Предположим, что, как я и пытался вас убедить, комплексные числа представляют собой простое и понятное расширение обычных вещественных чисел и подчиняются всем обычным правилам арифметики с тем единственным добавлением, что i² = −1; кроме того, вспомним, что функции занимаются тем, что превращают числа из одной области — своей области определения — в числа из другой области; так вот, есть ли какая-нибудь причина, которая препятствует существованию функций от комплексных чисел? Никаких таких причин нет.

Функция возведения в квадрат, например, прекрасно работает для комплексных чисел в соответствии с правилами умножения. Скажем, квадрат числа −4 + 7i есть (−4 + 7i)×(−4 + 7i), что равно 16 − 28i − 28i + 49i², т.е. −33 − 56i. В таблице 13.1 показан «моментальный снимок» функции возведения в квадрат для некоторых случайным образом выбранных комплексных чисел.

Читателю, возможно, нелегко в это поверить, но изучение «функций комплексной переменной» представляет собой одно из наиболее элегантных и прекрасных направлений в высшей математике. Области определения всех функций, знакомых нам из школьной математики, легко расширяются на все, или почти все, комплексные числа. Например, в таблице 13.2 приведен «моментальный снимок» показательной функции для некоторых комплексных чисел.

Заметим, что, как и ранее, когда мы увеличивали аргументы «по сложению» — а сейчас, разумеется, дело обстоит таким же образом, поскольку к аргументу каждый раз прибавляется 1 + i, — значения функции изменяются «по умножению», в данном случае за счет умножения на 1,46869 + 2.28736i. Если бы мы взяли аргументы, отличающиеся друг от друга прибавлением каждый раз числа 1, то, конечно, получающиеся значения отличались бы умножением на e. Заметим еще, что в эту таблицу включено одно из самых прекрасных тождеств во всей математике:

Говорят — и я полагаю, что такое вполне могло быть, — Гаусс утверждал, что если истинность этого выражения не становится для вас очевидной сразу же, при первом взгляде на него, то вы никогда не станете первоклассным математиком.

Но как же вообще можно определить комплексную степень числа e, как, впрочем, и любого другого числа? С помощью ряда, вот как. Следующее выражение дает реальное определение того, что такое e^z для вообще любого числа z, будь оно вещественным или комплексным (13.1):

Чудесным (как мне представляется) образом эта бесконечная сумма сходится для любого числа z. Знаменатели растут так быстро, что рано или поздно побеждают любую степень любого числа. Равным образом чудесно, что если z — натуральное число, то бесконечная сумма оказывается в точности равной тому, что мы ожидаем от определения «степени» в обычном смысле, хотя разглядывание выражения и не дает никаких намеков на то, почему бы такое могло случиться. Если z равно 4, то этот ряд оказывается равным в точности тому же, чему равно e×e×e×e (что, собственно, и понимается под обозначением e⁴).

Давайте просто подставим πi в выражение и посмотрим, как быстро оно сходится. Если z равно πi, то z² равно −π²; z³ равно −π³i; z⁴ равно π⁴; z⁵ равно π⁵i и т.д. Подставляя эти значения в бесконечную сумму и вычисляя возникающие степени числа π (для простоты с точностью до шести знаков после запятой), получаем сумму

Если сложить первые 10 из этих членов, то получим −1,001829104 + 0,006925270i. Если сложить первые 20 чисел, то результат будет равен −0,9999999999243491 − 0,000000000528919i. Вполне определенным образом сумма сходится к −1. Вещественная часть приближается к −1, а мнимая исчезает.

Можно ли и логарифмическую функцию продолжить на комплексные числа? Да. И получится, разумеется, в точности функция, обратная к показательной. Если e^z = w, то z = ln w. К сожалению, как и в случае квадратных корней, если мы не соблюдем меры предосторожности, мы тут же попадем в зыбучие пески многозначных функций. Это происходит из-за того, что в комплексном мире показательная функция иногда принимает одно и то же значение при различных аргументах. Например, куб числа −1, в соответствии с правилом знаков, есть −1; так что возведение в куб обеих частей равенства e^πi = −1 дает e^3πi = −1; таким образом, аргументы πi и 3πi дают одно и то же значение функции, равное −1, подобно тому как −2 и +2 дают при возведении в квадрат одно и то же значение 4. Тогда что же такое ln (−1)? Это πi? Или же 3πi?

Это πi. Чтобы не наживать лишних неприятностей, ограничим мнимую часть значений функции отрезком от −π (не включая) до π (включая). Тогда для всякого ненулевого комплексного числа имеется его логарифм, причем ln (−1) = πi. На самом деле, если использовать обозначения, введенные в главе 11.v, то ln z = ln |z| + iΦ(z), где Φ(z), разумеется, измеряется в радианах. В таблице 13.3 показан «моментальный снимок» логарифмической функции с точностью до шести знаков после запятой. Аргументы здесь изменяются «по умножению» (каждая строка получается умножением 1 + i на предыдущую строку), а значения функции — «по сложению» (всякий раз прибавляется 0,346574 + 0,785398i).

Итак, у нас есть логарифмическая функция. Единственное усложнение заключается в том, что, когда мнимая часть значения функции становится больше π, как это случается при переходе от аргумента −4 к аргументу −4 − 4i, приходится вычитать 2πi, чтобы остаться в нужных пределах (2π радиан равны 360 градусам; мы помним из главы 11.v, что радианы — это просто способ измерения углов, который больше всего любят математики). Но это не причиняет на практике никаких неудобств.

Коль скоро имеются показательная и логарифмическая функции от комплексных чисел, нет причин, запрещающих возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Согласно 8-му правилу действий со степенями из главы 5.ii любое вещественное число a равно e^ln a, а тогда по 3-му правилу a^x — это просто-напросто e^xln a. Нельзя ли распространить эту идею в мир комплексных чисел и сказать, что для любых двух комплексных чисел z и w выражение z^w означает просто-напросто e^wln z?

Можно, конечно, и именно так и делается. Если пожелать возвести −4 + 7i в степень 2 − 3i, то надо сначала вычислить логарифм числа −4 + 7i, который оказывается равным примерно 2,08719 + 2,08994i. Затем надо умножить это на 2 − 3i, что даст 10,4442 − 2,08169i. И теперь возвести число e в эту степень, что и даст окончательный результат −16793,46 − 29959,40i. Итак,

Ничего сложного! Еще пример: поскольку −1 = e^πi, извлечение квадратного корня из обеих частей даст i = e^πi/2. И если теперь возвести обе части в степень i, то, снова пользуясь 3-м правилом действий со степенями, получим iⁱ = e^−π/2. Заметим, что это вещественное число, равное 0,2078795763….

Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественного числа в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа z можно вычислить 2^z, 3^z, 4^z и т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции

в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.

Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re(s) > 1», где Re(s) используется для обозначения вещественной части числа s.

Но, как и в случае с дзета-функцией вещественных аргументов, для расширения области определения в те области, где бесконечная сумма не сходится, можно применить некоторые математические уловки. В результате получается полная дзета-функция, область определения которой составляют все комплексные числа за единственным исключением числа s = 1. Там, как мы еще в самом начале убедились при помощи колоды карт (см. главу 1), у дзета-функции нет значения. Везде, кроме этой точки, она имеет единственным образом определенное значение. Имеются, конечно, и такие места, где это значение нулевое. Это мы и раньше знали. Графики из главы 9.iv показывают, что дзета-функция принимает равное нулю значение для всех отрицательных четных чисел −2, −4, −8, …. Мы на них не останавливаемся, потому что, как уже было замечено, они не слишком важны. Это тривиальные нули дзета-функции. Могло ли бы так случиться, что значение дзета-функции равно нулю при некоторых комплексных аргументах? И что, это и будут нетривиальные нули, упоминаемые в Гипотезе? Делайте ваши ставки; но я несколько забежал вперед в нашей истории.

Сорок лет назад блестящий, но эксцентричный Теодор Эстерман написал учебник, озаглавленный «Комплексные числа и функции», в котором содержались всего два рисунка. «Я <… > избежал всякого обращения к геометрической интуиции», — объявлял автор в предисловии. Известно некоторое число родственных ему душ, однако большая часть математиков не следует подходу Эстермана. Они трактуют теорию функций комплексной переменной в высшей степени визуально. Многие из нас полагают, что функции комплексной переменной легче освоить, пользуясь некоторыми наглядными образами.

Но как же можно наглядно представить себе функцию комплексной переменной? Возьмем простейшую нетривиальную функцию комплексной переменной — функцию возведения в квадрат. Есть ли какой-нибудь способ узнать, на что она похожа?

Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число x в число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x (на запад, если x отрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y (на юг, если y отрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.

Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)

Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можно делать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.

На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, c и d. Это в действительности комплексные числа −0,2 + 1,2i, 0,8 + 1,2i, 0,8 + 2,2i и −0,2 + 2,2i.

Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число −0,2 + 1,2i само на себя, то получится −1,4 − 0,48i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, c и d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, C и D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке .

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке , можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.

Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.

Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.

Я воспользуюсь гораздо более простым подходом для иллюстрации функций комплексной переменной. Позвольте представить моего друга, муравья по имени Арг; он перед вами на рисунке 13.4.

Муравья Арга невероятно трудно разглядеть, потому что он имеет бесконечно малый размер. Но если бы мы могли его видеть, то обнаружили бы, что он выглядит совсем как обычный муравей — если уж быть точным, то как рабочий Camponotus japonicus — с соответствующим числом лапок, усиков и прочего. В одной из своих передних лапок, которую можно для удобства называть «рукой», муравей Арг держит приборчик вроде пейджера, или мобильного телефона, или одного из тех устройств для глобального позиционирования, что всегда сообщают вам, где именно вы находитесь. На этом приборчике (рис. 13.5) имеются три окошка. В первом окошке, под которым написано «функция», показано название некоторой функции: z², ln z и т.д. — в общем, на приборчике можно выставить любую функцию. Во втором окошке, под которым написано «аргумент», показана точка — т.е. комплексное число, — на которой муравей Арг стоит в данный момент. И в третьем окошке, с подписью «значение функции», показано значение выбранной функции при данном аргументе. Таким образом, муравей Арг всегда точно знает, где находится; а для любой заданной функции он знает, кроме того, куда данная функция отправляет точку, на которой он стоит.

Моя задача состоит в том, чтобы показать вам дзета-функцию, И поэтому я собираюсь отправить муравья Арга свободно бродить по комплексной плоскости. Когда в окошке «значение функции» показан нуль, это значит, что Арг стоит на точке («аргументе»), которая является нулем дзета-функции. Я договорюсь с ним, чтобы он отмечал эти точки волшебным маркером, который он носит в маленьком кармашке на брюшке. Тогда мы сможем узнать, где располагаются нули дзета-функции.

На самом деле я попрошу муравья Арга потрудиться еще немного. Пусть он отмечает все аргументы, которые дают чисто вещественное или чисто мнимое значение функции. Он отметит аргумент, при котором значение функции равно 2, или −2, или 2i, или −2i; а точку, в которой значение функции равно 3,7i, он отмечать не будет. Другими словами, он отметит все точки, которые дзета-функция отправляет на вещественную ось или на мнимую ось таким способом мы получим нечто вроде картинки, представляющей дзета-функцию.

На рисунке 13.6 представлен результат этой одиссеи. Прямыми линиями на ней показаны вещественная и мнимая оси, а также критическая полоса. Все кривые линии составлены из точек, которые дзета-функция отправляет на вещественную или мнимую оси. Разумеется, поскольку вещественная и мнимая оси пересекаются в нуле, нулями дзета-функции будут как раз точки, где эти линии пересекаются. В точках, где каждая из этих кривых уходит с рисунка, подписано значение функции, соответствующее этой точке.

Попытка представить себе, что же дзета-функция делает с комплексной плоскостью — в том же духе, как на рисунке , где показано, что делает с ней функция возведения в квадрат — это упражнение, требующее довольно серьезного умственного напряжения. Если функция возведения в квадрат заворачивает комплексную плоскость саму над собой в двулистную поверхность, изображенную на рисунке , то дзета-функция делает подобную же вещь бесконечное число раз, что дает бесконечнолистную поверхность. Не расстраивайтесь, если не получается такое себе представить. Чтобы начать интуитивно воспринимать подобные функции, требуется практика в течение нескольких лет. Как я уже говорил, наш подход будет попроще.

Муравей Арг разметил комплексную плоскость так, что получились узоры, показанные на рисунке . Теперь отправим его путешествовать вдоль одной из этих кривых. Пусть он выходит из точки −2. Поскольку это нуль дзета-функции — один из тривиальных нулей, — окошко «значение функции» показывает 0. А муравей собирается ползти на запад вдоль вещественной оси. Значения функции начинают отодвигаться от нуля.

Вскоре после прохождения точки −2,717262829 при движении на запад окошко «значение функции» покажет число 0,009159890…. Затем число в этом окошке начнет снова уменьшаться до нуля. Поскольку вы читали главу 9, то вполне можете догадаться, что должно произойти. Значение функции будет убывать и убывать до нуля, который и будет достигнут при аргументе −4.

Это оказалось не слишком интересным. Начнем снова. Из точки −2, где показание «значение функции» равно 0, муравей Арг отправится на запад в точку, где значение функции было наибольшим. Но вместо того, чтобы продолжать путь на запад до −4, он резко поворачивает направо и берет курс на север вдоль верхней ветви напоминающей параболу кривой. Теперь значение функции будет все возрастать и возрастать — сначала оно достигнет значения 0,01, затем 0,1, потом (вскоре после пересечения с мнимой осью) достигнет 0,5. И когда муравей устремится на восток по верхней ветви «параболы», значение продолжит расти. Когда муравей выйдет за пределы страницы, направляясь при этом уже почти точно на восток, показание в окошке будет составлять 0,9990286. Оно все еще продолжает возрастать, но страшно медленно, и муравью придется прошагать всю дорогу до бесконечности, пока в окошке не появится 1.

Оказавшись на бесконечности, муравей Арг может захотеть развернуться и пойти обратно. Но чтобы ему не возвращаться той же дорогой, отправим его домой вдоль положительной части вещественной оси. (Не ломайте себе голову на этот счет слишком сильно. Для наших целей на самом деле имеется всего одна «точка на бесконечности», так что, раз оказавшись там, можно отправиться назад в мир настоящих конечных чисел вдоль вообще любого направления). Показания в окошке «значение функции» теперь возрастают: там будет высвечено 1,0009945751… в момент возвращения на рисунок, 1,644934066848… в момент, когда муравей Арг проходит 2 (помните базельскую задачу?), а потом при подходе к 1 показания резко взлетают вверх.

Когда муравей Арг наступает на число 1, из приборчика, который он держит в руке, раздается звонок, а в окошке «значение функции» загорается большой ярко-красный мигающий знак бесконечности ∞. Если муравей Арг посмотрит на это окошко повнимательнее, он обнаружит занятную вещь. Справа от знака бесконечности очень быстро вспыхивает и гаснет маленькая буква i. Одновременно с этим слева от бесконечности загорается и гаснет знак минус, причем тоже очень быстро, но рассогласованно с пульсациями буквы i. Дело выглядит так, будто бы окошко пытается одновременно показать четыре различных значения: ∞, −∞, ∞i и −∞i. Занятно!

Причина кроется в том, что у муравья Арга теперь три возможных варианта выбора (помимо возможности отправиться обратно той же дорогой, которой он пришел). Если он просто пойдет вперед, направляясь на запад вдоль вещественной оси, до тех пор пока не достигнет нуля при аргументе −2, он увидит, что значения функции становятся большими отрицательными числами типа минус одного триллиона, затем быстро доходят до отрицательных чисел умеренной величины (−1000, −100) и в конце концов достигают −1, затем −0,5, когда он наступит на точку нуль (поскольку ζ(0) = −0,5), и окончательно возвращаются к нулю при аргументе −2.

Если же из точки 1 он резко повернет направо и пойдет на север, пересекая верхнюю половину кривой овальной формы вблизи нулевой точки, то в окошке будут показаны значения функции, поднимающиеся вверх по отрицательной мнимой оси, от таких чисел, как −1000 000i, далее через числа −1000i и до −10i, −5i, −2i и затем −i. Незадолго до пересечения с мнимой осью в окошке высветится −0,5i. Далее, по мере приближения к нулю дзета-функции в точке −2, значения функции, разумеется, возрастут до нуля.

Чтобы помочь вам справиться со всем этим непосильным грузом, а также чтобы найти прочную привязку к миру функций (которые мы ввели с помощью таблиц в главе 3), в таблице 13.4 проиллюстрирована только что описанная прогулка против часовой стрелки по верхушке овальной кривой. Аргументами в этой таблице выбраны числа со следующими фазами (в градусах, а не радианах): 0, 30, 60, 90, 120, 150 и 180. Все числа в таблице 13.4 округлены до четырех знаков после запятой.

Если бы муравей повернул из точки 1 налево, то значения функции вернулись бы к нулю через положительную мнимую ось, проходя через числа 1,8273i, 0,7998i и т.д.

Муравей Арг может начать свою прогулку из любого другого нуля дзета-функции. Все они показаны на рисунке в виде маленьких кружочков. Чтобы нашему приятелю было проще разобраться, куда же он идет, там показаны значения, которые высвечиваются в окошке «значение функции» в тот момент, когда он уходит с рисунка вдоль любой из выбранных линий. (Для экономии места при записи этих значений m обозначает «миллион». Разумеется, i, как всегда, обозначает просто i.) Обратим внимание на явления, которые происходят по мере движения вверх по левому краю рисунка, т.е. при движении по аргументам, вещественная часть которых равна −10. Первая линия, уходящая с рисунка с этого края, — это та, которая отображается в отрицательную вещественную ось. Следующая отображается в положительную мнимую ось; следующая после нее — в положительную вещественную ось; следующая — в отрицательную мнимую ось… и т.д.; картина повторяется.

Наоборот, все линии, уходящие с рисунка по правому краю, отображаются в положительную вещественную ось. Как видно из рисунка, справа от критической полосы это довольно скучная функция. Вся обширная восточная область отображается в малюсенькую область вокруг точки 1. Здесь намного «меньше жизни», чем слева в западном регионе; но и этот западный регион не так интересен, как критическая полоса. Все интересное происходите дзета-функцией именно в критической полосе. (По поводу другой иллюстрации этой общей истины см. рассказ о гипотезе Линделёфа в приложении.)

Рисунок фактически выражает суть данной книги. Он позволяет видеть дзета-функцию Римана настолько хорошо, насколько вообще можно видеть функцию комплексной переменной. Я призываю читателя провести какое-то время за молчаливым созерцанием этого рисунка и ради упражнения пройти несколькими муравьиными дорожками. Функции из высшей математики это чудесные создания. Они не выдают своих секретов просто так.

Некоторые — такие как эта — могут обеспечить вас занятием на всю жизнь. Лично я никоим образом не могу отнести себя к специалистам по дзета-функции. У меня нет исчерпывающего собрания литературы по дзета-функции, и при сборе материала для данной книги я опирался главным образом на университетские библиотеки и личные контакты. Но, даже не прилагая специальных усилий, я оказался обладателем собственных экземпляров книг «Теория дзета-функции Римана» Э.Ч. Титчмарша (412 страниц), «Введение в теорию дзета-функции Римана» С. Дж. Паттерсона (156 страниц) и незаменимой «Дзета-функции Римана» Хэролда Эдвардса (316 страниц, причем она у меня в трех экземплярах — это долгая история), а также толстенной папки с копиями статей из различных журналов и периодических изданий. Наверняка есть еще масса других увесистых книг, помогающих проникнуть в тайны этой функции, и, кроме того, тысячи статей. Это серьезная математика.

И что самое замечательное, на приведенном рисунке Гипотеза Римана сияет во всем своем блеске. Смотрите: нетривиальные нули и в самом деле все выстроились на критической прямой. На рисунке критическая прямая не проведена, но совершенно ясно, что она лежит посередине критической полосы, как разделительная полоса на шоссе.

Еще пара картинок, прежде чем мы покончим с темой наглядного представления дзета-функции. Во-первых, заметим, что при продвижении вверх общая тенденция, наблюдаемая на рисунке , сохраняется в тех пределах, до которых мы можем добраться.

Для иллюстрации этого на рисунке 13.7 показан блок нулей вблизи точки ¹/₂ + 100i. Можно заметить, что они упакованы теснее, чем нули на рисунке . В действительности средний интервал между восемью показанными здесь нулями равен 2,096673119…, тогда как для пяти нулей, показанных на рисунке , средний интервал составлял 4,7000841…. Таким образом, здесь, наверху — в окрестности числа 100i на мнимой оси, — нули упакованы более чем в два раза плотнее, чем в окрестности числа 20i.

Ha самом деле имеется правило, позволяющее найти средний интервал между нулями на высоте T в критической полосе. Этот интервал ~ 2π/ln (T/2π). Если T равно 20, то это выражение вычисляется как 5,4265725…. Если T равно 100, то оно равно 2,270516724…. Как можно видеть, правило не слишком точное, хотя знак волны говорит нам, что оно становится все точнее по мере того, как числа растут. Эндрю Одлыжко опубликовал список 10 000 нулей в окрестности числа ¹/₂ + 1370919909931995308897i. Там за 2π/ln (T/2π) дают что-то около 0,13516467, а среднее, вычисленное для 9999 интервалов, равно 0,13417894…. Не так плохо!

Остановимся на еще одном моменте, который окажется довольно важным в дальнейшем изложении. Имеется симметрия относительно вещественной (т.е. идущей с запада на восток) оси. Если продлить рисунок на юг от вещественной оси, линии окажутся зеркальными отображениями линий из северной половины. Единственная разница состоит в том, что если вещественные числа, отмеченные на рисунке , будут одинаковыми на юге и на севере, то мнимые числа поменяют знак. Математически это выражается так, что если ζ(a + bi) = u + vi, то ζ(a − bi) = u − vi. Или, если по-настоящему использовать язык комплексных чисел, ζ(z') = ζ'(z). Важное следствие отсюда состоит в том, что если a + bi — нуль дзета-функции, то a − bi — тоже нуль.

И наконец, графическое представление Гипотезы Римана — или по крайней мере того факта, что на критической прямой полно нулей.

Чтобы разобраться в рисунке , вспомним, что рисунки и изображают плоскость аргумента. Функция комплексной переменной отправляет комплексные числа из одного множества (аргументы) в другое множество (значения). Поскольку комплексные числа располагаются на плоскости, можно представлять себе, что функция отправляет точки из одной плоскости (плоскости аргумента) в точки на другой плоскости (плоскости значений). Дзета-функция отправляет точку ¹/₂ + 14,134725i на плоскости аргумента в точку 0 на плоскости значений. Взглянем снова на рисунок . Там плоскость аргумента и плоскость значений показаны одновременно — как если бы это были наложенные друг на друга прозрачные пленки для проектора.

Рисунки и изображают плоскость аргумента; там указано, какие аргументы отправляются в интересные нам значения. Муравей Арг живет на плоскости аргумента — потому его так и назвали. Он бродит по этой плоскости, отмечая, какие точки отправляются в нули при применении дзета-функции. Он у нас путешествовал по странным кривым и завиткам, образованным точками, которые отправляются в чисто вещественные или чисто мнимые числа (т.е. точками, в которых дзета-функция имеет чисто вещественные или чисто мнимые значения). Будем говорить, что это — изображения плоскости аргумента типа «отсюда», имея в виду, что отсюда дзета-функция отображает во что-то интересное.

Альтернативным способом функцию можно представить, показав картинку типа «сюда» на плоскости значений. Вместо того чтобы показывать, как это делалось на рисунках и , какие аргументы отправляются в интересные нам значения (а такими у нас были чисто вещественные и чисто мнимые числа), можно дать картину плоскости значений, на которой будет показано, в какие значения отображаются интересующие нас аргументы.

Представим себе, что у муравья Арга есть брат-близнец, который живет на плоскости значений. Зовут его, понятно, муравей Знач. И допустим еще, что близнецы постоянно общаются между собой по рации и таким способом синхронизируют свои передвижения, так что, на каком бы аргументе ни находился муравей Арг в любой момент времени, муравей Знач стоит на соответствующем значении в плоскости значений. Если, например, муравей Арг стоит на числе ¹/₂ + 14,134725i, а на его приборчике выставлена дзета-функция, то муравей Знач стоит на числе 0 в своей плоскости (плоскости значений).

Предположим теперь, что муравей Арг, вместо того чтобы ползать по всем этим причудливым завитушкам, изображенным на рисунке (что заставляет муравья Знача скучать, вышагивая взад и вперед по вещественной и мнимой осям), предпримет прогулку прямо по критической прямой, направляясь на север из аргумента ¹/₂. По какой траектории будет тогда следовать муравей Знач? Это показано на рисунке . Его путь начинается в точке ζ(¹/₂), что, как мы видели в главе 9.v, равно −1,4603545088095…. Далее он описывает нечто вроде полуокружности против часовой стрелки ниже нулевой точки, а затем поворачивает и движется по петле по часовой стрелке вокруг точки 1. Он держит путь к нулю и проходит через него (это первый нуль — муравей Арг как раз прошел точку ¹/₂ + 14,134725i). Затем он продолжает описывать петли по часовой стрелке, проходя через нулевую точку снова и снова через некоторый промежуток — всякий раз, как его брат-близнец наступает на нуль дзета-функции на плоскости аргумента. Я прервал путешествие Знача, когда муравей Арг достиг точки ¹/₂ + 35i, потому что рисунок продолжается лишь до этих пор. К тому моменту, как эта точка достигнута, кривая на плоскости значений прошла через нуль пять раз, что соответствует пяти нетривиальным нулям на рисунке . Отметим, что точки на критической прямой демонстрируют выраженную тенденцию к тому, чтобы отображаться в точки с положительной вещественной частью.

Еще раз: на рисунке 13.8 показана плоскость значении. Это не диаграмма типа «отсюда», подобная рисункам и ; наоборот, это диаграмма типа «сюда», которая показывает, что же дзета-функция делает с критической прямой, подобно тому как на рисунке было показано, что функция возведения в квадрат делаете расчерченным квадратиком. Если мы желаем выражаться чисто математически, то следует сказать, что завивающаяся в петли кривая на рисунке есть ζ(критическая прямая) — множество всех точек, которые происходят из точек на критической прямой. Кривые на рисунках и суть ζ⁻¹(вещественная и мнимая оси) — множество всех точек, которые дзета-функция отправляет в вещественную и мнимую оси. Мы используем запись «ζ(критическая прямая)», чтобы указать на «все значения дзета-функции при аргументах, лежащих на критической прямой». Наоборот, «ζ⁻¹(вещественная и мнимая оси)» означает «все аргументы, для которых значения дзета-функции лежат на вещественной или мнимой осях». Заметим, что выражение ζ⁻¹ используется здесь в специальном смысле теории функций и указывает на обратную функцию. Не следует путать его с a⁻¹ из 8-го правила действий со степенями, где имеется в виду 1/a, арифметическое обратное числа a. Это другое использование — еще один пример перегрузки математических символов, как и с буквой π, которая обозначает и число 3,14159…, и функцию числа простых чисел.

Вообще говоря, картинки типа «отсюда» на плоскости аргумента — предпочтительное средство для понимания того, что такое функция во всем охвате ее свойств (например, где расположены ее нули). Картинки «сюда» на плоскости значений полезнее всего для изучения конкретных аспектов или любопытных особенностей функции.

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой — прямой, составленной из комплексных чисел с вещественной частью одна вторая. Все нетривиальные нули, изображенные в этой главе, действительно лежат на этой прямой, что видно из рисунка , и . Конечно, это ничего не доказывает. У дзета-функции бесконечное число нетривиальных нулей, и никакой рисунок не позволит изобразить их все. Откуда нам знать, что триллионный нуль, или триллион триллионный, или же триллион триллион триллион триллион триллион триллионный лежит на критической прямой? Этого мы не знаем — во всяком случае, не можем заключить из картинок. А какое отношение все это имеет к простым числам? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо повернуть Золотой Ключ.