Маленькие числа

Я наконец начал волноваться. Футбольный клуб «Ливерпуль» победил в двадцати шести из первых двадцати семи игр в сезоне Премьер-лиги. Харизматичный немецкий тренер Юрген Клопп назвал свою команду ментальными монстрами — такой была их способность выигрывать матч за матчем, даже когда все складывалось против них. Очевиднее всего это проявилось унылым ноябрьским днем в выездной игре с «Астон Виллой», перед лицом страстных чужих болельщиков. За три минуты до конца команда Клоппа проигрывала 0:1, однако выиграла, причем Садио Мане, игрок сборной Сенегала, забил победный гол последним касанием мяча. Победы продолжали добавляться, и все эксперты были убеждены: в 2020 году «Ливерпуль» выиграет Премьер-лигу.

Я болел за клуб с детских лет, когда жил на окраине города. Подростком я стоял на «Копе», одной из самых известных трибун в мировом футболе, и дважды видел, как команда завоевывает титул. Но это происходило более тридцати лет назад. Прошедшие десятилетия оказались бесплодными и были наполнены сокрушительным разочарованием, поскольку моя команда постоянно отставала от чемпиона — чаще всего от извечных соперников из соседнего Манчестера. Поэтому, несмотря на лидерство «Ливерпуля» по ходу сезона, я не мог заставить себя считать чемпионство само собой разумеющимся. Мне нужен был кто-то умеющий анализировать цифры.

Мой друг Дэн — астроном. Он тоже болеет за «Ливерпуль» и иногда пользуется моим абонементом, когда я не могу попасть на игру. Однако, в отличие от меня, Дэн обладает некоторыми полезными умениями, и он разработал умную модель для предсказания результатов футбольных матчей. Я попросил Дэна провести миллион раз моделирование всех оставшихся матчей сезона — просто для того, чтобы успокоиться. Получив результаты, я почувствовал облегчение. Модель Дэна предсказывала, что «Ливерпуль» выиграет Премьер-лигу 999 980 раз, «Манчестер Сити» — девятнадцать раз, а «Лестер Сити» — всего один.

Дэн создал своеобразную мультивселенную — миллион параллельных миров, в которых есть миллион таблиц Премьер-лиги. Почти во всех частях этой мультивселенной «Ливерпуль» в итоге становился чемпионом, поэтому я был уверен, что тридцатилетняя засуха скоро закончится. Однако гарантии у меня не было. Существовало несколько уголков мультивселенной, где «Ливерпуль» в итоге отставал, а титул доставался «Манчестеру» или «Лестеру». Конечно, такой печальный (для меня) исход оказался бы наиболее неожиданным. Мультивселенная Дэна предсказывала, что это произойдет с вероятностью всего 0,00002; иными словами, шансы составляли 50 000 против 1.

В итоге «Ливерпуль» выиграл Премьер-лигу, однако не обошлось без страхов. В марте 2020 года — всего за две игры до досрочной победы в чемпионате — сезон приостановили из-за ужасной вспышки коронавируса в Великобритании. Во время весеннего строгого локдауна по всей стране никто не знал, когда ситуация нормализуется. Футбол отошел на второй план, и я как болельщик «Ливерпуля» начал задаваться вопросом, не живем ли мы в каком-то неожиданном и маловероятном уголке мультивселенной Дэна.

Одно можно сказать наверняка: когда вы перейдете от футбола к физике, то окажетесь в весьма неожиданном месте. В мультивселенной физических миров наша Вселенная находится в самом невероятном из углов. Сюрпризы начинаются с открытия бозона Хиггса в ЦЕРН, однако уходят глубоко в кипящий бульон космического вакуума. Правда в том, что наша Вселенная столкнулась с необъяснимо малыми числами и ужасно невероятными результатами. Это требует объяснения. Если бы «Ливерпулю» не удалось выиграть Лигу, когда вероятность неудачи составляла всего 0,00002, вам было бы любопытно узнать, что пошло не так. Может быть, смертельно опасный вирус? Итак, именно тогда, когда мы сталкиваемся с крошечными числами и неожиданными свойствами нашей Вселенной, мы начинаем задавать вопросы. Что же делает частицу Хиггса такой смехотворно легкой? Почему бурлящий бульон вакуума так необъяснимо спокоен? Это повествование о неожиданных вещах, стремление понять крохотные числа в физике и разобраться в невероятной Вселенной, которой никогда не должно было существовать.

Начнем с нуля. По абсолютной величине ничего меньше нет.

Ноль — это симметрия.

Мы можем увидеть связь между симметрией и нулем, вообразив бухгалтерию какой-нибудь крупной организации. Бухгалтерские документы показывают, как приходят и уходят миллионы долларов. Если небрежно взглянуть на несколько отдельных трансакций, можно предположить, что поступления и расходы более или менее случайны. Однако в этих документах есть нечто странное: в конце каждого квартала главный бухгалтер сообщает, что прибыль в точности равна нулю. Иными словами, организация всегда выходит строго на уровень безубыточности. Как правило, такого не происходит: обычно мы ожидаем, что бухгалтерский баланс покажет прибыль или убыток, измеряемый миллионами. Это все равно что пытаться уравновесить на весах стадо африканских слонов и стадо индийских — весы обязательно склонятся в ту или иную сторону. Ноль в отчетах о прибылях и убытках компании указывал бы на идеальную симметрию между доходами и расходами, а это требует объяснения. Возможно, организация — благотворительный фонд, который провел строгий учет и решил направить всю свою прибыль на добрые дела. Дело в том, что такие исчезновения величин (в бухгалтерии, физике или стаде слонов) не происходят случайно. Всегда существует веская причина, и обычно она связана с симметрией.

Симметрия — это идеология природы. Взаимодействия субатомных частиц — строительных блоков для всего, что вы видите, — управляются симметриями Стандартной модели физики элементарных частиц. Ушедший XX век научил нас тому, что ключ к пониманию физики часто заключается в самых маленьких числах природы. Всякий раз, когда мы видим ноль или что-то неожиданно маленькое, мы начинаем думать о симметриях, которые могут нести за это ответственность.

Так что же такое симметрия?

Симметрии привлекают. И я имею в виду не только физиков. Люди считают симметрию физически привлекательной. Исследования показывают, что хорошее совпадение между левой и правой сторонами лица часто кажется красивым. Обычно это объясняется теорией эволюционного преимущества. Наши гены должны порождать симметричное лицо, однако процессу развития могут помешать другие факторы: возраст, болезнь, паразитарная инфекция. Все это признаки плохого здоровья. Именно поэтому нас привлекают симметричные лица: с эволюционной точки зрения мы стремимся спариваться со здоровым человеком.

На протяжении веков симметрия вдохновляла также и художников. Мы видим это в зеркальной и вращательной симметрии первобытных изображений, а также в величественных узорах Альгамбры — впечатляющего мусульманского дворца XIV века в испанском городе Гранада. Когда исламские мастера придумывали декор на полах и стенах Альгамбры, они создавали различные формы и узоры, демонстрирующие различные виды симметрии. Их можно сгруппировать по тем способам, какими они сочетают привычные симметрии отражения и вращения, а также менее известные трансляционные и скользящие симметрии.

Чтобы увидеть, как можно классифицировать по симметрии орнаменты Альгамбры, рассмотрите мозаику из Патио-де-лос-Аррайянес (Миртового дворика), показанную на следующем рисунке.

У меня этот орнамент вызывает в воображении образ летучих мышей, танцующих тройками на фоне звездного неба. Однако настоящая красота — в его симметрии. Двигаясь слева направо или по диагонали, вы можете заметить, что он обладает трансляционной симметрией. На рисунке также полно тройных поворотов. Например, если вы сделаете треть оборота — повернете орнамент на 120 градусов вокруг центра любой звезды, — изображение не изменится. То же можно сделать с центром одного из белых шестиугольников или даже с точкой, где соприкасаются три мышиных крыла. Другими словами, у вас есть тройка из тройных поворотов, а также два параллельных переноса. Такую комбинацию симметрий математики называют группой p3. В честь летучих мышей Альгамбры назовем ее «вальс втроем».

Другие орнаменты могут содержать те же симметрии, что и «вальс втроем», но могут обладать и другими, и это сделает орнамент иным с математической точки зрения. Группируя различными способами вращения, отражения, переносы и скольжения, мы можем легко представить бесконечную Альгамбру математически различных узоров, бесконечное количество двориков, каждый из которых имеет рисунок с собственной группой симметрии. Различные группы, которые характеризуют эти орнаменты, по понятным причинам называются группами орнамента. Но вот неожиданный факт: исламские художники воспроизводили только семнадцать узоров. Это не особо похоже на бесконечность. На самом деле, если мы поищем по всем культурам, окажется, что никто и никогда не рисовал ничего сверх этих семнадцати орнаментов. На первый взгляд это странно. В конце концов, можно вообразить огромное количество различных способов соединять повороты, отражения, переносы и скольжения, поэтому вроде бы нужно ожидать, что количество групп орнаментов будет очень велико, а возможно, и бесконечно. Почему выдающиеся мастера изображали только семнадцать из них? Причина точно не в отсутствии воображения. Оказывается, у нашей математической красоты есть ограничения. Из-за необходимости повторять орнамент существует только семнадцать различных комбинаций, которые можно сшить в узор нужным образом. Это можно доказать с помощью так называемой магической теоремы математики. Похоже, мусульманским художникам хватило изобретательности, чтобы запечатлеть абсолютно все орнаменты, которые могут существовать.

Это говорит нам о том, что симметрии — действительно особенные штуки. Они не просто разрешают какой-то старинный орнамент, и это справедливо и для искусства Альгамбры, и для космического искусства нашей неожиданной Вселенной. Если обнаруживается нечто особенное или неожиданное, то, скорее всего, виновата симметрия. Поскольку она становится ключом к разгадке тайн Вселенной, нам, вероятно, следует разобраться, что такое симметрия на самом деле. Когда я спросил свою старшую дочку, что ей приходит в голову при слове «симметрия», она ответила: «Квадрат». Я подумал, что это очень хороший ответ. В конце концов, у квадрата имеется какая-то четко определенная математическая красота. Если вы повернете его на девяносто градусов вокруг центра, он будет выглядеть точно так же. Он не изменится, если вы повернете его по диагонали или по прямой, проходящей через центры двух противоположных сторон. Именно это мы в реальности и подразумеваем под симметрией: вы воздействуете на объект каким-то нетривиальным образом, но это действие оставляет его неизменным. Например, для человеческого лица это действие заключается в зеркальном отражении, и действительно красивое лицо останется неизменным. Для плиток, изображающих танцующих летучих мышей в Альгамбре, такими действиями становятся параллельные переносы и тройные повороты.

А как же ноль? Существует ли действие, которое оставляет его без изменений? Если вы собираетесь думать о нуле как о вещественном числе, то одно из возможных действий в вашем распоряжении — смена знака. Иными словами, вы превращаете пять в минус пять, минус TREE(3) — в TREE(3) и т. д. Смена знака обычно переносит вас в другое место на числовой прямой, и единственное исключение — ноль. Когда вы меняете знак нуля, вы остаетесь в нуле. Иными словами, ноль — единственное вещественное число, симметричное относительно смены знака. Вы можете распространить эту идею на комплексные числа. Теперь вы можете утверждать, что ноль — единственное комплексное число, которое остается на месте при изменении аргумента. Конечно, связь между нулем и симметрией гораздо глубже, чем несколько математических уловок. Как мы увидим, неожиданное появление нуля — способ природы сообщить вам, что в ткани нашего физического мира существует некая симметрия. И поскольку в симметрии есть красота, это должно означать, что красота заключается в нуле.

Так и есть.

Однако наши предки считали так не всегда. У нуля есть и другая сторона, о которой я также должен рассказать: история подозрительности и недоверия. Проблема в том, что древние ученые видели в нем глубину пустоты. Они видели там ничто, то есть отсутствие Бога и суть зла. Философ Боэций в ожидании казни в 524 году нашей эры писал:

В средневековом сознании Боэция ноль не был тем объектом красоты, каким он представляется мне.

Это был сам дьявол.

А теперь время для дьяволов. Пора рассказать историю прекрасного числа с самого начала, раскрыть правду о его нелегком путешествии сквозь паранойю человеческой истории. Мы будем двигаться шаг за шагом, переходя от одной древней цивилизации к другой, от Месопотамии к Греции, от Индии к Аравии, пока наконец не дойдем до дьяволов и бухгалтеров Западной Европы. Каждый шаг расскажет свою историю: в некоторых случаях ноль будут славить, но чаще презирать. История ничего начинается в Плодородном полумесяце на территории современного Ирака — с рождения чисел.

Именно здесь, в Шумере, в Древней Месопотамии, более 6000 лет назад зародилась древнейшая в мире цивилизация. Древние шумерские города-государства Урук, Лагаш, Ур и Эриду находились между реками Тигр и Евфрат, в районах с развитым сельским хозяйством. Как и в Египте, математика потребовалась местной цивилизации, похоже, раньше литературы, и самые ранние записи — нумерованные инвентарные списки, а не тексты. Иначе говоря, первыми были бухгалтеры. В истории нуля они также окажутся последними.

Около 3000 года до нашей эры шумерские счетоводы стали выдавливать знаки на глиняных табличках. Если они хотели зафиксировать пять хлебов и пять рыб, то делали пять изображений хлеба и пять изображений рыбы. Первый крупный интеллектуальный скачок произошел, когда люди отделили число от объектов, которые приходилось считать. Иными словами, они отображали пять хлебов с помощью числа, обозначавшего пять, и символа хлеба. Если им требовалось указать пять других предметов, они понимали, что могут взять то же число, а значок хлеба заменить значком рыбы, кувшина с маслом или любого иного требуемого объекта. Шумеры разработали идею освобожденного числа, существующего отдельно, не зависящего от подсчитываемых предметов. Идею такого абстрактного числа легко счесть само собой разумеющейся, поскольку она прочно укоренилась в современном мышлении, однако для самых ранних цивилизаций она оказалась принципиально новой и в высшей степени мощной.

Благодаря этому прорыву шумеры начали разрабатывать систему счисления, основанную на числе 60, введя отдельные символы для 1, 10, 60, 600, 3600 и 36 000. По сути, мы не знаем, почему они выбрали преимущественно шестидесятеричную систему. Самая популярная теория, восходящая еще к Теону Александрийскому (около 335 — около 405 года нашей эры), состоит в том, что число 60 было взято из-за большого количества делителей. Какова бы ни была причина выбора, наследие этой системы счисления сохранилось до сих пор: сейчас у нас шестьдесят секунд в минуте и шестьдесят минут в часе.

В этой ранней системе записи не было особых хитростей. Шумеры просто добавляли символы, пока не получали нужное число. Например, если они хотели изобразить число 1278, они дважды рисовали число 600, затем 60, 10 и восемь раз по 1. Этот способ не особо удобен. Все изменилось примерно в 2000 году до нашей эры, когда математики Месопотамии совершили следующий крупный интеллектуальный скачок: они начали осознавать важность положения цифр. Шумеры и их вавилонские преемники начали разрабатывать новую систему счисления, основанную всего на двух знаках: стоячий клин означает 1, а лежачий — 10. Однако принципиально важно то, что на общий смысл влияло относительное положение знаков. Например, рассмотрим число 56. Оно записывается пятью копиями лежачего клина (10) и шестью копиями стоячего (1).

Это не кажется особо интеллектуальным. Но предположим, что мы переместим два стоячих клина влево следующим образом.

В этом случае вавилонские математики интерпретировали два клина иначе: это уже не две единицы, а две шестидесятки. Получается число 174. В результате они разработали шестидесятеричную систему счисления, в которой относительное положение цифр показывает соответствующую степень числа 60. Вот еще один пример.

Это была самая умная система счисления на тот момент. Причем крайне эффективная, поскольку позиционная система значительно уменьшила количество символов, необходимых для выражения чисел. Однако кое-что отсутствовало. А точнее, отсутствовало ничто. Я объясню это на примере следующей истории.

Один жрец вызвал вавилонского математика и попросил записать число пожертвований, принесенных в храм. Мешок зерна. Резьба по дереву. Слоновая кость, шелк и драгоценные металлы. Математик все считает и получает в общей сложности 62 подношения. Поскольку 62 = (1 × 60) + (2 × 1), он оттискивает на глиняной табличке следующие символы и подает священнику.

На следующей неделе приношений оказывается гораздо больше. Больше украшений, золота, вина и пищи. Математика снова просят подсчитать их и зафиксировать на глиняной табличке.

Закончив подсчеты, он берет стило и оттискивает следующие знаки.

Жрец в ярости. Очевидно, что человек, который считал, смошенничал. На этой неделе пожертвований было гораздо больше, а число на табличке — то же. Священника так просто не одурачить, и он требует смерти математика. Математика тащат на казнь, но он заявляет о своей невиновности: он насчитал 3602 приношения, то есть действительно гораздо больше, чем 62, которые были на предыдущей неделе. Однако в шестидесятеричной системе счисления 3602 = (1 × 60²) + (2 × 1), так что записать это число можно только так, как он и сделал. Жрец, как и большая часть вавилонского общества, не разбирался в деталях новой позиционной системы счисления. По его мнению, математик дважды написал одно и то же число. Он пытался обдурить храм. В результате ничто не могло помочь математику. Хотя как раз ничто — я имею в виду ноль — и могло бы его спасти.

В шестидесятеричной системе мы имеем 3602 = (1 × 60²) + (0 × 60) + (2 × 1), так что на самом деле следовало бы писать сначала один , затем ноль, а затем еще . Тогда была бы видна разница с числом 62 = (1 × 60) + (2 × 1), в записи которого стоят сначала , а затем . Однако древние вавилоняне отмечали ноль, просто оставляя пустое место, и это место не всегда было достаточно большим. По их мнению, контекст давал возможность понять неоднозначность. Как показывает печальная история храмового математика, такая система может легко дать сбой. Глядя на табличку, жрец не смог сказать, идет ли после первого символа бессмысленное пустое место или это вполне осмысленный ноль.

Позиционная система счисления Древнего Вавилона — блестящий образец математики, однако отсутствие символа нуля было принципиальным пороком. Примерно к 1600 году до нашей эры ею перестали пользоваться, и больше 1000 лет система бездействовала. Возрождение произошло после того, как в IV веке до нашей эры в Месопотамию пришла армия Александра Македонского. На пике своего могущества Александр внезапно умер во дворце Навуходоносора в Вавилоне — в возрасте всего тридцати двух лет. В последовавшие кровавые годы полководцы царя поделили государство, и огромная азиатская его часть досталась Селевку, который основал государство Селевкидов, просуществовавшее с 312 года до нашей эры до римского завоевания в 63 году до нашей эры. Именно в этот период месопотамские математики сделали свой третий значительный интеллектуальный скачок. Они заново открыли для себя великолепие позиционной системы и приправили ее замечательным новым ингредиентом.

Каждый раз, когда вы видите этот символ в числе, его нужно считать пустым местом для разряда, соответствующего 60 или 3600 — в зависимости от положения. Это был ноль, но не отдельная цифра, обозначающая его, а указатель пустого места. Если бы наш древний математик знал такой символ, то избежал бы гнева священника. Он мог записать число 3602 более понятно.

Новый символ нуля отчасти устранял неопределенность, от которой страдала позиционная система счисления. Он давал математикам и астрономам Древнего Вавилона беспрецедентные вычислительные возможности, хотя в целом не прижился. Как ни странно, ученые ставили такой символический ноль только в начале или середине числа, но не в конце, так что некоторая двусмысленность оставалась. Знак также нельзя было найти отдельно — он не был самостоятельным числом. Первоначально этот символ использовался для разделения предложений, а не чисел, и это позволяет предположить, что в действительности он мог обозначать пробел, а не число. Тем не менее вавилоняне сделали заявку на изобретение нуля, по крайней мере в качестве рудиментарного указателя пустого места.

Конкурирующие заявки на первый ноль подавали майя, жившие в Мезоамерике, и, конечно, древние египтяне. У майя ноль изображался в виде раковины, а иногда и головы бога, рука которого задумчиво прижималась к подбородку. Хотя майяский ноль, вероятно, появился раньше вавилонского, он не был ни особым числом, ни указателем места. Он использовался для отсчета времени, помогая измерять количество дней, месяцев и лет от нулевого дня майя, мифического момента творения, датируемого 11 августа 3114 года до нашей эры по сегодняшнему календарю. Египтяне никогда не использовали ноль в своих числах, однако применяли знак nfr, записываемый как , для обозначения пустого остатка в расчете или уровня земли на площадке, где возводились пирамиды. На древнеегипетском языке это означало «хороший», «полный» или даже «красивый», что превосходно перекликается с нашим представлением о нуле как воплощении симметрии и красоты.

Ни майяский, ни египетский нули не вышли за пределы своих цивилизаций. А вот вавилонскому это удалось: в годы, последовавшие за македонским завоеванием, вместе с золотом, женщинами и детьми, взятыми в рабство, в Грецию последовал и ноль. Греки записывали свои числа с помощью букв. Они обозначали буквами определенные числа (например, 1, 2 или 100), а с помощью различных сочетаний можно было получить другие числа (например, 101 или 102). Позиционной системы у греков не было. Но даже после встречи с вавилонской системой мало кто обладал достаточным интеллектом, чтобы осознать ее преимущества, да и восхищение ею предпочитали скрывать. С помощью импортированного метода греческие математики начали выполнять более сложные расчеты, однако полученные результаты затем переводили обратно в свою старую систему. Что касается вавилонского нуля, то греки, безусловно, о нем знали и со временем придумали свой собственный знак , очень похожий на тот, который мы используем сегодня. Вероятно, это просто совпадение, поскольку символ не попал ни в одну из старых систем числительных. Греки усовершенствовали идею вавилонян, начав ставить нули и в конце чисел, однако они никогда не выпускали ноль на свободу — не признавали его отдельным самостоятельным числом. Если учесть прекрасную репутацию греческих математиков, естественно спросить, почему так получилось. На каком-то уровне это их просто не интересовало. В греческой математике доминировала геометрия, осязаемые отрезки и формы, поэтому трудно увидеть, где бы нашлась какая-нибудь роль для нуля. Но проблема лежала глубже. У греков было презрение и недоверие к нулю, а Запад позже с готовностью подхватил эстафету.

Это был философский вопрос.

Проблемы начались с Зенона Элейского. Зенон принадлежал к философской школе, которую возглавлял его учитель Парменид, отвергавший идею изменения, утверждая, что движение, которое мы видим, — всего лишь иллюзия. Зенон применял эту мысль ко всему — гоночной колеснице, летящей стреле, водопаду, и ни одно из этих движений не оказывалось реальным. Конечно, это кажется абсурдом. Мы собственными глазами можем видеть окружающий нас разнообразный и меняющийся ландшафт. Однако Зенон сочинил несколько парадоксов, которые, казалось, доказывали, что, когда речь идет о познании истины, нашим чувствам доверять нельзя. Понимание и непонимание одного из парадоксов тесно связано с нулем, хотя на первый взгляд это и не заметно.

Мы расскажем свою версию этой истории. Ахиллес, величайший воин из греческой мифологии, соревнуется в беге с черепахой. Он уверен в успехе, ведь его максимальная скорость составляет десять метров в секунду, а никто никогда не видел, чтобы его неторопливая соперница двигалась быстрее, чем один метр в секунду. Он решает дать рептилии фору и начинает забег, стоя позади конкурентки на десять метров. Пусть Ахиллес мгновенно набирает свою максимальную скорость и за одну секунду достигает той точки, с которой движение начала черепаха. Но черепахи там уже нет. Она продвинулась за эту секунду всего лишь на метр, но что ни говори, а Ахиллес ее пока не догнал. За десятую долю секунды Ахиллес пробежал недостающий метр, но черепаха за это время тоже продвинулась дальше — на этот раз на десять сантиметров. Когда Ахиллес преодолеет эти десять сантиметров, черепаха продвинется еще на сантиметр и т. д. С каждым новым шагом воин приближается, но, чтобы догнать черепаху, ему требуется бесконечное количество шагов. Иными словами, Ахиллес никогда ее не догонит.

Зенон озадачил современников. Ясно, что Ахиллес справится с проблемой и догонит черепаху за считаные секунды, но где ошибка в рассуждениях? Другие философы сочли, что дело в бесконечном числе шагов, — и были правы. Однако для решения проблемы бесконечности им также требовалась математика нуля, которой у них не имелось. Зенону было все равно. По его мнению, неспособность философов объяснить парадокс доказывала, что нашим чувствам нельзя доверять. Это был триумф школы Парменида.

Зенон умер насильственной смертью. Он жил в древнегреческом городе Элее, которым правил жестокий тиран Неарх. Зенон замыслил свергнуть правителя, но заговор был раскрыт, Зенона схватили и передали Неарху. От него требовали назвать имена других заговорщиков, но, как его ни пытали, он никого не выдал. Философ сообщил, что у него есть тайна, но, если тиран хочет ее услышать, ему придется подойти поближе. Когда тот наклонился, Зенон вцепился зубами в тирана и не отпускал. В результате философа закололи. Некоторые говорят, что он вцепился в ухо Неарха; другие говорят, что это был нос.

Спустя столетие о парадоксе Зенона начал размышлять Аристотель — отец западной философии. Он разобрался с ним, введя правило, что в природе никогда не может быть бесконечного количества. Зенон пытался поделить забег на бесконечное количество частей. Согласно правилу Аристотеля, эти кусочки сами по себе не являются реальностью — они всего лишь плод воображения Зенона. Реальным был только весь континуум забега, когда Ахиллес обгонял черепаху единым непрерывным движением.

В действительности Аристотель признавал возможность бесконечности, но утверждал, что этот потенциал нельзя реализовать. Чтобы понять, что он имел в виду, предположим, что вы разрезаете шоколадный торт. Вы можете резать его снова и снова, и в принципе можно представить, что вы сумеете проделать это бесконечное количество раз. Однако мы знаем, что в реальном мире у вас ничего не получится. Даже если мы признаем возможность достижения бесконечности, мы также знаем, что у вас никогда не получится торт с бесконечным числом бесконечно маленьких кусочков. Иными словами, вы можете держать бесконечность в уме, но не в руке. По мнению Аристотеля, Зенон застрял именно здесь.

С нашим современным пониманием нуля мы можем преодолеть разрыв между воображением Зенона и континуумом Аристотеля. Дело в том, что бесконечное количество шагов не означает автоматически бесконечное время. Иногда вы можете получить конечное время, когда число шагов стремится к бесконечности, но при этом сами шаги становятся все короче и короче, стремясь к нулю. Если мы внимательнее посмотрим на парадокс Зенона, то увидим, что Ахиллес завершает первый этап бега через 1 секунду, второй — через 1,1 секунды, третий — через 1,11 секунды, четвертый — через 1,111 секунды и т. д.; приращения становятся все меньше и меньше. Экстраполируя результат на бесконечное количество этапов, мы видим, что общее количество секунд составляет 1,111111111… Математически это эквивалентно 1 + ¹/₉ секунды. Парадокс разрешен: Ахиллес не только догонит черепаху, но и сделает это менее чем за две секунды.

Если не осознавать должным образом, что такое ноль, это решение всегда останется за рамками понимания Аристотеля и других греческих философов. Однако прошло более 2000 лет, прежде чем парадокс Зенона поняли полностью. Определенную ответственность за это должен взять на себя Аристотель. Его отказ от бесконечности был первой из трех идей, которые привели к глубоко укоренившемуся в западном мышлении недоверию к нулю. Отвергая бесконечно большое, Аристотель отвергал и бесконечно малое — стремящиеся к исчезновению этапы в пределе забега Ахиллеса. Однако во второй части своей идеологической троицы он пошел еще дальше. Он отверг пустоту пространства и сущность ничего. Для средневековых умов, изучавших его работы, это стало отрицанием нуля.

Причина в том, что Аристотель воевал с атомистами — соперничающей философской школой, в которой считали, что материю нельзя делить до бесконечности. Атомисты утверждали, что материя состоит из крошечных неделимых кусочков (атомов), резвящихся в бесконечной пустоте. Это дало им альтернативный взгляд на парадокс Зенона: если материю нельзя бесконечно делить, как же Зенон мог делить забег на постоянно уменьшающиеся этапы? Атомистическая точка зрения принципиально расходилась с аристотелевской. Он считал, что материя непрерывна, она расширяется и сжимается, переходя между четырьмя основными элементами: землей, водой, воздухом и огнем. В его модели Вселенная была разделена на концентрические сферы: в центре расположены земные сферы, где живут люди, а на краю находятся небесные, где сверкают небесные тела — Луна, Солнце, планеты и звезды. Земные сферы представляют собой изменчивую тленную среду, разделенную на четыре слоя: в центре земля, далее слои воды, воздуха и, наконец, огня. Материя может переходить из одной формы в другую. Когда материя холодная и сухая, она становится землей; когда холодная и сырая — водой; горячая и влажная — воздухом; горячая и сухая — огнем. Меняя свою форму, материя перемещается по слоям, пока не находит свое естественное место: земля опускается к центру, а огонь поднимается вверх.

Вселенная Аристотеля не нуждалась в пустоте, а вот атомистическая Вселенная нуждалась: ей требовалось то, в чем могли бы двигаться частицы. Поэтому Аристотель приступил к дискредитации этой идеи. Он начал с размышлений о том, как твердые объекты падают на землю. Ученый заметил, что при падении через плотную среду (например, воду) они опускаются медленнее, чем при движении через разреженную среду. Он также утверждал, что более тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — без сомнения, размышляя о камнях и перышках, опускающихся в воздухе. На основании этого он решил, что скорость падающего объекта должна быть пропорциональна простому отношению

У пустоты мгновенно возникли неприятности. Поскольку ее плотность равна нулю, все объекты должны пролетать сквозь нее с бесконечной скоростью, а пространство между атомами — бесконечно быстро заполняться. Это недопустимо, поэтому пустота не может существовать. Конечно, камень падает быстрее перышка не из-за своего веса, а из-за сопротивления воздуха. Тут крылась ошибка в рассуждениях философа, но это уже не имело значения: вред был нанесен. Для Аристотеля и его последователей пустоты не существовало. Не бывает бесконечности и не бывает нуля.

Почему эти идеи прожили так долго? Что именно в трудах Аристотеля так привлекало ученых средневековой Европы? Третья часть его идеологической троицы: доказательство существования Бога. Оно пришло из небесных сфер, состоящих из пятого элемента, который получил название эфир. В отличие от четырех земных элементов, эфир, будучи нетленным, не мог менять форму. Слои эфира находятся снаружи относительно земных элементов и по-разному вращаются. Есть свои сферы для Луны, Солнца и каждой из планет — блуждающих звезд. Все это окружал последний слой — сфера вечной тьмы, усеянная мерцающими огнями. Это были неподвижные звезды, совместно двигающиеся по краю материального мира. Но откуда взялось все это движение? Что дирижирует таким небесным оркестром? Аристотель утверждал: для того чтобы что-то двигалось, должно существовать нечто другое, становящееся причиной движения. Например, вы можете вообразить, что каждую сферу приводит в движение ее более крупная соседка: лунную сферу приводит в движение Меркурий, сферу Меркурия — Венера и т. д. Но что в этом случае произойдет, когда мы дойдем до сферы звезд? Кто двигает ее? Аристотель заявил, что причина этого движения находится вне материального мира. Движение исходило от перводвигателя — иными словами, от Бога.

Такая философия оказалась привлекательной для христианства, распространявшегося по западному миру. Хотя Аристотель доказал существование нехристианского Бога, христианские богословы вроде Фомы Аквинского с радостью приняли это доказательство. Они приветствовали Вселенную Аристотеля и пришли к выводу, что поддержка атомистов означает отрицание существования их собственного Бога. Они отвергли пустоту и отвергли ноль.

Однако история нуля продолжалась. Подобно солнцу, он взошел на востоке. Возможно, на самом деле нам лучше говорить о понятии шунья. Это санскритское слово означает не только «ноль», но и «пустой». В отличие от христиан с их страхами перед ересью, буддисты приняли пустоту — она стала центром их духовности. Шуньята («пустота, незаполненность») — важное понятие в буддизме. Буддист стремится постичь пустоту и прийти к освобождению с помощью силы медитации. Схожие идеи можно найти и в других восточных религиях, таких как индуизм или джайнизм.

Одни говорят, что ноль пришел в Индию из Вавилона после походов Александра Македонского; другие считают, что понятие развилось в самой Индии из семени Шуньяты. Мы не знаем. Зато мы точно знаем, что именно здесь находится исток нашего собственного нуля. Именно здесь появился символ, который будет передаваться из поколения в поколение и достигнет современной круглой формы. Но еще важнее то, что в Индии ноль наконец получил свободу.

В какой-то момент в середине первого тысячелетия индийцы перешли на систему счисления, очень похожую на нашу. Она была позиционной, как и у вавилонян, только десятичной, а не шестидесятеричной. Когда именно произошел этот переход, сказать сложно, и причина тому — мошенничество. Многие древние документы носили юридический характер, удостоверяя пожалование земель определенным людям. Поскольку позже они использовались как доказательство прав собственности на землю, даты на них часто подделывали.

Некоторые воспользовались этим фактом для подтверждения того, что индийские цифры появились не ранее IX века. Если какие-либо даты заставляли предположить, что они старше, соответствующие документы объявлялись подделками. Эта фанатичная точка зрения восходит к работам Джорджа Кэя — влиятельного английского ученого и востоковеда начала XX века. Планы Кэя были опасными: он презирал Индию и стремился установить европейское превосходство в царстве математики. Дискредитировав ранние индийские документы, он мог утверждать, что современная система счисления создана не в Индии, ее просто привезли туда из Греции или Аравии. К сожалению, Кэя активно поддерживали другие британские ученые, многие из которых позволяли своим предубеждениям по отношению к Востоку омрачать свои научные суждения.

Сейчас взгляды Кэя опровергнуты. Хотя мы справедливо считаем некоторые документы сомнительными, кажется маловероятным, что абсолютно все они имеют ошибочные даты, и большинство ученых теперь соглашаются с тем, что современная система счисления возникла в Индии к V веку. В том числе и ноль. Мы можем проследить его происхождение до берестяного манускрипта, обнаруженного в 1881 году одним крестьянином в деревне Бакхшали (на территории современного Пакистана). Берестяные страницы содержат математический текст — правила для вычисления квадратных корней, дробей, решения различных уравнений, а также набор цифр, порой и сегодня почти узнаваемых.

Ноль изображен в виде точки — прямого предка того кружка, который мы используем сейчас. Датирование манускрипта Бакхшали сталкивается с проблемами. Питаемый своими предубеждениями Кэй утверждал, что он не может быть старше XII века, однако возраст документа явно намного больше. Анализ текста позволяет предположить, что это могла быть копия более древнего произведения, возможно относящегося к III веку. Чтобы разобраться в вопросе, из манускрипта взяли три образца для радиоуглеродного анализа. Однако анализ дал разный их возраст: 224–383, 680–779 и 885–993 годы. Сейчас документ хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

В конце концов ноль был освобожден великим индийским математиком и астрономом Брахмагуптой. В 628 году он написал труд «Брахма-спхута-сиддханта», или «Правильно изложенное учение о Брахме». Он работал с отрицательными числами и на границе с ними увидел шунья. Он начал думать о смысле сумм и разностей, умножения и деления. Если разность 3–4 — число, то почему бы числом не быть разности 3–3? Брахмагупта понял, что ноль — настоящее число, не просто указатель пустого места, а честный игрок в математической игре. Правила были просты: если к произвольному числу прибавить ноль или вычесть его из произвольного числа, получится то же число; если число умножить на ноль, получится ноль; если же поделить на ноль… ну, может быть, не все так просто.

Когда Брахмагупта попытался делить на свое новое число, он стал ошибаться. Например, он заявил: если делить ноль на ноль, получится ноль. Но это не обязательно так. Чтобы понять это, представьте двух близнецов. Оба приняли препарат для снижения размера и внезапно начинают уменьшаться. Сначала их рост уменьшается вдвое, затем еще раз вдвое, и так до бесконечности — рост близнецов стремится к нулю. Поскольку они оба уменьшаются с одинаковой скоростью, соотношение их размеров всегда равно единице. Оно никогда не меняется, поэтому, даже когда оба близнеца в бесконечном будущем сократятся до нуля, это отношение должно остаться равным единице. Получается, что ноль, деленный на ноль, равен единице? Тоже не обязательно. Предположим, что этот препарат употребили великан и карлик. Сначала великан в десять раз выше карлика, и, поскольку они тоже уменьшаются с одинаковой скоростью, отношение их ростов остается прежним — оно всегда равно десяти. Следовательно, вы можете заключить, что ноль, деленный на ноль, дает десять. Но разве мы только что не доказали, что это один? Истина в том, что это отношение может быть каким угодно. В результате может получиться ноль, один, десять, TREE(3) или даже бесконечность. Отношение двух нулей само по себе не определено. Вы можете взять отношение двух очень маленьких чисел и изучать этот предел по мере того, как числа становятся все меньше. Это имеет смысл с математической точки зрения, однако, как мы только что видели, итоговый ответ всегда будет зависеть от того, как именно вы приближаетесь к пределу. Ноль, деленный на ноль, не имеет смысла, пока вы не объясните, что это за нули и насколько быстро стремится к нулю числитель по сравнению со знаменателем.

Когда дело дошло до деления единицы на ноль, Брахмагупта сдался. Неудивительно. Как писал в XII веке другой индийский «волшебник», Бхаскара Ачарья, подобное деление дает хахару («бесконечность») — такую же неизменную, как бог Вишну, бесконечный и всемогущий. Восемьсот лет спустя деление на ноль поразит американский флот. Тогда, 21 сентября 1997 года, глубоко внутри компьютерных систем «Йорктауна» — ракетного крейсера водоизмещением 10 000 тонн, стоявшего у города Кейп-Чарльз, — притаился ноль. В результате единственного деления он вывел из строя всю сеть, двигательная установка отключилась и корабль парализовало. По словам Тони Диджорджио, инженера Атлантического флота, который называет себя разоблачителем, «Йорктаун» пришлось отбуксировать на военно-морскую базу «Норфолк», где он простоял два дня. Официальные лица Атлантического флота опровергли эту версию событий, однако признали, что из-за деления на ноль корабль почти три часа простоял парализованным. Как понял еще Брахмагупта, ноль — это всего лишь число, однако никогда не делите на него, особенно если приближается враг.

Теперь, когда ноль освободили, он был готов распространиться по всему миру. В начале VII века, когда Брахмагупта заканчивал свой шедевр, пророк Мухаммед приказывал своим последователям готовиться к паломничеству в Мекку. На Ближнем Востоке начал распространяться ислам. В последующие столетия Арабский халифат продолжал расширяться, превратившись в обширную величественную империю от Испании на западе до Китая на востоке. Динамизм этого государства зависел от торговых артерий, по которым шли не только товары, но и идеи: и религиозные, и математические.

В центре этого интеллектуального мира находился Дом мудрости в Багдаде. Руководители исламского государства осознавали важность знаний. Они посылали ученых в экспедиции для сбора текстов из дальних уголков халифата. Особенно отличился здесь Аль-Мамун, самый ученый халиф из династии Аббасидов, который правил в начале IX века. Именно во время его правления Дом мудрости превратился в величайший учебный центр, который когда-либо видел мир. Одним из ученых этой академии был блестящий персидский математик Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Он прославился книгой «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», где рассматривал математические методы решения уравнений. От слова «аль-джебр» в названии трактата произошло слово «алгебра». Эта книга стала одной из самых важных в истории математики. Древнегреческую одержимость геометрией заменили спокойные математические преобразования. Вопросы стали уравнениями, ответы — их корнями, а алгебра — магией, которая связала все воедино.

К моменту работы аль-Хорезми индийцы обозначали ноль уже не точкой, а кружком. Арабы узнали о нуле и остальных индийских цифрах около полувека назад, после визита послов из индийской провинции Синд ко двору багдадского халифа аль-Мансура в 773 году. Посольство из Синда привезло в подарок халифу копию книги Брахмагупты. Когда спустя десятилетия аль-Хорезми начал изучать этот трактат, ученый сразу же осознал его важность. Он начал изучать правила индийской арифметики, включая те, что касались нуля, и разработал алгоритмы для сложения, вычитания, умножения и деления. Само слово «алгоритм» происходит от algorismus — искаженной латинской передачи имени аль-Хорезми. Наследие аль-Хорезми так велико, что мы обычно называем современные цифры арабскими, несмотря на их индийское происхождение. Он взял неограненный индийский камень, отполировал его и поднял ввысь, так что тот ярко засверкал во всем исламском мире, а затем и за его пределами.

Для описания нуля аль-Хорезми использовал слово сифр. От него произошло современное слово «цифра». Сифр — прямой перевод слова сунья, означавшего пустоту, которая так противоречила аристотелевскому учению. Мусульмане, безусловно, знали об Аристотеле и его доказательстве существования Бога. Почему же они не отвергли сифр? Почему не осудили ноль, как это было на Западе? Дело в том, что появились люди, которые начали сомневаться в Аристотеле. В начале X века стала развиваться новая школа исламского богословия. Ее основал Абу-ль-Хасан аль-Ашари — суннит, который отказался от Аристотеля ради его смертельных соперников атомистов. Это соответствовало предложенной аль-Ашари идее окказионализма — радикальной попытке навязать всемогущество Бога всей природе. Окказионализм заявляет, что все события вызваны Богом — от прыгающего мяча до человеческой мысли. Время разбивается на череду случайностей (каждая происходит по воле Бога), а материя распадается на атомы — жертвы этих случайных событий. В каждый конкретный момент Бог желает, чтобы произошли новые случайные события, и атомы выстраиваются соответственно. В некотором смысле такая философия перекликается с квантовой механикой. Движение атомов не детерминировано. Для ашаритов оно определяется волей Бога, а в квантовой теории фиксируется посредством измерения.

Самым знаменитым представителем ашаритской школы был Абу Хамид аль-Газали, которого многие считают муджаддидом — личностью, появляющейся раз в столетие, чтобы обновить веру исламского народа. В своем учении аль-Газали осудил аристотелевское мышление и аналогичные идеи, противоречившие всемогуществу Бога, объявив, что всех их последователей нужно предать смерти. Его влияние было таким, что положило начало концу натурфилософии в средневековом исламе в пользу жесткой религиозной линии. Однако, приняв атомистов и промежуточную пустоту, он позволил процветать сифру. Казалось, что Аллах одобрил ноль.

Всего за семь лет, в начале VIII века, Омейядский халифат неумолимо распространился по всему Пиренейскому полуострову. Создав Аль-Андалус, арабы открыли канал для попадания исламских знаний в Западную Европу. Однако преодолеть границу было непросто. Христианский и исламский миры часто находились в состоянии войны — от походов Карла Великого на север Испании в 778 году до Крестовых походов XI, XII и XIII веков. Большую часть этого времени христиане по-прежнему использовали римские цифры и мало интересовались еретическим нулем. Они оставались преданными Аристотелю, его отрицанию пустоты и доказательству существования Бога. Ноль бросал этому вызов. Он бросал вызов их вере.

Ситуация начала меняться к концу XII века, когда торговец из Пизы Гульельмо Боначчо был назначен представителем пизанской торговой конторы в средиземноморском городе Беджая в Алжире. Он решил взять с собой сына Леонардо. Арабский мир был интеллектуальным плавильным котлом, и сын мог как минимум научиться пользоваться абаком — средневековыми счетами. Однако Леонардо научился гораздо большему. Он влюбился в арабскую математику и индийские цифры, и эта любовь навеки прославила его. Вы, наверное, знаете его под другим именем.

Фибоначчи.

Под этим именем он прославился случайно. Леонардо подписал свою работу «filius Bonacci», что означает «сын Боначчо», а сокращение этих слов стало ошибочно восприниматься как фамилия. Однако при жизни он никогда не именовался Фибоначчи. Он называл себя Биголло, что, вероятно, означало «странник». Подходящее прозвище, ведь Фибоначчи много путешествовал — по Сицилии, Греции, Сирии и Египту, — собирая повсюду знания. На рубеже XII–XIII веков, когда ему было около тридцати лет, он решил вернуться в Пизу и начал работать над своим шедевром. Через два года, в 1202 году, появилась Liber Abaci — «Книга абака». Это был трактат о математике, которую он изучал в арабском мире: об алгебре и арифметике, о применении математики в торговле и о чудесных индийских цифрах, к которым он питал такое почтение. В начале первой главы он писал:

Обратите внимание на разделение. Фибоначчи говорит о нуле как о знаке, отдельном от остальных девяти форм. Конечно, он знал о работе Брахмагупты, сделавшей ноль отдельной цифрой, но все же не смог заставить себя уравнять его с остальными индийскими цифрами. Это было слишком эксцентрично. Каким бы просвещенным математик ни был, он, очевидно, все еще нервничал из-за нуля. Однако в целом это уже не имело значения. Ноль и другие индийские цифры наконец прорвали линию обороны. Они попали в христианский мир.

Значительная часть книги Фибоначчи посвящена математике торговли, использующей восточные алгоритмы для расчета прибыли и процентов или конвертации валют. Несмотря на очевидные преимущества, европейские торговцы не спешили брать на вооружение эти методы. Многие по-прежнему предпочитали работать с римскими цифрами, используя абак или счетную доску, на которой раскладывались бусины или камешки. Началось соперничество между абакистами, которые цеплялись за старые способы подсчета, и алгоритмистами, пользовавшимися вычислительной мощью восточной математики.

И власти, и обычные люди не доверяли этому таинственному заимствованию с Востока. В 1299 году во Флоренции индийские цифры были запрещены — во избежание мошенничества, ведь ноль можно легко изменить на шестерку или девятку. Однако запрет не остановил алгоритмистов. Они продолжали использовать эти цифры в частном порядке, вызывая при расчетах дух аль-Хорезми. Сначала их считали безбожниками, которые тратят больше времени на свои алгоритмы, чем на молитву. Но, как всегда, выгода для торговли перевесила, и власть уступила. Ноль и остальные индийские цифры оказались слишком мощными инструментами, и игнорировать их не получилось. Они были обречены на успех.

Даже церковь, похоже, была готова к переменам. В XIII веке парижские епископы выпустили ряд осуждений — документов о различных еретических учениях, которые могли привести к отлучению ученых от церкви. Там оказались и тексты Аристотеля — человека, который когда-то вдохновлял своим доказательством существования Бога таких богословов, как святой Фома Аквинский. В идеях Аристотеля епископы начали усматривать вызов всемогуществу Бога, как и мусульмане несколькими веками ранее. В осуждении 1277 года епископ Этьен Тампье рассматривал вопрос о движении небес. Аристотель говорил, что их невозможно перемещать по прямой линии, поскольку такое движение оставляет вакуум, заполненный пустотой, которую он категорически отвергал. Для Тампье это была явная ересь. Бог может сделать все, что желает. Он может сдвинуть небеса, как ему угодно; он способен создать вакуум. Кто такой Аристотель, чтобы утверждать обратное?

Местами позиции Аристотеля в христианской философии оставались сильными, однако его влияние начало разрушаться. Если христиане могли принять пустоту, они могли принять и ноль. Однако долговременные перемены и принятие нуля осуществили не парижские епископы. Это сделали бухгалтеры.

Они изобрели двойную запись.

В каком-то смысле такое окончание истории нуля разочаровывает, однако именно так он в итоге и победил. Двойную бухгалтерию придумали для учета растущих сложностей в торговле. Самые старые сохранившиеся бухгалтерские книги с ее применением относятся к счетам казначейства Генуэзской республики (1340 год). Система была простой, но гениальной. В одной колонке вы подсчитываете свои активы, в другой — пассивы, и при правильном учете разница должна быть нулевой. Эта система использовала сильные стороны алгоритмистов, располагавших положительные и отрицательные числа по обе стороны от выделенного нуля. В 1494 году отец бухгалтерии, францисканский монах Лука Пачоли, изложил этот метод в своем легендарном учебнике по практической математике. Он выразил числами все — дебет, кредит и даже нулевой баланс. Больше не было места для аргументированных споров. Ноль восторжествовал, но не в результате взрыва или насильственного ниспровержения религиозных идеалов, а в результате торговой уловки и потребности добиться баланса в бухгалтерских документах.

Что такое ноль? Наши предки говорили, что это пустота — проклятая на Западе из-за отсутствия Бога и благословляемая на Востоке из-за безмолвного совершенства. Возможно, вы скажете, что ноль — просто число вроде единицы, двойки или числа Грэма. Но тогда я вынужден спросить: что такое число? До того как древние шумеры высвободили числа, их всегда держали рядом с чем-то другим: пять хлебов, пять рыб, пять кувшинов масла. Прорыв произошел, когда шумеры определили общий признак у всех этих совокупностей: отдельное число пять. Связь между числами и вещами, которые они считают, разорвать трудно. Действительно ли пятерка, которая подсчитывает количество хлеба, — это та же самая пятерка, которая обозначает количество рыбы?

Этот вопрос действительно возник в конце XIX века, когда такие математики, как беспокойный немец Георг Кантор, начали думать о совокупностях объектов — о множествах. Как мы увидим в , теория множеств выросла из религиозного стремления Кантора шагнуть в бесконечность, забраться высоко в бескрайние небеса. Однако первым использовать множества для размышлений об обычных числах — 0, 1, 2 и т. д. (такие числа мы обычно называем натуральными) — стал другой немецкий математик, Готлоб Фреге.

Когда мы говорим о множестве из пяти хлебов и множестве из пяти рыб, ясно, что их можно легко связать между собой: каждый хлеб соединить с одной рыбой, а каждую рыбу — с одним хлебом. Такое точное сопоставление математики называют взаимно однозначным отображением, или биекцией. Мы также можем построить взаимно однозначные отображения между пятью хлебами и пятью кувшинами масла, или пятью американскими президентами, или пятью поп-звездами в бой-бенде. Все эти множества из пяти элементов можно связать между собой. Если мы хотим использовать теорию множеств для описания числа 5, какое из множеств нужно брать? Фреге понимал, что ни одно из этих множеств не может считаться особенным. Он заявил, что нет веских причин выбрать пять американских президентов вместо пяти хлебов или любого другого набора из пяти элементов. В интересах дипломатии он объявил, что число 5 — все такие множества, вместе взятые. Иными словами, это множество всех пятиэлементных множеств!

При таком формалистическом подходе можно обнаружить и ноль. Это множество всех множеств, в которых ничего нет. Что такое множество, в котором ничего нет? Существует только одно такое — пустое! Идея выглядит вполне последовательной. Например, мы могли бы определить пустое множество как множество квадратных чисел, которые одновременно являются простыми, или множество собак, которые при этом являются кошками.

Фреге начал разрабатывать основы арифметики с помощью такого нового теоретико-множественного языка, но, когда в печать отправился второй том его труда, в доме ученого взорвалась бомба. Она имела вид письма от британского философа, логика и математика Бертрана Рассела. Как всегда бывало у Рассела, письмо оказалось блестящим и уничтожило работу Фреге одним взрывом. Идея Фреге предполагала, что всегда можно говорить о множестве всех множеств, обладающих определенным свойством. Вот почему ему было удобно использовать множество всех множеств с пятью элементами, чтобы представлять число 5, или множество всех множеств с десятью элементами, чтобы представлять число 10. Но такое бесцеремонное определение больших множеств чревато опасностью. Рассел спросил: «Как насчет множества всех множеств, которые не содержат самих себя?»

Чтобы показать вам, к чему клонит Рассел, расскажу о моем знакомом парикмахере по имени Джузеппе. Он зарабатывает на жизнь тем, что бреет всех мужчин, которые не бреют себя сами. Когда я узнал об этом, я задался вопросом: кто бреет Джузеппе? Может, он бреет себя сам? Нет, этого не может быть, потому что он бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. Следовательно, он не бреет себя сам. Но этого тоже не может быть: если он не бреется сам, то его должен брить Джузеппе.

Но ведь он же и есть Джузеппе!

Вопрос Рассела к Фреге был заряжен весьма похожим динамитом. Несмотря на ущерб, который он нанес теории Фреге, Рассел попытался воскресить некоторые из его идей, чтобы избежать парадокса. Он по-прежнему думал о числах примерно так же: собирая воедино множества заданного размера. Он просто не мог идентифицировать эти наборы как самостоятельные множества. Оказывается, существует гораздо более простой и экономичный способ думать о натуральных числах, используя множества, и он опирается на единственное число — ноль.

Какое множество мы должны отождествить с нулем? Это мы уже выяснили. Очевидный выбор — пустое множество, то есть множество, в котором нет элементов. Полезно думать о нем в терминах пустого ящика. Если мы хотим сгенерировать другие числа, нам нужны ящики, которые не будут пустыми. Чтобы получить число 1, нам надо поместить в ящик один объект. Какой именно? Ну на этом этапе у нас есть только ноль и пустые ящики. Таким образом, мы можем поместить в наш ящик пустой ящик и назвать все это «один». На теоретико-множественном языке мы говорим, что один — это множество, содержащее только пустое множество. А что такое два? Ящик для этого числа должен содержать два разных объекта. Но так случилось, что у нас как раз есть два объекта — это ящики, которые мы отождествили с нулем и единицей. Остается поместить их в следующий ящик и назвать всю конструкцию «два». Иными словами, два — это множество, содержащее множества, соответствующие нулю и единице.

Мы можем продолжить: три — это множество, содержащее ноль, один и два; четыре — множество, содержащее ноль, один, два и три и т. д., пройдя весь путь, минуя по ходу числа TREE(3) и TREE(TREE(3)), сопоставляя каждое натуральное числу и его собственное характеристическое множество. Внутри динамики множеств Джон фон Нейман и Эрнст Цермело увидели основы чисел и арифметики. Ноль превратился в пустое множество — множество ничего. Он стал семенем, из которого мы вырастили дерево всех натуральных чисел.

В этой чудесной абстракции можно найти ноль, но существует ли он на самом деле? Здесь нет единого мнения. Платоники утверждают, что ноль существует, как и все другие числа, но только в абстрактном смысле, вне пространства и времени. Номиналисты более практичны. Они полагают, что числа существуют только для подсчета вещей, которые мы видим в реальном мире (хлебов, рыб, кувшинов с маслом), поэтому они отрицают существование выделенного числа. Фикционалисты вообще отрицают существование чисел! А вот я верю в числа. Я вижу ноль в абстракции пустого множества, а в пустом множестве — симметрию.

Почему? Объясню с помощью Ничто.

Нам нужно отличать ничто от Ничто. Ничто с прописной буквы — понятие абсолютное и гораздо более трудное для понимания. Мы не должны думать о нем как о том, что можно создать, убрав все вещи: яблоки, апельсины, молекулы воздуха или даже законы физики. Мы можем создать вакуум, но никогда не сможем создать Ничто. Истинное Ничто нельзя получить из чего-то, и оно не может потенциально быть чем-то. Вы ничего не можете с этим поделать. Если оно существует — хотя трудно понять, как это возможно, — мы должны быть от него отделены.

Однако сейчас нас интересует не это. Нас интересует более слабая форма — со строчной буквы «н». Это ничто не отделено от нас, мы можем достичь его, удаляя объекты; и именно так мы связываем его с симметрией нуля. Например, если у вас есть куча яблок, вы можете убирать их до тех пор, пока у вас не останется ни одного яблока. То же можно сделать с апельсинами, молекулами воздуха и даже костями динозавров. В этой более слабой форме ничто оказывается относительным, а не абсолютным. Однако для нас важно, что ноль яблок и ноль апельсинов неотличимы друг от друга. Каждый из них идентичен пустому множеству, которое и есть ничто. В некотором смысле можно сказать, что ноль — или ничто — остается неизменным, если вы меняете единицы измерения: ноль яблок, ноль апельсинов, ноль костей динозавров — мы не можем отличить их друг от друга. При нуле все вещи становятся равными. Иными словами, ноль — это симметрия: симметрия такого ничто.

Эта связь между нулем и симметрией больше, чем просто математика и философия. Она вплетена в ткань Вселенной, подкрепляя ее физические законы, распоряжаясь ударами и притяжением элементарных частиц. Как мы вскоре увидим, она становится причиной того, что энергия не создается и не уничтожается или что свет движется со скоростью света. Возможно, величайшее открытие XX века заключается в том, что наша Вселенная наполнена огромным количеством симметрии. Это Вселенная, наполненная нулем.

Когда весной 2020 года британское правительство объявило национальный локдаун для борьбы с распространением коронавируса, мы с женой по очереди занимались домашним обучением наших двух дочерей. Чаще всего мы игнорировали школьную программу и выбирали темы сами. Жена учила их создавать биосферу в домашних условиях, чтобы они узнавали об экосистемах, а я помогал им кодировать дурацкие компьютерные игры в среде «Скретч». Конечно, мы не могли слишком далеко отходить от учебной программы и время от времени просматривали присылаемые учителями материалы. Однажды мы с младшей дочкой начали изучать симметрии.

Я показывал ей различные фигуры и просил изобразить прямые, которые дают зеркальное отражение. Например, для квадрата требовалось указать диагонали и прямые, проходящие через центры противоположных сторон. Я решил спросить ее, не видит ли она какие-либо другие симметрии. В классе им рассказывали только про зеркальную, поэтому поначалу она затруднялась с ответом. После нескольких аккуратных подсказок она начала вращать квадрат вокруг центра и после четверти оборота (90 градусов) поняла, что квадрат выглядит точно так же, как и раньше. То же мы проделали с пятиугольниками, поворачивающимися на одну пятую оборота (72 градуса), и шестиугольниками, поворачивающимися на одну шестую оборота (60 градусов). В этот момент мои способности к рисованию начали истощаться, но дочка уже поняла идею. Все эти фигуры обладают особой вращательной симметрией, зависящей от угла поворота. Такие симметрии, наряду с зеркальными, становятся примерами дискретных симметрий — нетривиальных скачков, которые оставляют нечто неизменным.

Этим нечто может быть сама природа. Чтобы разобраться с дискретными симметриями природы, нам нужно глубоко заглянуть в ее микроскопическое царство и найти соответствующие нули. Одна из возможных симметрий предполагает замену всех частиц их античастицами и наоборот. Существует ли такая симметрия в природе? В этом случае должен существовать ноль — разность между количеством частиц и античастиц в нашей Вселенной. Однако эта разность не равна нулю: мы видим во Вселенной около 10⁸⁰ частиц и лишь горстку античастиц. Это огромное везение. Если бы частиц и античастиц было поровну, они аннигилировали бы через несколько мгновений после Большого взрыва, оставив после себя сплошное излучение и мертвую Вселенную. Мы до сих пор не знаем, как и почему Вселенная выдала нам улыбку фортуны, нарушив эту самоубийственную симметрию между материей и антиматерией.

После того как мы с дочерью во время локдауна обсудили дискретную симметрию квадратов и шестиугольников, я нарисовал круг. Я спросил: «На какой угол нужно повернуть круг, чтобы он не изменился?» Ответом, конечно, будет произвольный угол. Мы уже не ограничены углами, кратными 90, 72 или 60 градусам, как для других фигур. Вы можете непрерывно поворачивать круг на любой угол вокруг его центра, и он всегда будет выглядеть точно так же. Это означает, что в данном случае у нас имеется непрерывная симметрия, а не дискретная. В природе непрерывные симметрии отвечают за некоторые важнейшие принципы физики. Например, ее законы, которые Ньютон открыл почти четыре века назад, действуют и сегодня. Они будут действовать и через следующие четыре века, и через тысячу лет, даже если их смогут наблюдать только компьютерные ученые будущего. Хотя природа способна меняться со временем, считается, что фундаментальные законы физики остаются неизменными. Это непрерывная симметрия. Соответствующий ноль можно найти в кровавых прозрениях Юлиуса фон Майера.

. Майер был судовым врачом, который изучал цвет крови моряков под тропическим солнцем и наткнулся на тот факт, что энергию нельзя создать или уничтожить — она всегда сохраняется. Но почему? Это происходит не просто случайно или по божественной воле, это следует из того факта, что законы физики остаются неизменными, даже когда вы путешествуете во времени. Сохранение энергии следует из непрерывной симметрии времени.

Чтобы получить интуитивное представление, почему это так, подумаем, что произошло бы, если бы дела обстояли иначе и законы физики менялись со временем. Например, что, если гравитация внезапно усилится? В этом случае легко создать энергию из ничего. Достаточно поднять книгу с пола, аккуратно поставить ее на полку и оставить там на ночь. Поднимая книгу, вы совершаете работу, передавая определенную энергию, которая затем сохраняется в виде гравитационной потенциальной энергии. На следующее утро, когда вы ощущаете себя немного тяжелее, в книге появится больше потенциальной энергии, потому что гравитация стала сильнее. Если вы дадите книге упасть на пол, падение высвободит эту энергию — и ее будет больше, чем вы вложили накануне. Отличная работа: вы создали энергию из ничего, и все благодаря изменившимся со временем законам физики. А в нашей Вселенной законы физики всегда остаются неизменными, поэтому энергия никогда не появляется и не уничтожается. Она всегда сохраняется.

Каждый раз, когда у вас имеется какая-нибудь непрерывная симметрия, есть и соответствующий закон сохранения. Вот еще один пример: считается, что фундаментальные законы физики остаются неизменными, когда вы перемещаетесь в пространстве. Они одинаковы в вашем доме, в доме вашего соседа и даже в доме инопланетянина из созвездия Стрельца. Эта симметрия означает сохранение импульса. А тот факт, что законы физики одинаковы для вращающейся Вселенной, означает сохранение момента импульса. Для каждой из этих и других непрерывных симметрий мы находим соответствующий ноль. Это общее изменение в энергии, импульсе, моменте импульса или какой-либо другой сохраняющейся величине.

Эту глубокую связь между симметрией, законами сохранения и нулем открыла специалистка по симметрии Эмми Нетер. Эйнштейн назвал ее математическим гением, а другие ученые ставили ее научные достижения на одну доску с результатами Марии Кюри. Несмотря на свой огромный талант, она всю свою жизнь боролась с предрассудками окружающих. Сначала люди не могли примириться с тем, что она женщина, а затем с тем, что она еврейка. Нетер выросла в конце XIX века в семье математика. Подобные ей девушки из респектабельных семей среднего класса посещали школы-пансионы; предполагалось, что их дальнейшие интересы будут связаны с искусством. Однако Эмми воспротивилась и начала посещать лекции по математике и языкам в университете Эрлангена, где ее отец был профессором. Она не могла стать полноправной студенткой в силу своего пола: ей разрешили быть только вольнослушательницей, причем вопрос посещения лекций оставили на усмотрение преподавателей. В Эрлангене в то время обучалось всего две женщины. Мужчин — около тысячи.

Даже после того, как Нетер защитила диссертацию и начала преподавать в математическом институте университета, она работала бесплатно, не имея официальной должности. Однако ее способности начали привлекать внимание. Давид Гильберт и Феликс Клейн упорно старались пригласить Эмми в Геттингенский университет. Они столкнулись с сопротивлением, а один ученый заявил: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что должны учиться у ног женщины?» Но в итоге Гильберт и Клейн победили, и Нетер в 1915 году переехала в Геттинген. Конечно, ей по-прежнему не платили, а лекции она читала как бы вместо Гильберта. Именно в Геттингене она начала понимать взаимосвязь между симметрией и законами сохранения. Из-за отсутствия должности ей не разрешили представить свою работу Королевскому научному обществу. От ее имени это сделал Феликс Клейн.

Когда Первая мировая война закончилась, немецкое общество начало медленно менять отношение к женщинам, и в начале 1920-х Нетер стала получать небольшую зарплату за свою работу в университете. Хотя она завоевывала все большее признание за пределами Геттингена, ее так и не избрали в Академию наук и даже не сделали профессором. Через десять лет после получения первой зарплаты ее отстранили от преподавания вместе с другими евреями и «политически подозрительными» учеными, поскольку к власти в Германии пришли нацисты. Нетер эмигрировала в Америку, читала лекции в колледже Брин-Мор в Пенсильвании и в Принстонском институте перспективных исследований. Она умерла от онкологического заболевания через два года после переезда в США. Это не единственная трагедия, выпавшая на долю семьи Нетер. Фриц, младший брат Эмми, также бежал от нацистов, заняв должность профессора математики в Томском государственном университете в СССР. Через несколько лет его посадили, обвинили в антисоветской пропаганде и расстреляли.

Идеи Эмми Нетер доминировали в фундаментальной физике XX века, поскольку стремление понять природу превратилось в стремление понять ее симметрии и законы сохранения. Вы можете увидеть действительно важный пример, потерев кусок стекла о рубашку из полиэстера. Несомненно, вы обнаружите статическое электричество: электроны отделяются от стекла и переходят на рубашку. Теперь стекло несет положительный электрический заряд, а рубашка — отрицательный. Однако идеальное равновесие сохраняется: общий заряд по-прежнему равен нулю. Это связано с тем, что электрический заряд нельзя создать или уничтожить. Согласно теории Нетер, этот закон сохранения должен соответствовать какой-то непрерывной симметрии. Что это за симметрия? Оказывается, теория заряженных частиц, таких как электроны и позитроны, использует внутренний условный «диск со шкалой настройки». Это всего лишь указатель, называющий нам тот язык, который нужно использовать, чтобы говорить о том, что делают заряженные частицы. Это не английский и не испанский язык, а математический язык сложных спиноров (что бы это ни было). Не станем вдаваться в подробности. Вот что нам нужно знать: когда этот диск вращается, спиноры тоже поворачиваются, причем так, что физика не меняется. В итоге именно непрерывная симметрия этого внутреннего диска гарантирует сохранение заряда.

На самом деле симметрия электромагнетизма гораздо мощнее, чем то, что мы сейчас описали. Чтобы понять почему, нам нужно поместить Вселенную в ящик и подумать, как сохранить заряд. Например, может ли заряженная частица исчезнуть из-под вашего носа и мгновенно появиться на другой стороне улицы? Как бы странно это ни звучало, но, если бы нас заботило только сохранение заряда, такая ситуация была бы абсолютно нормальной. В конце концов, заряженная частица совершила мгновенный скачок, но так и не покинула Вселенную. Однако в этот момент мы и вспоминаем, что заряженные частицы не могут прыгать в пространстве с бесконечной скоростью, превышающей скорость света. Оказывается, чтобы не было противоречия с теорией относительности, заряд должен сохраняться на локальном уровне — в каждой точке пространства и времени. Иными словами, общий заряд перед вашим носом или где-либо еще в пространстве не может измениться в одно мгновение. Это превращает соответствующую симметрию в локальную. Теперь мы должны говорить не об одном диске для всей Вселенной, а о бесконечном количестве дисков, разбросанных по всем точкам пространства и времени и показывающих разные вещи.

Эта усиленная локализованная версия симметрии известна как калибровочная симметрия. Чтобы понять ее следствия, представьте мою улицу как вселенную, где каждый дом соответствует какой-то точке в пространстве. В нашем доме живу я с женой и двумя дочерьми; наши соседи слева — Гэри и Линн, справа — Пит и Стеф, дальше за ними — Любчо и Лилия, через дорогу живут Ян и Сью и т. д. Все они очень общительные люди, и часто можно увидеть, как они болтают через садовые заборы.

Предположим, что в каждом доме есть диск, указывающий на какой-то язык. В данный момент все диски стоят в положении «английский», поэтому все говорят по-английски. Это облегчает общение. Если моя жена решит организовать вечеринку, она может рассказать об этом Стеф по-английски, которая затем расскажет об этом Лилии (тоже по-английски), и т. д. Сообщение быстро распространяется. Но что будет, если все диски начнут менять язык: перескакивать с английского на американский английский, потом на другие языки, а в итоге остановятся на французском? Теперь все говорят по-французски, но разве это проблема? Конечно, нет. Если моя жена хочет организовать очередную вечеринку, она может сказать об этом Стеф по-французски, а та затем по-французски расскажет Лилии и т. д. Сообщение снова распространяется. Можно даже сказать, что оно сохраняется благодаря симметрии нашего диска с настройками.

Но мы также говорили, что симметрия оказалась лучше этой. Ее модернизировали и локализовали. Это означает, что теперь разные диски не обязаны поворачиваться в унисон. Возможно, наш диск настроен на французский язык, диск Гэри и Линн — на немецкий, а Стеф с Питом говорят на суахили. Может оказаться, что все общаются на разных языках. Значит ли это, что моей жене сложно организовать следующую вечеринку? Нет: природа находит умный способ приспособиться — калибровочную теорию. Она предоставляет каждому дому персонализированный языковой словарь, дающий возможность общаться с ближайшими соседями. Наш словарь помогает переводить с французского на немецкий, чтобы мы могли общаться с Гэри и Линн, или на суахили, чтобы мы могли говорить со Стеф и Питом. Сообщение о вечеринке по-прежнему может разойтись по улице. Каждому дому во вселенной нашей улицы позволено установить диск на любой язык по своему выбору, потому что природа снабжает все дома подходящим словарем. Физики предпочитают называть их калибровочными полями. Они помогают передавать сообщения туда и обратно. Вот почему мы думаем о калибровочных полях как о силах природы. В электромагнетизме калибровочное поле — электромагнитное, а соответствующий квант — фотон, то есть частица света. Поле помогает передавать электромагнитные сообщения между заряженными частицами.

Теперь у нас есть эта причудливая новая усиленная симметрия, но где же в ней ноль? Оказывается, он прячется в словарях. Мы можем задаться вопросом, сколько энергии требуется, чтобы пошевелить калибровочное поле / словарь или изменить его каким-либо образом. Ведь чем труднее шевелить, тем тяжелее должен быть объект. Представьте, что вы с одинаковой силой дергаете за хвост мышь и слона. Слон пошевелится гораздо меньше, потому что он намного тяжелее. В некотором смысле то же относится и к калибровочному полю: если мы можем изменить его с маленькими затратами энергии, то поймем, что оно очень легкое, а если нет, мы поймем, что оно тяжелое. Так где же ноль? Ответ лежит в калибровочной симметрии. Что произойдет, если мои соседи решат сбросить настройки своего диска и перейти на какой-то новый язык? Мы знаем, что это не проблема. Благодаря симметрии они имеют возможность сделать это без каких-либо физических последствий — безо всяких затрат энергии. Природа, естественно, приспосабливается к этим изменениям, обновляя наши словари. Иными словами, должны существовать методы, с помощью которых вы можете изменить калибровочное поле бесплатно, без каких-либо затрат энергии. Это означает, что поле максимально легкое. Оно безмассовое. Это и есть ноль — масса калибровочного поля и соответствующих ему квантов. Благодаря калибровочной симметрии электромагнетизма фотон имеет нулевую массу покоя, что вынуждает его двигаться со скоростью света.

Кажется, у природы есть настоящая жажда симметрии, особенно калибровочной. Калибровочные симметрии дают вам взаимодействия. Они лежат в основе нашего понимания гравитации, сильных и слабых ядерных взаимодействий и, конечно, электромагнетизма. Эта идея господствовала в физике почти столетие. По мере того как мы с помощью все более мощных ускорителей все глубже погружаемся в микроскопический танец субатомных частиц, мы наблюдаем все больше симметрии. Чем ближе расстояние, тем красивее — то есть симметричнее — становится природа. И с каждой новой симметрией появляется какой-нибудь ноль.

Когда древние вавилоняне написали первый ноль, они сделали это ради улучшения учета продуктов питания, скота, людей и товаров. Однако ноль оказался числом со слишком большой индивидуальностью и всегда был обречен на опасности и тревоги. Со временем он стал танцевать с дьяволом, слившись с пустотой и отсутствием Бога. Странно думать, что число, столь долго осуждаемое как ересь, должно существовать в самой сердцевине того, чем на самом деле является природа. В математике ноль — пустое множество, воплощение симметрии, которое можно найти и в физическом мире. Наша Вселенная заполнена нулями — признаками симметрии в часовом механизме фундаментальной физики, от нулевой массы фотона до нулевых изменений заряда и энергии.

Как мы увидим в следующих двух главах, в природе существуют и другие маленькие числа: те, которые намного меньше единицы, но не равны нулю. Примером можно считать массу электрона: она не равна нулю, однако намного меньше, чем масса всех других тяжелых частиц, таких как кварки или бозон Хиггса. Это говорит о симметрии, хотя с небольшим несовершенством, словно пятнышко на лице идеальной красоты. Но существуют также маленькие числа, которые до сих пор не удалось понять, для которых нет известной симметрии. Они — загадки неожиданного мира, загадки фундаментальных частиц, которые должны были оставаться скрытыми; загадки Вселенной, в которой вы и я никогда не должны были родиться.