18. Зависимая случайность

В этой главе

• Зависимые события.

• Вытягивание карт и зависимость.

• Вычислительно-зависимая вероятность.

• Практические примеры.

Зависимые события

В 1889 году Фусадзиро Ямаути основал компанию по выпуску популярных в Японии игральных карт «Ханафуда». В середине XX века эта компания заключила сделку с компанией Disney на производство карточных колод с изображением культовых персонажей диснеевских мультфильмов, которая оказалась очень успешной. Затем она вышла на рынок игрушек, а в начале 1970-х годов — на рынок видеоигр (получив права на продажу одной из первых в мире игровых приставок, Magnavox Odyssey, на территории Японии). В дальнейшем эта компания занялась созданием собственных видеоигр и игровых приставок, которые главным образом приносят ей известность и сегодня: речь идет о компании Nintendo. Если бы не игральные карты, возможно, современная индустрия видеоигр выглядела бы совершенно иначе и была бы гораздо скромнее размерами!

В предыдущей главе мы говорили о независимых событиях, при наступлении которых результат одного события не оказывает никакого влияния на последу­ющие события. В качестве типичного и хорошо известного примера независимого события мы рассматривали бросание кубика.

В этой главе поговорим о зависимых событиях, в случае наступления которых известный результат одного события определенным образом сказывается на вероятности последующих событий.

Типичным примером зависимого события является вытягивание карты из перетасованной колоды карт: от того, какая карта будет вытянута, зависит то, какие карты в ней останутся. Например, если после вытягивания десятки червей из стандартной колоды из 52 карт нужно будет определить вероятность того, что следующая карта тоже будет относиться к червовой масти, то первое событие скажется на вероятности второго, уменьшив количество содержащихся в колоде червовых карт. Вытягивание каждой следующей карты с выяснением того, какая она, изменяет пространство возможностей, а значит, и вероятность вытягивания еще не вытянутых карт.

Вытягивание карт и зависимость

Если, имея колоду из шести карт с номерами от 1 до 6, вы тасуете ее, достаете одну карту, а затем возвращаете ее в колоду и снова тасуете, это эквивалентно выбрасыванию 1d6. Каждая попытка является независимым событием, поскольку колода содержит неизменное количество карт и тасуется между попытками. Таким образом, одно из условий зависимости при вытягивании карт состоит в том, что доставать их следует, не возвращая в колоду.

Важную роль играет и тот факт, что мы смотрим, какую карту вытянули. Если мы не посмотрим, какая карта была вытянута, то не получим никакой дополнительной информации и, с нашей точки зрения, вероятность вытягивания остальных карт не изменится.

На первый взгляд это противоречит логике. Просто перевернув карту, мы магическим образом меняем вероятность? Объяснение состоит в том, что вероятность чего-то неизвестного можно рассчитать только на основе чего-то известного. Например, если, перетасовав покерную колоду из 52 карт, мы вытянем из нее одну карту, то вероятность того, что она окажется трефовой дамой, составит 1/52, поскольку с равной вероятностью может быть вытянута любая из содержащихся в колоде карт. Если же, перетасовав эту колоду, мы вытянем из нее 51 карту, не выясняя, что это за карты, то вероятность того, что последняя карта окажется трефовой дамой, по-прежнему будет равна 1/52, потому что не будет никакой дополнительной информации, на которую мы могли бы опереться. Но если мы будем смотреть, какие карты вытягиваем, и среди 51 вытянутой карты не будет трефовой дамы, то вероятность того, что ею окажется оставшаяся последняя карта, составит 100 %. Каждая вытянутая карта в таком случае дает дополнительную информацию.

Прежде чем двигаться дальше, следует отметить, что, хотя в качестве типичного примера в этой главе будет использоваться вытягивание карт из перетасованной колоды, в играх существует и много других форм зависимой вероятности (подобно тому как существует много таких вещей, как спиннеры и волчки, которые, никак внешне на напоминая кубики, ведут себя точно так же). Так, во многих настольных играх применяется механизм вытаскивания карточек из мешка. Во многих играх также сначала пересовывают или как-то иначе рандомизируют карты, карточки и т.п., а затем раздают их, выкладывая на стол лицевой стороной вниз, при этом карты уже не находятся в колоде и могут быть открыты в любом порядке. Авторы пособий по теории вероятностей любят в качестве примера использовать вытаскивание из урны цветных шаров без возвращения их назад. Все это эквивалентно вытягиванию карт из перетасованной колоды. Как и в случае с выбрасыванием кубиков, мы будем предполагать, что тасование карт производится честно и абсолютно случайным образом и что колода карт не была каким-либо образом помечена, то есть любая положенная лицом вниз карта может с равной вероятностью оказаться любой из еще не открытых карт.

Вычислительно-зависимая вероятность

При наступлении зависимых событий следует использовать те же принципы расчета вероятностей, что и в случае независимых событий, то есть нужно подсчитать количество способов достижения успеха и разделить его на общий размер пространства возможностей. Однако в данном случае дело обстоит чуть сложнее, поскольку вероятности изменяются при каждом открытии карты. На практике это означает, что при выполнении нескольких попыток вы должны перемножать несколько разных значений вместо того, чтобы несколько раз умножать одно и то же значение само на себя. Нам потребуется просто объединить все то, что мы делали в предыдущей главе.

Вытягивание двух карт

Начнем с простого примера. Игрок перетасовывает стандартную колоду из 52 карт и вытягивает из нее две карты. Какова вероятность того, что он вытянет пару (две карты одного ранга)? Определить это можно несколькими способами, но проще всего начать с вопроса о том, какова вероятность того, что первая карта сделает вытягивание пары невозможным, то есть вероятность этого события будет равна нулю? Ответ состоит в том, что в данном случае совершенно неважно, какой будет первая карта, важно лишь, чтобы вторая была картой того же ранга. Вне зависимости от того, какой будет первая карта, всегда существует ненулевая вероятность того, что вторая карта будет того же ранга. Таким образом, при вытягивании первой карты вероятность неудачи равна 0, а вероятность успеха — 1 (при условии, что игрок удачно вытянет и вторую карту).

Теперь возникает следующий вопрос: какова вероятность того, что вторая карта будет картой того же ранга? После вытягивания первой карты в колоде осталась 51 карта, то есть размер пространства возможностей равен 51. Обычно колода содержит по четыре карты каждого ранга, поэтому, помимо вытянутой нами первой карты, в ней остаются три карты того же ранга (а значит, количество способов достижения успеха равно 3). Следовательно, вероятность того, что вторая карта будет картой того же ранга, составляет 3/51 = 1/17.

Если, играя в такую разновидность покера, как Texas Hold’Em (техасский холдем), игрок заявляет, что, помимо первых двух карт, ему удалось собрать еще одну пару, то очень высока вероятность того, что он блефует.

Вытягивание двух карт с неравномерным распределением

Что, если в предыдущем примере мы добавим в колоду двух джокеров, в результате получив колоду из 54 карт? Если первой картой окажется джокер, то для получения пары нужно будет вытянуть второго джокера, то есть в таком случае в колоде остается только одна, а не три подходящие карты. Чтобы решить эту задачу, можно разбить вероятности на два сценария, перемножить друг на друга отдельные вероятности (получив вероятность вытягивания первой карты и соответствующей второй карты) и, наконец, сложить вероятности непересекающихся сценариев (получив вероятность вытягивания пары джокеров или пары других карт).

Первая карта может быть либо джокером (с вероятностью 2/54, поскольку в колоде только два джокера), либо какой-то другой (с вероятностью 52/54). Если первая карта — джокер, то вероятность вытягивания соответствующей второй карты составляет 1/53, так как в колоде из 53 карт остается только еще один джокер. Умножив эту вероятность на вероятность того, что первая карта будет джокером (2/54), получим вероятность 1/1431, что меньше 0,01 %.

Если первая карта не джокер, то вероятность вытягивания соответствующей второй карты составляет 3/53, поскольку в колоде из 53 карт остаются три карты того же ранга. Умножив эту вероятность на вероятность того, что первая карта не будет джокером (52/54), получим вероятность 78/1431, что чуть больше, чем 5,5 %, и меньше, чем вероятность получения пары в колоде из 52 карт, равная 1/17, так как здесь имеется дополнительная вероятность неудачи в том случае, когда, не вытянув джокер в качестве первой карты, игрок достает его в качестве второй карты.

Поскольку эти два результата (1/1431 и 78/1431) не пересекаются друг с другом и нужно определить вероятность получения либо первого, либо второго, мы можем сложить эти вероятности. Таким образом, вероятность получения пары в данном случае будет 79/1431, что все равно составляет ~5,5 %.

Чтобы проверить правильность полученного ответа, можно рассчитать вероятность всех остальных результатов, когда джокер вытянут в качестве первой карты (1/54), но не вытянут в качестве второй (52/53) или не вытянут в качестве первой карты (52/54), но вытянут в качестве второй (2/53), а затем сложить вероятности всех возможных результатов. Сумма всех вероятностей должна быть равна 1, поскольку всегда получается какой-то результат — пара джокеров, пара других карт или две непарные карты.

Перестановки и комбинации

В случае зависимой вероятности часто возникают проблемы с определением всех способов выбора конкретного набора элементов из более крупного набора. Допустим, вы захотели узнать вероятность вытягивания четырех карт одного достоинства (каре) при игре в покер. Когда порядок элементов не имеет значения, как в покере, можно использовать специальный оператор выбора элементов, называемый сочетанием, который подсчитывает число способов выбора некоторого количества элементов из большего их количества. При выборе k элементов из n элементов этот оператор определяется следующим образом:

.

Например, количество способов вытягивания пяти карт из стандартной колоды из 52 карт представляет собой число сочетаний из 52 по 5 и составляет:

.

Таким образом, в покере существует чуть меньше 2,6 млн уникальных рук.

Оператор сочетания предполагает, что порядок элементов не имеет значения. Именно так и обстоит дело, например, при вытягивании пикового флеш-рояля: совершенно неважно, вытянете ли вы пиковый туз первым, последним или где-нибудь в середине. Однако иногда порядок элементов имеет значение: например, когда нужно подсчитать количество способов размещения участников на первом, втором и третьем местах в автомобильной гонке с восемью участниками. При выборе k элементов из n, где каждый вариант упорядоченного расположения считается отдельной комбинацией (или перестановкой), используется следующая формула:

.

Таким образом, количество уникальных способов размещения участников на первом, втором и третьем местах в гонке с восемью участниками составляет:

.

А количество возможных способов упорядоченного расположения всех восьми участников составляет 8!/(8 – 8)! = 8! = 40 320. В описанных случаях предполагается, что все выбираемые случайным образом элементы уникальны. Участник гонки не может одновременно занять и первое, и второе места, равно как в покере невозможно одновременно вытянуть двух пиковых тузов.

Однако иногда в наборе элементов могут быть дубликаты. Например, если необходимо узнать, сколько в покере существует способов получения фулл-хауса (комбинации из трех карт одного достоинства и одной пары), то в этом случае важен только ранг вытягиваемых карт, но не их масть. Это означает, что мы можем достать из колоды четыре туза, четыре короля и т.д. и при этом все карты одного достоинства эквивалентны друг другу. В таком случае нужно дополнительно подсчитать количество возможных способов выбора двух или трех карт одного достоинства из четырех имеющихся в колоде. Количество способов получения фулл-хауса равно:

.

Откуда взялись эти цифры? Один из 13 рангов здесь используется для получения трех карт одного достоинства, а один из оставшихся 12 рангов — для получения пары. Заметьте, что здесь речь не идет о количестве сочетаний из 13 по 2, потому что в данном случае важен порядок элементов: например, комбинация из трех королей и двух тузов отличается от комбинации из трех тузов и двух королей. Для получения трех карт одного достоинства нужно выбрать три карты из имеющихся в колоде четырех карт одного достоинства, то есть найти количество сочетаний из 4 по 3. Для получения пары следует выбрать две карты из четырех, то есть найти количество сочетаний из 4 по 2. Чтобы определить вероятность получения фулл-хауса, необходимо разделить 3744 на общее количество вариантов руки из пяти карт, равное 2 598 960. В результате это дает 0,001 44, то есть чуть больше 0,1 %. Так что вероятность получения фулл-хауса в розданной вам руке без вытягивания дополнительных карт или использования «диких» карт очень и очень низка!

Подсчет вариантов перетасовки

На турнирах по игре Magic: the Gathering игроку нужно вытянуть в качестве приемлемой исходной руки три карты базовых земель и четыре неземельные карты, а затем в течение следующих пяти ходов — исключительно карты базовых земель. В колоде каждого игрока содержатся 60 карт, 20 из которых — это карты базовых земель. С какой вероятностью игрок может получить такой результат? Чтобы выяснить это, необходимо подсчитать количество вариантов перетасовки колоды с соблюдением необходимых условий и разделить его на общее количество вариантов перетасовки.

Сначала количественно оценим условия, которые нужно обеспечить.

• Первые семь карт должны включать в себя три земельные и четыре неземельные карты, расположенные в произвольном порядке. Имеем: (число сочетаний из 7 по 4) = 7!/(4!3!) = 35 различных способов упорядочения этих карт.

• Следующие пять карт должны быть земельными. Существует только один способ получения этого результата.

• Оставшиеся 48 карт включают в себя оставшиеся 12 земельных и 36 незе­мельных карт, расположенных в произвольном порядке. Имеем: (число сочетаний из 48 по 36) = 48!/(36!12!) = 69 668 534 468 способов упорядочения этих карт.

• Теперь нужно перемножить эти числа, поскольку мы должны обеспечить оба условия. В итоге это дает 2 438 398 706 380, или около 2,4 трлн, вариантов перетасовки колоды с соблюдением необходимых условий. Как видите, существует чрезвычайно много способов получения «потока земель»!

А сколько всего существует вариантов перетасовки колоды? В принципе, 60! вариантов перетасовки колоды из 60 карт, но это в том случае, когда все карты уникальные. Как можно было заметить из приведенных ранее расчетов, в данном случае многие варианты перетасовки эквивалентны друг другу, поскольку в контексте задачи все земельные карты идентичны (то же самое можно сказать о неземельных картах). Количество способов упорядочения 20 земельных карт составляет 20!, а 40 неземельных карт — 40!. Таким образом, мы должны разделить 60! на 20! и 40!, чтобы устранить идентичные варианты перетасовки. (На это можно взглянуть и по-другому: из 60 карт у нас должно быть 20 земельных, то есть нужно определить число сочетаний из 60 по 20. Точно так же можно сказать, что из 60 карт должно быть 40 неземельных, и, значит, мы должны определить число сочетаний из 60 по 40, что дает тот же результат.) В итоге это дает 4 191 844 505 805 495, или около 4 квадриллионов вариантов. Разделив количество способов получения исключительно земельных карт в течение первых пяти ходов на общее количество вариантов перетасовки, получим вероятность 0,000 581 7, что чуть меньше, чем 6 на каждые 10 000 игр. Это означает, что, к счастью, такая ситуация случается довольно редко.

Допустим, нас интересует не только то, является ли карта земельной или неземельной, но и то, что колода из 60 карт включает в себя десять карт «Лес», десять карт «Болото» и по четыре карты каждого из десяти видов неземельных карт. Сколько существует различных вариантов перетасовки в таком случае? Здесь опять же нужно определить общее количество вариантов перетасовки 60 карт (60!) и разделить его на количество идентичных вариантов (существует по 10! способов упорядочения карт «Лес» и карт «Болото» и по 4! способа упорядочения каждого вида неземельных карт). Это в итоге дает очень большое число. Как вы уже могли заметить, при подсчете количества вариантов перетасовки колоды результаты, как правило, очень быстро становятся чрезвычайно большими:

.

Допустим, вам также нужно узнать вероятность того, что вы вытянете как минимум по одной карте каждого из двух конкретных видов неземельных карт в течение первых десяти ходов. В таком случае было бы проще использовать отрицание и подсчитать количество способов вытягивания карт без получения карт первого вида и количество способов вытягивания карт без получения карт второго вида. Однако проблема в том, что эти два события не являются независимыми (то есть они могут происходить одновременно) и, если мы сложим их друг с другом, будут дважды подсчитаны те случаи, когда игроку не удается вытянуть карты ни первого, ни второго вида. Чтобы решить эту проблему, можем дополнительно подсчитать количество способов вытягивания карт без получения карт обоих видов и вычесть его из общей суммы с тем, чтобы оно учитывалось только один раз.

Количество способов вытягивания карт без получения карт первого вида в течение первых десяти ходов составляет (число сочетаний из 56 по 10), поскольку здесь мы выбираем 10 из 56 карт, не являющихся картами первого вида. Затем следует умножить результат на 10! (общее количество способов упорядочения десяти карт, взятых сверху колоды) и 50! (общее количество способов упорядочения остальных карт) и, как и раньше, разделить его на 10!10!(4!10), чтобы исключить двойной подсчет идентичных вариантов. В итоге это дает 4,761E54 — чуть больше половины от 9,966E54 вариантов перетасовки.

Количество способов вытягивания карт без получения карт второго вида в течение первых десяти ходов является таким же. Если мы сложим эти две ситуации, полученный результат будет превышать общее количество вариантов перетасовки, давая в итоге отрицательную вероятность, но, как мы помним, это можно исправить, исключив двойной подсчет количества способов вытягивания первых десяти карт без получения карт обоих рассматриваемых видов.

Чтобы определить количество способов вытягивания первых десяти карт без получения карт первого или второго вида, нужно определить число сочетаний из 52 по 10, поскольку здесь мы выбираем десять карт из тех 52, которые не являются картами первого или второго вида, а затем опять же умножить результат на 10! и 50! и разделить его на 10!10!(4!10). В итоге это дает 2,091E54.

Сложив количество способов вытягивания карт без получения карт первого вида с количеством способов вытягивания без получения карт второго вида и вычтя количество способов вытягивания без получения карт обоих видов, получим 7,322E54 вариантов. Разделив это число на общее количество вариантов перетасовки (9,966E54), получим 0,735. То есть вероятность того, что игроку не удастся вытянуть ни карты первого, ни карты второго вида, составляет 0,735. Применив отрицание, найдем, что вероятность получения хотя бы одной карты этих двух видов составляет 1 – 0,735 = 0,265. Это значит, что, если колода предполагает введение в игру определенной комбинации в течение первых десяти ходов, вам потребуется вытягивать дополнительные карты или использовать иную стратегию, чтобы обеспечить достаточную долю побед.

Важные практические примеры: Проблема Монти Холла

Это подводит нас к популярной статистической задаче, получившей широкую известность благодаря своей способности приводить людей в замешательство. Свое название эта задача получила в честь Монти Холла, первого ведущего классического игрового телешоу «Давайте заключим сделку». В этом шоу ведущий выступал в роли соперника, пытающегося обмануть участников и выставить их дураками перед широкой телевизионной аудиторией.

Шоу включало в себя много различных мини-игр, но в основу проблемы Монти Холла легла игра, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей, называемых просто «дверь № 1», «дверь № 2» и «дверь № 3».

Участник игры мог открыть любую выбранную им дверь, не неся при этом никаких затрат. Ведущий сообщал ему, что за одной из трех дверей скрывается умопомрачительный приз, например новый автомобиль, а за двумя другими дверями призов нет. (Поскольку цель, по-видимому, состояла в том, чтобы проигравший участник выглядел как можно нелепее, вместо нового автомобиля за этими дверями скрывалась совершенно нелепая и ненужная вещь вроде козы, огромного тюбика зубной пасты и т.п.)

Участник игры выбирал одну из дверей. Монти Холл готовился к тому, чтобы открыть ее, но перед тем, как это сделать, открывал одну из не выбранных участником дверей, чтобы показать, что за ней нет автомобиля. Поскольку ведущий знал, где скрывается автомобиль, и тот был только один, он всегда мог открыть как минимум одну дверь, не скрывающую за собой приза. После этого участнику игры предоставлялась возможность изменить свой выбор. Если, например, игрок выбирал дверь № 3 и ведущий показывал, что за дверью № 1 скрывается коза, игрок мог либо оставить свой выбор неизменным, либо вместо двери № 3 выбрать дверь № 2, поменяв одно неизвестное на другое. Именно здесь в игру вступает вероятность: увеличивает или снижает шансы на успех изменение игроком своего выбора или, возможно, это никак не влияет на вероятность выигрыша?

На первый взгляд совершенно нелогичный (но правильный) ответ состоит в том, что изменение выбора ведет к увеличению вероятности выигрыша. Чем же это объясняется? Тем, что, открывая дверь, ведущий каким-то образом изменяет шансы игрока на успех? Как вы помните, в рассмотренных ранее примерах с открытием доставаемых из колоды карт именно раскрытие информации, а не вытягивание карт из колоды вело к изменению вероятностей. Так что да, раскрытие информации здесь действительно изменяет шансы игрока на успех.

При первоначальном выборе вероятность успеха, что очевидно, равна 1/3, поскольку вы можете выбрать три двери и новый автомобиль скрывается только за одной из них. Открытие двери, не скрывающей за собой приза, не сказывается на вероятности того, что правильным является первоначальный выбор, — она остается равной 1/3. Значит, вероятность того, что правилен выбор другой двери (что теперь оказывается единственным альтернативным вариантом), должна быть равна 2/3. Если вы хотите убедиться в этом самостоятельно, смоделируйте с помощью метода Монте-Карло случаи, когда игрок каждый раз меняет свой выбор и когда не меняет его, а затем посмотрите, насколько часто игрок выигрывает в каждом из случаев при выполнении нескольких тысяч попыток.

На эту задачу можно взглянуть и по-другому. Сначала вы выбираете дверь, которая дает вероятность выигрыша 1/3. Затем Монти Холл предлагает вам обменять этот вариант на сразу две другие двери (одна из которых со 100%-ной вероятностью не скрывает за собой автомобиль).

Конечно, в таком случае будет лучше изменить свой выбор.

Существует и еще один способ решения этой задачи: как делалось в предыдущей главе, мы можем выяснить, какие результаты здесь возможны, и определить вероятность каждого из них. Допустим, что новая машина находится за дверью № 3 и вы случайным образом выбираете одну из дверей.

• Игрок изначально выбирает дверь № 1 с вероятностью выигрыша 1/3. Если он остановится на этом варианте, то проиграет. Если изменит свой выбор, то выиграет.

• Игрок изначально выбирает дверь № 2 с вероятностью выигрыша 1/3. Если он остановится на этом варианте, то проиграет. Если изменит свой выбор, то выиграет.

• Игрок изначально выбирает дверь № 3 с вероятностью выигрыша 1/3. Если он остановится на этом варианте, то выиграет. Если изменит свой выбор, то проиграет.

• Вероятность выигрыша с изменением выбора: 1/3 (при выборе двери № 1) + 1/3 (при выборе двери № 2) = 2/3.

• Вероятность выигрыша без изменения выбора: 1/3 (при выборе двери № 3) = 1/3.

Вы можете подсчитать вероятность каждого результата самостоятельно, используя следующую схему всех возможных сценариев (рис. 18.1).

Рис. 18.1

Проблема Монти Холла в ее реальном виде

На практике эта игра выглядела немного иначе, потому что, в отличие от большинства участников игры, Монти Холл умел рассчитывать условные вероятности и знал решение этой проблемы. Если бы он всегда предлагал участникам изменить свой выбор, то многие из них могли бы узнать, что оптимальная стратегия сводится к тому, чтобы всегда изменять свое решение, а это сделало бы игру неинтересной.

На самом деле Монти Холл немного модифицировал правила своей игры. Если участник выбирал дверь, за которой скрывался новый автомобиль (это могло случиться с вероятностью 1/3, так что было нередким явлением), Монти всегда предлагал игроку изменить свой выбор, поскольку игрок, обменявший новую машину на козу, в итоге выглядел полным дураком. Но если участник изначально выбирал дверь, за которой не было приза, Монти предлагал изменить выбор только в половине случаев, в остальных случаях он просто вручал участнику выбранную им козу и выпроваживал его со сцены. Давайте проанализируем модифицированную версию игры, в которой Монти Холл не всегда предлагал участникам изменить свой выбор, делая это во всех тех случаях, когда участник выбирал автомобиль, но только в половине остальных случаев. Какова вероятность выигрыша с изменением и без изменения первоначального выбора?

В данном случае имеется три равновероятных сценария. В 1/3 случаев участник правильно выбирает дверь с призом, при этом он проигрывает, если изменяет свой выбор, и выигрывает, если не делает этого. После этого остается 2/3 случаев, в половине из которых (то есть с вероятностью 2/3 × 1/2 = 1/3) участник сразу проигрывает, даже не имея возможности изменить свой выбор. В оставшейся 1/3 случаев (половине от 2/3) участник изначально выбирает неверную дверь и получает возможность изменить свой выбор, при этом он выигрывает, если делает это, и проигрывает, если не делает.

Какой будет вероятность выигрыша, если участник игры всегда станет изменять свой выбор?

• В 1/3 случаев он сразу же проигрывает (делает неправильный выбор и не получает возможности его изменить).

• В 1/3 случаев он выигрывает (изначально выбирает неправильную дверь, но затем изменяет свой выбор).

• В 1/3 случаев он проигрывает (изначально выбирает правильную дверь, но затем изменяет свой выбор).

• Общая вероятность выигрыша с изменением выбора составляет 1/3.

А если участник игры решит не изменять свой выбор?

• В 1/3 случаев он сразу же проигрывает (делает неправильный выбор и не получает возможности его изменить).

• В 1/3 случаев он проигрывает (изначально выбирает неправильную дверь и не изменяет своего выбора).

• В 1/3 случаев он выигрывает (изначально выбирает правильную дверь и не изменяет своего выбора).

• Общая вероятность выигрыша без изменения выбора тоже составляет 1/3.

Таким образом, в данной версии игры общая вероятность выигрыша составляет 1/3 вне зависимости от того, какой стратегии решит придерживаться участник. Это гораздо меньше, чем вероятность выигрыша 2/3, получаемая в том случае, когда игрок всегда имеет и использует возможность изменения выбора, и не меньше, чем вероятность выигрыша 1/3, получаемая, если игрок никогда не изменяет своего выбора. Таким образом, с точки зрения Монти Холла, эта стратегия была идеальным способом снижения количества выигрывающих участников.

Еще одним интересным моментом в данной версии игры является вопрос о том, какова вероятность выигрыша, когда игроку предоставляется возможность изменить свой выбор. Здесь мы должны отнять вероятность немедленного проигрыша, которая составляет 1/3, после чего остаются только два варианта, как в случае вытягивания и открытия одной карты в колоде из трех карт. Оба варианта равновероятны, и если игроку удается дойти до этой точки, вероятность его выигрыша возрастает до 1/2. При желании вы опять же можете подсчитать вероятность каждого результата вручную, используя для этого следующую схему (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Существует ли в этой игре какая-либо иная стратегия, позволяющая Монти еще больше снизить вероятность выигрыша участника? Что, если он будет предлагать участникам изменить свой выбор лишь в 1/4 случаев, в 2/5 случаев или в какой-либо иной части случаев? Давайте допустим, что при правильном первоначальном выборе Монти будет предоставлять возможность изменения выбора с вероятностью R, а при неправильном — с вероятностью W.

• В 1/3 случаев игрок делает правильный выбор. Он может выиграть с вероятностью 1/3R, если не изменит своего выбора, и проиграть с вероятностью 1/3R, если изменит. Кроме того, он может сразу же выиграть с вероятностью 1/3(1 – R), если при правильном первоначальном выборе ему даже не предложат его изменить.

• В 2/3 случаев игрок делает неправильный выбор. Он может выиграть с вероятностью 2/3W, если изменит свой выбор, и проиграть с вероятностью 2/3W, если не изменит. Он также может сразу же проиграть с вероятностью 2/3(1 – W), если при неправильном первоначальном выборе ему даже не предложат его изменить.

• Общая вероятность выигрыша без изменения выбора составляет 1/3R + + 1/3(1 – R) = 1/3, что вполне логично, поскольку выиграть без изменения выбора можно, только сделав правильный выбор изначально, вероятность чего составляет 1/3.

• Общая вероятность выигрыша с изменением выбора (при наличии такой возможности) составляет 2/3W + 1/3(1 – R). В зависимости от величины вероятностей W и R это может равняться любому значению в диапазоне от 0 (при W = 0 и R = 1, что соответствует случаю, когда возможность изменения выбора предоставляется только участникам, сделавшим правильный первоначальный выбор) до 1 (при W = 1 и R = 0).

• Когда один из двух подходов — с изменением выбора или без него — обеспечивает более высокую вероятность выигрыша, у игрока появляется возможность применения этой оптимальной стратегии. Поскольку вероятность выигрыша без переключения по умолчанию равна 1/3, для получения минимальной вероятности выигрыша Монти должен проследить за тем, чтобы выражение 2/3W + 1/3(1 – R) не было больше 1/3. Поскольку участнику игры всегда предоставляется возможность сделать первоначальный выбор и оставить его неизменным, вероятность выигрыша здесь не может быть ниже 1/3.

Игра становится наиболее интересной, когда вероятность выигрыша с изменением выбора оказывается равной вероятности выигрыша без изменения выбора (1/3), потому что в таком случае у участника игры нет какой-либо оптимальной стратегии. (Существует много значений R и W, при которых вероятность выигрыша с изменением выбора будет равна 1/3, включая исходный сценарий с R = 1 и W = 1/2.) Когда и с изменением выбора, и без него вероятность выигрыша равна 1/3, основную роль в игре начинает играть не математика, а психология. Предлагает ли Монти изменить выбор, так как думает, что участник игры — простофиля, который не знает, что изменение выбора является правильным решением с математической точки зрения, и будет упорно цепляться за первоначальный вариант по той причине, что лучше, изначально выбрав козу, с ней и остаться, чем, изначально выбрав машину, обменять ее на козу? Или же Монти думает, что участник игры достаточно сообразителен для того, чтобы изменить свой выбор, и предоставляет ему возможность сделать это, поскольку первоначальный выбор был сделан правильно и он надеется, что игрок откажется от него, купившись на эту приманку? А может, Монти, подталкивает участника игры к выбору правильного варианта из самых добрых побуждений, так как уже в течение нескольких передач никто не выигрывал машину и он хочет немного взбудоражить публику, чтобы никто не думал, что игра ведется нечестно? Участник игры должен попытаться прочитать выражение лица Монти Холла и определить, что скрывается за предложением изменить первоначальный выбор — добрые или злые побуждения. Несмотря на всю простоту, игра приобретает определенную психологическую глубину как для Монти, так и для игрока.

Кстати, той же особенностью во многом объясняется и популярность покера. Большинство форматов этой игры предполагает постепенное открытие карт в промежутках между раундами назначения ставок. Как и в случае, когда Монти Холл предлагает игроку изменить первоначальный выбор, в покере все игроки обладают некоторой исходной вероятностью выигрыша, которая впоследствии изменяется в промежутках между раундами назначения ставок по мере того, как раскрывается все большее количество карт. (При этом, исходя из имеющейся у них информации ограниченного доступа, игроки могут расходиться во мнениях относительно того, кто из них имеет преимущество с математической точки зрения.)

Парадокс ложноположительных результатов

Если проблема Монти Холла стала известной главным образом благодаря телешоу, а также тому, что это один из тех каверзных вопросов, которые показывают, насколько нелогично порой выглядит решение задач на определение вероятности и как легко здесь можно ошибиться, даже если задача простая, то с другой известной проблемой, парадоксом ложноположительных результатов, можно столкнуться во многих повседневных ситуациях.

Свое название этот парадокс получил в честь одной из тех областей, в которых он проявляется, а именно области медицинских тестов. Когда пациента проверяют на наличие определенной болезни, результат теста может говорить о ее наличии или отсутствии при реальном наличии или отсутствии. В идеале результат теста должен соответствовать действительности. Если при наличии или отсутствии болезни у пациента тест правильно выдает положительный или отрицательный результат, то это истинно положительный или истинно отрицательный результат. Однако, поскольку ни один тест не идеален, не исключена вероятность того, что для некоторых пациентов его результат окажется неверным. Если тест выдает положительный результат при отсутствии болезни, то это ложноположительный результат, если же выдает отрицательный результат при наличии болезни, то это ложноотрицательный результат. Таким образом, медицинский тест может выдавать четыре различных результата: истинно положительный, ложноположительный, истинно отрицательный и ложноотрицательный.

Нужно решить следующую задачу.

• Два процента населения страдает от серьезной болезни. То есть это довольно редкая болезнь, но все же не настолько, чтобы тестирование на ее наличие было излишним. К счастью, выявить ее можно с помощью довольно точного медицинского теста.

• Чувствительность теста составляет 100 %, то есть при наличии болезни он правильно ее выявляет в 100 % случаев. Значит, вероятность получения ложноотрицательного результата равна нулю.

• Специфичность теста составляет 95 %, то есть при отсутствии болезни он правильно выдает отрицательный результат в 95 % случаев, но в оставшихся 5 % случаев выдает ложноположительный результат.

• Допустим, ваш лучший друг прошел тестирование и тест выдал положительный результат. Какова вероятность того, что он действительно заболел этой болезнью (или вероятность того, что тест выдал ложноположительный результат)?

Один из возможных подходов состоит в том, чтобы выразить задачу в конкретных числах. Допустим, что при конкретной численности населения (скажем, 1000 человек) ситуация в точности соответствует данному распределению, то есть 2 % этих людей заболели и 5 % из оставшихся 98 % получили ложноположительный результат. Из 1000 человек должны быть заболевшими с истинно положительным результатом 20 человек (2 %). Из оставшихся 980 незаболевших 95 % (931 человек) должны получить истинно отрицательный результат, а 5 % (49 человек) — ложноотрицательный. Сложив вместе ложноположительные и истинно положительные результаты, получим, что общее количество людей с положительным результатом составит 69 человек, из которых только 20 действительно заболели. Таким образом, вероятность того, что ваш друг с положительным результатом теста действительно болен, составляет 20/69, или около 29 %. Вероятность реального наличия болезни будет еще ниже при более низком уровне заболеваемости или более высокой доле ложноположительных результатов. И даже при тех же значениях параметров проблема будет проявляться более остро при большей численности населения, поскольку результаты теста окажутся неверными у большего количества людей. Именно поэтому данную проблему окрестили парадоксом: даже при положительном результате теста вероятность реального наличия болезни остается довольно низкой просто в силу малой ее распространенности.

Парадокс ложноположительных результатов проявляется и во многих других областях повседневной жизни, которые не имеют отношения к медицине. Если будет достоверно установлено, что наиболее значительную долю правонарушителей составляют представители определенной расы или социального класса либо жители определенного района, то будет ли правильным со стороны полиции обращать особое внимание на эту часть населения, если общий уровень преступности довольно низок, то есть население в своем большинстве является законопослушным, и не исключена вероятность того, что стражей порядка подведут их полицейские инстинкты и они неверно причислят к вероятным преступникам законопослушных граждан? Допустим, у нас есть алгоритм, позволяющий довольно эффективно, но не абсолютно точно выявлять террористов в общей массе населения. Если исходить из предположения, что общая доля террористов среди населения еще меньше, чем доля преступников в целом, то будет ли оправданным использование этого алгоритма для тайной слежки за населением? А что насчет контроля качества и защиты потребителей? Допустим, на автосборочном конвейере производится довольно эффективная, но не абсолютно точная проверка исправности средств обеспечения безопасности. Стоит ли в таком случае отправлять на свалку все автомобили, которые не пройдут эту проверку, если большинство выходящих с конвейера машин абсолютно исправны? А что можно сказать об обязательном тестировании на наркотики получателей социального пособия (или сотрудников компаний) в том случае, когда уровень употребления наркотиков на душу населения довольно низок и тест на наркотики выдает ненулевое количество ложноположительных результатов? Все эти ситуации могут иметь далекоидущие последствия в области этики и государственной политики, но вы можете принять более информированное решение, если будете в целом понимать, как здесь рассчитывается вероятность.

Если у вас возник вопрос о том, какое отношение все эти ситуации имеют к разработке игр, то ответ заключается в следующем. При разработке игр вы должны разбираться с тем, как работают те или иные системы. Во всех перечисленных случаях — в сфере обеспечения правопорядка, медицине, сфере тестирования продуктов и государственной политике — вам тоже приходится иметь дело с системами. Если вы все еще не видите здесь никакой связи, подумайте о том, что мы могли бы взять любую из этих систем и превратить ее в игру... а затем проверить, насколько она сбалансирована! Также не исключено, что вам когда-то придется поработать в одной из этих областей, в таком случае очень пригодятся навыки разработчика игр, хорошо умеющего создавать и балансировать различные системы.

Вопросы для обсуждения

1. В этой главе мы продолжили рассмотрение довольно сложной темы вероятностей, и некоторые из представленных здесь моментов могут вызывать затруднения. При рассмотрении этого материала в учебной аудитории обсудите то, что еще остается неясным.

2. В чем состоит разница между зависимым и независимым вероятным событием?

3. Рассмотрите две системы добычи. В первой из них каждый случай получения добычи не зависит от других и с вероятностью 1 % может предоставить игроку эпический предмет. Во второй системе вероятность получения эпического предмета изначально составляет 1 % и увеличивается на 1 % при каждом его неполучении со сбросом до 1 % при получении этого предмета. Каковы различия между этими системами с точки зрения игрового опыта?

4. В каких случаях следует подсчитывать количество перестановок, а в каких — количество сочетаний?

5. Подумайте о какой-либо карточной игре, например относящейся к жанру коллекционных карточных игр. Как изменится игровой процесс в случае, если вместо вытягивания карт с изменением вероятностей карты будут вытягиваться и затем возвращаться в колоду для того, чтобы шансы на вытягивание каждой карты всегда оставались одинаковыми?

6. Приведите примеры проявления в играх парадокса ложноположительных результатов, где игроков могут уведомлять о редких событиях с некоторой долей погрешности.

7. Выберите для рассмотрения любую игру, в которой нужно бросать кубики. Допустим, что вместо кубиков вы будете использовать колоду карт. Например, вместо того, чтобы бросать 2d6, будете вытягивать карты с цифрами от 1 до 6 из колоды, содержащей 36 карт, перетасовывая ее только после вытягивания всех карт. Как это скажется на игровом процессе?

8. В покере определенную роль играют и элемент удачи при раздаче карт, и навыки игрока — умение считывать психологическое состояние противника и рассчитывать шансы на получение выигрышной комбинации, исходя из неполной информации. Какой из этих двух факторов в большей мере определяет исход игры?

9. Почему вытягивание карт из колоды изменяет вероятность последующего вытягивания карт, только когда известно, какие карты вытянуты, но не в том случае, когда это неизвестно?

10. Какие виды расчетов даются труднее, а какие — легче при определении зависимых вероятностей? Если вы изучаете этот материал вместе с другими людьми, попробуйте предложить членам вашей группы задачу на определение вероятности, с которой они не смогут справиться.

Побочные квесты

Побочный квест 18.1. Флеш в холдеме

В техасском холдеме каждый игрок получает по две «карманные» карты, которые в сумме с пятью общими картами составляют руку из семи карт. Эти карты вытягиваются из стандартной колоды из 52 карт (4 масти по 13 карт в каждой, без джокеров). Затем игроки составляют свою окончательную руку, выбрав пять лучших карт из имеющихся семи.

Флеш — это комбинация из пяти карт одной масти. При этом неважно, какого достоинства будут эти карты, — главное, чтобы они были одной масти.

Какова здесь вероятность получения флеша? То есть какова вероятность того, что из семи карт, вытянутых из колоды случайным образом, как минимум пять будут одной масти?

Побочный квест 18.2. Выполнение нескольких ходов подряд

В настольной игре The Pillars of the Earth («Столпы Земли») каждый игрок делает в каждом раунде по три хода, отражая это с помощью фишек своего цвета. В начале раунда все фишки помещаются в мешок, после чего один из игроков начинает доставать их по одной за раз. Каждый раз тот игрок, фишка которого была вынута из мешка, делает один ход. В результате очередность выполнения ходов в каждом раунде определяется случайным образом, и иногда игроки могут выполнять по несколько ходов подряд как в начале, так и в конце раунда (при этом преимущество, получаемое за счет выполнения ходов в начале раунда, компенсируется дополнительными затратами).

Допустим, играют четыре человека. Какова при этом вероятность того, что кто-то из них сделает три хода подряд в начале раунда?

Побочный квест 18.3. Две тройки и четверка с парой

Допустим, вы решили создать разновидность покера, в которой рука каждого игрока содержит не пять, как обычно, а шесть карт. Помимо комбинаций, которые существуют в стандартном покере, в этой игре появляются две новые: две тройки — два набора из трех карт одного достоинства (например, три восьмерки и три короля) и четверка с парой — четыре карты одного достоинства вместе с одной парой (например, четыре туза и две двойки).

В стандартном покере комбинации ранжируются по степени редкости с присвоением более высокого ранга более редким комбинациям. Если мы сделаем то же самое в шестикарточном покере, какая из двух новых комбинаций получит более высокий ранг? Насколько более редкой является эта комбинация по сравнению с другой?

Побочный квест 18.4. Упрощенная версия «Войны»

Детская карточная игра «Война» печально известна отсутствием каких-либо возможностей выбора у игрока и раздражающе длительным игровым процессом. Вот как может выглядеть ее переработанная версия с более коротким игровым процессом.

• Игроки: два.

• Цель: набрать как минимум три очка из пяти.

• Подготовка: игроки берут десять карт с номерами от 1 до 10, тасуют их и раздают по пять карт каждому игроку. Карты остаются лежать лицевой стороной вниз, чтобы никто из игроков не видел, что это за карты.

• Игровой процесс: каждый игрок выбирает одну из своих карт (не зная, что это за карта) и переворачивает ее лицевой стороной вверх. Игрок, открывший карту большего достоинства, выигрывает одно очко. После этого две открытые карты откладываются в сторону и больше не используются.

• Завершение игры: после открытия каждым из игроков всех пяти своих карт игра завершается и побеждает тот, кто набрал большее количество очков.

Теперь посчитайте, сколько здесь существует различных вариантов раздачи карт в начале игры. Например, один игрок может получить все карты низкого достоинства (1–2–3–4–5), а другой — все карты высокого достоинства (6–7–8–9–10). Или один может получить все нечетные карты (1–3–5–7–9), а другой — все четные карты (2–4–6–8–10). Сколько существует вариантов начальной раздачи? Будьте внимательны, чтобы не посчитать какие-либо варианты дважды!

Более объемная задача: создайте электронную таблицу, которая на основе заданного варианта начальной раздачи (двух наборов из пяти карт, а на самом деле только одного набора из пяти карт, поскольку на основе карт одного игрока можно путем исключения определить карты второго) будет рассчитывать все возможные варианты развития игрового процесса и исхода игры. Исходя из того, что каждый из возможных результатов равновероятен, можно рассчитать вероятность победы каждого игрока и таким образом определить, кто из них имеет преимущество. Поскольку выбор из пяти карт может производиться каждым игроком в любом порядке, количество возможных способов упорядочения карт у каждого игрока здесь составляет 5 × 4 × 3 × 2 × × 1 = 120. У нас два игрока, что дает 120 × 120 = 14 400 вариантов развития игрового процесса для одного варианта раздачи карт. Они включают в себя значительную долю дубликатов, как, например, в случае выбора игроками одних и тех же пар карт, только в разном порядке. Так что, если игнорировать порядок и учитывать только пары, здесь существует лишь 120 возможных результатов игры.

Задача-максимум: после того как вы сделаете все описанное ранее, реорганизуйте данные таким образом, чтобы все помещалось в одну строку. Затем продублируйте ее столько раз, сколько, согласно вашим расчетам, существует различных вариантов начальной раздачи. Либо вручную, либо с помощью формулы создайте список из всех возможных вариантов начальной раздачи таким образом, чтобы каждому варианту отводилась отдельная строка. Затем отсортируйте строки по тому столбцу, в котором вычисляется вероятность победы, и найдите строки с максимально близким к 0,5 значением, что означает равные шансы на победу у обоих игроков. Это позволит вам при желании сделать так, чтобы игровой процесс зависел только от удачи и не зависел от начальной раздачи карт, раздав карты не случайным образом, а вручную в соответствии с одной из этих строк.

Побочный квест 18.5. Возвращаемся к магии

Допустим, колода из 60 карт содержит 10 лесов, 4 лановарских эльфа и 46 других карт. Какова вероятность получения как минимум одного леса и одного лановарского эльфа в начальной руке из семи карт?

Более объемная задача: если игроку не понравится начальная рука из семи карт, он может сделать повторную попытку — перетасовать колоду и вытянуть другую начальную руку из шести карт. Если ему не понравится и эта рука, он может сделать еще одну повторную попытку, перетасовав колоду и вытянув из нее пять карт. Если ему не понравятся и эти карты, он может попытать счастья снова, вытянув 4 карты, и т.д.

Если игрок считает, что в его начальной руке обязательно должны быть карты леса и лановарских эльфов, и готов повторять попытки до тех пор, пока не получит их, какова вероятность того, что ему не удастся вытянуть эти карты, даже если он будет выполнять повторные попытки вплоть до получения руки из двух карт?

Побочный квест 18.6. Начало игры Hearthstone

В сетевой коллекционной карточной игре Hearthstone игрок, делающий первый ход, вытягивает три карты из своей колоды, содержащей 30 карт. После этого он может вытянуть любую одну или все карты повторно. Заменяемые карты возвращаются в оставшуюся колоду, колода перетасовывается, и из нее вытягивается такое же количество новых карт (при этом игрок может снова получить карту, которую только что отбросил).

Допустим, в определенной колоде 15 карт из 30 игрок будет отбрасывать из своей начальной руки, вытягивая карты повторно. Также допустим, что одна из карт дает очень большое преимущество в начале игры и колода содержит две ее копии.

Таким образом, предполагается, что игрок вытянет три карты, отбросит те, которые входят в число 15 нежелательных, и вытянет вместо них другие. Какова при этом вероятность того, что игроку удастся начать игру, располагая как минимум одной вышеупомянутой эффективной картой?

Более объемная задача: в игре Hearthstone второй игрок тоже вытягивает одну карту при выполнении первого хода. Насколько увеличится искомая вероятность, если учесть в расчетах вытягивание дополнительной случайной карты из оставшейся колоды из 27 карт после вытягивания исходного набора карт первым игроком?

Побочный квест 18.7. ИИ для «Морского боя»

«Морской бой» — это игра для двух человек, в которой они сначала втайне друг от друга размещают на квадратной координатной сетке флот из кораблей разного размера, которые могут располагаться как горизонтально, так и вертикально в любом месте игрового поля (наложение кораблей друг на друга может как запрещаться, так и разрешаться в зависимости от версии игры). После этого игроки по очереди называют координаты выстрела, противник при этом отвечает: «Ранил!» или «Попал!» — при попадании и «Мимо!» — в противном случае. В некоторых версиях противник также говорит: «Убил!» или «Потопил!» — в случае полного уничтожения корабля (при попадании во все его клетки). Цель состоит в том, чтобы первым потопить все корабли противника.

Допустим, что мы имеем дело с уменьшенной версией игры, в которой используется сетка размером 6 × 6 и три корабля: один длиной 2 клетки, один — 3 клетки и один — 4 клетки. Для простоты также допустим, что в этой версии возможно как частичное, так и полное наложение кораблей друг на друга (когда один выстрел попадает сразу в несколько кораблей, нужно по-прежнему отвечать просто «Ранил!» или «Попал!», не указывая, сколько именно кораблей подбито). Также предположим, что в этой версии не нужно говорить о полном уничтожении корабля. Сообщать что-то еще, помимо информации о попадании или промахе, нужно лишь тогда, когда противнику удается выполнить окончательное условие победы.

Рассчитайте количество возможных вариантов расположения кораблей в этой версии игры.

Более объемная задача требует определенных навыков программирования, поскольку здесь нужно выполнить довольно объемные вычисления, что вряд ли стоит делать вручную, а пространство возможностей слишком велико для того, чтобы поместиться в электронной таблице. На первый взгляд, «Морской бой» — это игра на угадывание, результат которой определяется исключительно удачей. Как можно узнать, где находятся корабли противника, если они могут быть где угодно? Соответственно, большинство игроков используют в этой игре следу­ющую стратегию: выбирают те или иные координаты случайным образом и после попадания в корабль пробуют выстрелить сверху, снизу, слева и справа от этой клетки, пока не уничтожат корабль полностью, после чего снова переходят к случайному выбору координат.

Однако здесь можно задействовать и более эффективную стратегию. Допустим, что все возможные конфигурации кораблей равновероятны. В таком случае мы можем подсчитать, в каком количестве конфигураций та или иная клетка будет занята кораблем, и, разделив это число на общее количество возможных конфигураций, получим вероятность того, что эта конкретная клетка окажется занята. Затем нужно выстрелить по клетке с самым высоким значением вероятности (а если высокой вероятностью обладают сразу несколько клеток, выбрать одну из них случайным образом). При еще не тронутом игровом поле в начале игры вероятность наличия кораблей, как правило, выше в центре игрового поля, поскольку там больше различных вариантов расположения кораблей, чем в углах или по краям игрового поля. По мере выполнения выстрелов вероятность снижается в клетках, расположенных близко по горизонтали или вертикали от мест промаха, и повышается в клетках, расположенных близко по горизонтали или вертикали от мест попадания.

Реализуйте ИИ, способный играть в «Морской бой» максимально эффективно. Проверьте его с помощью метода Монте-Карло на ряде случайно выбранных конфигураций. Какое среднее и медианное количество ходов при этом требуется для победы? Насколько оно меньше, чем в случае «глупого» ИИ, просто перебирающего клетки случайным образом, или «человекоподобного» ИИ, который выбирает клетки случайным образом до попадания в корабль, а затем проверяет клетки слева, справа, сверху и снизу от места попадания до полного уничтожения корабля?

Если вы читаете эту книгу вместе с другими людьми (например, в учебной аудитории), можете провести турнир, на котором ИИ каждого участника должен будет сыграть в серии матчей со случайной конфигурацией кораблей. Победителем станет ИИ, оказавшийся способным потопить все корабли за наименьшее количество ходов.

Задача-максимум: допустим, вы играете в «Морской бой» против собственного ИИ. Какую оптимальную конфигурацию кораблей можно использовать в этом случае, чтобы у него ушло как можно больше времени на потопление кораблей? То есть какой сценарий создает наибольшие трудности для ИИ и как его можно применить при размещении кораблей?

Если вы решили провести турнир, попросите участников создать собственные конфигурации кораблей. Пусть в каждом поединке между ИИ соперники используют те конфигурации, которые создали.

---