Аксиоматический метод – это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путём чисто логических рассуждений. Те выражения из предыдущей фразы, которые были выделены курсивом, а именно аксиомы, теоремы и чисто логические рассуждения, будут разъяснены далее.

Начнём с аксиом. Возникают естественные вопросы: что такое аксиомы, откуда они взялись, зачем они нужны? Чтобы ответить на них, нам придётся выйти за пределы чистой математики и вступить в области, пограничные между математикой и философией.

В естественных науках многие факты обосновываются экспериментально, т. е. посредством проведения эксперимента (экспериментом называется научно поставленный опыт). Возьмём, например, такой медицинский факт: анальгин производит обезболивающее и жаропонижающее действие. Этот факт обосновывается многочисленными экспериментами: анальгин давали людям, имевшим повышенную температуру или испытывавшим боль, после чего температура у них понижалась, а боль уменьшалась. Или такой ботанический факт: деревья, имеющие хвою, имеют и шишки. Этот факт обосновывается многочисленными наблюдениями над хвойными деревьями. Или растворимость поваренной соли в воде – каждый может убедиться, что эта соль растворима в воде, на собственном опыте. В физике свойство равноускоренности свободного падения неоднократно проверялось открывшим это свойство Галилеем и его современниками.

Другое дело – теоремы геометрии. Предположим, что мы хотим обосновать тот факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Что мы должны делать? Конечно, мы можем поставить опыт: взять какие-либо два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и убедиться в том, что их третьи стороны действительно равны. Однако может ли этот опыт служить достаточным обоснованием интересующего нас факта? А ну как равенство третьих сторон имеет место только для выбранной нами пары треугольников, а для других пар треугольников оно места не имеет? Будем продолжать наши эксперименты и брать всё новые и новые пары треугольников с равными углами, заключёнными между попарно равными сторонами. Каждый раз мы будем убеждаться, что и третьи стороны равны. Но ведь мы всё равно не сможем перебрать все треугольники, а тогда каждый раз будет оставаться сомнение: а вдруг для ещё не рассмотренных нами треугольников равенство третьих сторон не выполняется?!

Наши сомнения совершенно законны, и их законность подкрепляется следующим рассуждением. Изменим условия, изначально налагаемые нами на треугольники, и вместо того, чтобы требовать равенства углов, расположенных между попарно равными сторонами, будем требовать равенства углов, прилежащих к соответствующим сторонам. Более точно, рассмотрим такое утверждение: «Пусть у треугольников ABC и А'В'С' сторона АВ равна стороне А'В', сторона АС равна стороне А'С' и, кроме того, угол В равен углу В'; тогда сторона ВС равна стороне В'С'». Это утверждение неверно, и мы приглашаем читателя убедиться в этом самостоятельно, найдя противоречащий пример, т. е. пару треугольников, для которой выполнены все условия сформулированного утверждения (они перечислены после слова «пусть»), но не выполнено его заключение (оно сформулировано после слова «тогда»). Однако легко может случиться, что такой противоречащий пример будет найден не сразу и у многих испробованных пар треугольников, в которых равны углы, прилежащие к равным сторонам, третьи стороны этих треугольников также окажутся равными. А что, если противоречащий пример (хотя он на самом деле существует) вовсе не будет найден? Ведь тогда можно было бы сделать ошибочный вывод, что наше утверждение истинно! Проведённый анализ показывает, что надо быть очень осторожным при применении неполной индукции, т. е. перехода от частных примеров, не исчерпывающих в своей совокупности всех возможных случаев, к утверждениям общего характера.

Здесь у читателя может возникнуть законное недоумение. Ведь упомянутые выше выводы о свойствах анальгина, о наличии шишек у хвойных деревьев, о растворимости соли, о законе свободного падения – все эти выводы сделаны на основе ограниченного числа наблюдений, т. е. на основе той самой неполной индукции, которую мы только что вроде бы отвергли. Да, мы её отвергли – но только как средство для доказательств положений математики. Для естественных наук, таких как медицина, биология, химия, физика, метод неполной индукции считается вполне приемлемым, поскольку им без него не обойтись; впрочем, и здесь положения, установленные методом неполной индукции, подчас приходится пересматривать.

Что же касается математики, то её истины более незыблемы, чем истины медицины или химии, и в математике неполная индукция не работает.

Вернёмся, однако, к теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Что же с нею делать? Перед нами выбор: или пытаться доказывать её, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить её аксиомой, т. е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Если раньше читатель был вправе недоумевать, то теперь он вправе возмутиться. Что значит «объявить аксиомой»? Разве это в нашей власти? Да, в значительной степени в нашей власти, и чуть позже мы попытаемся это объяснить. Если же мы будем доказывать нашу теорему с помощью других, ранее доказанных теорем, а те, другие, теоремы – с помощью третьих и т. д., то ведь всё равно этот процесс не может продолжаться бесконечно. Значит, где-то придётся остановиться, т. е. уже не доказывать какие-то предложения, а принять их за аксиомы.