Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики – написанный в III в. до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» – начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними – аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй – из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги I–VI. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

На современном языке пятый постулат Евклида можно сформулировать так:

Возникает естественный вопрос, почему одни предложения названы постулатами, а другие – аксиомами. Вопрос этот достаточно сложен. На примере приведённых двух списков можно увидеть некое различие между значениями слов «аксиома» и «постулат», но различие столь тонкое, что нам для целей нашего изложения нет нужды принимать его во внимание; к тому же это различие не всегда ясно прослеживается. В современном языке термины «аксиома» и «постулат» считаются синонимами. Например, пятый постулат Евклида часто называют аксиомой о параллельных. (Строго говоря, аксиомой о параллельных называется в наши дни другое утверждение, а именно: «Дана прямая и точка вне её; не существует двух различных прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой». Это утверждение равносильно пятому постулату: приняв это утверждение, можно доказать пятый постулат, а приняв пятый постулат, можно доказать сформулированное утверждение. Поэтому пятый постулат рассматривают как одну из форм аксиомы о параллельных.) Мы тоже будем считать термины «аксиома» и «постулат» синонимами, а если и будем называть одни формулировки Евклида постулатами, а другие – аксиомами, то только потому, что за ними исторически закрепилось такое название.

Кроме того, надо иметь в виду следующее. Текст Евклидовых «Начал», как и подавляющее большинство других древних текстов, не сохранился в виде рукописи, написанной самим автором. До наших дней дошли лишь рукописные копии, причём не с оригинального манускрипта, а с других рукописных копий. Древнейшая из сохранившихся копий относится ко второй половине IX в. Изготовление рукописных копий требовало достаточно высокой по тем временам математической квалификации, и эта высокая квалификация древних переписчиков имела свою оборотную сторону: иногда они «улучшали» и дополняли Евклида, особенно в части постулатов и аксиом. Поэтому некоторые исследователи полагают, что не все те аксиомы и постулаты, которые приводятся в современных изданиях «Начал», действительно присутствовали в исходном тексте Евклида. Кое-кто даже считает, что у Евклида вовсе не было аксиом второго списка (они-то и называются в переводах аксиомами), а из пяти аксиом первого списка (постулатов) Евклиду принадлежали лишь первые три. А некоторые публикаторы, оставляя в списке постулатов первые три, оставшиеся два переносят в аксиомы; они же добавляют в аксиомы ещё одну: «И если от неравных отнимаются равные, то остатки будут не равны». Всего тогда в списке оказывается 12 аксиом, среди которых аксиома о параллельных – предпоследняя, отчего её иногда называют одиннадцатой аксиомой.

Первое печатное издание «Начал» Евклида вышло в Венеции в 1482 г. в переводе на латинский язык. Наиболее авторитетным считается лейпцигское издание «Начал» (как на языке оригинала, т. е. на греческом, так и на латыни) 1883–1888 гг. Оно содержит реконструкцию первоначального текста, которую предпринял в 1890-х гг. датский филолог Иохан Людвиг Гейберг (Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928). Для своей реконструкции он использовал восемь манускриптов, датируемых IX–XI вв. Тот русский перевод Мордухай-Болтовского, на который мы ссылались в начале параграфа, сделан именно с издания Гейберга.

Мы привели постулаты и аксиомы Евклида по двум причинам. Во-первых, интересно посмотреть, как формулировали свои мысли математики далёкого прошлого. Во-вторых, поучительно сравнить формулировки Евклида с теми современными формулировками аксиом геометрии, которые будут приведены ниже.

Но сперва несколько замечаний о Евклидовых формулировках.

1. Принято считать, что, когда Евклид говорит о равенстве геометрических фигур, он имеет в виду их равновеликость. А девятая аксиома Евклида отражает тот факт, что через две точки может проходить только одна прямая, т. е. что для двух прямых р и q невозможно расположение, показанное ниже на рисунке (если бы такое расположение было возможно, Евклид сказал бы, что прямые р и q «содержат пространство», а именно то «пространство», которое выделено «заливкой» на рисунке).

Некоторые из аксиом (например, восьмая) не используются Евклидом в его последующем изложении.

Напротив, изложение Евклида опирается на многие положения, не входящие в списки постулатов и аксиом. Так, бросается в глаза, что в эти списки не входят аксиомы стереометрии, хотя теоремы стереометрии в трактате Евклида имеются. Но даже если ограничиться теоремами планиметрии, то выясняется, что в их доказательствах Евклид часто опирается не только на аксиомы, но и на непосредственную геометрическую наглядность. Например, в аксиомах Евклида ничего не говорится о таких важных геометрических понятиях, как «располагаться между», 'располагаться по одну сторону' и т. п., хотя использование этих понятий необходимо при доказательстве многих теорем.

Некоторые формулировки при внимательном анализе оказываются неполными или непонятными. Но, может быть, всё дело в том, что мы пока ничего не сказали об определениях Евклида? Может быть, если принять во внимание определения, формулировки станут полными и понятными? Обратимся к определениям.

Как мы отметили ранее, трактат Евклида начинается с определений. Вот некоторые из них (мы сохраняем нумерацию источника).

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

5. Плоская же поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

С современной точки зрения, это всё не определения таких понятий, как 'точка', 'линия', 'прямая', 'поверхность', 'плоскость', а всего лишь пояснения этих понятий.

Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его десятое определение, в котором определяются понятия 'прямой угол' и 'перпендикуляр':

10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом [смежные] углы, равные между собой, то каждый из [этих] равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

Меньше всего, однако, мы хотели бы создать впечатление, что Евклид и другие древние авторы заслуживают лишь критики или снисходительного похлопывания по плечу: вот, дескать, какие у них неточные и примитивные формулировки, только в отдельных случаях поднимающиеся до нашего просвещённого уровня! Совсем наоборот, достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собою задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой развития науки являются исключительно практические потребности, ведь и строгость, и само содержание трактата Евклида далеко превосходили практические потребности того времени. Что же касается формулировок, которые кажутся нам сейчас странными, расплывчатыми, устаревшими, то такими же (или даже худшими) покажутся, надо думать, современные формулировки нашим потомкам, причём не через две тысячи лет, а много раньше, потому что человеческая цивилизация эволюционирует с ускорением.