Кинув взгляд на табло, вы понимаете, что время на исходе: до завершения матча, в котором определится победитель баскетбольного турнира, остались считаные секунды. Ваша команда отстает на два очка: если вы сумеете воспользоваться шансом и попасть в кольцо оттуда, где находитесь, то станете легендой школы. Вам известно, что на игре присутствуют скауты, высматривающие перспективных новичков, поэтому у вас есть великолепная возможность продемонстрировать, как вы держитесь в стрессовой ситуации. Добьетесь успеха — и мечта о баскетбольной стипендии и карьере профессионального игрока станет на шаг ближе к реальности, промахнетесь — подведете команду, тренера, да и вообще всех на свете. Это немыслимо. С какой скоростью и под каким углом вам следует бросить мяч?

Выпущенные в пространство с определенной начальной скоростью объекты, к которым после этого не прикладываются дополнительные силы, принуждающие их к движению, называются снарядами. Поведение снарядов — предмет множества исследований. Давайте посмотрим правде в глаза: мы издавна обожаем швырять разные штуки куда ни попадя — на охоте (камни, копья, стрелы, пули), на отдыхе (шары), на войне (пушечные ядра, гранаты и прочее). Даже баллистика, наука, изучающая движение снарядов, получила название от античного орудия — баллисты, или гигантского камнемета.

Все снаряды следуют определенному пути (траектории). Этот путь, во многом зависящий от начальной скорости снаряда и угла при его запуске, соответствует кривой, известной как парабола. Если хотите узнать, как она выглядит, рассеките конус параллельно его образующей (отрезку между вершиной и границей основания):

Если вы взглянете на снаряд с точки зрения математики, то, чтобы упростить задачу, сделайте важное допущение: пренебрегите сопротивлением воздуха. Оно так и так не окажет сколько-нибудь заметного влияния — расстояние и скорость полета баскетбольного мяча не настолько велики. Это означает, что на выпущенный снаряд будет влиять одна-единственная сила — гравитация.

При решениях задач такого плана есть смысл раскладывать скорость на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Поскольку вы знаете, что гравитация (единственная действующая на снаряд сила) направлена вертикально вниз, то горизонтальная скорость мяча должна быть постоянной. Таким образом, прослеживается определенное соотношение между вертикалью (высотой) и горизонталью (расстоянием). Если вы бросите мяч под слишком большим углом, он не продвинется по горизонтали настолько, чтобы достичь кольца: высокая скорость броска уйдет на преодоление силы тяжести. Кинете снаряд почти горизонтально, и его малой начальной скорости не хватит для сопротивления гравитации, поэтому он пролетит ниже кольца.

Разумно предположить, что наилучший результат — где-то посередине. Чтобы при заданной скорости мяч пролетел максимальное расстояние, нужно уравнять горизонтальную и вертикальную составляющие: это произойдет, если бросить снаряд под углом 45° к горизонту. Поскольку для нахождения нужной начальной скорости достаточно применить теорему Пифагора (см. Введение), удастся обойтись без тригонометрических функций, а предположение, что мяч будет брошен с высоты, на которой находится кольцо, упростит расчеты еще больше.

Чтобы связать скорость броска (V) с ее горизонтальной и вертикальной составляющими — обе я называю u, — воспользуемся теоремой Пифагора. Если мяч должен пройти V метров по диагонали, а горизонтальная и вертикальные компоненты, или u, равны, значит, мы имеем дело с равнобедренным треугольником. Формула принимает следующий вид:

u2 + u2 составляют 2u2, значит,

Рассуждаем так же, как в ситуации с костью гоминида, и получаем:

С оставшейся частью проблемы поможет разобраться одно из уравнений Ньютона, описывающих движение. Оно выглядит так:

Нам понадобится рассмотреть две версии этой формулы. Первая будет характеризовать горизонтальное перемещение мяча, вторая — вертикальное. Итак, s — это расстояние, которое преодолел ваш снаряд, u — и горизонтальная, и вертикальная компоненты начальной скорости броска, t — время, a — ускорение.

По горизонтали ускорение равно нулю, то есть a = 0, поэтому сразу прощаемся с частью

sh = ut.

Нижний индекс h напоминает, что записанная формула отвечает за горизонтальное перемещение. По вертикали ускорение обусловлено гравитацией. Расстояние, пройденное в этом направлении, считается положительным, пока мяч движется вверх. Сила тяжести направлена в противоположную сторону, следовательно, в этом уравнении она будет фигурировать со знаком минус. Подставляем ускорение a = –g:

наведя порядок в правой части формулы, получаем:

Вам нужно узнать, с какой скоростью требуется бросить мяч, а значит, необходима формула, которая сказала бы, чему равно u. При этом вы не хотите, чтобы в ней фигурировало t, поскольку не представляете, сколько времени уйдет на попытку, да и вообще не хотите возиться c этим аспектом. Мы сумеем избавиться от t, если выразим его через переменные sh и u:

sh = ut.

Обе части уравнения делим на u:

Время t одинаково для обеих версий формулы, следовательно, мы можем подставить его в уравнение вертикального движения — :

Пока уравнение выглядит довольно пугающе, но после упрощения (u ÷ u = 1, а еще есть скобки, которые можно раскрыть) получаем:

Шаг за шагом мы приближаемся к u. Из обеих частей вычитаем sh:

Обе части умножаем на u2:

Далее делим на выражение в скобках из левой части:

Наконец, из обеих частей формулы извлекаем квадратный корень:

В завершение всего подставляем кое-какие значения: g = 9,8 м/с2, sh = 7,24 м до корзины, sy = 0, поскольку мы допустили, что в момент броска мяч находится на одной высоте с кольцом:

Теперь, когда нам известны горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости, можем подсчитать скорость броска:

Подставляем вместо u его значение 5,9562:

Если скорость вашего броска выше, вот две возможные траектории, которые позволят вам выполнить трехочковый. Направьте мяч под углом, превышающим 45° к горизонту. Тогда благодаря броску-свечке сумеете обыграть исполинского звездного игрока команды-соперника. Выбрав более динамичную, но пологую траекторию, пресечете попытки противника перехватить ваш бросок.

Произведя все эти баллистические расчеты за считаные мгновения у себя в голове, вы бросаете мяч со скоростью 8,42 м/с под углом 45° и обеспечиваете своей команде победу в турнире. Баскетбольная стипендия, профессиональная карьера и всеобщее обожание — все это теперь ваше!