Будь человек бессмертен и приговорен к вечному заключению в безвыходной темнице, он даже там сумел бы постигнуть всю алгебру и геометрию, начиная со счета на пальцах и кончая бесподобным учением о множествах, а то и больше. Примером здесь может служить Паскаль, в двенадцатилетнем возрасте самостоятельно решивший тридцать теорем Евклида. Математика — наука не эмпирическая. Мы интуитивно знаем, что три плюс четыре равно семи, и не нуждаемся в доказательствах этого с помощью молотков, шахмат или шашек. Гораций, пытаясь изобразить невозможное, говорил о черных лебедях; сумрачные стаи лебедей бороздили в это время заводи Австралии. Гораций об этом не догадывался; но узнай он об их существовании, «он тут же понял бы, что, сложив трех этих мрачнецов с четырьмя, в итоге все равно получит семь. Расселл писал, что вся обширная математика есть лишь обширная тавтология и слова «три плюс четыре» — это просто еще один способ сказать «семь». Так оно или нет, воображение и математика не противостоят друг другу; они взаимодополнительны, словно скважина и ключ. Как и музыка, математика вполне может обойтись без внешнего мира, чьи пространства в себя включает и чьи тайные законы исследует.

Даже самая малая линия состоит из бесконечного множества точек; даже самая малая плоскость — из бесконечного множества линий; объем — из бесконечного множества плоскостей. Геометрия четырехмерного пространства изучает свойства гиперобъемов. Гиперсфера состоит из бесконечного множества сфер; гиперкуб — из бесконечного множества кубов. Мы не знаем, существуют ли они, но познаём их законы.

Еще чудеснее то, что мое предисловие тоже составляет часть этой книги. Приглашаю читателей ее перелистать и полюбоваться необыкновенными иллюстрациями. Среди них немало неожиданностей. Например, топологические острова из главы восьмой; например, лента Мёбиуса, которую всякий может смастерить с помощью ножниц и листа бумаги и которая представляет собой невероятную одностороннюю поверхность.