Танцовщица и ее зонтик
Курта Гёделя не преследовали по расовому признаку, и он мог не бояться гестапо. Его высказывания о политике всегда были осмотрительны. После аншлюса Гёдель потерял право читать лекции, но это стало следствием общих мер: Третий рейх упразднил должность приват-доцента. Гёделя это очень огорчило, зато избавило от унизительной обязанности клясться в верности фюреру.
Как-то в 1938 году, субботним вечером, за пару месяцев до вторжения вермахта в Вену, Гёдель читал дома у Эдгара Цильзеля лекцию перед несколькими оставшимися членами Венского кружка. Возможно, это была последняя встреча этой маленькой компании. Доклад Гёделя о логической непротиворечивости был сугубо профессиональным и понятным лишь математикам, которых среди слушателей не было. Понимающих коллег у Гёделя в Вене не осталось.
Адель Нимбурски становится спутницей жизни Гёделя
Однако одинок он не был. В 1929 году – в том же году, когда Гёдель получил докторскую степень – он познакомился с Адель Нимбурски (1899–1981) и влюбился. Адель была танцовщицей, выступала в ночных клубах (чаще всего – в Der Nachtfalter, “Ночной бабочке”), а еще она была разведена и старше Курта на несколько лет. Отец ее был фотографом. Адель жила с родителями и подрабатывала дома массажисткой или физиотерапевтом. “Типаж венской прачки, – описывал впоследствии пассию Гёделя Оскар Моргенштерн в дневнике. – Говорливая, необразованная, напористая – но она, похоже, спасла ему жизнь”. Выдающийся австрийский логик Георг Крейзель вспоминал, что Адель “умела подобрать le mot juste”. Так или иначе, Адель явно была женщина умная и предприимчивая, хотя и без малейших способностей к математике.
Много лет о романе Гёделя не подозревали даже его ближайшие коллеги. Мать и брат о нем знали, но оба были категорически против интрижки Курта с женщиной, которая, по их мнению, была ему совсем не пара. Однако Адель самозабвенно заботилась о любимом. В тридцатые годы во время его постоянных поездок в Принстон она преданно ждала в Вене своего обожаемого и непостижимого гения. И ей не всегда приходилось ждать подолгу. Один раз Гёделю пришлось прервать поездку в Америку из-за нервного срыва. В другой раз он не сумел даже подняться на борт парохода, уходившего в Штаты. Когда Гёделя отправляли в санаторий, Адель тайно навещала его.
Между тем Курта все сильнее одолевал чудовищный неконтролируемый страх быть отравленным. Когда такие “состояния” особенно обострялись, он мог есть только то, что приготовила сама Адель, да и то лишь при условии, что она попробует еду первой у него на глазах, с его тарелки и его ложкой.
После аншлюса Адель стойко и непоколебимо оберегала своего возлюбленного. Как-то вечером, когда они прогуливались по венским улицам, на них набросилась компания молодых нацистов – хулиганы грязно обругали их, а потом сорвали с Гёделя очки и швырнули на мостовую, потому что приняли за еврея. Адель, недолго думая, грозно занесла зонтик и разогнала обидчиков.
В те мрачные дни нападения на евреев не нуждались в объяснениях. Именно тогда появился известный анекдот: “Вы слышали, Гитлер убивает евреев и велосипедистов!” – “А велосипедистов за что?” – “А евреев?”
Так или иначе, после почти десяти лет дружбы для Курта и Адель явно настала пора идти под венец, даже если матушка Гёделя все эти годы надеялась, что ее дорогой сыночек найдет себе половину получше. В конце концов она сдалась.
Гёдель был более чем счастлив предоставить Адель всю подготовку к свадьбе. Их новая квартира располагалась в красивом доме на окраине города, в прекрасном богатом районе, в нескольких шагах от знаменитых виноградников Гринцинга.
Свадьба состоялась в сентябре 1938 года. Через две недели Гёдель опять поехал в Принстон, чтобы провести в Институте передовых исследований очередной гостевой семестр. К счастью, никаких сложностей с документами у него не возникло: вот уже много лет у него была виза для многократного посещения Соединенных Штатов. Несмотря на мрачную и напряженную политическую обстановку во всей Европе, Гёдель был бодр и уверен в себе. Это были дни Мюнхенского соглашения. Войны снова удалось избежать. И поездка в Принстон прошла без сучка без задоринки. Между тем Адель осталась в Вене. По плану, она должна была присоединиться к мужу в следующий раз.
Бесконечности большие и малые
Гёдель вез за океан сенсационные новые открытия. Со времени его предыдущего визита в Принстон он переключился с логики на теорию множеств. Те, кто изучает основания математики, считают теорию множеств фундаментом всех остальных разделов математики – и геометрии, и анализа, – а это придает ей значительный философский вес.
С начала века, когда был открыт парадокс Рассела, в теории множеств многое изменилось. С ними стали обращаться очень осмотрительно. Множества, содержащие сами себя, были запрещены. “Множество всех идей” и “множество всех множеств” с математической точки зрения перестали существовать. Новые аксиомы вводили строгие правила определения множеств.
В число этих правил входила так называемая аксиома выбора. Если дано семейство непустых множеств, разрешается выбрать по элементу из каждого множества и тем самым создать новое множество. Что такое всегда возможно, никоим образом не очевидно с первого взгляда, и если применить эту аксиому, можно получить, казалось бы, совсем диковинные результаты: такова, например, знаменитая теорема Банаха – Тарского, опубликованная в 1924 году и гласящая, что если взять шар и разделить его на пять частей, из них потом можно составить два шара точно того же размера. Под словом “части” здесь понимаются не обычные части, которые можно получить, если разрезать шар ножом; их вообще невозможно создать физически – это сюрреалистические подмножества шара, которые можно выдумать, если опираться на аксиому выбора.
Подобные квазипарадоксальные результаты заставили некоторых логиков относиться к аксиоме выбора крайне подозрительно, хотя многим их коллегам она представлялась совершенно естественной.
Первым, кто постулировал эту аксиому, был Эрнст Цермело, бывший ученик Давида Гильберта, бывшая головная боль Людвига Больцмана и бывший сотрудник Ганса Гана. А теперь Курту Гёделю удалось показать, что аксиома Цермело при всех своих странных следствиях совместима с другими аксиомами теории множеств. То есть, если присовокупить ее к остальным аксиомам, это не приведет к противоречиям. Доказательство Гёделя понимающие люди сочли сенсационным шагом вперед.
Еще замечательнее были открытия Гёделя, связанные с континуум-гипотезой Кантора. Георг Кантор (1845–1918) был первым, кто преодолел исторически сложившееся неоднозначное отношение к бесконечным величинам, которое издавна проявляли математики. Кантор взял быка за рога и посмотрел бесконечности прямо в глаза. И, к своему изумлению, на этой запретной территории обнаружил обширную вселенную бесконечностей разных размеров. Ничего подобного никто себе и представить не мог.
У каждого числа есть партнер в “меньшем” множестве
Самая маленькая бесконечность – это множество N всех натуральных чисел 1, 2, 3, … Можно подумать, что множество E всех четных чисел 2, 4, 6, … “в два раза меньше” множества N – ведь Е, очевидно, представляет собой подмножество N, – но, в пику здравому смыслу, оказывается, что Е ничуть не меньше N, а точнее, “не менее бесконечно”, чем N. И в самом деле, каждое натуральное число из множества N можно сопоставить с его точным двойником из E; так, 1 проецируется на 2, 7 – на 14, 300 – на 600 и так далее до бесконечности. Таким образом, легко видеть, что каждый элемент N имеет одного и только одного партнера в “меньшем” множестве Е – и наоборот. А следовательно, считается, что два бесконечных множества E и N обладают равной мощностью, несмотря на то что первое – подмножество второго.
Из этого видно, что понятия “больше” и “меньше” нельзя применять к бесконечным величинам так же, как к конечным.
А множество Q всех рациональных чисел, то есть дробей вроде 7/2 или 1/13, в отличие от Е, по-видимому, больше N. Более того, интуитивно представляется, что Q “гораздо больше” N, множества всех натуральных чисел: ведь между любыми двумя последовательными натуральными числами, например 3 и 4, лежит бесконечно много рациональных чисел (рациональных чисел бесконечно много даже между любыми двумя данными рациональными числами!).
Однако Кантор показал, что невзирая на это колоссальное на вид количество чисел, все равно можно составить список всех рациональных чисел, то есть однозначно сопоставить элементы множества Q и элементы множества N, точно так же, как мы только что проделали для N и E. Это показывает, что на языке теории множеств множество Q называется счетным. Так что, как это ни удивительно, множество всех натуральных чисел N и множество всех рациональных чисел Q обладают одной и той же мощностью. Так что же, может быть, все бесконечные множества счетные?
Кантор придумал невероятно изобретательное доказательство, предвосхитившее чудесное доказательство теоремы Гёделя о неполноте, до которого оставалось еще несколько десятков лет, и продемонстрировал, что это не так. Он показал, что множество R, состоящее из всех точек на вещественной оси (так называемый континуум), несчетно. То есть мощность континуума R больше, чем у множества натуральных чисел N и множества всех рациональных чисел Q. А затем Кантор вышел за пределы своего первого замечательного открытия и доказал, что бесконечность бывает не двух разных “размеров” – этих размеров бесконечно много, и он доказал целый ряд теорем об этих новых “числах”.
При всем своем поразительно богатом и плодовитом воображении Кантор не смог найти ответа на один важный вопрос о бесконечных множествах. Вопрос этот таков: каково “самое маленькое” бесконечное множество больше N? Или, иными словами, каково самое маленькое из всех несчетных множеств? Кантор предположил, что это и есть континуум R, но доказать свою догадку не смог. Таким образом, знаменитая континуум-гипотеза Кантора гласит, что наименьшая бесконечность, помимо первой бесконечности, то есть N, – это бесконечность континуума.
Задача доказать это утверждение и стала проблемой номер один в знаменитом списке Гильберта от 1900 года. И вот в 1938 году Курт Гёдель сумел, так сказать, решить половину задачи Гильберта: он доказал, что континуум-гипотеза не противоречит другим аксиомам теории множеств, то есть совместима с ними. Разумеется, из этого не следует, что она верна. Доказательство Гёделя было архисложным, гораздо более узкоспециальным и трудным для понимания, чем доказательство его более известной теоремы о неполноте, созданное в 1931 году. Но и новый гёделевский результат, подобно теореме о неполноте, открыл дорогу в совершенно новую область математики.
Уже тогда было выдвинуто предположение, что с остальными аксиомами теории множеств совместимо и отрицание континуум-гипотезы. То есть континуум-гипотеза с учетом остальных аксиом теории множеств не имела бы решения. Гёдель много лет пытался доказать и это, но не сумел. Доказательство было найдено лишь в 1963 году, и сформулировал его молодой американский математик Пол Коэн (1934–2007).
Из результатов Коэна и Гёделя большинство математиков сделали вывод, что ситуация в теории множеств в точности аналогична положению в геометрии. То есть как аксиома Евклида о параллельных не зависит от остальных аксиом геометрии, так и континуум-гипотеза Кантора не зависит от остальных аксиом теории множеств. Подобно тому как можно заниматься либо евклидовой геометрией (то есть принимать аксиому о параллельных), либо неевклидовой (то есть принимать ее отрицание), можно заниматься либо “канторовой” теорией множеств (то есть соглашаться с континуум-гипотезой), либо “неканторовой” (соглашаться с ее отрицанием). Куда хотите, туда и направляйтесь, решать вам. Как чудесно согласуется подобное представление о теории множеств с принципом толерантности, который выдвинул Карнап!
Однако сам Гёдель видел все иначе. Он не считал, что существуют разные теории множеств. Хотя его полностью устраивала мысль о существовании разных геометрий, каждая из которых совершенно непротиворечива и ни одна не “истинна”, он был уверен, что существует лишь одна теория множеств – истинная. В глубине души Гёдель был убежден, что “правильные” аксиомы теории множеств еще просто не открыты. Иначе говоря, мы, люди, не изобретаем математических истин, мы их открываем, как Колумб открыл новый континент или как физики открыли, что существуют атомы.
Такой точки зрения мог придерживаться только отъявленный платоник, а в глазах мыслителей вроде Карнапа, Витгенштейна, Гана и Менгера платонизм был давно преодолен и полностью дискредитирован. Но Курт Гёдель был с ними категорически не согласен. Он придерживался платонических представлений о математике вот уже много лет, хотя предпочитал об этом не распространяться, как молчал о своем романе с Адель. И от этого представления о математике он не отказался.
В 1939 году Гёдель принял участие в ежегодном съезде Американского математического общества, где выступил с докладом о континуум-гипотезе. В результате его пригласили прочитать пленарный доклад на следующем конгрессе Международного математического общества, назначенном на 1940 год. Эти исключительно престижные конгрессы были эквивалентны Олимпийским играм. Однако вскоре стало ясно, что политическая ситуация не дает возможности провести ни математические конгрессы, ни Олимпиаду.
В марте 1939 года, пока Гёдель был в США, гитлеровские войска вошли в Прагу, что стало вопиющим нарушением Мюнхенского соглашения. Теперь даже самым наивным наблюдателям было ясно, что войны не миновать в ближайшем будущем.
После семестра в Институте передовых исследований в Принстоне Гёдель провел еще несколько месяцев у своего друга Карла Менгера в университете Нотр-Дам в Индиане. Но затем, несмотря на все уговоры Менгера, Курт вернулся в Вену. Он собирался снова приехать в Принстон осенью, на сей раз с женой. Четырнадцатого июня 1939 года он сел в Нью-Йорке на пароход “Бремен”. И не подозревал, что это начало долгого путешествия вокруг почти всего земного шара.
