Ричард Хэмминг, именем которого названы расстояния между кодовыми словами, – один из основателей современной теории кодирования. Эта теория начала развиваться в конце 40-х годов XX века, когда Хэмминг работал в Bell Labs и занимался проблемами передачи информации.

Хэмминг заметил, что в коде, исправляющем ошибки, количество возможных кодовых слов неизбежно должно быть ограничено. Например, мы хотим построить код из слов длины 10, который исправляет две ошибки. Сколько разных кодовых слов мы можем использовать? Допустим, мы выбрали кодовое слово 0000011111, чтобы закодировать букву «а». Теперь все последовательности на расстоянии Хэмминга один или два от 0000011111, то есть в шаре радиуса 2 с центром 0000011111, нельзя использовать для кодирования никакой другой информации. Они нам нужны для исправления ошибок при передаче буквы «а». Такой шар содержит 56 последовательностей. Получается, что на каждое кодовое слово, которое что-то означает, приходится 56 слов на исправление ошибок. Поэтому мы можем закодировать не 1024, а всего лишь 1024/56, то есть 18 разных символов или сообщений. Если этого мало – например, мы хотим закодировать русский алфавит, – то длину кодовых слов придется увеличить. Это увеличит и количество килобайтов, но такова цена за исправление ошибок.

Рассуждая примерно так, как мы описывали в предыдущем параграфе, Хэмминг получил максимальное число слов любой длины с исправлением любого заданного количества ошибок. Эта формула называется границей Хэмминга.

Заметим, что граница Хэмминга – это максимально возможное число слов в коде, исправляющем ошибки. Но это еще не означает, что такой максимальный код можно найти. Представьте, что мы имеем дело с обычными шарами. Нельзя уложить круглые апельсины в ведро или коробку так, чтобы между соседними апельсинами не было пустот! Где же гарантия, что все последовательности из нулей и единиц можно разбить на шары Хэмминга так, чтобы они не пересекались и между ними не было свободного места? Оказывается, такое разбиение во многих случаях возможно. Мы не станем здесь описывать конструкцию, ее можно найти в специальной литературе (см.).

Впрочем, сделано в этом направлении далеко не все. Конструкции есть, но только асимптотические, то есть такие, в которых длина кодового слова очень большая и увеличивается до бесконечности, а количество ошибок при этом маленькое и фиксированное. Однако во многих практических задачах чем длиннее кодовое слово, тем больше ошибок. В такой ситуации проблема отыскания правильных верхних границ и построения максимальных кодов по-прежнему открыта! Более того, в этой ситуации известно, что граница Хэмминга, как правило, не точна, и есть еще масса более аккуратных оценок, среди которых и оценка Владимира Иосифовича Левенштейна, замечательного российского математика, и границы линейного программирования. Эти конструкции очень сложны и выходят далеко за рамки нашей книги.

Особый интерес вызывают так называемые равновесные коды. В них все кодовые слова содержат одинаковое количество единиц. Для таких кодов можно найти границу, аналогичную границе Хэмминга. И снова возникает вопрос о существовании равновесного кода, достигающего полученной границы. В начале 80-х годов XX века Войцех Рёдль придумал очень хитрую вероятностную технику, позволившую доказать наличие равновесных кодов, в которых число кодовых слов асимптотически равно верхней границе.

Буквально пару лет назад Питер Киваш из Оксфордского университета объявил о построении равновесных кодов, в которых количество слов достигает теоретической верхней границы. Это очень объемная и трудная математическая работа; она до сих пор тщательно проверяется и потому опубликована только в интернете.

Что же касается случаев, когда число ошибок и число единиц в равновесном коде пропорциональны длине кодового слова, то здесь пока все безнадежно. А именно эти случаи особенно важны! Вот такая она, математика. На первый взгляд кажется, что все давно известно. А на самом деле вопросов, на которые по-прежнему нет ответов, несмотря на всю естественность их возникновения и важность для практики, гораздо больше, чем тех, ответы на которые уже получены.