При счете 47–47 в последнем сете табло корта № 18 Всеанглийского клуба лаун-тенниса и крокета отказало. Шел Уимблдонский теннисный турнир 2010 года. Француз Николя Маю (прошедший в турнир через квалификационные игры) и его американский соперник Джон Изнер творили историю. На тот момент их матч уже был самым длинным в истории тенниса, но при этом еще далек от завершения. Табло отказало, потому что не было рассчитано на такие продолжительные игры. Инженеры, которые его запрограммировали, не ожидали, что электронике придется обрабатывать столько данных в таком количестве геймов. Когда экран погас, счет продолжил вести арбитр, и к моменту наступления темноты в конце второго дня игры матч остановили при счете 59–59. За ночь программисты починили табло, но предупредили: «Если они сыграют не больше двадцати пяти геймов, все в порядке. Если они будут играть дольше, табло откажет». Повезло. В двадцатом гейме третьего дня Изнер нанес потрясающий удар по линии и тем самым взял гейм на подаче Маю. Война на истощение наконец закончилась. Изнер выиграл: 6–4, 3–6, 6–7, 7–6, 70–68. Непримечательный матч первого круга превратился в удивительное событие. Двое игроков сражались на корте более одиннадцати часов, изнемогая, но не сдаваясь. Оба сделали более сотни эйсов (подач навылет). Для зрителей на корте № 18 и миллионов телезрителей этот матч оказался угрозой вечности.

Уимблдон никогда больше не увидит ничего подобного. В 2018 году, через восемь лет после эпической встречи Маю и Изнера, Всеанглийский клуб решил изменить правила. Организаторы обеспокоились соблюдением расписания и влиянием марафонских поединков на физическое состояние игроков. Они заявили, что со следующего года в пятом решающем сете при счете 12–12 игроки будут играть тай-брейк. Угроза бесконечного матча уменьшилась, но не исчезла, ведь ограничений на продолжительность тай-брейка или отдельного гейма не существует, и теннисный матч по-прежнему потенциально может длиться вечно.

То же верно и для «Монополии». Я уверен, что после нескольких часов игры вы уже задавались вопросом, завершится ли когда-нибудь партия, надеясь приземлиться в отеле в Мейфэр, лишь бы все закончилось. Угроза бесконечности есть всегда, если только вы не придерживаетесь исключительно тех игр, которые гарантированно заканчиваются после конечного числа шагов вроде крестиков-ноликов. Шахматы — еще одна конечная игра: если мы используем обязательное правило семидесяти пяти ходов, шахматная партия гарантированно закончится менее чем за 8849 ходов. Итак, если вы намереваетесь оставаться в конечном мире, что делать, если кто-нибудь предлагает сыграть в Игру деревьев? Грозит ли это вам вечностью?

Этот вопрос поставил великий странник Пал Эрдеш, рассказывая о своих путешествиях по математическому миру в конце 1950-х. Эрдеш часто говорил о молодом венгерском математике, с которым он познакомился в Будапеште, когда оба они были еще подростками. Его звали Эндре Вайсфельд, или Эндрю Важони, как он стал называть себя позже. Он поменял имя из-за дискриминации евреев в 1930-х, а затем бежал в Америку. По словам Эрдеша, Важони выдвинул гипотезу, что Игра деревьев всегда будет конечной, однако так и не доказал свое утверждение, а теперь уже умер. На самом деле Важони был жив и здоров, — по крайней мере, когда Эрдеш рассказывал свою историю. Просто на языке Эрдеша он именовался умершим, поскольку ушел из науки и устроился на хорошо оплачиваемую работу авиаинженера. Однако гипотеза оставалась недоказанной. В коридорах Принстона байки Эрдеша с интересом выслушивал один талантливый молодой студент. Его звали Джозеф Краскал.

Весной 1960 года, только что защитив докторскую диссертацию, Краскал доказал, что Игра деревьев гарантированно заканчивается после конечного числа ходов. Однако имейте в виду: хотя игра конечна, она легко может продлиться дольше жизни человека, планеты или даже галактики. Возможно, вам придется играть до смерти Вселенной и еще дольше.

Давайте играть. Идея в том, чтобы построить лес деревьев из определенного множества семян.

Вот типичное дерево.

Как видите, деревья — просто кружки, соединенные линиями. Кружки — семена, а линии — ветви. В нашем примере есть три разных типа семян: черные, белые и крестики. Правила игры таковы: когда вы строите лес, первое дерево должно иметь не более одного семени, второе — не более двух и т. д. Лес умирает, если вы строите дерево, которое содержит одно из предыдущих деревьев. У выражения «содержит одно из предыдущих деревьев» есть точное математическое значение, но, возможно, достаточно представить яблоню. Яблони могут стоять отдельно, а могут вырастать из других деревьях. Возможно, где-нибудь в лесу вы видите определенную яблоню, а затем обнаруживаете какую-то большую сосну, из ствола которой торчит точная копия этой яблони. Такая ситуация в Игре деревьев запрещена.

Чтобы дать более точное определение, сравним несколько деревьев и спросим, «содержит» ли одно из них другое. Например, рассмотрим следующие различные деревья.

Содержит ли дерево A дерево B? Ответ довольно очевиден. Конечно, дерево А содержит дерево B — это видно по верхним ветвям. А что насчет дерева С? Содержится ли и оно в дереве А? На первый взгляд кажется, что нет, но подумайте, что произойдет, если вы прикроете белое семя в центре дерева А. То, что остается, по сути является деревом С. Таким образом, в этом смысле вы можете утверждать, что дерево А действительно содержит дерево С.

Чтобы разобраться с ситуацией, нужно поближе взглянуть на свод правил. Чтобы одно дерево содержало другое, мы должны уметь сопоставлять соответствующие семена, как сделали в вышеприведенном примере, прикрыв белое семя дерева А. Но одного этого недостаточно. Соответствующие друг другу семена также должны согласовываться по своему ближайшему общему предку. Для любых двух семян на верхних ветвях дерева вы можете найти их ближайшего общего предка, прослеживая их родословную в сторону корня и обнаружив то семя, где эти две линии сходятся. Представьте, что семена — это вы и ваш двоюродный брат. Если вы пойдете по своим родословным, эти линии сойдутся у ваших общих бабушки и дедушки.

Посмотрите на черное семя и крестик на верхних ветвях дерева А и дерева С. Прослеживая родословную в обоих случаях, мы видим, что в случае дерева А их ближайший общий предок — белое семя, а в случае дерева С — черное. Таким образом, получилось расхождение. Соответственно, в этом более слабом смысле дерево А не содержит дерево С.

Проясним ситуацию еще на одном примере. Вот еще два дерева.

Содержит ли дерево D дерево E? Первое, что нужно проверить: можем ли мы привести в соответствие семена? Закрываем все семена-крестики в дереве D и видим, что можем. Теперь нам нужно задаться вопросом о предках. Обратите внимание на белое и черное семена в верхних ветвях обоих деревьев. Проследив их родословную, мы видим, что в обоих случаях ближайшим общим предком оказывается черное семя, находящееся в корне. Подходит по всем статьям. Дерево D действительно содержит дерево E.

Теперь, когда правила понятны, мы готовы играть. Возьмем вариант, когда нам разрешено пользоваться только черными семенами. Я делаю ход первым. Помните, что это первое дерево, поэтому в нем может быть максимум одно семя. Изобразим его так.

Ваш ход. И у вас сразу же неприятности. Поскольку это второе дерево в лесу, в нем может быть не больше двух семян. Существует только два возможных дерева, которые вы можете изобразить: либо еще одно дерево из одного семени, либо дерево из двух семян.

Однако очевидно, что мое дерево содержится в обоих ваших возможных деревьях. Какое бы из них вы ни посадили, лес умрет. Избежать этого невозможно, поэтому игра заканчивается после первого же хода. Если использовать только один тип семян, лес может состоять только из единственного дерева, состоящего из одного семени.

Теперь давайте поиграем, когда разрешены два различных типа семян. Игра гарантированно закончится после трех ходов.

Какое бы дерево вы ни посадили дальше, оно обязательно уничтожит лес. Я догадываюсь, что вы не слишком впечатлены. Кому захочется играть в игру, которая обязательно закончится после трех жалких ходов?

Но подождите.

Пришло время сыграть с семенами трех видов — черные, белые и крестики. Давайте попробуем сделать несколько ходов.

Дела идут хорошо — лес все еще жив. Но сколько ходов мы можем сделать? Мы знаем, что в какой-то момент игра гарантированно завершится (это доказал Краскал). Но когда именно? Через сто ходов? Через гуголплекс? Когда число ходов будет равно числу Грэма?

Гораздо позже.

В этой книге мы уже читали истории о числовых исполинах — числах непостижимых размеров. Но эти колоссы — ничто по сравнению с нашим следующим левиафаном. Число, которое обозначают TREE(3), — гигантское предельное число ходов в игре с тремя семенами. Оно входит в крайне экстравагантную последовательность TREE(n). Если вы играете в Игру деревьев с n различными семенами, то игра закончится через TREE(n) ходов. Взгляните, как неспешно она начинается.

TREE(1) = 1 (поскольку игра с одним семенем продлится всего один ход),

TREE(2) = 3 (поскольку игра с двумя семенами продлится максимум три хода),

а потом бабах!

TREE(3) — это число, достаточно огромное, чтобы поглотить и гуголплекс, и число Грэма.

Все ваши представления превратились в ничто. Вы можете перейти к еще большим числам: TREE(4) получается при игре с четырьмя семенами, TREE(5) — при игре с пятью и т. д. Однако достаточно уже TREE(3). Умопомрачительного, невообразимого и безумного.

Первоначальная гипотеза Важони и последующее доказательство Краскала сообщают нам, что Игра деревьев рано или поздно закончится, пока вы играете с конечным числом семян. Американский математик и философ Харви Фридман понял, что она может порождать заодно чрезвычайно большие числа. Талант Фридмана к логике проявился уже в очень раннем возрасте. Когда ему было всего четыре или пять лет, он нашел словарь и спросил у матери, что это. «Книга со значениями слов», — ответила мать. Через несколько дней мальчик оспорил это утверждение. Он сказал, что словари бесполезны, потому что ходят по кругу. Слово «большой» они определяют через слова «крупный», «значительный», а те — через слово «большой». Как вообще можно узнать, что на самом деле что-либо означает? Примерно через десяток лет его ранние таланты обеспечили ему место в Книге рекордов Гиннесса — как самому молодому университетскому профессору: в возрасте 18 лет он получил в Стэнфордском университете звание ассистент-профессора.

Фридман заметил, что число TREE(3) невероятно велико. Математик не мог точно определить его, но сумел показать, что оно больше — гораздо больше, — чем любое другое число, которое вы найдете в этой книге. Он дал оценку — снизу — в терминах огромных чисел, известных как числа Аккермана. Чтобы ощутить их размер, нужно вернуться к лестнице Грэма. Возможно, вы помните, что первая ступенька g₁ = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 была уже чудовищно велика, а дальше числа принимали совершенно неконтролируемый характер. Вторую ступень мы строили с помощью g₁ стрелок: g₂ = 3 ↑^g1 3, третью — с помощью g₂ стрелок: g₃ = 3 ↑^g2 3 и т. д., пока не дошли до шестьдесят четвертой ступеньки и числа Грэма. Но предположим, что вы продолжаете подниматься: на шестьдесят пятую ступеньку, когда число стрелок равно числу Грэма, на шестьдесят шестую, шестьдесят седьмую, на гуголную ступень этой лестницы. Предположим, что вы не отдыхали, пока не поднялись вот на такое количество ступеней:

В этой формуле 187 195 стрелок Кнута. Это невероятно большое число, но оно всего лишь говорит о количестве ступенек лестницы Грэма! Всего шестьдесят четыре ступени вверх по этой лестнице привели вас к числу Грэма. Можете ли вы хотя бы начать осознавать, куда вас приведут 2 ↑ ^187 195187 196 ступеней? Этот настоящий гигант похож на предложенную Фридманом оценку числа TREE(3), но не питайте иллюзий: это сильно заниженная оценка. На самом деле TREE(3) гораздо больше, этот левиафан среди левиафанов доминирует над всем, с чем мы сталкивались в нашем путешествии по большим числам.

В реальности нет интуитивно ясного способа осознать, почему TREE(3) настолько велико. Какой-то намек можно получить, взглянув на варианты игры, которые мы использовали поначалу. В игре с двумя типами семян мы были вынуждены использовать белые семена, начиная со второго круга. Однако если у нас остается всего один цвет, есть огромный риск обнаружить одно дерево внутри другого, и игре суждено быстро закончиться. А вот при игре с тремя видами семян ко второму кругу у нас остается целых два вида допустимых вариантов. Большая разница: мы можем играть с комбинациями, открывая все больше путей для новых экзотических узоров из деревьев. В конце концов мы исчерпаем все возможности, но это будет нескоро.

Подобные деревья имеют практическое значение. Они возникают всякий раз, когда происходит ветвление — от алгоритмов принятия решений в информатике до дерева жизни в эволюционной биологии. Эпидемиологи используют так называемые филогенетические деревья для анализа эволюции вирусов и антител. Их применяли также к другим эволюционирующим системам, например раковым геномам. Однако интерес Фридмана к деревьям был глубже всего этого. Он искал недоказуемую истину: то, что верно, но при этом принципиально не может быть доказано, — по крайней мере, в рамках собственного математического аппарата. Это не имеет ничего общего с отсутствием умений или таланта у математиков. Такие фундаментальные истины гарантированно останутся недоказанными всегда, даже при самых опытных юристах. Как мы увидим, Игра деревьев — игра в этом математическом суде — является игрой недоказуемых истин.

Недоказуемая истина бьет по основам математики. Математика выросла из какого-то базового набора правил и принципов. Например, на понятии последовательности — того факта, что всегда можно увеличить число на единицу, — вы можете построить идею сложения. Вам нужна только продолжающаяся последовательность, где числа снова и снова увеличиваются на единицу. Далее вы можете разработать умножение, возведение в степень, ввести понятие простых чисел и доказать все теоремы, связанные с простыми числами. Математика — это рукотворная система, которая управляет сама собой. Он создает свой фундамент, свои основные строительные блоки, а из них мы строим городки и мегаполисы математической вселенной. Эти строительные блоки называются аксиомами. Чем больше аксиом есть у вас вначале, тем богаче и сложнее будет созданная вами математическая вселенная. Это интуитивно понятно. Если у меня в распоряжении имеются только желтые кирпичи, то все здания в мегаполисе будут желтыми. Но если есть желтые и красные кирпичи, я могу создавать более интересные узоры. Естественно, я по-прежнему способен возводить желтые дома, но теперь можно также создавать здания, украшенные сложной мозаикой желтого и красного цветов. В мы рассмотрим еще один пример — границу между финитной (конечной) и трансфинитной математикой. Из финитных кирпичей вы строите финитные здания. Оказывается, чтобы вывести математику в бесконечность, вам нужен новый тип кирпича, известный как аксиома бесконечности.

Интерес к аксиомам математики впервые возник в начале XX века. Многие из ведущих математиков мира тогда начали верить в теорию всей математики. Достаточно установить полный набор аксиом, из которых будет следовать все. Имея такие аксиомы, можно доказать истинность всех истинных утверждений, по крайней мере в принципе. Можно показать, что математика полна и не имеет противоречий. Несомненно, такой вере в математику способствовало осознание ее силы и красоты. Математика покоряла Вселенную. Только еретик мог заявить, что она поломана: что она неполна.

Этим еретиком стал Курт Гедель, блестящий чешский философ и логик, которого многие считают наследником Аристотеля. В декабре 1931 года, когда мир охватила Великая депрессия, Гедель доказал существование недоказуемой истины — тот факт, что математика никогда не может оказаться полной. Какие бы аксиомы в качестве базы вы ни выбрали, всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать. Конечно, вы всегда можете расширить эту базу, добавив в нее еще одну аксиому, которая поможет вам доказать то, что вы хотите. Однако в рамках новой системы все равно существуют верные утверждения, которые не удастся доказать. Аксиомы и доказательства никогда не поспевают за истиной.

Вернемся в наш мегаполис. В нем имеются только желтые и красные кирпичи, поэтому неудивительно, что на улицах преобладают простые здания двух цветов. Эти постройки подобны доказуемым теоремам математики. При наличии достаточного количества времени и усилий городские инженеры могут рассказать вам, как их строили. Однако в каком-нибудь темном закоулке обязательно найдется странное загадочное здание. Нечто недоказуемое. Ни один инженер никогда не сможет рассказать вам, как оно было построено, — по крайней мере, из тех стройматериалов, которыми располагает город. И все же это гордое и безошибочное напоминание о гении Геделя.

Чтобы дать представление о методах, лежащих в основе доказательства Геделя, я планирую убедить вас, что все числа интересны. Предположим, что это не так: существуют неинтересные числа. Если какое-то число действительно неинтересно, вряд ли у него будет своя страница в «Википедии», поскольку писать на странице не о чем. Однако среди этих неинтересных чисел должно быть наименьшее. Для определенности предположим, что это 49 732. Ну теперь мне хочется написать страницу в «Википедии» о числе 49 732, чтобы весь мир узнал об интересном факте: вот самое маленькое неинтересное число. На самом деле число оказывается интересным, и мы пришли к противоречию. Следовательно, неинтересных чисел не существует, все они интересны.

Геделевское доказательство неполноты использует аналогичную идею, хотя оно гораздо строже. Ключом к методу Геделя был разработанный системный код — своеобразный способ математики ссылаться на саму себя. Каждая аксиома, каждое математическое утверждение, истинное или ложное, получили собственный кодовый номер. Вы можете представить, что с каждым утверждением связали определенное число — аналогично коду ASCII. Например, одно число соответствует утверждению «квадратный корень из двух — иррациональное число», а другое — утверждению «1 + 1 = 3». Тогда истинность или ложность любого математического утверждения можно связать со свойством соответствующего числа. Например, можно сказать, что четные числа соответствуют истинным утверждениям, а нечетные — ложным. Конечно, на деле все конструировалось намного сложнее, но дух был именно таким. Вооружившись строгой системой кодирования, Гедель рассмотрел следующее утверждение:

Теперь выйдем за пределы системы и предположим, что математика свободна от противоречий. Это означает, что утверждение Геделя должно быть истинным или ложным. Оно не может быть одновременно истинным и ложным. Предположим, оно ложно. Это означает, что утверждение можно вывести из аксиом. Противоречие. Следовательно, это утверждение должно быть истинным. Итак, мы нашли математически верное утверждение, которое невозможно вывести из аксиом; мы открыли недоказуемую истину, то самое загадочное здание в нашем математическом мегаполисе.

Математика никогда не может оказаться полной.

Теорема Геделя прославила ученого. Она апеллировала к духовной идеологии, к идее, что математическая вселенная никогда не оказывается достаточной. Несмотря на успех, жизнь Геделя омрачалась депрессией, а со временем у него развился параноидальный страх отравления. Он ел только продукты, проверенные и приготовленные его женой Адель. Когда в 1977 году ученый заболел и попал в больницу, он отказался есть и в итоге умер от недоедания 14 января 1978 года.

Математикам хотелось найти более интересные примеры недоказуемой истины, чем надуманный пример Геделя. У них имелся корыстный интерес. Представьте, что вы пытаетесь доказать (или опровергнуть) какую-нибудь известную математическую теорему. Это может быть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха или одна из множества других нерешенных проблем математики. Если вы достаточно молоды, доказательство принесет вам Филдсовскую медаль, так что вы работаете на износ день и ночь. Если единственными недоказуемыми истинами становятся искусственные геделевские утверждения, ваш труд имеет шансы на успех. А что, если существуют более интересные недоказуемые истины? Что, если та теорема, над которой вы работаете, верна, но недоказуема в рамках нашей математической базы? Тогда у вас нет шансов. Вы обречены на неудачу.

В 1977 году британский математик Джефф Парис и его американский коллега Лео Харрингтон показали, что самые большие страхи математиков вполне реальны. Работая с урезанной версией математики, известной как арифметика Пеано, они смогли найти истинное утверждение из теории Рамсея, которое нельзя было доказать в рамках этой конкретной системы. Иными словами, арифметика Пеано позволяет придумать теорему, сформулировать ее в явном виде, но не дает возможности доказать ее. Для доказательства требуется выйти за пределы этой арифметики в какую-то более широкую математическую структуру с большим количеством аксиом. Недоказуемая истина Париса и Харрингтона стала предупреждением для математиков всего мира.

Харви Фридман тоже искал недоказуемые истины. Он стремился проанализировать теоремы математики и понять, для каких теорем нужны те или иные аксиомы. Представьте, что вы идете по городу и видите желтое здание. Вы спрашиваете себя: что мне действительно нужно, чтобы построить этот дом? Разумеется, вам понадобятся только желтые кирпичи. Желтые и красные были бы излишеством. Именно такую логику Фридман пытался применить к математике.

Поиски Фридмана привели его к Игре деревьев и недоказуемым истинам, которые таятся внутри ее. Чтобы увидеть их, вы должны сначала сыграть в эту игру в финитном мире — мире конечной математики, математической базе, построенной исключительно из конечных кирпичиков. Конечно, в этом конкретном мире есть много доказуемых истин. Например, легко доказать, что числа TREE(1) и TREE(2) конечны. Все, что нам нужно сделать для этого, — сыграть все возможные партии и посмотреть, когда они закончатся. Точно так же мы могли бы доказать, что число TREE(3) конечно, по крайней мере в принципе. Я помню, как сообщил вам, что игра с тремя семенами может продлиться дальше смерти Вселенной, но сейчас мы занимаемся математикой, а не физикой (кощунство!). Представим будущее, которое окажется достаточно продолжительным, чтобы мы могли играть столько, сколько нам нужно. Сыграв фантастически большое, но конечное число конечных игр, мы также можем показать, что конечны числа TREE(4), TREE(5), TREE(6) и т. д.

Предположим, что мы остаемся в этом конечном мире. Можем ли мы доказать, что числа TREE(n) конечны для всех значений n? По наивности вы наверняка подумаете, что можем, — с учетом всего вышесказанного. Однако это утверждение сильнее, чем утверждение, что число TREE(n) конечно для любого конкретного значения n, например для 3, 4 или гугола. Тем не менее мы все же знаем от Краскала, что такое более сильное утверждение также истинно. Поэтому мы снова спрашиваем: можем ли мы доказать это в финитном мире — так же, как можно доказать, что числа TREE(3) или TREE(4) конечны? Ответ: нельзя. В своем доказательстве Краскал вышел в трансфинитный мир, и Фридман понял, что без этого не обойтись. Итак, вот нужная истина на вашей ладони:

Недоказуемая истина в финитном мире.

Теперь я хочу, чтобы вы снова сыграли в Игру деревьев, но на этот раз в реальном физическом мире. На этот раз законы физики начнут затрагивать вас, вашу игру и ту неожиданную Вселенную, которая вас окружает. Благодаря величине числа TREE(3) партия может продлиться очень долго, отдавая вас во власть космической перезагрузки, — причуды нашей оригинальной космологии и ее голографической истины. Но мы забегаем вперед: существует много других интересных вещей, которые могут происходить задолго до того, как вы достигнете космической перезагрузки. Посмотрим, что происходит в реальности.

Вы начинаете игру в парке в прекрасный день: золотая осень, солнечно, а тишину вокруг нарушает только песня случайного дрозда. И вы начинаете. Безмятежность разрушается скоростью вашей игры. Вы играете лихорадочно быстро — с максимальной скоростью, которую допускает физика, и каждое новое дерево появляется каждые 5 × 10^–44 секунд. Это планковское время — самое маленькое время, какое только можно вообразить. Идея более коротких промежутков времени разрушает структуру пространства и времени способами, которые мы пока не понимаем, поскольку гравитация становится жертвой квантовой механики. За двадцать четыре часа вы нарисовали триллион триллионов триллионов триллионов деревьев, но партия еще не закончилась. Помните, что она потенциально может длиться до TREE(3) ходов, а вы и близко не подошли к этому пределу.

Вы играете год — партия продолжается. Вы играете век — и партия продолжается. Я представляю, что вы вечно молоды, как Питер Пэн, не способны стареть и подчиняетесь только физике, а не биологии. Века превращаются в тысячелетия, тысячелетия — в мегагоды (миллионы лет), а игра продолжается. Через 110 млн лет вы замечаете, что Солнце светит примерно на один процент ярче, чем в начале вашей игры, а Земля становится теплее. Континенты приближаются друг к другу и наконец примерно через 300 млн лет объединяются в суперконтинент. Через 600 млн лет Солнце становится таким ярким, что разрушает геохимический цикл углерода на планете. Деревья и леса уже не могут существовать, но вы все равно продолжаете играть. По мере того как уровень кислорода падает, в атмосферу Земли начинает проникать смертоносное ультрафиолетовое излучение. В качестве меры предосторожности вы продолжаете играть в помещении. Спустя 800 млн лет Солнце уничтожает всю сложную жизнь на Земле, — разумеется, кроме вас, поскольку вы продолжаете жить несмотря ни на что. Еще через 300 млн лет, когда Солнце уже на 10 процентов ярче, чем сегодня, начинают испаряться океаны.

Вы играете дальше. Поскольку Земля становится все более непригодной для жизни, убежище предлагает Марс. Через 1,5 млрд лет обстановка там напоминает земные условия во время ледникового периода. Вы решаете перенести свою игру туда. Это мудрый шаг: спустя 4,5 млрд лет Земля с безудержно царящим парниковым эффектом становится такой же негостеприимной, как современная Венера. Примерно в то же время происходит столкновение двух галактик: галактики Андромеды и нашего Млечного Пути; при этом появляется галактическая химера — гигантская галактика Млекомеда. В межзвездном хаосе, который последует далее, судьба Солнечной системы неизвестна. Некоторые модели предполагают, что она отклонится в сторону центральной черной дыры, а потом вылетит из горла галактики как межзвездное отхаркивание. Впрочем, это не будет иметь для вас особого значения. В своем новом марсианском доме, согретом теплом яркого Солнца, вы продолжаете играть.

Еще миллиард лет — и у Солнца заканчивается водород в ядре. В результате наша звезда начинает превращаться в красного гиганта. В течение следующих 2 млрд лет Солнце увеличивается, поглощая Меркурий и Венеру, а возможно, даже Землю. Марс становится слишком горячим, и вы переносите игру на спутники Сатурна. Но тепло длится не очень долго. Примерно 8 млрд лет игры — и внешние слои гиганта улетучиваются. Солнце становится белым карликом. Масса этой слабой звездочки составляет половину нынешней, а размером она едва превышает Землю, так что не может согреть ни одну из выживших планет. Конечно, чересчур фантастично думать, что вы действительно смогли бы пережить такие эпические перемены и эпические времена, но если бы смогли, то нет гарантий, что игра закончится. Предельная величина TREE(3) слишком велика.

Через квадриллион лет Солнце перестает светить. Возможно, оно начнет одиноко бродить по космической пустоте со своими планетами на буксире. Возможно, столкнется с черной дырой. Мы не знаем. То, что в реальности произойдет в последние дни Вселенной, зависит от темной энергии — таинственной субстанции, доминирующей в той космологической эволюции, которую мы наблюдаем сегодня. Сейчас мы знаем, что темная энергия заставляет пространство расширяться все быстрее.

В мы отмечали: многие физики считают, что темная энергия связана с космическим вакуумом. Предполагается, что в квантовой Вселенной он заполнен бурлящим бульоном из виртуальных частиц, равномерно распределяющих свою энергию в пустыне между звездами и галактиками. Если это действительно источник темной энергии, то нас ждет холодное спокойное будущее — по крайней мере, в течение какого-то времени. Вселенная будет продолжать расти, расширяясь с увеличивающейся скоростью. Примерно через 10⁴⁰ лет большую часть материи, которую мы видим сегодня, проглотит армия сверхмассивных черных дыр, бродящих по Вселенной. Они насладятся захватывающей эпохой своего космического доминирования, а через гуголгод (то есть гугол лет) после нынешнего момента просто умрут. В соответствии с теорией Хокинга они испарятся, распространяя его излучение по всей пустой Вселенной.

По мере продолжения расширения Вселенной эти фотоны и субатомные частицы разлетаются все дальше. В конце концов остается только пустота пространства; однако помните, что она наполнена бурлящим бульоном темной энергии. Теперь вы в деситтеровском пространстве, мерзнущем при температуре чуть выше абсолютного нуля. Это космический эквивалент смерти во сне, без особой драмы, если не считать случайного щекотания от тепловых флуктуаций. И если бы кто-то все еще был способен играть, Игра деревьев могла бы продолжаться.

Но что, если темная энергия — это не кипящий бульон вакуума? Что, если наша судьба отличается от деситтеровского пространства? Тогда смерть Вселенной может оказаться гораздо более жестокой. Например, если темная энергия однажды исчезнет, через миллиард или более лет Вселенная, возможно, перестанет расширяться. Она может даже начать сжиматься, рушиться в себя, стискивая энергию, что в итоге приведет к апокалиптическому сжатию, которое называют Большим сжатием, или Большим хлопком. Самое пугающее в Большом сжатии — скорость стягивания. Это происходит быстро, гораздо быстрее, чем соответствующее расширение. Как вагончик американских горок, Вселенная медленно поднимается, а потом летит вниз с головокружительной скоростью.

Другой возможный вариант предполагает, что темная энергия растет. Она увеличивается, не просто ускоряя расширение, а даже ускоряя ускорение. Происходит Большой разрыв — Вселенная, разделенная на части. Когда она разрывается, пространство расширяется настолько, что планеты отрываются от своих звезд, как ребенок, которого отнимают у матери. Но на этом процессы не останавливаются. Со временем расширение космоса разрывает на части атомы, ядра и все остальное.

Что станет с Игрой деревьев, когда Вселенная вступит в фазу смерти, какой бы она ни была? В случае Большого сжатия или Большого разрыва смерть Вселенной оказывается чересчур грубой, так что игра оборвется. Однако в данный момент большинство ученых предсказывают более спокойное будущее. Все факты — от наблюдений сверхновых до измерения космического микроволнового фонового излучения — указывают, что во Вселенной господствует бурлящий квантовый вакуум, то есть нас ждет замороженное деситтеровское пространство. Если у нас такая судьба, то вы можете представить, что игра продолжается и через гуголгод — все время спокойного умирания нашей Вселенной. Личность игроков изменится за такие колоссальные промежутки времени — это неизбежно: ни один человек не сможет существовать так долго, не став жертвой тепловых и квантовых нестабильностей. Но что насчет самой игры? Может ли она продолжаться столько, сколько нам нужно? Может ли достичь предельного числа TREE(3)?

Нет.

Это спокойное умирание Вселенной не вечно. Через лет, после гуголплексгода (гуголплекса лет), Вселенная повторится. Вселенная повторится. Это время возвращения Пуанкаре — время, которое требуется, чтобы наш уголок Вселенной вернулся сколь угодно близко к тому состоянию, в котором он находится сейчас. Он возвращается в то же квантовое состояние, описывая те же звезды, планеты, людей, жаб и чуждых микробов, какими мы их видим сегодня. Нас ждет повторение, потому что мы окружены гигантской сферой огромной важности, и внутри этой сферы Вселенная может упорядочиться огромным числом способов, но число этих способов конечно: у Вселенной конечное число нарядов. Скоро я объясню, почему это происходит, но сначала вы должны представить, как Вселенная примеряет эти наряды. На разных этапах она выглядит по-разному: так, как она выглядела, когда астероид упал на полуостров Юкатан, так, как она выглядит сейчас, или так, как она будет выглядеть, когда президентом изберут Джастина Бибера. Она примерит каждый наряд во второй раз, затем в третий, четвертый и т. д., вечно возвращаясь к триумфам и провалам своего прошлого. Для нашего уголка Вселенной время возвращения невообразимо велико, но Игра деревьев продолжается значительно дольше. Даже при самом спокойном будущем наша Вселенная отвергает TREE(3). Она перезагружается снова, и снова, и снова — задолго до того, как игра достигнет своего предела.

Возвращение Пуанкаре, названное в честь французского математика Анри Пуанкаре, — свойство любой конечной системы, будь то наша Вселенная, ящик, наполненный газообразным азотом, или даже колода игральных карт. Двигаясь по системе, вы исследуете все возможные варианты, а в итоге вернетесь к тому, с чего начали. А потом двинетесь снова. Существует почти 10⁶⁸ способов перетасовать колоду из 52 карт. Когда вы впервые открываете пачку, карты аккуратно сгруппированы по мастям и разложены в порядке возрастания. Затем вы перетасовываете колоду, портя это красивое расположение и заменяя его каким-то другим. Вы снова тасуете, меняя порядок карт еще раз. Если вы будете тасовать, тасовать и тасовать колоду целый гуголгод, несомненно, вы увидите, что некоторые комбинации повторяются. Однако Пуанкаре доказал нечто более сильное. Если тасование производится действительно случайно, то в какой-то момент карты вернутся к тому упорядоченному расположению, как при их покупке. Это и есть возвращение Пуанкаре.

А что насчет ящика с азотом? Предположим, в начальный момент все молекулы втиснуты в правый верхний угол. Вы видите, как со временем они разлетаются. Они танцуют и сталкиваются, образуя огромное количество расположений и комбинаций, но в какой-то момент возвращаются. Они оказываются в верхнем правом углу, как было в самом начале. Наша Вселенная такая же. Если у нее есть только конечное число способов упорядочения, то по правилам, установленным Пуанкаре, она всегда вернется туда, где находится сейчас. Она повторится.

Я упомянул о гигантской сфере, которая вас окружает. Это артефакт нашего холодного и пустого будущего — будущего в деситтеровском пространстве, где доминирует энергия, хранящаяся в бульоне его вакуума. Из-за этого каждый из нас окружен гигантской космологической оболочкой, известной как деситтеровский горизонт. Я немного рассказывал об этом в , но полезно повторить. У вас есть свой деситтеровский горизонт, а у меня свой. Ваш горизонт — гигантская сфера радиусом около 17 млрд световых лет, в центре которой вы находитесь. Эта сфера — граница того, что вы сможете когда-либо увидеть. Например, в какой-то невообразимо далекой галактике могут жить инопланетяне, обсуждающие какую-нибудь инопланетную форму Брексита, однако вы никогда не увидите их спор, даже если будете жить вечно. Причина в том, что темная энергия раздвигает пространство между вами и ими с постоянно увеличивающейся скоростью. Естественно, от инопланетян будет отражаться свет, и часть его может даже направиться в вашу сторону, но он никогда не дойдет до вас. Пространство между вами увеличивается слишком быстро, свет от инопланетян не успевает за ним.

Я также упоминал, что деситтеровский горизонт — не то же самое, что горизонт событий черной дыры. Это не граница невозврата и не покров для убийственной сингулярности. Однако, несмотря на важные различия, в некоторых аспектах эти два горизонта очень похожи. Эту идею развили Стивен Хокинг и его бывший ученик Гэри Гиббонс. Они смогли показать, что из вашего деситтеровского горизонта исходит квантовое излучение — точно так же, как оно исходит из горизонта черной дыры. В нашем уголке Вселенной температура этого деситтеровского излучения низка, около 2 × 10^–30 кельвинов, так что его бессмысленно искать, но тем не менее оно существует. По мере того как неустанное расширение пространства разбавляет Вселенную, оно оставляет за собой эту температуру застывшей пустоты. Это похоже на ад Нифльхейма, но с минимальным прикосновением тепла, поднимающим температуру чуть выше абсолютного нуля. И вспомните: когда есть температура, есть и энтропия.

Как энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий, так и энтропия деситтеровского пространства пропорциональна площади деситтеровского горизонта. Окружающий вас деситтеровский горизонт огромен, его площадь составляет почти триллион триллионов триллионов триллионов квадратных километров. Если мы воспользуемся знаменитой формулой Хокинга, связывающей эту площадь с энтропией, мы получим более тридцати миллиардов триллионов гуголов энтропии. Это помогает найти количество микросостояний — нарядов, которые содержит гардероб вашей Вселенной. Такая большая энтропия соответствует космическому гардеробу с  разными нарядами. Хотя он велик — даже больше платяного шкафа Ким Кардашьян, — он конечен. Если вообразить, что Вселенная примеряет новый наряд каждый планковский промежуток времени, или каждую секунду, или даже каждый год, то примерно через перемен она обнаружит, что надела тот же наряд, который носит сегодня. В этом и состоит ее возвращение Пуанкаре — бестактность в моде, навязанная ей космологической оболочкой и замерзшим будущим.

Хотя такое возвращение для нашего уголка Вселенной, видимо, реально (если учесть все, что мы знаем о темной энергии), необходимое для возвращения время настолько велико, что это событие не увидит никто и никогда. Нет ни существ, ни машин, обладающих таким колоссальным долголетием и способных на такие точные измерения. Проблема в квантовой нестабильности. Предположим, у вас есть самый совершенный прибор, способный определять состояние Вселенной с поразительной точностью. Он измеряет сегодняшнюю Вселенную и записывает то, что обнаруживает. Он проводит измерение и сравнение в любой момент будущего, но, чтобы заметить повторение, ему нужно существовать в течение невероятно долгого времени. Это невозможно. Всегда будут вмешиваться квантовые нестабильности, портящие все записи. Возвращение Пуанкаре для нашей Вселенной существует, но никто не обнаружит его экспериментально. В некотором смысле это неполнота Геделя, но физическая, а не математическая: недоказуемая истина в царстве физики. То же мы можем сказать о TREE(3) и Игре деревьев. Этот предел существует в принципе, но он настолько велик, что законы нашей Вселенной никогда не позволят до него дойти.

Наше путешествие по стране больших чисел подходит к концу. Мы отважились проникнуть в микромир и макромир. Мы видели размытую реальность квантовой механики, находящуюся внутри всего сущего, добрались до края черной дыры, где время останавливается, и двигались через Вселенную, границы которой неизвестны до сих пор. Я надеюсь, вы начинаете смотреть на числа как на ворота в самую интересную физику во Вселенной: от гугола и гуголплекса — к обнаружению двойников, от числа Грэма — к опасности смерти от превращения головы в черную дыру, а от числа TREE(3) и Игры деревьев — к космической перезагрузке. Эти гигантские числа придвинули нас к пониманию последних результатов современной физики.

Возможно, вы заметили одну общую тему. На каждом шагу нам бросала вызов энтропия — путем ограничений на количество микросостояний, способных описать вас, вашу голову или всю Вселенную, которую вы когда-либо можете увидеть. И все же, несмотря на все последовавшие драмы, существует единый физический принцип, лежащий в основе всего, что мы открыли. Он ближе к современному состоянию физики и гораздо драматичнее всего, что было раньше. Я думаю, вы готовы к этому. Начнем со страшилки.

Будильник требует, чтобы вы проснулись. Не открывая глаз, вы пытаетесь дотянуться и заставить его замолчать. Почти бессознательно поднимаетесь с кровати и бредете в душ. Теплая вода течет по голове, медленно приводя вас в сознание.

А потом ужас.

Вы пойманы в стене, привязаны к двумерной тюрьме. И не только вы. Привязано все: душ, раковина, кровать, где вы спали. Внутри нарастает паника. Вы мчитесь в свою комнату, быстро одеваетесь и летите вниз по лестнице. Ощущение странное. Словно вы двигаетесь по миру, который когда-то знали — миру трех измерений, — однако теперь понимаете, что это на самом деле ложь. Вам приснился кошмар. Нужно сбежать, и вы открываете дверь наружу.

Но ужас только усиливается.

Остальной мир оказался в такой же ловушке, но, похоже, никто этого не замечает. Проезжает на велосипеде хорошо одетая женщина. Взвинченный неряшливый мужчина, похоже, опаздывает. Автобус набит увлеченно болтающими школьниками. Все они сплющены, и никто не осознает этого. Вы бросаетесь к женщине, но она быстро уносится, со страхом оглянувшись. Вы падаете на колени. Когда ужас прозрения начинает переполнять вас, испускаете первобытный крик. Вот так. Это реальность. Вы — всего лишь голограмма.

Это ваша история: физик проснулся и признал голографическую реальность Вселенной. Вот к чему ведет эта книга: к осознанию того, что гравитация и три измерения пространства — нечто вроде иллюзии. Настолько же легко вы можете представить себя в голографическом мире — запертым в границах того пространства, которое мы обычно воспринимаем.

Наверное, мне следует объяснить подробнее.

Голографические откровения начались с Бекенштейна и Хокинга. Они выяснили, что черные дыры несут энтропию — точно так же, как мы с вами, яйцо или трицератопс. Как обычно, эта энтропия подсчитывает все возможные микросостояния, которые могут описать одну и ту же черную дыру. Она также измеряет скрытую информацию. . Дыра увеличила свою массу на массу слона, однако вы не могли сказать, поглотила она слона или энциклопедию, имеющую массу слона. Это означало, что вы могли представить разные микросостояния, описывающие один и тот же макроскопический объект. Иными словами, та черная дыра должна была иметь энтропию.

Однако Бекенштейн и Хокинг пошли дальше. Они поняли, что энтропия черной дыры растет с увеличением площади ее горизонта. Вы можете считать его границей дыры. Это утверждение известно как закон площадей для черных дыр, и он противоречит нашим обыденным представлениям. Видите ли, мы с вами (как яйцо или динозавр) не соблюдаем закон площадей. Энтропия обычных вещей, таких как люди и яйца, фактически растет с увеличением объема, а не площади поверхности. Это интуитивно понятно, и мы даже можем использовать в качестве примера вашу голову. Если вы хотите увеличить объем данных в ней (точнее, если желаете, чтобы она могла сохранять больше энтропии при той же температуре), вам потребуется больше нейронов. А для этого вам понадобится мозг большего размера и большего объема, а не просто большой череп.

Но почему черные дыры ведут себя не так, как остальные объекты? Почему их энтропия растет с увеличением площади поверхности, а не объема? От черной дыры вас и яйцо отличает степень, в которой вы ощущаете сокрушительные объятия гравитации. Черные дыры обладают мощной гравитацией: та их связывает, без нее дыры не могут существовать. Когда гравитация становится настолько важной, правила хранения энтропии отличаются от тех, к которым мы привыкли, и этот фактор бросает вызов вашему представлению о реальности.

В начале 1990-х нидерландский лауреат Нобелевской премии Герард Хоофт и , начали осознавать, что на самом деле означают результаты Бекенштейна и Хокинга. Как мы уже видели, они поняли, что черные дыры находятся на вершине энтропийной пищевой цепочки, ограничивая количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства. Предел достигается, когда пространство заполнено максимально возможной черной дырой, и в соответствии с законом площадей предельная энтропия определяется площадью поверхности ее границы, а не объемом ее внутренней части. Однако их великое прозрение заключалось в следующем: если максимальная энтропия определяется площадью поверхности границы, нам нужно представлять, что вся информация хранится на этой границе. Иными словами, если я хочу описать физику внутри некоторого объема в трехмерном пространстве, я мог бы с равным успехом закодировать все на границе этого объема — на двумерной поверхности, которая его окружает.

Давайте на миг задумаемся об этом. Сасскинд и Хоофт утверждают, что вы можете найти всю информацию, которая вам когда-либо понадобится, на той поверхности, которая окружает интересующее вас пространство. Это все равно что сказать: настоящее содержимое любой посылки всегда можно найти на ее упаковке. Представьте такую посылку, доставленную к вашей входной двери, — возможно, даже самим Хоофтом. Когда вы снимаете оберточную бумагу, то обнаруживаете книгу: «Фантастические числа и где они обитают». Вы заглядываете в оглавление: почему у Грэма есть какое-то число? Что вообще такое TREE(3)? Отложив книгу, вы берете оберточную бумагу и бросаете ее в мусорную корзину. Но потом вы кое-что замечаете: эта бумага не пустая, а исписана мелкими буквами. Если вас не подводят глаза, то на ней те же слова, что и в «Фантастических числах». Вся информация из посылки хранится на ее упаковке — на границе занимаемого пространства.

Проведем другую, более точную аналогию. Представьте, что вам на Рождество подарили коробку лего, но не простого, а планковского. В ней огромное количество черных и белых кирпичиков, каждый из которых невероятно мал: размер его сторон равен планковской длине (примерно 1,6 × 10^–35). В коробке есть также набор инструкций по сборке вселенной лего. Вы начинаете собирать, и довольно быстро у вас появляется вселенная, подобная той, что показана на следующем рисунке.

Это просто маленькая конструкция в виде куба со стороной в восемь кирпичиков со случайным черно-белым рисунком. Согласно гипотезе Хоофта и Сасскинда, мы должны уметь закодировать на границе этой вселенной все, что нам нужно знать о ней. Граница состоит из шести граней, на каждой из которых 64 квадрата — всего 384 квадрата. Поскольку у нас есть два возможных цвета, мы можем закодировать до 2³⁸⁴ различных рисунков. Однако возникает проблема. Если вы точно так же учтете внутреннюю часть, то всего в ней 8 × 8 × 8 = 512 кирпичиков, и поэтому существует 2⁵¹² возможных вариантов их расстановки. Как 2³⁸⁴ возможных рисунка могут закодировать 2⁵¹² вариантов? Истина в том, что не могут. Если Хоофт и Сасскинд правы, то внутри куба должны иметься расстановки, которые не могут существовать: им в принципе запрещено существовать. Что мешает им осуществиться? Что налагает этот запрет? Это может быть только гравитация.

Помните: именно гравитация нарушала энтропийные традиции. Именно она, черные дыры и неожиданный закон площадей привели Хоофта и Сасскинда к мысли, что вся информация может храниться на границе. И поэтому именно гравитация должна мешать вам упаковать один бит информации в каждый планковский кирпичик. В итоге у нас есть два эквивалентных описания нашей вселенной лего: внутренняя часть с расстановками, запрещенными гравитацией, и граница со всеми возможными вариантами — без запретов и, следовательно, без гравитации. Это просто два разных способа описания одной вещи. Когда англичанин увидит тарелку с тефтелями, он назовет их meatballs, а испанец скажет albóndigas. Оба человека описывают одно и то же, но на разных языках. Так и с нашей физической Вселенной. Вы можете либо описать ее с помощью теории пространства трех измерений и силы гравитации, либо использовать другую теорию, привязанную к двумерной границе пространства и без какой-либо гравитации. Как только мы начинаем работать с этой пограничной картиной, мы начинаем считать лишнее пространственное измерение иллюзией. В реальности оно вам не нужно, потому что теория границы охватывает все. В некотором смысле граница и есть всё.

Я понимаю, что это может вас огорчить. Как вы можете ощущать три измерения пространства, если существует идеальное физическое описание, в котором их всего два? Все дело в том, как вы декодируете информацию. На самом деле это тесно связано со способом декодирования голограммы. Итак, как это происходит? Предположим, вы хотите сделать простую голограмму плюшевого медвежонка. Сначала вам нужен лазерный луч, дающий чистый свет одного цвета. Затем он разделяется на два дочерних луча: один падает на медвежонка и рассеивается, а другой отражается от зеркала. Эти два луча возвращаются к фотопластинке с высоким разрешением. Поскольку на один луч игрушка воздействовала, а на другой нет, гребни и впадины двух волн не обязательно приходят в идеальное согласие. Любое несовпадение фиксируется на пластинке посредством интерференционной картины из светлых и темных полос.

. Сейчас детали иные, но ключевой принцип тот же: если два гребня приходят согласованно, вы получаете конструктивную (усиливающую) интерференцию и более светлую полосу; а если в момент появления гребень складывается со впадиной, получается деструктивная (ослабляющая) интерференция и вы видите более темную полосу. Теперь вы можете считать это изображение светлых и темных полос различной интенсивности двумерным кодом трехмерного объекта, однако вам все равно придется проделать определенную работу, чтобы декодировать его. Если вы просто посмотрите на интерференционную картину на фотопластинке, то не увидите ничего интересного. Чтобы оживить изображение, вы направляете на него другой луч того же света и превращаете двумерную информацию в трехмерное изображение исходного плюшевого мишки.

Блеск голограммы в том, что она позволяет создать код для трехмерного изображения на двумерной пластине. Грубо говоря, вы можете считать плотность светлых и темных полос изображением глубины по недостающему измерению. Иными словами, плотная темная полоса кодирует какое-то расстояние по перпендикуляру близко к пластине, а более светлая изображает что-то более далекое. Голограммы Хоофта и Сасскинда сохраняют недостающее измерение весьма схожим образом. Вы ощущаете три измерения, а не два, поскольку именно так ваш мозг предпочел декодировать светлые и темные полосы. Он решил представлять их как третье пространственное измерение и немножко гравитации.

Предположение Хоофта и Сасскинда обычно называют голографическим принципом. Чтобы по достоинству оценить его, на самом деле нам следует говорить о нем на языке теории относительности и квантовой механики. Иными словами, нам в действительности следует говорить о квантовой гравитации в четырехмерном пространстве-времени и о квантовой голограмме на его трехмерной границе (с двумя пространственными измерениями и одним временным). Мы также можем представить применение этих голографических правил ко множеству других Вселенных, включая те, которые выглядят совершенно не так, как наша. Это чисто гипотетические миры, которые сплющены и искривлены удивительным образом и могут даже включать дополнительные пространственные измерения помимо тех трех, которые мы обычно представляем. Но каким бы ни было пространство-время в этих мирах, мы можем попробовать сыграть в нашу голографическую игру. При этом вы ожидаете получить два эквивалентных описания одной и той же физики: мир с более высоким числом измерений и гравитацией и мир, где есть граница с меньшим числом измерений, а гравитация отсутствует. Например, в мире с шестью пространственными измерениями и одним временным можно говорить о гравитации в семимерном пространстве-времени и о голограмме, существующей на его шестимерной границе. Суть в том, что всякий раз, когда вы размышляете о гравитации, вы можете думать о голографическом принципе.

Нет никаких сомнений: работу Хоофта и Сасскинда следует считать революцией в нашем понимании квантовой гравитации. Она позволяет переформулировать старые проблемы на новом, улучшенном голографическом языке. . Хокинг был убежден, что черные дыры теряют информацию, а значит, нарушают фундаментальные квантовые законы. Но если учесть голографию, то понятно, что это не так. Причина в том, что должен существовать способ закодировать образование и испарение черной дыры на границе пространства. Поскольку это альтернативное описание с уменьшенным количеством измерений не включает никакой гравитации, мы представляем его с помощью гораздо более простой квантовой теории. Это соответствует квантовому танцу заряженных частиц, на которые действуют обычные простые силы, подобные тем, что обнаруживаются в молекулярных взаимодействиях или ядерной физике. Чтобы голография имела смысл, эта квантовая теория для границы должна быть математически последовательной и физически корректной. Когда вы описываете события на этом альтернативном языке, ничто не должно давать сбоев или ломаться, и поэтому никакая информация не должна теряться. Конечно, это рассуждение работает только в случае, если голография реальна.

Так что, голография реальна?

Это вопрос на миллион долларов. У нас нет никаких экспериментальных доказательств, что наш мир — голограмма. И даже если она существует, мы не уверены, на что она будет походить. Конечно, как осознали Хоофт и Сасскинд, черные дыры искушающе намекают на ее существование. Однако реальность голографии в нашем конкретном мире остается гипотезой. Но есть и другие миры, где голография фактически доказана.

Эти иные миры открыл Хуан Малдасена. Это современный гигант в мире физики, удостоенный множества наград профессор элитного Института перспективных исследований в Принстоне. За последние три десятилетия он внес непревзойденный вклад в наше теоретическое понимание гравитации и Вселенной. Я бы сказал, что в терминологии pound-for-pound Малдасена — величайший из ныне живущих физиков. Сасскинд называет его Мастером.

В середине 1990-х Малдасена был еще новичком. Его репутация стала расти, когда он приехал из Буэнос-Айреса в аспирантуру Принстонского университета и начал работать над теорией струн и физикой черных дыр. Через год после отъезда из Принстона Малдасену вдохновило выступление российского физика Александра Полякова на международной конференции в Амстердаме. Поляков выдвинул предположение, что некоторые аспекты ядерной физики в четырех измерениях можно связать со струнами, двигающимися в пятимерном пространстве-времени. Молодой аргентинец обзавелся блестящими связями и через несколько месяцев произвел фурор в научной среде, опубликовав статью под названием «Предел больших N для суперконформных теорий поля и супергравитации».

Не самое броское название, однако содержание статьи вызвало шок в научном сообществе. В этот момент восходящая звезда Малдасены превратилась в сверхновую. Он открыл голографический мир, в котором одно пространственное измерение было всего лишь иллюзией. Неважно, что этот мир сильно отличался от нашего. Важно, что он был достаточно прост с математической точки зрения и Малдасена мог точно продемонстрировать, как работает иллюзия. Теперь к голографии требовалось относиться всерьез. Открытие этого странного и чисто гипотетического мира стало шагом вперед в нашем понимании пространства и времени на самом фундаментальном уровне.

Мир Малдасены был не похож на все, что вы могли бы себе представить: экзотическая вселенная струн и квантовой гравитации, действующая в десяти измерениях пространства и времени, пять из которых особым образом искривлены, а пять — свернуты, как сфера. Для границы этого пространства-времени Малдасена дал другую теорию — теорию без гравитации, способную описать все, что происходило внутри. Важно то, что он показал, как и почему эти два описания должны быть действительно эквивалентными. Он также научился бегло говорить на обоих языках — «внутреннем» и «граничном» — и с помощью выдающегося американского физика Эдварда Виттена начал составлять «словарь» для них. Конечно, Хоофт и Сасскинд предполагали, что подобные голографические описания должны существовать, но дальше они не пошли. Они не смогли привести какой-нибудь пример и сказать: «Вот Вселенная с гравитацией, вот ее голограмма, а вот словарь, который вам нужен, чтобы перемещаться между ними». А вот Малдасена сумел это сделать. Хотя он знал о более ранних идеях Хоофта и Сасскинда, в центре его внимания находились не они. Теорию Малдасены с голографией связал Эд Виттен.

Эд Виттен — еще один гений, лауреат Филдсовской премии и один из ста самых влиятельных людей мира 2004 года по версии журнала Time. Его отец Луи был физиком-теоретиком, который обсуждал свои исследования с не по годам развитым ребенком, всегда разговаривая с ним как со взрослым. Несмотря на замечательную способность понимать работы отца, Эд в итоге отошел от физики. Он изучал историю в Брандейском университете в Массачусетсе, а затем писал статьи для The Nation и The New Republic в качестве политического обозревателя. Однако физика все же манила его. Поступив в магистратуру Принстонского университета и защитив диссертацию, Виттен впоследствии стал одним из основателей теории струн. «Все расчеты он производит только в уме, — признавалась его жена Кьяра Наппи, тоже физик. — Я заполняю расчетами целые страницы, прежде чем пойму, что делаю. Но Эдвард сядет только для того, чтобы определить знак минус или коэффициент два».

Голографический пример Малдасены известен как АдС/КТП-соответствие. Он демонстрирует двойственность: дает два эквивалентных описания одних и тех же физических явлений. С одной стороны такой двойственности находится мир АдС (сокращение от слова «антидеситтеровский») — искривленный многомерный мир, где в качестве фундаментальной силы присутствует гравитация. С другой стороны находится КТП (конформная теория поля), обнаруживающая особые математические свойства голограммы в пространстве меньшей размерности. С этой стороны двойственности гравитация отсутствует, однако весьма примечательно, что эта теория способна описывать точно такую же физику. Он делает это посредством невесомого вальса заряженных частиц, очень похожих на глюоны — частицы-переносчики сильного взаимодействия, склеивающие ядра атомов. Система является поистине голографической: вы можете представлять, что глюоны живут на границе этого пространства-времени, на внешней стене антидеситтеровского пространства.

В своей исходной статье Малдасена привел очень убедительные аргументы в пользу АдС/КТП-соответствия, однако не смог предложить строгого математического доказательства. Но время шло, и ученые раз за разом проверяли его утверждения. Некоторые физические величины можно точно вычислить для обеих сторон соответствия: с одной стороны, используя гравитацию и пространство-время, а с другой — с помощью голограммы. Результаты всегда совпадали, и теперь уже нет сомнений: АдС/КТП-соответствие действительно можно считать конкретным примером голографического принципа в действии. Теперь мы можем вообразить миры — пусть даже искривленные антидеситтеровские, — в которых с помощью голографического трюка легко убрать гравитацию и одно пространственное измерение.

Но как насчет нас? Действительно ли мы существуем внутри голограммы? Этот вопрос гораздо сложнее. Мы живем не в пятимерном антидеситтеровском пространстве, поэтому не можем напрямую апеллировать к магии Малдасены. Однако черные дыры в нашей Вселенной творят забавные вещи. Их энтропия растет пропорционально площади границы, а не объему. Кажется, что информация должна храниться на горизонте событий, а не внутри черной дыры. Как будто наш мир сообщает нам, что он голографичен, но держит эту голограмму в секрете, по крайней мере сейчас. Если у нас есть голограмма, вы ощущаете гравитацию и определенные пространственные измерения из-за странного способа, которым вы декодируете эту голограмму. Оглянитесь. Посмотрите влево и вправо, вперед и назад, вверх и вниз. Если наши голографические ожидания верны, одно из этих измерений может быть упаковано в нечто совершенно иное. В тот момент, когда мы освобождаемся от гравитационных запретов, нам больше незачем говорить о трех измерениях пространства. Нас вполне устроят и два.

Это напоминает мне аллегорию пещеры Платона и прикованных узников внутри нее. За спинами людей горит костер, а они смотрят на тени, появляющиеся на стене. Для них эти тени — всё: их развлечение, их уплощенное восприятие всего существующего. Однако Платон утверждал, что с помощью философии и мышления узники могут освободиться от своих цепей. Они могут видеть больше, чем тени, отбрасываемые куклами. Но сейчас я думаю, что Платон недооценивал тени. В голографическом мире они так же реальны, как и куклы.

Голографический принцип — самая важная идея, возникшая в физике за последние тридцать лет. Она привела к прорыву в нашем понимании силы гравитации, разрешению информационного парадокса черной дыры и глубокому пониманию природы квантовой гравитации. Она помогла нам лучше понять микроскопические объятия кварков и глюонов, когда они соединяются в субатомном мире. Более того, она бросила вызов нашему восприятию реальности, нашему представлению об окружающем нас пространстве. Она побудила нас задаться вопросом, существует ли оно на самом деле или это просто иллюзия.

Для нас эта иллюзия — наследие левиафанов, самых больших и величественных из наших фантастических чисел. С помощью гуголплексианских двойников, смерти от превращения головы в черную дыру, числа TREE(3) и недостижимого завершения Игры деревьев мы рассказали историю энтропии и квантовой механики, гравитации и таинственной физики черных дыр, этих космических темниц. Те же идеи и концепции лежат в основе голографической истины. Они отражают ужас избыточности числа измерений, альтернативной реальности, пойманной в ловушку на границе пространства. Мы — тени на стене.

Теперь, когда мы наконец переходим от великого к малому, от больших чисел к маленьким, вы должны ожидать неожиданного. Маленькие числа станут намекать на симметрию и красоту, но в итоге оставят нас в отчаянии. Вам следует приготовиться к рассказам о Вселенной, которая не должна была существовать, которая должна была уйти в небытие в момент своего рождения. Наша Вселенная. Наша неожиданная Вселенная. Не могу говорить за вас, друзья, но меня это беспокоит больше, чем тени. Меня беспокоит мысль, что все, что я знаю, никогда не должно было существовать: я, моя семья, мои самые близкие друзья. Эта книга никогда не должна была появиться, но все же вы читаете ее прямо сейчас, в момент, который мог никогда не наступить.