Когда я был маленьким, на канале BBC шло популярное телешоу под названием «Задумайте число». Его ведущий Джонни Болл бегал по сцене в отличных костюмах с кучей великолепного реквизита, наполняя наши юные впечатлительные умы радостями науки. Естественно, мне это безумно нравилось. «Задумайте число» — безобидная образовательная забава. Или нет?

Совершенно нормально придумать число 7, 15 или 476 522. Но что произойдет, когда вы задумаете число Грэма? Что ж, если вы это сделали, это действительно не нормально. Если вы будете думать о числе Грэма неправильно, вы умрете. Задним числом кажется, что Джонни Боллу в реальности следовало бы назвать свое шоу «Задумайте число, которое не убьет вас», но, полагаю, в Британии 1980-х вопросы здоровья и безопасности не были особо актуальными.

Заманчиво сравнить смерть от числа Грэма с судьбой некоторых людей, пострадавших при извержении Везувия в 79 году нашей эры. Возможно, вы видели изображения жертв в Помпеях: убитые жаром пирокластических потоков, они навсегда оказались погребены под пеплом. Но это еще счастливчики. В близлежащих городах Геркуланум и Оплонтис есть свидетельства более мрачного конца: остатки расколотых черепов, взорванных быстрым вскипанием мозговой жидкости после извержения вулкана. Эти люди погибли из-за взрыва головы. Число Грэма может привести к еще более впечатляющей травме мозга, если вас заставят думать о нем цифра за цифрой, если бесцеремонно впихнуть в ваше воображение его десятичное представление. Какое-то время вы не чувствуете ничего неприятного, цепочка цифр перед вашим мысленным взором становится все длиннее. А потом происходит это.

Смерть от превращения головы в черную дыру.

Истина в том, что вы не можете задумать число Грэма, — по крайней мере, во всей его гигантской красе. Оно просто слишком велико, чтобы с ним можно было иметь дело — вам или кому угодно. Проблема не в интеллекте, а в физике. Если вы попытаетесь впихнуть столько информации в человеческую голову, та неизбежно сколлапсирует и превратится в черную дыру. Как мы увидим, черные дыры ограничивают количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства, а ваша голова далеко не так велика, чтобы справиться со всей информацией, содержащейся в числе Грэма. Это проблема самого числа. Оно не просто огромно, а феерично, оно гораздо больше, чем гугол, гуголплекс или даже гуголплексиан. Число Грэма и все его цифры не могут существовать ни в вашей голове, ни в наблюдаемой Вселенной, ни даже в гуголплексианской Вселенной. В его десятичном представлении содержится слишком много информации, ее просто невозможно вместить.

Зачем кому-то изобретать число, способное вас убить? Ответственность за это несет обладатель многочисленных наград математик Рональд Грэм. Он без почтения относился к стереотипам о математиках. Когда в начале 1950-х пятнадцатилетний подросток с лицом младенца поступил в колледж в Чикаго, он начал заниматься прыжками на батуте и жонглированием; в итоге он достиг такого мастерства, что стал выступать с цирковой группой Bouncing Baers. Даже в старости он продолжал прыгать, хотя уже в комфортных условиях собственного дома. Как рассказывают его друзья, от Рона Грэма всегда ждали неожиданного. Он мог обсуждать математику, а в следующий момент — встать на руки или запрыгать вокруг вас на пого-стике.

История числа Грэма на самом деле начинается на заре XX века с другого яркого математика по имени Фрэнк Рамсей. Тот был эрудитом и членом тайного общества интеллектуалов, известного как «Кембриджские апостолы». Он учился у великого экономиста Джона Мейнарда Кейнса, который позже рекомендовал его в Королевский колледж (это и мой старый колледж в Кембриджском университете). Будучи студентами, мы все знали о Кейнсе (я жил в здании, носящем его имя), однако никто никогда не говорил о Рамсее. А следовало бы. Рамсей умер в 1930 году от хронических заболеваний печени, когда ему было всего 26 лет, однако к тому времени он уже немало сделал в математике, экономике и философии. Однако самый большой вклад Рамсея в науку оказался почти случайным: небольшая сопутствующая теорема, глубоко спрятанная в его статье 1928 года, посвященной формальной логике. Эта теорема положила начало новой области комбинаторной математики, которая теперь носит его имя.

Теория Рамсея связана с получением порядка из хаоса. Это немного похоже на то, как вы наблюдаете обсуждение парламентариями Брексита и спрашиваете себя: можно ли среди всего этого беспорядка — этой какофонии разных эго и мнений — найти какие-нибудь островки согласия, какое-то единство? Тот же вопрос я могу задать, устроив званый ужин. Представьте, что я пригласил шестерых несхожих людей — родственников и друзей из разных сфер моей жизни, имеющих весьма различный жизненный опыт и взгляды. Я рассаживаю их вокруг стола и — как хороший хозяин — пытаюсь установить, кто с кем знаком. Алджернон знает мою дочь Беллу. Он мой старый друг по университету и время от времени бывал у нас в доме. Сейчас Алджернон работает в музыкальной индустрии. Он любит напоминать людям, что, когда он работал в музыкальном магазине, туда зашел певец Лео Сейер и купил дюжину компакт-дисков со своими записями (это правда). Белла все еще учится в школе, но надеется однажды стать художницей. Также с университетских времен Алджернон знаком с Кларки. Это спортивный обозреватель, и он не знаком с Беллой, поскольку по возможности старается избегать детей. Всю эту информацию я изобразил на следующей диаграмме.

Сплошные линии обозначают людей, которые знакомы друг с другом, а пунктирные отражают незнакомых людей. Следующий гость — Дино, профессор одного из университетов Лиги плюща. Он тоже учился в университете со мной, Алджерноном и Кларки, но, как и Кларки, не знаком с Беллой. Я добавляю эту информацию на диаграмму.

Осталось еще два человека. И Эрнест, и Фонси знают Беллу, но не знакомы ни друг с другом, ни с другими гостями. Эрнест — инженер, дед которого занимался ввозом североамериканских серых белок в Британию (это тоже реальная история). Фонси — начинающий политик. В очередной раз обновляю диаграмму.

Уже сейчас, когда гостей всего шесть, сетка сплошных и пунктирных линий выглядит хаотично. Но если вы заглянете внутрь этого хаоса, то начнете видеть определенный порядок. Например, Алджернон, Кларки и Дино образуют так называемую клику — группу из трех человек, каждый из которых знает двух других. Кларки, Эрнест и Фонси образуют клику другого рода: группу из трех попарно незнакомых между собой людей. При этом можно заметить, что нет ни одной такой клики из четырех человек.

Подобные сети лежат в основе теории Рамсея. На самом деле нет ничего удивительного, что на вечеринке с шестью гостями мы обнаружили такие клики из трех человек. Это неизбежно должно было произойти. При этом шесть человек — минимальное количество, гарантирующее, что найдется тройка попарно знакомых или попарно незнакомых. Однако, как мы видели, шести гостей недостаточно, чтобы гарантировать аналогичную компанию из четырех человек. Оказывается, для этого нужно минимум восемнадцать гостей. Соответствующие числа называются числами Рамсея. Если пользоваться упрощенным математическим языком, можно сказать, что третье число Рамсея — 6, а четвертое — 18.

Рамсей показал, что можно получить клики любого конечного размера, если пригласить на вечеринку достаточно большое количество людей. Но он не смог определить, сколько именно людей придется созвать. Даже в случае клики всего из пяти человек ситуация резко усложняется. Большинство математиков считает, что для гарантированного получения клики из пяти человек требуется пригласить минимум 43 гостя, однако точный ответ никому не известен. Минимальное число находится где-то между 43 и 48.

Чтобы определить его точно, математикам требуется изобразить все возможные сети и посмотреть, где гарантированно возникнут клики из пяти элементов. Для этого можно попробовать привлечь компьютер, однако вам просто не хватит вычислительной мощности. Когда есть 43 гостя, вы поручаете компьютеру изучить 2⁹⁰³ разных сетей. Это число значительно больше гугола. Даже современные суперкомпьютеры отказываются работать с такими числами.

Чтобы гарантировать клику из шести человек, минимальное число гостей должно быть где-то между 102 и 165. Очевидно, что проблема нахождения точного значения шестого числа Рамсея значительно сложнее, чем нахождение пятого. Великий странствующий математик Пал Эрдеш предложил следующее апокалиптическое описание ситуации. Представьте вторжение инопланетян — армию пришельцев, намного опередивших нас в развитии. Они высадились на Землю и потребовали, чтобы мы сообщили им пятое число Рамсея, а иначе они уничтожат нашу цивилизацию за глупость. Стратегия Эрдеша для этого случая заключалась в том, чтобы объединить мощь всех компьютеров мира и довериться математикам, которые дадут ответ на вопрос. Но если бы пришельцы потребовали шестое число Рамсея, то такая стратегия бессмысленна. В этом случае придется искать способ уничтожить инопланетян до того, как они уничтожат нас.

Яркий пример Эрдеша позволяет познакомиться с его уникальным характером. Этот эксцентричный математик, родившийся в Будапеште перед Первой мировой войной, большую часть своей взрослой жизни провел в путешествиях, редко задерживаясь на одном месте более чем на месяц. Он постоянно ездил по континентам от одного коллеги к другому, разыскивая новые решения для своего сборника математических задач. Если Эрдеш появлялся с чемоданом у вашей двери, предполагалось, что вы обеспечите ему кров и еду на столько времени, на сколько он захочет, спланируете и организуете его дела. Если у вас имелись дети, он называл их эпсилонами, намекая на обозначение, которое математики используют, когда хотят описать что-то бесконечно малое. У него также имелась какая-то задача, предназначенная для вас. Это было его величайшее умение — соединить какую-нибудь математическую проблему с тем самым человеком, который может помочь решить ее. На протяжении своей удивительно необычной карьеры, подпитываемой пристрастием к запрещенным веществам, венгерский математик написал более 1500 статей, причем большинство его работ были совместными: у него насчитывалось свыше 500 соавторов. Из-за таких методов ученые ввели число Эрдеша (это длина кратчайшего пути от данного человека до Эрдеша посредством совместных публикаций), и у большинства математиков число Эрдеша очень невелико.

У Рона Грэма число Эрдеша равно 1. Они были очень близкими людьми — настолько, что Грэм устроил в своем доме «комнату Эрдеша», где математик мог жить во время своих визитов и хранить вещи, когда уезжал. Грэм даже заботился о финансах Эрдеша, собирая его чеки и оплачивая счета. Однако к знаменитому числу Грэма венгерский математик отношения не имеет. Оно появилось благодаря сотрудничеству с другим американским математиком Брюсом Ли Ротшильдом, а затем с Мартином Гарднером, который вел рубрику математических развлечений в журнале Scientific American.

Грэм и Ротшильд занимались одной конкретной задачей из теории Рамсея. Чтобы понять ее, добавим к нашему званому ужину еще пару гостей — Грэма и Харольда. Грэм — дядя Беллы, а Харольд — какая-то загадка. Кажется, он свободно говорит на пяти разных языках, но никто толком не знает, кто он и чем занимается, да и разговаривает он мало, — возможно, он шпион. На самом деле это не имеет значения. Важно то, что теперь у нас есть восемь гостей, то есть мы можем расположить их в вершинах куба и создать сеть нового типа.

Предположим, я решил сделать через эту сеть какой-то разрез. Например, я мог бы провести его по диагонали через Беллу, Кларки, Эрнеста и Харольда. Эти четыре человека образуют своеобразную подсеть, которую гораздо проще нарисовать на плоском листе бумаги.

Но это не клика — это ничем не примечательное сочетание знакомых и незнакомых людей. Можно ли сделать более интересный разрез? В данном случае ответ положительный: проведя разрез по задней стенке куба через Эрнеста, Фонси, Грэма и Харольда, мы получим клику из четырех незнакомых попарно людей.

Грэму и Ротшильду хотелось узнать, в любом ли кубе всегда существует разрез, дающий такую клику. Если взять пространство трех измерений, то ответ отрицательный: существуют расстановки восьми гостей по вершинам куба, когда при любом разрезе клика не получится. Но, разумеется, математики не привязаны к трехмерному миру, поэтому Грэм и Ротшильд начали думать о гиперкубах в пространствах четырех, пяти, шести или любого другого числа измерений. Сколько измерений нужно взять, чтобы гарантировать клику на каком-нибудь разрезе?

Не стоит и говорить, что Грэм и Ротшильд не смогли дать определенного ответа на этот вопрос, — так бывает с большинством задач в теории Рамсея. Однако они показали, что у задачи есть конечный ответ, и смогли дать для него оценку: это минимальное число измерений должно находиться между числом 6 и каким-то исполинским числовым монстром — неким конечным числом, превосходящим все, что мы когда-либо могли понять. Вопреки распространенному мнению, тот гигантский верхний предел, который они представили, — это не то, что мы сейчас называем числом Грэма. То, что именуется сейчас числом Грэма, появилось шестью годами позже, в 1977 году, когда Рон общался с Мартином Гарднером. Математику требовался простой способ описать этот верхний предел для статьи Гарднера в Scientific American, поэтому он придумал нечто еще более грандиозное. В 1980 году это новое число попало в Книгу рекордов Гиннесса как «самое большое число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве». Но на самом деле оно никогда в доказательствах не использовалось.

Неважно. Я хочу шокировать вас, заставив задуматься о величине числа Грэма, которое он показал Гарднеру. Не беспокойтесь. Я не собираюсь заставлять вас думать о его десятичном представлении. Во всяком случае, пока. Сейчас мы сосредоточимся на гораздо более безопасном способе представления числа Грэма, использующем стрелочную нотацию Кнута. Она названа в честь американского специалиста по информатике Дональда Кнута, который изобрел ее в 1976 году. Кнут много писал о числах и вычислениях и известен тем, что предложил вознаграждение в размере 2,56 доллара любому, кто обнаружит ошибку в какой-либо из его книг. Его стрелки обеспечат нам безопасный проход через страну больших чисел.

Начнем с умножения: что мы подразумеваем, когда пишем 3 × 4? Возможно, вы хотите сказать «двенадцать», но давайте немного поразмыслим. На самом деле, когда мы пишем 3 × 4, мы имеем в виду, что тройка сложена сама с собой четыре раза, то есть 3 + 3 + 3 + 3. В общем виде это выглядит так:

Иными словами, a сложено с собой b раз. Разложив его таким образом, мы видим, что умножение — это просто затейливый способ описать повторяющееся сложение. А что насчет повторяющегося умножения?

Математики называют это возведением в степень и обычно записывают так:

Теперь a умножено на себя b раз. Например:

Вероятно, вы называете эти штуки степенями. Впрочем, неважно, как вы их называете, — лишь бы понимали, что это означает. Скажем, Дональд Кнут предложил собственный способ записывать степени — он предпочитает использовать стрелку:

Примеры выше можно записать в виде 3 ↑ 3 = 27 и 3 ↑ 4 = 81.

Здесь мы могли бы остановиться, и большинство нормальных людей так и сделает, но мы — не нормальные. Давайте продолжим. Что будет, если вы займетесь повторяющимся возведением в степень? Такая операция называется тетрацией. Кнут записывает ее в виде двойной стрелки:

Здесь к числу a мы b раз применяем операцию стрелки. Иначе тетрацию можно назвать степенной башней, поскольку вы можете изобразить ее в виде

где башня из букв a имеет b этажей.

Давайте найдем 3 ↑ ↑ 3 и 3 ↑ ↑ 4. Это степенные башни из троек: в одной три этажа, а в другой четыре. Иными словами:

Двойная стрелка позволяет нам одним прыжком переместиться от числа 3 до 7,6 трлн. Неплохое достижение. Однако нотация Кнута позволяет гораздо больше. Достаточно использовать тройную стрелку, считая ее повторением операции двойной стрелки:

Логика тут та же самая, но теперь к числу a мы b раз применяем операцию двойной стрелки. Тройная стрелка — это очень мощная штука. Попробуем найти 3 ↑ ↑ ↑ 3. Поскольку для тройной стрелки нужно несколько раз повторять операцию двойной стрелки, то мы получаем

Да уж. Мы пришли к числу 3 ↑ ↑ 7,6 трлн. Это башня

в которой 7,6 трлн этажей! Представьте, что мы выписываем ее полностью: если каждая тройка будет иметь высоту два сантиметра, башня растянется до Солнца. Поэтому данное число иногда называют солнечной башней. Честно говоря, я боюсь его вычислять.

Но мы не собираемся на этом останавливаться.

Как насчет 3 ↑ ↑ ↑ ↑3? От этого реально сойти с ума. Если вы начнете вычислять, вы получите

Мы боялись вычислить даже солнечную башню, а теперь приходится иметь дело с солнечной башней двойных стрелок! Честно говоря, это уже просто неприлично. Гугол и гуголплекс давно за спиной. У нас нет ничего, что имело бы такой размер. Нужно признать, что мы вышли за рамки физической реальности. Но мы все еще и близко не подобрались к числу Грэма.

Выбора нет — надо продолжать.

В этом месте Грэм вводит понятие лестницы. Каждая ступенька — это число, которое намного больше всего предыдущего. Нижняя ступенька лестницы Грэма обычно называется g₁, и это то самое монструозное число, с которым мы только что встретились:

Шагаем на следующую ступеньку и внезапно обнаруживаем, что мы поднялись на

Посмотрите, сколько стрелок: их g₁! Четырех уже было достаточно, чтобы породить чудовищное число, а теперь чудовищным стало количество стрелок. Монстр из монстров. Но мы все еще далеко от числа Грэма.

Сделаем еще один шаг по лестнице:

Нет смысла даже пытаться описать, насколько велико это число. Слова слишком сильно отстали от математики. Но надеюсь, вы видите закономерность: с каждой новой ступенькой на лестнице Грэма количество стрелок неимоверно увеличивается. Воздействие на само число вообще непостижимо. Итак, продолжаем подниматься: от g₃ к g₄, от g₄ к g₅ и т. д. К тому времени, когда мы достигнем шестьдесят четвертой ступеньки, мы окажемся далеко, далеко, далеко, далеко в стране больших чисел и не сможем понять, где мы. Зато мы наконец пришли к цели: g₆₄ — это и есть число Грэма.

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g₆₄? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что вы считаете истиной, и тем, что вы можете доказать. Мы знаем, что существует точный ответ на первоначальный вопрос Грэма и Ротшильда, и он скрывается где-то на этом невероятно огромном интервале, но найти его точно? Что ж, удачи. На самом деле этот интервал значительно сократился с тех пор, как Грэм и Ротшильд написали свою статью. Сейчас мы знаем, что ответ находится где-то между 13 и 2 ↑ ↑ ↑ 5. Это улучшение, но его явно не хватит, чтобы удовлетворить требования разгневанной инопланетной расы, проверяющей человечество с помощью проблем из теории Рамсея.

В истории математики число Грэма — настоящий левиафан, но я боюсь, что его великолепие теряется из-за абстракции. Чтобы лучше понять его, мы обратимся к физике и выясним, почему это число настолько велико, что способно убить.

Что делает число Грэма таким опасным? Почему ваша голова сколлапсирует, если вы будете размышлять о его десятичном представлении? Оказывается, в таком изображении числа Грэма есть энтропия — много энтропии, — а каждый раз, когда вы пытаетесь втиснуть слишком много в слишком маленькое пространство, неизбежно образуются черные дыры. Может показаться странным, что число способно нести энтропию так же, как яйцо или трицератопс, однако энтропия тесно связана с информацией, а последняя в числе Грэма, безусловно, содержится. Если бы я назвал вам его последнюю цифру, у вас появилось бы новое знание. Если бы я назвал вам его полное десятичное представление, вашей голове пришлось бы втискивать гораздо больше информации. Поглощение такого большого количества энтропии в замкнутом пространстве приведет к единственному возможному результату: смерти от превращения головы в черную дыру.

Чтобы понять связь между черными дырами, энтропией и десятичным представлением числа Грэма, нам нужно изучить смысл информации. Мне известна последняя цифра числа Грэма, и я предлагаю вам узнать ее. Вы можете задавать мне какие угодно вопросы, но я буду отвечать только «да» и «нет». Предположим, вы придерживаетесь следующей стратегии.

Вы понимаете, что ответ — семерка.

Вы узнали это за три вопроса. Стратегия была удачной: с каждым новым вопросом круг возможных цифр существенно уменьшался. В среднем такая стратегия определит случайно выбранную цифру за 3,32 вопроса. Именно таким методом Клод Шеннон, криптограф и пионер теории информации, предложил измерять количество информации: минимальное число ответов «да» или «нет», необходимое, чтобы точно определить то, что вы хотите знать.

Шеннон сочетал очевидный талант к вычислительной технике и математике с практическими навыками первоклассного инженера. Он всегда что-то мастерил: от летающих тарелок-фрисби с ракетным двигателем до одноколесных велосипедов и жонглирующих роботов. Самое хулиганистое его творение — машина, при включении выдвигавшая механическую руку, которая тут же отключала машину. Шеннон также дружил с Роном Грэмом; эта дружба выросла из интереса Шеннона к жонглированию: старик хотел научиться этому искусству, а Грэм согласился быть преподавателем. В итоге Шеннон умел жонглировать четырьмя мячами — на один больше, чем могли осилить его роботы.

Интерес Шеннона к теории информации произрастает из его работ военного времени над кодами и коммуникациями в компании Bell Telephone Laboratories в Нью-Джерси. Он понимал важность передачи информации, особенно во время войны, и что нередко она трудна или даже опасна. Шеннон хотел выяснить, как эффективно передать сообщение, когда мешает сильный «шум», и для этого ему потребовалось определить хорошую меру для количества информации.

Чтобы понять его меру, подбросьте монетку. Чтобы определить результат броска, вам нужен всего один ответ вида «да» или «нет» — достаточно спросить: выпал орел? Таким образом, один бросок монеты несет один бит информации. Пять бросков монеты дают пять бит, гугол бросков даст гугол бит. В общем виде нам нужно связать количество битов не с количеством монет, а с количеством возможных исходов. При пяти подбрасываниях монеты можно получить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных исхода. Как извлечь пять бит из этих 32 исходов? Поскольку 32 = 2⁵, пять бит находятся в показателе степени. В случае последней цифры числа Грэма возможны десять разных исходов (последней может оказаться любая цифра от 0 до 9). Сколько это битов? Ситуация немного сложнее, поскольку 10 больше, чем 2³, но меньше, чем 2⁴, поэтому ответ лежит где-то между тремя и четырьмя битами. Оказывается, знание последней цифры числа Грэма несет примерно 3,32 бита информации.

Конечно, Шеннона больше интересовали слова и предложения, а не подбрасывание монеты. Самое длинное слово, встречающееся в основных словарях английского языка, — pneumonoultramicroscopicsilicovolcanoconiosis. Это термин для заболевания легких, вызванного вдыханием вулканического кремнезема после извержения. Не идеальная судьба, но, надо полагать, лучше, чем взорвавшаяся голова. Нас интересует, сколько информации содержится в самом этом слове. Поскольку в английском алфавите 26 букв, мы могли бы сказать, что каждая буква — один из 26 возможных исходов. Поскольку это число находится между 16 = 2⁴ и 32 = 2⁵, мы получаем оценку: в каждой букве содержится от 4 до 5 бит информации. Более точный подсчет дает величину 4,7 бита информации. Все наше слово состоит из впечатляющих сорока пяти букв, так что получаем 211,5 бита. Хотя это разумная оценка общего объема информации, содержащейся в нашем слове, в реальности она завышена. В английском языке, как и в любом другом, есть определенные закономерности и правила. Например, рассмотрим слово quicquidlibet, которое буквально означает все, что угодно. В нем вы дважды встречаете букву q и в обоих случаях почти наверняка знаете, что следующей будет u. Разве можно сказать, что чтение буквы u дает вам 4,7 бита информации, если вы уже заранее знали, что именно она и должна появиться?

Такие тонкости говорят нам о том, что вычислять информацию сложнее, чем просто смотреть на возможные исходы: нужно учитывать еще и вероятности. Например, если вы пять раз подбросите симметричную монету, вы действительно получите пять бит информации. А если монета несимметрична и всегда падает орлом? Можете ли вы утверждать, что получили какую-то информацию, увидев, как пять раз подряд выпал орел? Конечно, нет.

Шеннон придумал формулу для информации, которая все это учитывает. Согласно ей, если вы подбросите монету, у которой с вероятностью p выпадает орел, а с вероятностью q = 1 — p выпадает решка, то вы получаете — plog₂p — qlog₂q бит информации. Формула включает логарифмы по основанию 2, потому что Шеннон вычислял информацию в формате бинарных (двоичных) исходов. Она работает именно так, как вы интуитивно ожидаете. Например, если монета честная, то p = q = 0,5, и подбрасывание дает один бит информации. Если монета абсолютно перекошена в сторону орла (p = 1, q = 0) или решки (p = 0, q = 1), то подбрасывание вообще не даст никакой информации. Все остальные варианты лежат между этими крайними случаями.

Но как насчет более сложных вещей, которые действительно интересовали Шеннона, например букв, слов или даже предложений? Как измерить информацию, содержащуюся в них? Что ж, предположим, у вас есть первые несколько букв какого-то неизвестного слова: CHE. Сколько информации содержится в следующей букве, когда она станет известной? Если бы все буквы были равновероятными, мы бы сказали: 4,7 бита. Однако мы знаем, что это неверно. Попробуйте ввести буквы CHE, набирая сообщение на мобильном телефоне. Какие слова появляются в качестве подсказки? Вот некоторые из наиболее вероятных.

Это заставляет предположить, что любая из букв Е, А и С имеет более высокую вероятность появления, чем, скажем, В. Если условиться, что буква А встречается с вероятностью p₁, буква В — с вероятностью p₂, буква С — с вероятностью p₃ и т. д., вплоть до Z, имеющей вероятность p₂₆, то, согласно Шеннону, количество информации в следующей букве будет таким:

Как обычно, она измеряется в битах. Шеннон проверял способности носителей английского языка угадывать следующую букву в слове. Его эксперименты показали, что в среднем каждая буква содержит от 0,6 до 1,3 бита информации. Может показаться, что это немного, но именно поэтому письменный английский хорош для общения. Если какая-нибудь буква пропущена или введена неправильно, вы не потеряете слишком много информации и, скорее всего, сможете расшифровать th mxssage (или, в случае русского языка, эт сожбщение).

Самое примечательное свойство формулы Шеннона — ее сходство с другой формулой, которую более полувека назад вывел физик , когда отправились на поиски двойников — в экспедицию, которая во многом опиралась на понятие энтропии. Тогда мы отметили, что энтропия подсчитывает микросостояния, но это подразумевало некоторое упрощение: такой метод верен только тогда, когда все микросостояния равновероятны. Именно Гиббс показал, как поступать в более общем случае. Если первое микросостояние имеет вероятность p₁, второе — вероятность p₂, третье — вероятность p₃ и т. д., то энтропия вычисляется по следующей формуле:

Поразительное сходство с формулой Шеннона. Разница в том, что Гиббс использует натуральные логарифмы, а Шеннон — логарифмы по основанию 2. На самом деле эта разница условна. Шеннон выбрал основание 2, поскольку хотел измерять информацию в битах, чтобы сравнивать ее с системой из двух исходов (например, при броске монеты). Но это всего лишь вопрос выбора. С тем же успехом вы могли бы измерять информацию в натах. Один нат равен 1 / ln2 ≈ 1,44 бита. В этом случае мы сравниваем информацию не со случаем двух исходов, а со случаем e ≈ 2,72 исхода. По какой-то причине природа предпочитает работать с натами, а не с битами, и, если мы соответствующим образом поменяем единицы измерения, формула Шеннона в точности совпадает с формулой Гиббса.

Действительно ли энтропия и информация — одно и то же? Я бы сказал «да». Обе эти величины измеряют степень таинственности и неопределенности, хотя и подходят к этому вопросу с нескольких разных точек зрения. Мы говорим об энтропии газа, яйца или трицератопса, потому что не можем быть уверены, в каком состоянии они находятся на самом деле. Есть много того, что мы не знаем или не желаем знать. По любому практическому определению трицератопс останется тем же трицератопсом, если мы изменим спин одного из электронов глубоко внутри его кишечника. В то же время энтропия учитывает всю эту неопределенность. Но представьте теперь, что этот вопрос вам небезразличен и вы решили определить спин этого электрона и все остальное, в чем у вас нет уверенности. Вы соберете ужасно много информации. Сколько? Ну это определяется тем, насколько велика была изначальная неопределенность, а это как раз энтропия.

Информация — это больше, чем просто абстрактная идея. Это физическая величина. Мы даже можем задаться вопросом о ее массе. Точное значение зависит от того, в каком виде хранится информация. Например, данные на вашем мобильном телефоне хранятся путем улавливания электронов в блоке памяти. Электроны в этой ловушке обладают чуть более высокой энергией по сравнению с электронами вне ловушки, и поскольку у них больше энергия, то у них больше и масса. Это верно в силу эквивалентности массы и энергии, которую Эйнштейн объяснил с помощью поэзии самого известного своего уравнения E = mc². В среднем один бит данных добавляет около 10^–26 миллиграммов массы. Чтобы масса вашего мобильного телефона увеличилась на вес пылинки, требуется, чтобы он хранил около 10 трлн гигабайт данных. Согласно компании International Data Corporation, это размер глобальной датасферы, объединяющей всю совокупность данных мира.

Мы научились мастерски хранить информацию. Когда текстильщик XVIII века Базиль Бушон придумал, как управлять ткацким станком с помощью перфорированной ленты, в нескольких сантиметрах рулона помещалось всего несколько бит. Чтобы конкурировать с 64 гигабайтами, хранящимися в моем айфоне, Бушону понадобился бы длиннейший рулон ленты — в десять раз больше, чем расстояние от Земли до Луны. Мы уплотняем данные и втискиваем их во все уменьшающиеся пространства, по мере того как технологии ускоряются, чтобы не отставать от спроса. Выпустит ли когда-нибудь компания Apple телефон, способный хранить эти 10 трлн гигабайт?

Уже выпустила.

Мой айфон может использовать свои электронные ловушки для хранения 64 гигабайт фотографий, видеороликов и сообщений WhatsApp, однако он держит гораздо больше информации в другом месте — в полной сети атомов и молекул, из которых состоит. Беда в том, что эта дополнительная информация не особо для нас полезна. Мы не можем прочитать ее или изменить. Мы способны оценить ее величину, вычислив тепловую энтропию телефона. Это примерно 10 триллионов триллионов натов, то есть около 1000 трлн гигабайт. Как видите, в этой микроскопической структуре содержится колоссальное количество данных, однако вы не можете использовать их, чтобы показать бабушке видеоролик, где дети играют с собакой в саду за домом. Возможно, когда-нибудь мы найдем способ хранить один бит данных в каждом из его атомов или даже в каждом из его кварков и электронов. Тогда емкость памяти мобильного телефона станет сопоставима с его тепловой энтропией. Если и когда это произойдет, мы действительно сможем начать размышлять, насколько мы способны хранить данные во все более ограниченных пространствах.

Но придет время, когда данные приведут к клаустрофобии. Черные дыры — это проблема: они ограничивают объем данных, которые можно втиснуть в ограниченное пространство. Причина в том, что черные дыры также несут энтропию. Так и должно быть: иначе что произойдет, если вы бросите в черную дыру какого-нибудь политика? Он несет в себе массу энтропии — от расположения атомов и молекул в ногах до ложной информации, хранящейся в нейронах его мозга. Как только он исчезнет за горизонтом и станет единым целым с черной дырой, его энтропия будет потеряна. Получается, что полная энтропия уменьшилась, а это нарушает второй закон термодинамики. Чтобы защитить второй закон, кто-то должен оплатить счет за энтропию, — если не политик, то черная дыра.

Вы можете получить представление о том, сколько энтропии содержится внутри черных дыр, если посмотрите, что происходит, когда они становятся каннибалами. Если одна черная дыра поглощает другую, общая площадь горизонта всегда увеличивается. Эта потребность в увеличении площади отражает рост энтропии, который мы наблюдали в термодинамике. Яаков Бекенштейн серьезно отнесся к этой связи и в 1972 году предположил, что энтропия черной дыры связана с площадью ее горизонта событий. Но идея Бекенштейна нуждалась в доказательстве. Для нее требовались вычисления. А для них была нужна храбрость и гениальность молодого физика по имени Стивен Хокинг.

Мы уже видели, что Хокинг вычислил энтропию как

где A_H — площадь горизонта, а l_p — планковская длина. Примечательно то, так он это сделал. Вплоть до середины 1970-х черные дыры вели себя так, как положено: они были черными. Во всяком случае, так считали люди. Но затем Хокинг сделал немыслимую вещь: оспорил это утверждение. Он взял определяющее свойство черной дыры — тот факт, что она поглощает все частицы, включая свет, — и показал, что это представление неверно. Для многих это выглядело бессмысленным бредом. Однако Хокинг не был сумасбродом. Он просто понял, что выход из этого природного Алькатраса дает квантовая механика.

В квантовой теории не все так тихо, как кажется. Как мы увидим в , безмолвная пустота космоса на самом деле представляет собой бурлящий суп из виртуальных частиц, с шумом появляющихся и исчезающих. На самом деле это даже вовсе не частицы: в реальности они представляют собой своеобразный «кризис самоопределения». Когда мы говорим о реальной частице, мы имеем в виду локализованную волну в каком-то конкретном поле: фотон — в электромагнитном; гравитон — в гравитационном; электрон — в «электронном». Проблема в том, что квантовая механика может размыть это описание, — по крайней мере, если два поля умеют взаимодействовать друг с другом. Если нейтрон движется через гравитационное поле, это не всегда просто волна в нейтронном поле, какую-то часть времени он обеспечивает также волнение гравитационного поля. Точно так же волны гравитационного поля часть своего времени колеблют нейтронное поле. Проведем аналогию. Представьте двух людей из очень разных слоев общества: один (Левша) вырос в социалистической среде, другой (Правша) — в гораздо более консервативной. Представьте Левшу как некую волну «левого» поля, а Правшу — «правого». Оба продукты своей среды, воспитанные так, что они уверены в истинности собственной идеологии. А потом они встречаются и начинают взаимодействовать. Они разумные люди, поэтому не только говорят, но и слушают. В результате бывают моменты, когда их четкая определенность ослабляется. Левша по-прежнему остается левым, но иногда делает паузу и задумывается о широком воздействии своих радикальных идей на экономику. Правша по-прежнему предпочитает считать себя консерватором, но иногда его беспокоят социальная справедливость и проблемы неравенства. Примерно так же вы можете представлять виртуальные частицы — как описанное загрязнение идей. Однако такое заигрывание с другими идеологиями продолжается недолго: Левша всегда оказывается верен своим социалистическим идеалам, а Правша — своему консерватизму. Так и с виртуальными частицами: вы никогда не найдете ту, за которую можно цепляться вечно. Волна в других полях — всегда временное явление.

Хокинг размышлял о таком загрязнении в окрестностях черной дыры и понял нечто замечательное: то, что вы считали исключительно временным, иногда становится постоянным. Если пара таких виртуальных частиц образуется вблизи горизонта черной дыры, одна из них может упасть в дыру, а другая ускользнуть. Беглец, навсегда разлучившийся со своим партнером, становится настоящей частицей — остатком, за который можно ухватиться. Она ведет себя точно так же, как если бы ее испустил горизонт событий, вытягивая энергию из гравитационного поля и немного ослабляя его. В результате возникает поток излучения, называемый излучением Хокинга, и черная дыра испаряется.

Хокинг сумел показать, что его излучение придает черной дыре некоторую температуру, и с помощью определенной термодинамической гимнастики вывел формулу энтропии. С научной точки зрения это был удивительно смелый шаг: по тем временам его предложение выглядело крайне радикально. Однако смелый гений Хокинга оказался вознагражден, и теперь его идеи признаны повсеместно.

Объявив, что черные дыры на самом деле не черные, поскольку испускают какое-то излучение, Хокинг тут же ошеломил всех еще раз: квантовая механика нарушается.

Во многих странах есть конституция — базовый набор правил, установленных отцами-основателями, которые изложили собственное видение будущего молодой нации. То же верно и для нации квантовой механики. У нее есть своя конституция — ряд фундаментальных постулатов, написанных пионерами квантовой теории, среди которых Бор, Гейзенберг, Борн и Дирак. Одно из этих фундаментальных правил гласит, что ничто никогда не теряется: то, что входит, должно выйти. Хокинг понял, что черная дыра, похоже, игнорирует это утверждение: она начинается как чистое квантовое состояние, а заканчивает свои дни в виде излучения, которое он описывал как смешанное состояние. . Чистые состояния сообщают вам все, что нужно знать о квантовой системе, — в отличие от смешанных, когда некоторая информация отсутствует. Фокус в том, что квантовая конституция запрещает любую потерю чистоты: вы не можете перейти от чистого состояния к смешанному, потому что информация не должна просто исчезать. Она всегда должна где-то остаться, даже если ее трудновато обнаружить. Казалось, что черные дыры восстают против квантовой механики.

Описанная ситуация известна как информационный парадокс. Это одна из тех загадок, которые настолько глубоки, что их решение должно открыть действительно важные сведения о мире, в котором мы живем. Хокинг любил делать ставки на вещи такого рода. В 1997 году вместе с Кипом Торном он заключил пари с физиком из Калифорнийского технологического института Джоном Прескиллом: тот полагал, что информация никогда не теряется, даже внутри черной дыры; Хокинг и Торн считали иначе. Победитель в споре должен был получить энциклопедию по своему выбору. Вполне подходящий приз, если учесть, что результат спора на самом деле зависел от того, можно ли воспроизвести информацию, содержащуюся в энциклопедии, если кто-нибудь по неосторожности уронит ее в черную дыру. Семь лет спустя Хокинг предложил решение этого парадокса и счел себя проигравшим в пари. Он послал Прескиллу экземпляр «Полной энциклопедии бейсбола», пошутив, что вместо этого ему следовало бы сжечь книгу и отправить пепел. Ведь информация все равно должна сохраниться! А вот Торн не стал платить, потому что предложение Хокинга его не убедило. Оно действительно не обрело популярность. И все же есть весьма серьезные причины полагать, что черные дыры не восстают против квантовой механики (информация в них не теряется), и . Квантовая механика слишком ценна, чтобы от нее отказываться.

Черные дыры обладают огромным количеством энтропии относительно своего размера. Это позволяет им хранить огромные объемы информации — той, которая, в соответствии с нынешними представлениями, доступна теоретически, но не практически. Черная дыра размером с мой айфон могла бы хранить аж 10⁵⁷ гигабайт. Это оставляет далеко позади те 64 гигабайта, где я храню фотографии и сообщения, или даже 10¹⁵ гигабайт, содержащихся в атомарной структуре айфона. Ничто не хранит информацию так эффективно, как черная дыра.

Чтобы понять причины, предположим, что вы — межгалактический путешественник, намеревающийся посетить экзопланету Kepler-62f, которая вращается вокруг звезды Kepler-62. Эта звезда немного меньше и холоднее нашего Солнца; она находится в созвездии Лиры, а расстояние до нее — примерно тысяча световых лет. Повод слетать туда имеется. Программа SETI считает Kepler-62f подходящим местом для поиска внеземной жизни. Это старая твердотельная планета, расположенная в обитаемой зоне; ее поверхность покрыта океаном, а времена года похожи на наши. Вы летите туда на космическом корабле, который не слишком велик: он вмещается в сферу диаметром три метра. Корабль набит битком: продовольствие, топливо и, важнее всего, огромное количество информации в компьютерных системах. Общая масса корабля — примерно миллион килограммов. Вы не знаете точно, сколько в нем содержится энтропии, но понимаете, что она велика, — из-за всей этой информации.

Приблизившись к планете Kepler-62f, вы замечаете нечто тревожное: вокруг вашего космического корабля сформировалась какая-то гигантская оболочка, вы внезапно оказались внутри внеземной сферы. Непонятно, откуда взялся этот кокон, но на случайность это не похоже. Вы убеждены, что это нападение жителей планеты, поместивших корабль в сферическую тюрьму. После тестов оказывается, что кокон состоит из какого-то очень плотного материала — более плотного, чем нейтронная звезда. Вы немного паникуете. Вычисления показывают, что общая масса оболочки немного не дотягивает до 10²⁷ килограммов. Теперь вы паникуете уже всерьез. Как эта оболочка сохраняет свою форму? Почему она не разрушается и не излучает вещество? Впрочем, эти вопросы не имеют особого смысла, зато вас сильно беспокоит то, что оболочка, похоже, сжимается. Расчеты говорят, что совокупная масса корабля и этого кокона превышает пороговое значение в 10²⁷ килограммов. Если оболочка стянется до диаметра трех метров, соприкоснувшись с космическим кораблем, то слишком большая масса окажется втиснутой в слишком маленькое пространство. Неизбежно появится черная дыра.

К несчастью, вы умираете задолго до того, как оболочка подойдет к трехметровому порогу: вас разрывают в клочья гравитационные приливы. После этого жители Kepler-62f отправляют зонд, чтобы исследовать черную дыру, в которой находится ваш корабль. Их цель — установить, сколько вы знали; иными словами, сколько информации имелось на борту корабля, пока его не поглотила черная дыра. Инопланетяне измеряют диаметр горизонта событий. Поскольку он равен 3 метра, обитатели планеты вычисляют, что энтропия черной дыры составляет около 2,7 × 10⁷⁰ нат. Инопланетяне знают, что общая энтропия не может уменьшаться со временем. Хотя до вашего попадания в ловушку на борту корабля могло храниться много информации, чужаки понимают, что ее не могло быть более этой итоговой величины — 2,7 × 10⁷⁰ нат.

История, конечно, немножко фантастическая. Обитатели планеты Kepler-62f никак не могли создать и контролировать кокон такой высокой плотности. Но это неважно. На самом деле это всего лишь мысленный эксперимент, который придумал удивительно изобретательный американский физик Леонард (Ленни) Сасскинд. Он хотел показать, как черные дыры ограничивают количество энтропии, которое можно хранить в ограниченном пространстве. Возьмите любой объект — космический корабль, трицератопса или даже просто яйцо — и целиком поместите его в самую маленькую сферу, с которой сможете управиться. Сасскинд показал, что энтропия этого объекта не может превышать энтропию черной дыры, горизонт которой совпадает с такой сферой. В нашей фантастической истории космический корабль помещался в сферу диаметром три метра. Затем инопланетяне показали, что его энтропия ограничена энтропией черной дыры точно такого же размера.

Мы можем применить идею Сасскинда к человеческой голове. Чтобы установить абсолютный предел объема информации, которая может в ней храниться, достаточно вычислить энтропию черной дыры размером с голову. Если вы когда-нибудь попробуете выйти за этот предел, попытаетесь втиснуть слишком много сведений в ограниченное пространство в голове, та гарантированно сколлапсирует под действием гравитации. Вы станете жертвой превращения головы в черную дыру.

Я не всегда думаю. Жена сказала, что я не думал, когда решил спустить воду из посудомоечной машины с помощью пылесоса. Да, я прекрасно знаю, что вода и электричество — опасное сочетание. Мой план состоял в том, чтобы втянуть воду в шланг, а затем быстро отключить электричество. Если бы все получилось, я бы перелил воду в раковину до того, как она бы соприкоснулась с электрическим оборудованием. К счастью, вернувшаяся домой жена положила конец такой идее еще до того, как я успел сломать пылесос и себя. Полагаю, как раз поэтому я и не экспериментатор. У меня все хорошо с ручкой, бумагой и хитрыми расчетами, но, чем бы вы ни занимались, не подпускайте меня близко к дорогим приборам. Похожие проблемы были у выдающегося немецкого теоретика Вольфганга Паули, одного из пионеров квантовой механики, который сыграет большую роль во второй половине этой книги. Говорили, что Паули может сорвать эксперимент, просто находясь поблизости, так что, полагаю, я в хорошей компании.

Но иногда я все же думаю. Обычно о футболе или о физике, а в моменты особенного безрассудства даже о числах. Когда случается что-либо из указанного, в моем мозге происходят определенные события. Что делает мозг, когда думает о каком-то числе? Что нужно делать, чтобы думать о действительно больших числах? А что произойдет, если мозг возьмется за число такой величины, как число Грэма?

Воспоминания, крупицы знаний и, возможно, даже последние пятьсот цифр числа Грэма хранятся в мозге в виде различных схем в сети нейронов. В любой момент одни нейроны находятся в состоянии покоя, а другие возбуждены. Как правило, мозг пытается задействовать как можно меньше нейронов. Всего у человека около 100 млрд нейронов. Если учесть, что каждый из них может быть либо возбужден, либо нет, мы получаем величину примерно в 100 млрд бит. Это намного превышает наши практические потребности, если только мы не решим взяться за число Грэма. Возможно, вы надеетесь представить его десятичную запись в своем воображении, если сможете очистить свой разум от всей лишней информации: попытаетесь забыть состав своей семьи, как выглядит яйцо или как распознать звук пения птиц. Оказавшись в этом медитативном состоянии, вы можете попробовать внести в мозг число Грэма, цифра за цифрой, используя все более сложные схемы нейронов. Но даже если бы вы умели манипулировать своим сознанием так радикально, вы бы все равно потерпели неудачу. Проблема в том, что в десятичном представлении числа Грэма намного больше 100 млрд цифр. Вы не можете представить себе даже «солнечную башню», не говоря уже о числе Грэма.

Чтобы улучшить ситуацию, мозг должен научиться хранить информацию более эффективно. Мы знаем, что нет ничего более эффективного для хранения информации, чем черная дыра. Может ли ваш мозг найти способ имитировать эти приемы хранения, какими бы они ни были? Гия Двали, директор института физики Макса Планка в Мюнхене, предположил, что это возможно для определенных типов нейронных сетей. Его логика основана на некоторых очень интересных идеях о черных дырах и о том, как они хранят свою информацию. Помните, что этот вопрос все еще открыт и мы обсуждаем исследования, которые находятся на переднем крае науки. Начнем с того, что Двали и его сотрудники считают, будто черная дыра ведет себя как конденсат Бозе — Эйнштейна. Это особое состояние материи, в котором значительная часть частиц находится в одном и том же квантовом состоянии с минимально возможной энергией. Вы можете получить конденсат Бозе — Эйнштейна, охладив газ чрезвычайно низкой плотности до температур, близких к абсолютному нулю, как это было впервые сделано в 1995 году с атомами рубидия. Странность этих конденсатов в том, что они проявляют квантовое поведение даже на макроскопическом уровне. Двали считает черные дыры конденсатом огромного количества гравитонов — квантовых волн в гравитационном поле, — упакованных настолько плотно, насколько вообще возможно. Затем информация сохраняется в квантовых волнах самого конденсата. Оказывается, это очень эффективный способ хранения данных: огромные объемы информации и очень малые затраты энергии; именно этого вы и ожидаете от черной дыры. Однако ученый пошел дальше и создал модель нейронной сети, способной хранить информацию весьма похожим образом. А что, если ваш мозг сумеет сохранять информацию, используя подобную нейронную сеть?

Этого по-прежнему недостаточно, чтобы вместить число Грэма.

Все действительно сводится к тому количеству данных, которое можно впихнуть в человеческую голову. Каков здесь максимум? Чтобы ответить на этот вопрос, я решил посмотреть на свою собственную голову, которая, насколько я прикинул, имеет радиус около 11 сантиметров. Если воспользоваться формулой Хокинга, мы обнаружим, что черная дыра такого же радиуса обладает огромным количеством энтропии, эквивалентным десяти миллиардам триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт информации. Это максимальное количество информации, которое кто-либо или что-либо может когда-либо надеяться удержать в области пространства размером с мою голову. Сравните это с Большим адронным коллайдером — машиной, которая с удовольствием производит просто неприличные объемы данных, но при этом дает всего лишь 10 млн гигабайт данных за целый год. Однако и десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт никак не хватит, чтобы изобразить все число Грэма. Даже близко недостаточно.

А что насчет вашей головы? Может, с нею будет лучше? Увы, каждая человеческая голова ограничена примерно одним и тем же пределом: около десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. Конечно, в реальности ваша голова никогда не сможет сохранить такое огромное количество гигабайт, особенно если вы еще живы. Вспомните, что информация имеет массу; и, чтобы приблизиться к этому значению, вам нужно упаковать в относительно небольшое пространство головы весьма серьезную массу, в десять с лишним раз превышающую массу Земли. По мере того как в голове будут прибавляться данные и масса, возникнут огромное внутреннее давление и угрожающе высокие температуры. Ваша голова обязательно взорвется, и, возможно, не один раз. О выживании не может быть и речи.

Но мы не должны допустить, чтобы смерть помешала такому интересному мысленному эксперименту. Представьте, что друзья унесли ваше бездыханное тело и то, что осталось от головы, далеко-далеко, в невидимые глубины межзвездного пространства, далеко от посторонних глаз. Они уважают ваше желание и продолжают вводить число Грэма — цифра за цифрой. Если каким-то образом удастся сохранить данные в голове, то в итоге можно достичь вышеописанного порога в десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. В этот момент головы уже нет — на ее месте черная мини-дыра. Если вы втиснете столько информации в такой маленький объем, единственным физическим объектом, способным ее сохранить, останется черная дыра.

Впрочем, тела тоже не будет. Оно не сможет пережить близость к черной дыре размером с голову. Да и мало что смогло бы пережить. Возможно, вам кажется, что такая небольшая черная дыра не должна быть особо разрушительной. Но вспомните, что внутри пространства, которое когда-то было вашей головой, сконцентрирована масса десяти таких планет, как Земля. Нельзя недооценивать гравитационное воздействие такого объекта. Когда вы имеете дело с черными дырами, беспокоиться надо именно о небольших по размеру. Черная дыра размером с голову окажется гораздо опаснее, чем Повехи — того . Из-за ее небольшого размера все объекты, находящиеся недалеко от ее горизонта, оказываются слишком близко к сингулярности и неизбежно будут разодраны на части гравитационными приливами. Чтобы разорвать человеческое тело, требуется всего лишь примерно 10 000 ньютонов. На границе черной дыры размером с голову на ваше тело будет действовать приливная сила, которая в триллион с лишним раз больше.

Маленькие черные дыры ужасающе реальны. Конечно, те из них, с которыми можно столкнуться в природе, возникают не потому, что в какого-то беднягу насильно вбили число Грэма. Они появляются и не в результате коллапса звезд. Эти крошечные драконы обычно рождаются в первичном бульоне младенческой Вселенной. В младенческом состоянии горячая Вселенная была наполнена излучением. Оно не было идеально равномерным. В некоторых местах рябь энергии оказывалась такой плотной, что порождала гравитационный коллапс. Образовавшиеся черные дыры были маленькими — гораздо меньше, чем те, которые получаются из звезд. Некоторые из них были совсем крохотными и уже давно испарились из-за излучения Хокинга. Но все, превышавшие размерами триллионную долю миллиметра (включая черные дыры размером с вашу голову), могут существовать и сегодня. Есть масса домыслов и предположений, что эти древние объекты могут быть одним из основных компонентов темной материи — загадочной невидимой субстанции, составляющей большую часть материи Вселенной. Наша собственная галактика окутана огромным ореолом этого вещества, и его намного больше, чем видимых звезд. При этом черные дыры размером с голову могут составлять до 10 процентов этой материи. Итак, как я уже сказал, такие вещи реальны. Возможно, галактика даже полна ими.

Мы почти закончили наш эксперимент. Вы наконец ощутили смерть в результате превращения головы в черную дыру и теперь представляете собой черную дыру размером с голову, одиноко плывущую в межзвездном пространстве. Честно говоря, вы стали какой-то гадостью, которую скорее можно принять за темную материю, чем за человека, которым вы когда-то были: чудовищем, разрывающим в клочья любого, кто попытается к вам приблизиться. Ради чего? Ради десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт данных, часть которых вы теряете из-за излучения Хокинга. И увы, вы даже не приблизились к числу Грэма.

Поэтому вы продолжаете.

Ваши друзья продолжают скармливать вам данные. Еще одна цифра числа Грэма. И еще одна. И еще. Ваша черная дыра растет, а ее горизонт событий расширяется все дальше. Он обязан расти, поскольку появляется все больше энтропии и все больше информации. В конце концов вы достигнете размера Повехи. В этот момент вы содержите 10⁸⁶ гигабайт, но все же вы только начали двигаться к числу Грэма. С другой стороны, вы уже не так опасны, как раньше. Из-за вашей величины приливные силы в окрестности вашего горизонта очень малы. Если бы человек, которого вы любите, приблизился, чтобы поцеловать вас, его бы не разорвало. Считается, что ему придется сильно постараться, чтобы не упасть в черную дыру, но если он как-то сможет отдалиться, то есть некоторая надежда, что он при этом не окажется разорванным в клочья. Невелико счастье, но все же.

Вы продолжаете.

Больше цифр. Больше данных. Наконец горизонт черной дыры расширяется на миллиарды световых лет, заполнив большую часть наблюдаемой Вселенной. На этом этапе начинает ощущаться нечто новое и неожиданное: деситтеровский горизонт. Это важный вопрос, так что нам стоит воспользоваться моментом, чтобы объяснить, что это такое.

Мы живем в необычной Вселенной. Еще в 1998 году две группы астрономов под руководством Адама Рисса и Сола Перлмуттера заметили нечто странное. Они наблюдали за смертью далеких звезд, выходивших на свой последний парад; эти звезды превращались в сверхновые. Однако собранный учеными свет был тусклее, чем ожидалось, словно эти звезды располагались дальше, чем нам казалось. Это указывало на ускорение. Звезды оказались дальше, потому что пространство расширялось все быстрее. Оно ускорялось. Мы этого не ожидали, потому что гравитация притягивает. Можно было бы ожидать, что она замедляет расширение космоса, поскольку ее безжалостные объятия стягивают пространство-время. Однако что-то раздвигает Вселенную.

Что может сотворить такое? Мы называем это темной энергией, но это всего лишь обозначение, которое мы даем какому-то неизвестному преступнику, — например, Джеку-потрошителю или буке, которой пугают детей. Многие считают, что темная энергия связана с вакуумом космического пространства. Вполне разумная идея в нашей квантовой Вселенной, где вакуум — бурлящий бульон из виртуальных частиц, заполняющий пустыню между звездами и галактиками. Не надо думать о нем как о субстанции, которую можно удержать или поймать (вы никогда не сможете удержать виртуальную частицу), однако вы можете почувствовать его воздействие, поскольку он загрязняет гравитационные поля, расталкивая Вселенную во все стороны и заставляя ее расти с вечно увеличивающейся скоростью. Вселенная, ускоренная бульоном своего вакуума, известна как деситтеровское пространство (Вселенная де Ситтера, или модель де Ситтера). Название дано в честь голландского физика, который первым задался вопросом, на что похожа жизнь в таком месте.

Обнаруженные Риссом и Перлмуттером сверхновые, похоже, заставляют предположить, что мы направляемся именно в мир де Ситтера, где звезды и галактики разлетаются все дальше, не оставляя ничего, кроме вакуума и ускоряющего бульона. Если это так (а большинство физиков сейчас с этим соглашаются), каждый из нас окружен огромной космологической оболочкой диаметром почти в триллион триллионов километров. Она представляет собой своеобразный горизонт, хотя он сильно отличается от горизонта событий, обозначающего край черной дыры. Этот деситтеровский горизонт обозначает границу того, что мы можем когда-либо надеяться увидеть, даже если бы мы жили вечно. Возможно, вам кажется странным, что такая граница может существовать. В конце концов, если подождать достаточно долго, времени хватит, чтобы принять свет даже от самых далеких звезд и галактик. Но это не так. Когда действует ускорение, эти далекие звезды удаляются от нас все быстрее. Пространство между вами и ими увеличивается слишком быстро, свет не может успеть за этим процессом. Даже с вечностью в кармане вы никогда не сможете заглянуть за пределы деситтеровского горизонта. Свет этих далеких миров никогда не сможет добраться до вас.

Всякий раз, когда есть предел тому, что вы можете видеть, используется слово горизонт. Однако важно понимать, что деситтеровский горизонт имеет больше общего с океанским горизонтом, чем с горизонтом событий черной дыры. Это не вход в темницу и не покров какой-то ужасной сингулярности. При этом он не имеет абсолютного местоположения. Подобно океанскому горизонту, это явление относительное, персональное. Каждый человек может описать собственный деситтеровский горизонт — обширную космологическую сферу с собой в центре. У вас есть свой деситтеровский горизонт — ваша персональная граница между тем, что вы можете видеть, и тем, что не можете, и он пролегает не там, где пролегает мой горизонт или горизонт инопланетянина из галактики Андромеды. При желании вы могли бы пересечь горизонт этого инопланетянина, а он ваш — так же легко, как далекий корабль может в океане скрыться за горизонтом для другого корабля.

Давайте заканчивать наш эксперимент. По мере того как вы собираете все больше цифр числа Грэма, ваш деситтеровский горизонт раздвигается. Горизонт событий вашей черной дыры продолжает расти, расширяясь все дальше, пока в конце концов не соприкоснется с вашим деситтеровским горизонтом. Такая ситуация известна как предел Нариаи. Вы не можете больше увеличивать свою черную дыру. Ваши друзья могут попытаться вложить еще больше данных и вытолкнуть вас за пределы вашей собственной космологической оболочки, но дела пойдут плохо. Уравнения заставляют предположить, что природа будет сопротивляться, заставляя Вселенную перейти в Большое сжатие. И несмотря на все, что вам пришлось пережить, вы не приблизитесь к числу Грэма.

В общем, если вы действительно хотите зафиксировать всю информацию в числе Грэма, вам понадобится Вселенная побольше. Если у нее есть деситтеровский горизонт, он должен быть не меньше числа Грэма — в метрах, милях или любых других единицах, которые вы решите использовать. Мы живем в другом месте (наши деситтеровские горизонты ничтожны по сравнению с этой величиной), однако подобная Вселенная в принципе могла бы существовать. Теория струн предсказывает мультивселенную — огромное множество Вселенных, имеющих разные размеры, форму и количество измерений. Если в этой мультивселенной существуют гиганты с невообразимо большой космологической оболочкой, то, возможно, найдется место для Грэма и его исполинского числа.