Магнификраб в пирожоре
Чудный весенний денек, воскресенье. Черепаха и Ахилл отправились погулять за город, они решили взобраться на гору, на вершине которой, как они слышали, есть замечательная чайная, где к чаю подаются отличные пирожные.
Ахилл: Маг, о маг! Этот краб —
Черепаха: Этот краб??
Ахилл: Я хочу сказать, наш общий знакомый, м-р Краб, кажется мне совершенно магическим созданием… Где вы еще найдете такого разумного краба? Он, может быть, раза в два умнее любого из своих собратьев. Даже в три. Или даже —
Черепаха: Боже мой! Как вы возвеличиваете Краба!
Ахилл: Я всего лишь восхищаюсь его —
Черепаха: О, не надо ничего объяснять — я тоже его поклонница. Кстати о поклонниках Краба — говорила ли я вам, какое занятное письмо один из них недавно послал Крабу?
Ахилл: Не помню. От кого было письмо?
Черепаха: На нем была наклеена индийская марка; имя отправителя — м-р Няунамар.
Ахилл: Интересно, почему человек, который никогда не видел Краба, решил послать ему письмо? И откуда он узнал его адрес?
Черепаха: Видимо, посчитал, что Краб — математик. В письме содержатся некие результаты, которые… О! Легок на помине! Вот и сам Краб, ползет вниз по холму!
Краб: Пока! Приятно было с вами поболтать. Что ж, мне пора. Так наелся — в меня уже ни кусочка не влезет! Я сам только что оттуда — отличное местечко! Вы никогда не были в чайной на горе? Как дела, Ахилл? О, да это же Ахилл! Привет, привет! Не г-жа ли это Черепаха?
Черепаха: Приветствую вас, м-р К Вы собрались сходить в чайную на горе?
Краб: Точно — как вы догадались? Я хочу отведать наполеонов — мое любимое лакомство! Впрочем, я так голоден, что мог бы слопать и лягушку. О, да это же Ахилл! Как дела, Ахилл?
Ахилл: Могло бы быть и хуже.
Краб: Вот и славно! Но умоляю, не давайте мне прерывать вашей ученой беседы. Позвольте мне к вам присоединиться — я постараюсь вам не мешать.
Черепаха: Напротив — я только что собиралась описать то странное письмо, которое вы получили несколько недель тому назад; но думаю, что Ахилл предпочтет получить эти сведения, так сказать, из первых клешней.
Краб: Дело было так. Этот Няунамар, по-видимому, никогда не обучался математике, вместо этого он придумал свои собственные методы для открытия новых математических истин. Некоторые его идеи меня просто поразили — я никогда не видел ничего подобного. Например, он прислал мне карту Индии, которую ему удалось раскрасить, по меньшей мере, в 1729 цветов!
Ахилл: 1729! Вы сказали «1729»?
Краб: Да, а почему вас это удивляет?
Ахилл: Знаете ли, 1729 — очень интересное число.
Краб: И правда, мне это как-то не пришло в голову.
Ахилл: В частности, 1729 — номер того такси, в котором я ехал сегодня утром к Черепахе!
Краб: Как интересно! А не могли бы вы мне сказать заодно и номер того троллейбуса, на котором вы поедете к г-же Черепахе завтра утром?
Ахилл (после минутного раздумья): Я точно не знаю, но мне кажется, что это будет очень большое число.
Черепаха: У Ахилла на эти дела особый нюх.
Краб: Да. Так вот, как я говорил, Няунамар в своем письме также доказал, что каждое четное простое число представляет собой сумму двух нечетных чисел и что не существует положительных целых решений уравнения:
а n + b n = с n, где n = 0
Ахилл: Что? Неужели ему удалось одним махом разрешить все эти классические задачки? Да он, кажется, настоящий гений!
Черепаха: Но постойте, Ахилл — неужели у вас не возникает ни тени сомнения?
Ахилл: Что? Ах да, тени сомнения. Разумеется, возникают. Надеюсь, вы не думаете, что я поверил в то, что Краб действительно получил подобное письмо? Меня не так-то просто обвести вокруг пальца, знаете ли. Наверное, это письмо, г-жа Черепаха, на самом деле получили Вы.
Черепаха: О, нет, Ахилл! То, что письмо было адресовано м-ру Крабу — чистая правда. Я имела в виду, не возникают ли у вас сомнения по поводу содержания самого письма, его странных утверждений?
Ахилл: Почему бы им возникнуть? Гм-м… Разумеется, возникают. Я вообще чрезвычайный скептик, как вы оба отлично знаете. Меня очень трудно в чем-либо убедить, неважно, истина это или ложь.
Черепаха: Отлично сказано, Ахилл. Поистине, вы знаток секретов собственного мозга.
Ахилл: У вас не возникало мысли, друзья, что утверждения Няунамара могут быть ошибочными?
Краб: Честно говоря, Ахилл, поскольку я такой консерватор, я сразу об этом подумал. На самом деле, мне сначала показалось, что это совершеннейшая утка. Но потом я решил, что мало кому удалось бы высосать из пальца такие странные и сложные результаты. В конце концов, все свелось к вопросу: «Что более вероятно: что письмо написано очень талантливым шарлатаном, или что его написал гениальный математик?» И вскоре я вычислил, что более вероятно первое.
Ахилл: Но вы все же проверили его утверждения?
Краб: К чему? Мой вероятностный аргумент намного лучше любого математического доказательства — он вполне убедителен. Однако г-жа Черепаха настояла на строгом доказательстве и мне пришлось проверить все результаты Няунамара. К моему удивлению, они оказались истинными! Я, однако, никогда не пойму, как ему удалось их получить. Наверное, при помощи удивительной и непостижимой восточной магии. Нам этого понять не дано. Это единственное объяснение, которое имеет хоть какой-то смысл.
Черепаха: М-р Краб всегда легко поддавался на удочку мистицизма и всяких странных идей — но мне трудно поверить в подобное объяснение. Я совершенно уверена, что всем вычислениям Няунамара можно найти соответствие в ортодоксальной математике. Я вообще думаю, что, занимаясь математикой, невозможно намного отклониться от традиционного курса.
Ахилл: Это интересное мнение. Думаю, что оно связано с Тезисом Черча-Тюринга и другими подобными темами.
Краб: О, давайте оставим в стороне все эти технические детали — в такой чудесный денек! — и насладимся лучше тишиной леса, пением птиц, и игрой солнечных зайчиков на почках и молодых листочках Хо!
Черепаха: Я — за! Как известно, все поколения Черепах испокон веков наслаждались красотой природы.
Краб: Как и все поколения Крабов.
Ахилл: Вы, часом, не захватили с собой вашу флейту, г-н Краб?
Краб: Разумеется захватил! Я ношу ее с собой везде. Хотите послушать мелодию-другую?
Ахилл: Это было бы прелестно, в таком пасторальном окружении. Вы играете по памяти?
Краб: К сожалению, это выше моих возможностей. Мне нужны ноты. Но это не проблема — у меня с собой есть несколько очень милых пьесок.
(Краб открывает тонкую папку и вытаскивает несколько листов бумаги. На первом листе — следующие символы:
Ea:~Sa=0
Он кладет этот лист на небольшой пюпитр, прикрепленный к флейте, и начинает играть. Мелодия оказывается очень короткой.)
Ахилл: Очень мило. (Заглядывает в ноты и лицо его принимает недоуменное выражение.) Но зачем вы прикрепили к флейте это высказывание теории чисел?
(Краб смотрит на свою флейту, на ноты, затем с удивлением оглядывается.)
Краб: Я вас не понимаю. Какое высказывание теории чисел?
Ахилл: «Ноль не следует ни за каким натуральным числом». Вон там в ваших нотах!
Краб: Это третий постулюд Пеано — у него их пять, и я переложил каждый из них для флейты. Это очень простые и легко запоминающиеся мелодии.
Ахилл: Не понимаю, как можно играть математическое суждение, как если бы оно было нотами!
Краб: Я же вам сказал это вовсе не математическое суждение, а постулюд Пеано! Хотите послушать еще один?
Ахилл: С удовольствием.
(Краб кладет на пюпитр другой лист бумаги, на этот раз Ахилл не спускает с него глаз.)
Я следил за вами, вы смотрели на эту ФОРМУЛУ на листе. Вы уверены, что это музыкальная нотация? Я мог бы поклясться, что это больше напоминает нотацию, которая используется в формализованной теории чисел!
Краб: Как странно. Насколько я могу судить, это ноты, а не математические формулы. Конечно, я весьма далек от математики… Хотите послушать еще какую-нибудь мелодию?
Ахилл: Прошу вас. У вас есть с собой и другие ноты?
Краб: У меня их целая куча.
(Он достает новый лист и кладет его на пюпитр. На листе написаны следующие символы:
~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSS0
Пока Краб играет, Ахилл не спускает глаз с бумаги.)
Правда, мило?
Ахилл: Да, премиленькая пьеска. Но должен признаться, что ваши ноты все более походят в моих глазах на теорию чисел.
Краб: Ах, боже мой! Это моя обычная музыкальная запись. Я просто не понимаю, где вы видите все эти внемузыкальные понятия в этой простенькой записи! Это же совершенно из другой оперы!
Ахилл: Не согласитесь ли вы сыграть пьесу моего собственного сочинения?
Краб: С превеликим удовольствием. Она у вас с собой?
Ахилл: Нет, но мне кажется, что я смогу запросто что-нибудь сочинить.
Черепаха: Должна вас предупредить, Ахилл, что Краб — строгий судья мелодий, написанных не им; так что не расстраивайтесь, если он не оценит ваших усилий по достоинству.
Ахилл: Благодарю вас за предупреждение, но я все же попробую…
(Он пишет:
((SSS0*SSS0)+(SSSS0*SSSS0))=(SSSSS0*SSSSS0)
Краб берет у него бумагу, смотрит на нее в раздумье, кладет ее на пюпитр и начинает играть.)
Краб: Что ж, это весьма неплохо, Ахилл. Мне нравится этот странный ритм.
Ахилл: Что же в нем странного?
Краб: Может быть вам, как композитору, он кажется естественным, но для меня переход с 3/3 на 4/4 и, затем, на 5/5 звучит экзотически. Если у вас есть для меня еще что-нибудь, я с удовольствием это сыграю.
Ахилл: Благодарю вас. Я никогда раньше не сочинял музыку и должен признаться, что я представлял себе это занятие не совсем так. Что же, попробую написать еще одну мелодию. (Набрасывает на листе следующую строчку.)
~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSS0
Краб: Гм-м… Мне кажется, что это точная копия моей предыдущей пьесы.
Ахилл: О, нет! Я добавил одно S. Теперь их стало четырнадцать.
Краб: Ах да, конечно. (Он начинает играть, и на лице его появляется гримаса недовольства.)
Ахилл: Я надеюсь, что мое сочинение не кажется вам неблагозвучным!
Краб: Вы написали эту мелодию по мотивам моей пьесы. Но боюсь, Ахилл, что вы не оценили всех ее тонкостей… Хотя как я могу требовать этого от вас после одного прослушивания? Иногда бывает трудно понять, на чем основана красота произведения. Ее легко спутать с поверхностными аспектами пьесы и имитировать их. Но сама красота лежит глубоко внутри; может быть, она вообще недоступна анализу.
Ахилл: Боюсь, что я немного запутался в вашем ученом комментарии. Я понял, что моя пьеса не удовлетворяет вашим высоким требованиям — но в чем именно заключается моя ошибка? Может быть, вы согласитесь мне растолковать?
Краб: Вашу композицию можно поправить, вставив в конце три — а, впрочем, можно и пять — S. Это создаст тонкий и неожиданный эффект.
Ахилл: Понятно.
Краб: Но пьесу можно изменить и по-другому. Мне, например, кажется, что лучше всего прибавить слева еще одну тильду. Это создаст приятный баланс между началом и концом. Две тильды подряд никогда не помешают — они придают мелодии этакий веселый изгиб, знаете ли.
Ахилл: А что, если я послушаюсь обоих советов сразу и напишу следующую пьеску?
~~EaEb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSSSSS0
Краб (с выражением болезненного неудовольствия): Ахилл, вам необходимо запомнить следующее: никогда не пытайтесь выразить слишком многое в одной и той же пьесе. Так можно достичь того порога, за которым пьесу уже ничто не спасет. Любые попытки исправить дело только все ухудшат. Как раз это произошло сейчас с вашей пьесой. Вы ухватились сразу за оба моих предложения, и вместо того, чтобы добавить пьесе красоты, это нарушило равновесие и лишило пьесу всякой привлекательности.
Ахилл: Почему такие похожие пьесы, как ваша, с 13 S, и моя, с 14 S, кажутся вам настолько разными? По-моему, в остальном они идентичны!
Краб: О, небо! Между ними — огромная разница. Это как раз тот случай, когда словами невозможно передать всего того, что чувствует душа. Осмелюсь сказать, что таких правил, которые определяли бы, красива ли какая-либо пьеса, не существует, да и не может существовать. Чувство Красоты принадлежит исключительно царству разума; разума, которому жизненный опыт сообщил глубину, превосходящую любые объяснения, основанные на наборе правил.
Ахилл: Я навсегда запомню эти идеи о природе Красоты. Наверное, нечто похожее можно сказать и об Истине?
Краб: Без сомнения. Истина и Красота соотносятся, как… как…
Ахилл: Как математика и музыка?
Краб: Вы читаете мои мысли! Откуда вы знаете, что я как раз об этом думал?
Черепаха: Ахилл очень непрост, м-р Краб. Вы его недооцениваете.
Ахилл: Вы думаете, что может существовать связь между истинностью или ложностью определенного математического утверждения и красотой (или отсутствием таковой) соответствующей музыкальной пьесы? Или же это лишь моя фантазия?
Краб: Мне кажется, вы заходите слишком далеко. Говоря о связи музыки и математики, я выражался символически, понимаете? Что касается прямой связи между музыкальной пьесой и математическим утверждением, я питаю на этот счет глубочайшие сомнения. Позвольте мне дать вам скромный совет: не тратьте время на подобные пустые выдумки.
Ахилл: Вы, без сомнения, правы. Это было бы совершенно бесполезно. Лучше я сосредоточусь на оттачивании моего музыкального вкуса, придумав еще несколько пьес. Согласитесь ли вы быть моим наставником, м-р Краб?
Краб: Буду счастлив послужить проводником на вашем пути к пониманию музыки.
(Ахилл берет карандаш и погрузившись, казалось бы, в состояние глубочайшего сосредоточения, пишет:
Λ00aA'V~ΛΛ:b+cS(EE=0Λэ((~d)<V(AS*+(>V
(У Краба от удивления лезут глаза на лоб.)
Вы действительно хотите, чтобы я сыграл это… это… чем бы это ни было?
Ахилл: О, пожалуйста, прошу вас!
(Краб начинает с трудом играть.)
Черепаха: Браво! Браво! Скажите, Ахилл, ваш любимый композитор, случайно, не Джон Кейдж?
Ахилл: Сказать по правде, он мой любимый анти-композитор. Так или иначе, я рад, что вам понравилась МОЯ музыка.
Краб: Может быть, прослушивание подобной какофонии кажется вам забавным, но я уверяю вас, что для чувствительного уха композитора эти чудовищные, режущие диссонансы и бессмысленные ритмы — настоящее мучение. Я-то думал, Ахилл, что у вас есть музыкальный вкус. Неужели ваши предыдущие пьесы получились хорошо по чистой случайности?
Ахилл: О, простите меня пожалуйста, м-р Краб. Я просто решил исследовать возможности вашей музыкальной нотации. Я хотел услышать, какие звуки получаются, когда я пишу некую последовательность символов, а заодно узнать, как вы оцениваете пьесы, написанные в разных стилях.
Краб (ворчливо): Я вам, знаете, не автоматическая музыкальная машина и не мусорное ведро для музыкальных отбросов.
Ахилл: Умоляю, простите. Но я все же чувствую, что сочинение этой пьески меня многому научило и я уверен, что теперь смогу писать гораздо лучшую музыку. И если вы согласитесь сыграть еще одно мое сочинение, ваше мнение о моих композиторских способностях непременно изменится в лучшую сторону.
Краб: Хорошо. Давайте попытаемся.
(Ахилл пишет:
Aa:Ab:<(a*a)=(SS0*(b*b))эa=0>
и Краб играет.)
Вы были правы, Ахилл. Кажется, ваши музыкальные способности к вам вернулись. Эта пьеса — настоящая драгоценность! Как вам удалось ее написать? Я никогда не слыхал ничего подобного. Она следует всем законам гармонии, и, тем не менее, в ней есть некая — как бы это сказать — иррациональная привлекательность. Я не могу определить этого точнее, но именно это меня в ней притягивает.
Ахилл: Я так и думал, что вам это понравится.
Черепаха: Как называется ваше сочинение, Ахилл? Мне кажется, что ему подошло бы название «Песнь Пифагора». Вы наверное, помните, что Пифагор был одним из первых, кто стал изучать музыкальные звуки.
Ахилл: Верно. Это очень хорошее название.
Краб: Кроме того не Пифагор ли открыл, что отношение двух квадратов никогда не равняется двум?
Черепаха: Думаю что вы правы. В свое время это считалась еретическим открытием, поскольку никто раньше не догадывался о существовании чисел — таких как квадратный корень из двух — которые нельзя представить, как отношение двух целых чисел. Это открытие было ужасно и для самого Пифагора. Он решил что в абстрактном мире чисел обнаружился неожиданный и кошмарный дефект, могу себе представить, в какое отчаяние пришел бедняга.
Ахилл: Простите вы кажется сказали что-то о чае? Кстати — где же та знаменитая чайная? Долго нам еще карабкаться?
Черепаха: Не волнуйтесь мы будем на месте через пару минут.
Ахилл: Гм-м. Я как раз успею просвистеть вам мотивчик, который сегодня утром услышал по радио.
Краб: Погодите минутку, достану бумагу. Я хочу записать эту мелодию. (Копается в папке и вытаскивает чистый лист ) Готово.
(Ахилл начинает свистеть, мелодия оказывается довольно длинной. Краб быстро записывает, стараясь не отстать.)
Можете ли вы повторить несколько последних тактов?
Ахилл: Конечно.
(После нескольких повторений Краб, наконец, заканчивает и с гордостью показывает свою запись
<((SSSSS0*SSSSS0)+(SSSSS0*SSSSS0))=(SSSSSSS0*SSSSSSS0)+(S0*S0))
Λ~Eb:<Ec:(Sc+b)=((SSSSSSS0 SSSSSSS0)+(S0 S0))ΛEd:Ed':Ee:Ee'
<~<d=eVd=e'>Λ<b=((Sd*Sd)+(Sd'*Sd'))Ab=((Se*Se)+(Se'*Se'))>>>>
Затем он берет флейту и играет записанную им мелодию)
Черепаха: Интересно это похоже на индийскую мелодию.
Краб: Нет, мне кажется для индийской мелодии она слишком проста. Впрочем, я не специалист.
Черепаха: Вот мы и пришли! Где мы сядем, на веранде?
Краб: Если вы не возражаете, лучше сесть внутри, я уже и так слишком долго был на солнце.
(Они входят в чайную, полную народа, садятся за единственный свободный столик и заказывают чай с пирожными. Не проходит и получаса, как им приносят поднос с аппетитными сладостями, каждый выбирает свое любимое пирожное.)
Ахилл: Знаете, м р К, мне бы хотелось услышать ваше мнение о мелодии, которую я только что сочинил.
Краб: Покажите, можете записать ее на этой салфетке.
(Ахилл пишет
Aa:Eb:Ec:<~Ed:Ee:<(SSd*SSe)=bV(SSd*SSe)=c>Λ(a+a)=(b+c)>
Краб и Черепаха с интересом изучают его запись)
Черепаха: Как вы думаете, м-р К, это красивая пьеса?
Краб: Гм-м… Я считаю… Мне кажется… (В явном замешательстве ерзает на стуле.)
Ахилл: В чем дело? Достоинства этой пьесы оказалось определить труднее, чем достоинства других моих сочинений?
Краб: Э-э-э… Нет, нет, это совсем не то. Как бы это сказать… дело в том, что мне надо УСЛЫШАТЬ пьесу, чтобы иметь возможность о ней судить.
Ахилл: Так за чем же дело стало? Прошу вас, сыграйте мою пьеску и скажите нам, находите ли вы ее красивой.
Краб: Конечно, конечно… Я был бы чрезвычайно рад сыграть вашу пьесу; вот только…
Ахилл: Что случилось? Вы не можете сыграть эту пьесу? Почему вы колеблетесь?
Черепаха: Неужели вы не понимаете, Ахилл, что исполнить вашу просьбу было бы невежливо и неделикатно по отношению к посетителям и работникам этой замечательной чайной?
Краб (с внезапным облегчением): Верно! Мы не имеем права навязывать другим свою музыку.
Ахилл (подавленно): О, какая жалость… А я-то ТАК надеялся узнать ваше мнение об этой мелодии!
Краб: Ух ты! Чуть не вляпался!
Ахилл: Как? Что значит это замечание?
Краб: Да так, ничего. Просто тот господин чуть не наступил на пирожные, рассыпанные официантом минуту назад. Сегодня здесь вообще необычайное оживление, яблоку негде упасть.
Черепаха: Дело в том, что сегодня будет известно, кто станет счастливым обладателем приза ежегодной лотереи. Раньше в этой лотерее участвовала и я, но уже давно отчаялась. Приз простой — самовар и набор индийского чая, — но получить его хочется многим, поэтому сегодня здесь столько народу.
Ахилл: Вы хотите сказать, что сегодня — день розыгрыша?
Краб: Вот именно, Ахилл.
Ахилл: А-а, понятно, я это запомню.
Краб: Что ж, пожалуй, мне пора ползти домой. Эта суета вокруг розыгрыша меня порядком утомила, а мне еще предстоит утомительный спуск по крутому склону.
Ахилл: До встречи; и спасибо за урок композиции!
Краб: Я и сам получил большое удовольствие; надеюсь, что когда-нибудь мы продолжим наш обмен сочинениями.
Ахилл: Буду ждать этого дня с нетерпением. До свидания!
Черепаха: До свидания, м-р Краб.
(И краб уползает вниз по холму.)
Ахилл: Что за создание! Это ползет маг и волшебник музыки, блестящий флейтист и композитор. Мне кажется, что он в четыре раза умнее любого из своих собратьев. Или даже в пять —
Черепаха: Как вы уже сказали в начале — и, кажется, собираетесь продолжать говорить во веки веков!
