Книга: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Назад: Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел
Дальше: Глава 9. Расширение области определения

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

I.
До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.
Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии. Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления. В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год революций», перипетии которого, как мы видели в главе 2, на какое-то время нарушили даже сокровенное уединение Бернхарда Римана.
В течение всего этого периода Геттинген был тихой провинциальной заводью, освещаемой главным образом присутствием Гаусса. Момент политической известности университета пришелся, как уже упоминалось, на 1837 год, когда была уволена «геттингенская семерка». Главным результатом этого стала потеря университетом части своего престижа. Великим центром математических исследований оставался Париж, но при этом быстро набирал силу Берлин. В Париже Коши и Фурье произвели пересмотр анализа, заложив основы современного подхода к пределам, непрерывности и дифференциальному и интегральному исчислению. В Берлине новых успехов добились Дирихле в арифметике, Якоби в алгебре, Штайнер в геометрии и Эйзенштейн в анализе. Любой, кто в 1840-х годах желал серьезно заниматься математикой, должен был находиться в Париже или Берлине. Вот почему молодой Бернхард Риман, которому весной 1847 года исполнилось 20 лет, не удовлетворенный уровнем обучения в Геттингене и всеми силами жаждавший заниматься серьезной математикой, отправился в Берлин. Он учился там два года, в течение которых огромное влияние на него оказал Лежен Дирихле — человек, который поднял Золотой Ключ в 1837 году. Дирихле испытывал личную привязанность к застенчивому, задавленному бедностью молодому Риману, выказывая к нему отношение, на которое Риман, выражаясь словами Генриха Вебера, «отвечал почтительной благодарностью».
Вернувшись в Геттинген после пасхальных каникул 1849 года, Риман принялся за свою диссертацию под руководством самого Гаусса. Ясно, что он рассчитывал стать преподавателем в университете. Однако путь к этой цели был неблизкий. Чтобы преподавать в Геттингене, необходимо было не только защитить диссертацию, но и получить еще более высокую квалификацию, так называемую Habilitation — вторую степень, для которой требовалось подготовить текст диссертации и прочитать пробную лекцию. Все вместе — и первая диссертация, и вторая — заняло у Римана более пяти лет — с двадцати двух и почти до двадцати восьми. В течение этих лет ему вообще ничего не платили.
С самого начала вместе с математикой Риман записался на ряд курсов по физике и философии. Эти предметы были обязательными для всех, кто желал преподавать в гимназии, к чему в основном и свелись бы перспективы карьеры для Римана, если бы он не сумел получить должность университетского преподавателя. Выбирая эти курсы, он, надо полагать, хотел подстраховаться. Однако он проявил глубокий интерес к обоим предметам, так что, вероятно, немалую роль при выборе сыграли и его личные склонности. Обстановка в Геттингене к этому времени улучшилась. Физик Вильгельм Вебер — один из членов «геттингенской семерки», уволенный в 1837 году, — вернулся в университет и снова стал там преподавать; в политическом климате наступила заметная оттепель. Старый друг и коллега Гаусса — они вдвоем изобрели электрический телеграф — Вебер читал курс экспериментальной физики, который посещал и Риман.

 

II.
Эти пять лет неоплачиваемой научной работы должны были даться Бернхарду Риману нелегко. Он находился вдали от дома; от Геттингена до Квикборна было 120 миль, что означало двухдневное путешествие, столь же неудобное, сколь и дорогое. Однако он все же не был в полном одиночестве: в 1850 году в университет прибыл Рихард Дедекинд. Дедекинду было 19 лет — на пять меньше, чем Риману, — и он также планировал написать диссертацию. Из биографического очерка, написанного Дедекиндом и включенного в «Собрание трудов» Римана, явствует, что он питал приязнь и симпатию к своему старшему коллеге, а также глубоко восхищался его математическими способностями; несколько труднее решить, каковы в данном случае были чувства самого Римана.
Оба они защитили свои диссертации с интервалом в несколько месяцев — Риман в декабре 1851 года, а Дедекинд на следующий год. Обоих экзаменовал Гаусс, которому к тому моменту шел восьмой десяток, что не помешало ему сохранять исключительную чуткость к редким математическим талантам. По поводу диссертации, представленной молодым Дедекиндом, еще не достигшим своей математической зрелости, Гаусс написал отзыв, который лишь едва выходил за рамки сухого официального одобрения. Но по поводу диссертации Римана он разразился — а Гаусс был человеком, который нечасто расточал похвалы, — таким пассажем: «Существенная и ценная работа, которая не просто удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к докторским диссертациям, но и намного превосходит их».
И Гаусс не ошибся. (В том, что касается математики, он вряд ли вообще когда-либо ошибался.) Докторская диссертация Римана является ключевой работой в истории теории функций комплексной переменной. Я постараюсь подробно рассказать о теории функций комплексной переменной в главе 13, а пока достаточно сказать, что это очень глубокая, мощная и прекрасная ветвь анализа. До настоящего времени практически первое, что изучается в курсе теории функций комплексной переменной, — это условия Коши-Римана, которыми определяются хорошо себя ведущие и заслуживающие дальнейшего изучения функции. Эти уравнения в их современном виде впервые появились в докторской диссертации Римана. Эта работа также содержит первые наброски теории римановых поверхностей, которая представляет собой слияние теории функций с топологией (последний предмет в те времена также был новинкой, в нем не существовало какой бы то ни было связной системы знания, а только разрозненные результаты, восходящие ко временам Эйлера). Докторская диссертация Римана была, одним словом, шедевром.
И Риман, и Дедекинд приступили ко второй ступени академического марафона, которому они себя посвятили, — второй диссертации и пробной лекции, которые требовались для занятия преподавательской должности в университете.

 

III.
Оставим на некоторое время Бернхарда Римана в его комнате в далеком Геттингене за трудами над диссертацией на право чтения лекций и перенесемся назад на год или два во времени и на тысячи миль в пространстве — в Санкт-Петербург. Много воды утекло под мостами этого города с тех пор, как мы побывали здесь в последний раз, наблюдая, как Леонард Эйлер радовался жизни и плодотворно работал, несмотря на старость и слепоту, во времена правления Екатерины Великой. Эйлер умер в 1783-м, а сама императрица — в 1796 году. Екатерине наследовал ее эксцентричный и безответственный сын Павел. Четырех с половиной лет правления Павла оказалось более чем достаточно для знати, чтобы организовать переворот, удушить Павла и посадить на трон его сына Александра.
Вскоре вся нация оказалась поглощена конфликтом с Наполеоном, а ее говорящая по-французски аристократия — блеском светской жизни, как это описано Толстым в «Войне и мире». После войны Александр на какое-то время увлекся «управляемым самодержавием», затем последовал провал восстания группировки, боровшейся за либеральные идеи и известной под именем декабристов, и в 1825 году трон перешел к Николаю I, склонному к более старомодному абсолютизму.
Однако подтверждение и возобновление принципов абсолютизма не могло предотвратить грандиозных социальных перемен, наиболее достопамятная из которых — первый великий расцвет русской литературы (Пушкин, Лермонтов и Гоголь). Университет в Санкт-Петербурге, в то время отделенный от академии, разросся и процветал; кроме того, были основаны новые университеты в Москве, Харькове и Казани. Казанский университет мог похвастаться присутствием великого математика Николая Лобачевского, который занимал должность ректора до своего увольнения в 1846 году. Лобачевский был создателем неэвклидовой геометрии, о которой довольно скоро нам будет что сказать.
В 1849-1850 годах, через 25 лет после воцарения Николая I, интеллектуальная жизнь в России подверглась еще одному всплеску репрессий, вызванному реакцией Николая на европейские революции 1848 года. Число принимавшихся в университеты было сокращено, а учившиеся за границей россияне получили указание вернуться. В такой обстановке молодой преподаватель Санкт-Петербургского университета выпустил две замечательные статьи о ТРПЧ.
Первое, что необходимо сказать о Пафнутии Львовиче Чебышеве, это что его фамилия — кошмар для всякого, кто занимается поиском по базам данных. В своих изысканиях для данной книги я насчитал 32 различных варианта написания его фамилии: Cebysev, Cebyshev, Chebichev, Chebycheff, Chebychev и т.д., и т.д.
А если вы обратили внимание и на необычное имя Пафнутий, то вы не одиноки. Примерно в 1971 году на него обратил внимание математик Филип Дж. Дэвис. Дэвис решил исследовать происхождение имени Пафнутий и написал о своих изысканиях исключительно забавную книгу «Нить» (1983). Если очень коротко, то имя Пафнутий имеет коптское происхождение (Papnute — «Божий человек») и проникло в Европу через коптское христианство; такое имя носил один из второстепенных Отцов Церкви в IV столетии. Присутствовавший на Никейском соборе епископ Пафнутий (Paphnutius, как обычно пишется его имя) высказывался против целибата духовенства. К более позднему времени относится вскользь упоминаемый Дэвисом преподобный Пафнутий Боровский, сын знатного татарина; в возрасте 20 лет он удалился в монастырь, где и оставался до своей смерти в 94-летнем возрасте (1478). Вот что говорит агиограф этого Пафнутия: «Он был девственник и аскет и в силу этого великий чудотворец и пророк». (Примерно посередине моей работы над этой главой я получил электронное письмо от читательницы моей веб-колонки с просьбой предложить имя для ее новой собаки. Так что теперь некий Пафнутий гоняет белок где-то на Среднем Западе.)
Наш с вами Пафнутий был также в некотором роде чудотворцем. Он удостоился чести добиться единственных реальных успехов на пути к доказательству ТРПЧ в период между тем, как Дирихле поднял Золотой Ключ в 1837 году, и тем, как Риман повернул его в 1859-м. Занятно, что наиболее оригинальная работа Чебышева оказалась в стороне от основного направления исследований по ТРПЧ и послужила образованию менее значительного бокового течения, которое развивалось само по себе и слилось с главным потоком лишь 100 лет спустя.
Чебышев на самом деле написал две статьи по ТРПЧ. Первая, датируемая 1849 годом, озаглавлена «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»; стоит отметить схожесть с заглавием статьи Римана, написанной 10 лет спустя. В этой работе Чебышев взял Золотой Ключ Эйлера, поиграл с ним немного, примерно как Дирихле за 12 лет до того, и пришел к следующему интересному результату.
Первый результат Чебышева.
Если π(N) ~ CN/ln N для некоторого фиксированного числа C, то C должно быть равным 1.
Вся проблема, конечно, лежала в этом «если». Чебышев не смог преодолеть эту проблему, как, впрочем, в течение полувека не смог и никто другой.
Вторая статья Чебышева, датируемая 1850 годом, значительно более любопытна. Вместо использования Золотого Ключа она начинается с формулы, доказанной шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в 1730 году и выражающей приближенные значения факториальной функции для больших чисел. (Факториал числа N равен 1×2×3×4×…×N. Факториал числа 5, например, равен 120: 1×2×3×4×5 = 120. Обычно для факториала числа N используется обозначение N!. Формула Стирлинга утверждает, что для больших значений N его факториал примерно равен ). Чебышев превратил ее в другую формулу, содержащую ступенчатую функцию — функцию, которая имеет одно значение на некотором интервале аргументов, а затем прыгает к другому значению.
Вооруженный только этими средствами и используя ряд вполне элементарных приемов из дифференциального и интегрального исчисления, Чебышев получил два важных результата. Первый состоит в доказательстве «постулата Бертрана», выдвинутого в 1845 году французским математиком Жозефом Бертраном. Постулат гласит, что между любым числом и его удвоением (например, между 42 и 84) всегда найдется простое число. Второй результат Чебышева таков.
Второй результат Чебышева.
π(N) не может отличаться от N/ln N более чем примерно на 10% в большую или меньшую сторону.
Вторая статья Чебышева важна в двух отношениях. Прежде всего, использование в ней ступенчатой функции могло вдохновить Римана на использование подобной же функции в его работе 1859 года (об этом будет подробно рассказано ниже). Не подлежит сомнению, что Риман знал о работе Чебышева; имя российского математика появляется в записках Римана (где оно пишется как «Tschebyschev»).
Но большего внимания заслуживает сама идея подхода, развитого Чебышевым во второй статье. Он получил свои результаты без использования теории функций комплексной переменной. У математиков есть короткий способ для выражения этого факта: они говорят, что методы Чебышева «элементарны». Риман в своей работе 1859 года не использовал элементарные методы. Для решения исследуемой им проблемы он привлек всю мощь теории функций комплексной переменной. Полученные результаты оказались столь замечательными, что другие математики последовали его примеру, и в конце концов ТРПЧ была доказана с использованием неэлементарных методов Римана.
Вопрос о том, можно ли доказать ТРПЧ элементарными методами, оставался открытым, но по прошествии нескольких десятилетий общее мнение утвердилось в том, что это невозможно. Так, в тексте Алберта Ингэма 1932 года «Распределение простых чисел» автор сообщает в подстрочном примечании: «Доказательство теоремы о распределении простых чисел „в терминах вещественных переменных“, т.е. доказательство, не вовлекающее, будь то явным или неявным образом, понятие аналитической функции комплексной переменной, никогда не было обнаружено, и теперь понятно, почему так и должно быть».
Ко всеобщему изумлению, такое доказательство было обнаружено в 1949 году Атле Сельбергом — норвежским математиком, работавшим в Институте высших исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. История получения этого результата неоднозначна, поскольку Сельберг предварительно сообщил о своих, еще неокончательных, идеях эксцентричному венгерскому математику Паулю Эрдешу, который использовал их и получил свое собственное доказательство одновременно с Сельбергом. После смерти Эрдеша в 1996 году были написаны две его популярные биографии, и любознательный читатель может найти полный отчет об этой запуганной истории в любой из них. Доказательство называется «доказательством Эрдеша-Сельберга» в Венгрии и «доказательством Сельберга» за ее пределами.
В дополнение к своим исследованиям Чебышев был замечательным научным руководителем, умевшим увлечь своими темами. Его ученики несли идеи и методы учителя в другие российские университеты, повсюду пробуждая интерес и поднимая уровень преподавания. Сохраняя активность и на восьмом десятке лет, Чебышев был также оригинальным изобретателем, сконструировавшим несколько арифмометров, которые сохранились до нашего времени в музеях Москвы и Парижа. В его честь назван лунный кратер, расположенный около 135°W 30°S.

 

IV.
Я не могу расстаться с Чебышевым, не упомянув, по крайней мере мимоходом, о его знаменитом отклонении — знаменитом, я хочу сказать, среди специалистов по теории чисел.
Если разделить простое число (отличное от 2) на 4, то остаток должен быть или 1, или 3. Демонстрируют ли простые числа какое-нибудь отклонение? Да: в пределах до p = 101 имеются 12 простых, которые дают остаток 1, и 13 тех, что дают остаток 3. В пределах до p = 1009 счет равен 81 к 87. В пределах до p = 10 007 счет равен 609 к 620. Ясно видно, что остаток 3 встречается не намного, но все же отчетливо чаще, чем остаток 1. Это дает пример чебышевского отклонения, первое замечание Чебышева о котором относится к 1853 году. Отклонение, которое таким образом выказывают остатки, в конце концов нарушается при p = 26 861, когда простые, дающие остаток 1, на короткое время вырывают первенство. Однако это не более чем единовременное отклонение: настоящая первая зона, где происходит нарушение, составлена из 11 простых чисел от p = 616 877 до p = 617 011. Простые с остатком 1 удерживают лидерство только для 1939 из первых 5,8 миллиона простых (предел, до которого я дошел в своих проверках). Они ни разу не вырываются вперед среди последних 4 988 472 из этих простых чисел.
Что касается делителя 3, то для него отклонение выражено даже еще радикальнее. Здесь остаток (для чисел, больших p = 3) может быть или 1, или 2, и имеющееся отклонение — в пользу 2. Оно ни разу не нарушается до p = 608 981 813 029. Вот это вам отклонение! Нарушение выявили в 1978 году Картер Бейс и Ричард Хадсон. Нам еще представится случай упомянуть чебышевское отклонение в главе 14.

 

V.
Осенью 1852 года — первого года работы над своей диссертацией на право чтения лекций — Риман снова встретил Дирихле. Весь эпизод достаточно трогателен, и я приведу отрывок из биографии, написанной Дедекиндом:
Во время осенних каникул 1852 года Лежен Дирихле ненадолго останавливался в Геттингене. Риман, только что вернувшийся из Квикборна, имел счастливую возможность видеться с ним практически ежедневно. И в первый день, когда он приходил к Дирихле, и на следующий день <…> Риман спрашивал у Дирихле, который считался величайшим из живущих тогда математиков после Гаусса, советов касательно своей работы. Риман так писал своему отцу об их встрече: «Давеча утром Дирихле провел со мной около двух часов. Он дал мне несколько советов относительно моей диссертации на право чтения лекций; замечания его настолько обстоятельны, что моя работа существенно облегчилась. Иначе мне пришлось бы проводить много времени в библиотеке, выискивая кое-какие из этих вещей. Мы вместе с ним просмотрели мою диссертацию, и он был в целом очень ко мне расположен, чего я не вполне ожидал, учитывая огромную разницу в нашем положении. Надеюсь, что он не забудет обо мне в будущем». Несколько дней спустя <…> большая группа сотрудников отправилась на совместную экскурсию — путешествие очень ценное в том отношении, что по прошествии некоторого времени, проведенного в компании, сдержанность Римана заметно уменьшилась. На следующий день Дирихле и Риман снова встретились в доме Вебера. Импульс, который Риман вынес из этого общения, принес ему массу пользы. И тем не менее отцу об этом он пишет так: «Как видишь, я тут оказался не вполне домоседом; однако же на следующее утро я работал еще напряженнее и сделал так много, как если бы я просидел над своими книгами целый день».
Последнее замечание показывает, сколь высокие требования Риман предъявлял к себе, а также говорит о его сильнейшем чувстве долга и твердой решимости оправдать каждую минуту времени, проводимого в Геттингене, в своих глазах, в глазах отца (который, как-никак, обеспечивал его существование) и в глазах Бога.
Процедура получения второй ученой степени состояла в том, что Риману надо было сначала представить написанную диссертацию, а затем подготовить пробную лекцию, которую следовало прочитать перед всем профессорским составом. Сама по себе диссертация — она называлась «О представимости функции тригонометрическим рядом» — является краеугольной работой, в которой миру был представлен интеграл Римана, изучаемый теперь как фундаментальное понятие в институтских курсах дифференциального и интегрального исчисления. И однако, лекция Римана намного превзошла текст диссертации.
Предполагалось, что Риман подготовит для лекции три темы, из которых Гаусс, как его руководитель, выберет одну, на которую лекция и будет прочитана. Три предложения Римана касались двух вопросов по математической физике и одного по геометрии. Гаусс выбрал лекцию, озаглавленную «О гипотезах, лежащих в основами геометрии», и Риман прочитал ее собравшимся профессорам 10 июня 1854 года.
Это одна из десяти лучших математических работ, представленных вообще когда бы то ни было, поистине сенсационное достижение. Ее прочтение, как утверждает Ханс Фрейденталь в «Словаре научных биографий», было «одним из озарений в истории математики». Идеи, содержащиеся там, были настолько передовыми что прошло несколько десятилетий до их полного принятия и 60 лет до того момента, как они нашли свое приложение в физике, в качестве математического аппарата общей теории относительности Эйнштейна. Джеймс Р. Ньюмэн в книге «Мир математики» отзывается об этой работе как об «эпохальной» и «непреходящей» (забыв, правда, включить ее в свою обширную антологию классических математических текстов). При этом потрясает еще и то, что работа практически не содержит математических обозначений. Пролистывая ее, я обнаружил пять знаков равенства, три знака квадратного корня и четыре знака ∑, что в среднем составляет менее одного символа на страницу! Имеется всего одна настоящая формула. Все это было написано с целью быть понятым — или, возможно (см. ниже), непонятым обыкновенным профессором в провинциальном университете средней руки.
Отправной точкой для Римана стал ряд идей, высказанных Гауссом в статье 1827 года, озаглавленной «Общее исследование искривленных поверхностей». В предшествовавшие тому несколько лет Гаусса привлекали к работе по подробной топографической съемке Баварского королевства (в ходе этой работы, между прочим, он изобрел гелиотроп — устройство для наблюдений на больших расстояниях за счет отражения вспышек солнечного света от системы зеркал). Колоссальный ум Гаусса вычленил из материала, с которым он работал, некоторые соображения о свойствах двумерных поверхностей и о том, как эти свойства можно было бы описать математически. Статья Гаусса широко рассматривается в качестве работы, положившей начало новой дисциплине — дифференциальной геометрии.
Риман в своей лекции развил эти идеи и обобщил их на пространства любого числа измерений. Что еще более важно, он привнес совершенно новый взгляд на весь предмет. Гаусс воспринимал его в терминах искривленных двумерных листов, вложенных в обычное трехмерное пространство, из которого их можно разглядывать, — что было естественным обобщением его опыта работы в качестве топографа. Риман переместил точку зрения таким образом, что она стала внутренней по отношению к рассматриваемому пространству.
Я полагаю, вы знакомы с идеей, содержащейся в общей теории относительности Эйнштейна, о том, что с тремя пространственными измерениями и одним временным можно математически обращаться как с четырехмерным пространством-временем и что этот четырехмерный континуум изогнут и искорежен за счет присутствия массы и энергии. С точки зрения Гаусса геометрию этого пространства-времени надо было бы развивать, представляя себе, что оно вложено в пятимерный континуум, подобно тому как Гаусс рассматривал двумерные поверхности вложенными в обычное трехмерное пространство. Тем, что современные физики так не думают, мы обязаны Риману. На самом деле, если вы отправитесь в ближайший университет и запишетесь там на курс по общей теории относительности, то названия тем, которые вы будете проходить (по порядку), могут оказаться такими:
• метрический тензор;
• тензор Римана;
• тензор Риччи;
• тензор Эйнштейна;
• тензор энергии-импульса;
• уравнение Эйнштейна G = 8πT.
Охватив это, вы овладеете основами общей теории относительности.
Хотя цель данной книги состоит в описании открытий Римана в арифметике и великой Гипотезы, которая берет в них свое начало, нельзя сказать, что эти геометрические исследования не имеют никакого отношения к делу. Общий склад ума Римана, а также все его лучшие математические работы родились из напряжений, возникавших между соображениями двух противоположных свойств. С одной стороны, он был великим глобалистом, всегда склонным воспринимать вещи в полном объеме. Для Римана функция не представляет собой просто множество точек; еще менее она передается каким бы то ни было изобразительным способом типа графика или таблицы и еще менее — набором выражений, содержащих алгебраические формулы. (В одном из немногих засвидетельствованных отрицательных отзывов о ком бы то ни было Риман отмечает, что берлинский математик Готхольд Эйзенштейн «остановился на уровне формального вычисления».) Но что же тогда такое функция? Это объект, который без нарушения правил нельзя лишить ни одного из его атрибутов. Риман воспринимал функцию способом, каким, говорят, шахматные гроссмейстеры воспринимают шахматную партию — всю целиком, как единое целое, Gestalt.
Однако в напряженных отношениях с этой тенденцией была противоположная ей, причем также ясно прослеживающаяся в работах Римана тенденция сводить всякий математический предмет к анализу. «Риман <…> всегда мыслил в аналитических терминах», — говорит Лаугвитц. Писатель имеет в виду анализ в его бесконечно-малом аспекте: пределы, непрерывность, гладкость; локальные свойства чисел, функций и пространств. Если задуматься об этом, то должно показаться довольно странным, что исследование бесконечно малых окрестностей точек и чисел может снабдить нас знанием о глобальных свойствах функций и пространств. Это становится особенно явным в общей теории относительности, где начинают с изучения микроскопических областей пространства-времени, а приходят к осознанию формы Вселенной и рассмотрению предсмертной агонии галактик. Тем, что нам удается рассуждать столь необычным способом и в чистой, и в прикладной математике, мы обязаны главным образом математикам начала XIX века, и более всего — Бернхарду Риману.
Великая лекция Римана была в действительности документом философским в той же мере, что и математическим. В этом смысле много раз отмечавшаяся туманность многих ее мест могла быть сознательным выбором Римана. (Впрочем, см. замечание Фрейденталя ниже.) То, о чем он говорил, касалось природы пространства на самом фундаментальном уровне. А для среднего, довольного собой стареющего профессора того времени — вроде тех людей, что заседали в числе геттингенских слушателей лекции Римана в тот июньский день, — природа пространства была делом решенным. Она была открыта за 70 лет до этого Иммануилом Кантом в его «Критике чистого разума». Пространство представляет собой предсуществующую часть нашего рассудка, посредством которого мы организуем чувственные восприятия, и оно с необходимостью эвклидово, другими словами, плоское — такое, в котором прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, а сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Неэвклидова геометрия, описанная Лобачевским в 1830-х годах, с этой точки зрения воспринималась как философская ересь. Работа Римана была куда большей ересью; в этом могла состоять причина, по которой он представил свои мысли на уровне столь большой общности, что их связь с неэвклидовой геометрией должна была ускользнуть от всех, кроме наиболее математически подкованных людей в сидевшей перед ним аудитории. (Но, конечно, не от Гаусса. Гаусс на самом деле еще ранее сам изобрел неэвклидову геометрию, но не опубликовал своих результатов из опасений, как он писал, «что болваны поднимут шум и гам». В XIX столетии немцы относились к своей философии весьма серьезно.)
В статье из уже упоминавшегося «Словаря научных биографий» Ханс Фрейденталь говорит о философских способностях Римана следующее.
Один из глубочайших и наиболее одаренных воображением умов среди математиков всех времен, он испытывал сильную тягу к философии и на самом деле был великим философом. Если бы он жил и творил дольше, философы признали бы за ним членство в своем цехе.
Я недостаточно подготовлен для того, чтобы судить об истинности этого высказывания. Однако с чем я могу согласиться от всего сердца, так это с другим замечанием Фрейденталя: «Стиль Римана, на который повлияла философская литература, демонстрирует худшие черты немецкого синтаксиса; этот стиль должен представляться шифром всякому, кто не постиг немецкий язык во всей его глубине». Сознаюсь, что хотя у меня есть экземпляр собрания трудов Римана в немецком оригинале — а это один том в 690 страниц — и хотя я приложил все старания, чтобы разобраться в его словах там, где он отклоняется от непосредственно математического изложения, как, например, в своей знаменитой лекции, мое знакомство с его великими мыслями главным образом основано на переводах и вторичных источниках.

 

VI.
Дедекинд получил вторую степень вскоре после Римана, и оба математика начали преподавание в осенне-зимнем семестре 1854 года; Риману исполнилось 28, а Дедекинду 23. Впервые в жизни Риман получал жалованье. Однако вряд ли это было серьезное жалованье. Преподавателям обычно платили посещавшие их лекции студенты (формально университет переводил плату за обучение от студентов к преподавателям). В то время в Геттингене было немного студентов, изучавших математику, — первая лекция Римана собрала их в количестве восьми — и лекции нередко отменялись из-за того, что не было записавшихся. По-видимому, Риман и Дедекинд ходили на лекции друг друга, хотя мне и не удалось установить, платили ли они друг другу за обучение.
Следующая проблема состояла в том, что Риман, по-видимому, не был хорошим лектором. Дедекинд откровенно высказывается по этому поводу:
Нет никаких сомнений, что в течение первых лет его академической карьеры чтение лекций было сопряжено для Римана со значительными трудностями. Его блестящий интеллект и прозорливость обычно не были заметны. Что было заметно, — так это значительные скачки в логике изложения — скачки, которые нелегко давались более слабым умам. Если его просили дать разъяснения по поводу пропущенной связи вещей, то он приходил в волнение и не мог приспособиться к более медленному ходу мыслей вопрошающего. <…> Его попытки судить о том, не слишком ли быстро он продвигается, по реакции своих слушателей, также сбивали его всякий раз, когда, вопреки его ожиданиям, слушатели давали ему понять, что следует остановиться на доказательстве какого-то момента, который ему самому представлялся совершенно понятным.
Дедекинд, отзывающийся о герое своих записей с неизменной симпатией, далее утверждает, что с годами риманова манера чтения лекций улучшилась. Не исключено, что это правда, но сохранившиеся письма студентов Римана показывают, что даже в 1861 году «его мысли часто подводили его, и он был не в состоянии объяснить простейшие вещи». Отношение к этой проблеме самого Римана было, как всегда, достаточно трогательным. После своей первой лекции, состоявшейся 5 октября 1854 года, он пишет отцу: «Надеюсь, что через полгода мне будет легче с моими лекциями и мысль о них не будет отравлять моего пребывания в Квикборне и нашего с тобой общения, как это случилось в прошлый раз». Он был безнадежно застенчивым человеком.

 

VII.
Самым крупным событием того осенне-зимнего семестра стала смерть Гаусса 23 февраля 1855 года, в возрасте 77 лет. Он находился в добром здравии до самого конца и умер внезапно, от сердечного приступа, сидя в своем любимом кресле в дорогой его сердцу обсерватории.
Профессорскую должность Гаусса сразу же предложили Дирихле, который принял приглашение и уже через несколько недель прибыл в Геттинген. С учетом того, сколь великодушно Дирихле отнесся к нему в Берлине, а также тесного общения между ними в 1852 году во время приезда Дирихле в Геттинген, Риман должен был воспринять это с воодушевлением. А мозг Гаусса, кстати, был забальзамирован и оставлен на хранение на факультете физиологии Геттингенского университета, где находится и поныне.
Дирихле также был воодушевлен; в Берлине ему приходилось слишком много работать. Насчет воодушевления его жены полной уверенности нет. Привыкнув к берлинскому высшему обществу, Ребекка Дирихле, урожденная Мендельсон, должна была счесть Геттинген тоскливым и провинциальным. Она изо всех сил старалась скрасить свое пребывание там, устраивая балы — Дедекинд упоминает, что на одном из них присутствовало от 60 до 70 человек, — и вечера музыки в берлинском стиле. Сам Дедекинд, будучи человеком и светским, и музыкальным, расцвел в таком окружении. С Риманом, конечно, все обстояло наоборот, и если его другу хотя бы иногда удавалось затащить его на одно из таких мероприятий, то бедному Риману, должно быть, приходилось в муках терпеть, пока оно не закончится.
Куда большую муку он пережил в октябре того же 1855 года, когда умер его отец, а вскоре после того и младшая сестра Клара. Это положило конец лелеемой им связи с Квикборном. Брат Римана занимал должность почтового служащего в Бремене, и три оставшихся сестры Римана, не имея других средств к существованию и даже жилья (после того как должность викария в Квикборне занял новый пастор), переехали жить к брату.
Несчастный Риман должен был быть совершенно опустошен. Он набросился на работу и в 1857 году написал основополагающую статью о теории функций, упоминавшуюся в главе 1, — статью, принесшую ему известность. Но напряженная работа в соединении с горем повлекла за собой нервный срыв. У Дедекиндов был летний домик в горах Гарц в нескольких милях к западу от Геттингена. Дедекинд смог уговорить Римана провести там несколько недель; он сам ненадолго приезжал туда и ходил с Риманом на прогулки.
В ноябре, после возвращения Римана в Геттинген, его назначили доцентом в университете со скромным жалованьем в 300 талеров в год. Но беда не приходит одна. Его брат Вильгельм в тот же месяц скончался в Бремене, а затем, в начале следующего года, умерла его сестра Мария. Семья, которую Риман боготворил и в которой сосредотачивалась вся его эмоциональная жизнь, исчезала у него на глазах. Он перевез двух оставшихся сестер к себе в Геттинген.
Летом 1858 года во время лекции в Швейцарии у Дирихле случился сердечный приступ, и в Геттинген его перевезли с немалым трудом. Пока он лежал тяжелобольным, его жена скоропостижно умерла от удара. Дирихле воссоединился с ней в мае следующего года. (Его мозг составил компанию мозгу Гаусса на факультете физиологии.) Должность Гаусса теперь освободилась.

 

VIII.
От смерти Гаусса до смерти Дирихле прошло четыре года, два месяца и двенадцать дней. За этот отрезок времени Риман потерял не только двух коллег, которых он ценил более всех других математиков, но и отца, брата, двух сестер и жилище викария в Квикборне — то единственное место на земле, которое было ему домом и прибежищем с самого детства.
В то самое время, как эмоциональная жизнь Римана омрачалась одним ударом за другим, его звезда на математическом небосклоне восходила. К концу 1850-х годов блеск и оригинальность его работ стали известны математикам почти по всей Европе. Болезненно застенчивый молодой студент, лишь за десять лет до того приехавший в университет, чтобы начать работу над своей диссертацией, теперь стал заметным математиком, и о Геттингенском университете, который в начале 1850-х годов слыл прежде всего университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана. (Но не Дедекинда, которому еще предстояло создать свои лучшие работы. Дедекинд, кстати, уехал из Геттингена, получив должность в Цюрихе, осенью 1858 года.)
Не слишком неожиданным поэтому был выбор руководства университета в пользу Римана как второго преемника Гаусса. 30 июля 1859 года он получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование, и — видимо, как признание за ним необходимости содержания двух оставшихся в живых сестер — апартаменты Гаусса в обсерватории. Скоро последовали и другие знаки отличия. Первый — 11 августа, когда он был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Риман вернулся в Берлин спустя немногим более 10 лет после того, как уехал оттуда, но вернулся со скромной коллекцией венков на своем челе и был встречен с почетом теми, чьи имена составляли славу немецкой математики: Куммером, Кронеккером, Вейерштрассом, Борхардом.
Венцом триумфа Римана стало представление им на суд академии своей работы «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ее первой фразе он благодарит двух людей, к этому моменту уже покойных, помощь которых (хотя и предоставившаяся намного более охотно со стороны Дирихле, чем со стороны Гаусса) позволила ему покорить высоты. Во второй фразе он демонстрирует Золотой Ключ. В третьей присваивает имя дзета-функции. Первые три предложения работы Римана 1859 года в действительности таковы:
За внимание, которое Академия выказала в мой адрес, приняв меня в качестве одного из своих членов-корреспондентов, более всего, как мне представляется, я мог бы высказать благодарность, незамедлительно воспользовавшись таким образом полученными мною привилегиями представить сообщение об исследовании частоты появления простых чисел; несмотря на длительный интерес к этому предмету со стороны и Гаусса, и Дирихле, сообщение по этому поводу представляется не лишенным некоторого интереса.
В качестве отправной точки моего исследования я исхожу из наблюдения Эйлера о выражении произведения
где p — все простые, a n — все целые числа. Функцию комплексной переменной s, которая задается каждым из этих выражений, коль скоро они сходятся, я обозначу как ζ(s).
Гипотеза Римана, появляющаяся на четвертой странице той работы, утверждает некий факт о дзета-функции. Чтобы продвинуться в понимании Гипотезы, нам предстоит теперь более серьезно углубиться в устройство дзета-функции.
Назад: Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел
Дальше: Глава 9. Расширение области определения