят философы, является отражением реального мира).

Таким образом, к геометрическим понятиям наглядный способ применим лишь с оговорками. Посмотрим, как работает дефиниционный способ. Возьмём для примера понятие угла. Можно объяснять это понятие, демонстрируя конкретные углы, т. е. применяя наглядный способ. А можно воспользоваться способом дефиниционным, т. е. попытаться определить, что такое угол. Вот определение: угол есть совокупность (другими словами, множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. Но тогда надо знать, что такое 'луч, исходящий из точки О'. Это понятие, в свою очередь, определяется как множество, состоящее из самой этой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат 'по одну и ту же сторону' от точки O? Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причём так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва установить, что означает, что точки 'лежат' на прямой и одна точка находится 'между' двумя другими.

Итак, при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми, или исходными. Но если исходные понятия не могут быть определены, то, спрашивается, откуда же мы можем знать, что они означают? Казалось бы, ответ очевиден: мы должны использовать наглядный способ и познать эти понятия из непосредственного опыта, иными словами, усвоить их на примерах. Однако несколькими строками выше было отмечено, что примеры хотя и подводят нас к представлению о том или ином геометрическом понятии, но лишь до некоторой степени. А математика – наука точная, приблизительность ей не к лицу, и математик должен совершенно точно знать, каким именно понятием он оперирует. Вроде бы возник тупик. Аксиоматический метод как раз и предлагает выход из этого тупика.

Чтобы понять, что это за выход, ещё раз осмыслим встающую перед нами проблему. Мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причём рассуждать совершенно точно. Но точности наших рассуждений мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом. Рассуждения же, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, и есть те самые чисто логические рассуждения, которые упоминались в начале § 1.

Очевидно, что построению системы аксиом должно предшествовать составление перечня исходных, или неопределяемых, понятий. Надо подчеркнуть, что составление такого перечня во многих чертах произвольно и зависит от вкуса составителя. Например, можно взять за исходное понятие отрезка (как это, по существу, и делает Евклид) и с его помощью определять понятие прямой, а можно, напротив, взять за исходное понятие прямой (как это и делается в большинстве современных аксиоматических систем), а через него уже определять понятие отрезка. Говоря о трёх точках О, А, В некоторой прямой, мы определили выше понятие 'лежать по одну сторону от О' через понятие 'находиться между А и В'. А могли бы, наоборот, следующим образом определить второе понятие через первое: 'точка O находится между точками А и В' означает, что А и В не лежат по одну сторону от O. Таким образом, по желанию составителя системы аксиом геометрии в качестве исходного можно принять одно из двух понятий: 'находиться между' или 'лежать по одну сторону'.

Для своей системы аксиом геометрии Гильберт выбирает восемь исходных, или неопределяемых, понятий: точка, прямая, плоскость, отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, отношение «находиться между» (для точек), отношение конгруэнтности отрезков, отношение конгруэнтности углов. (В школьном курсе математики конгруэнтность геометрических фигур, в том числе отрезков и углов, называют обычно их равенством.) Список же своих аксиом он для удобства изложения разбивает на пять групп.

Аксиомы первой группы говорят о способах, которыми прямые и плоскости связываются, соединяются или сочетаются с точками. Поэтому их называют аксиомами связи, или аксиомами соединения, или аксиомами сочетания. Наглядно мы себе представляем, что значит, что какая-то точка лежит на какой-то прямой или на какой-то плоскости. Это соотношение между точкой А и прямой или плоскостью р словесно можно выразить по-разному: «А лежит на р», «р проходит через А», «А соединяется (сочетается) с р». Все эти взятые в кавычки обороты синонимичны, они выражают один и тот же факт. Таким образом, слова разные, а понятие одно и то же; его можно называть и 'соединяться', и 'сочетаться', и 'лежать на', и 'проходить через'.

В обычной, школьной, геометрии прямая рассматривается как множество точек. В аксиоматической геометрии прямые – это просто такие особые объекты, часть из которых связана (соединяется, сочетается и т. д.) с другими объектами, точками. Но каждой прямой отвечает множество точек, лежащих на этой прямой. Вместо того чтобы говорить длинно: «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на прямой р», – говорят короче: «Точка А принадлежит прямой р» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «р проходит через А»). Аналогично фразу «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на плоскости π» сокращают до фразы: «Точка А принадлежит плоскости π» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «π проходит через А»). Поэтому отношения связи называют также отношениями принадлежности, а аксиомы связи – аксиомами принадлежности.

‹…›