Очередной урок математики

Карл Менгер оказался идеальным резонатором для идей Моргенштерна: “Вчера днем – обед с Карлом Менгером в «Немецком домике». Поскольку мы давно не встречались, то дискутировали два с половиной часа. Он внимательно прочитал мою заметку о прогнозах, согласен с ней и хочет, чтобы я и дальше разрабатывал эту интересную линию”.

Еще в 1922 году Карл Менгер написал статью “О роли неопределенности в национальной экономике” (Über die Rolle der Ungewissheit in der Nationalökonomie). Эта юношеская работа, однако, так и не была опубликована, поскольку редактор Zeitschrift für Nationalökonomie настоятельно отсоветовал Менгеру ее печатать. А помощник редактора, узнав о совете своего начальника, рассердился, поскольку счел это проявлением профессиональной непригодности. Помощника звали Оскар Моргенштерн – и теперь он сам стал редактором журнала! Времена изменились. В новой роли Моргенштерн с превеликим удовольствием отправил статью Менгера в типографию и в качестве дополнительного знака симпатии пригласил Менгера выступить в Обществе национальной экономики. Менгер воспользовался случаем и раскритиковал нестрогое, неправильное применение математических понятий, которым столь часто грешили экономисты. Как впоследствии выразился Йозеф Шумпетер, “Он вынес им строгое математическое предупреждение”.

Моргенштерн находил и другие способы, чтобы с энтузиазмом поддержать применение точных методов. Его институт провел цикл лекций под названием “Математика для экономистов”; читал их Карл Менгер, а вести практические занятия было поручено двум бывшим студентам Менгера – Абрахаму Вальду и Францу Альту. Это обеспечило молодым безработным ученым столь необходимый доход. В результате они начали интересоваться вопросами экономики и написали статьи, которые впоследствии стали классикой математической экономики. После аншлюса оба были вынуждены бежать из Австрии, но, к счастью, сумели найти работу в США благодаря публикациям по экономике, которые оказались для них куда полезнее статей по геометрии.

В 1936 году Франц Альт написал короткую статью “Об измеримости функции полезности” (Messbarkeit der Nutzenfunktion), в которой показал, что предпочтения экономических агентов всегда можно закодировать в виде вещественных чисел и расставить на числовой оси, а следовательно, сравнить. Для дисциплины, которая стремилась к точности, это была прекрасная новость. Сегодня теория полезности стала самостоятельной отраслью экономики.

Вклад Абрахама Вальда в экономическую науку оказался еще более весомым. За много лет до этого Леон Вальрас (французский коллега Карла Менгера-отца) вывел фундаментальные уравнения для цен и количеств товаров в рыночной экономике. Венский банкир Карл Шлезингер, который брал уроки математики у Абрахама Вальда, нашел в этих уравнениях ошибки. И прочитал об этом доклад на Математическом коллоквиуме Карла Менгера-сына.

Шлезингер утверждал, что если есть избыток какого-то товара, этот товар не будет стоить ничего, даже если он самой первой необходимости. Например, воздух бесплатен. Если это учесть, то уравнения Вальраса придется заменить системой равенств и неравенств. В этот момент к делу подключился Абрахам Вальд. В 1937 году он доказал, что для такой системы достижимо хорошо определяемое ценовое равновесие. Статья Вальда побудила Джона фон Неймана опубликовать свою собственную теорию экономических равновесий. Все эти результаты появились в журнале Менгера Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, и из них вскоре возник принципиально новый раздел экономики. Начиная с пятидесятых годов прошлого века в экономике возобладала теория общего равновесия, ставшая плодородной почвой для нобелевских премий.

Абрахам Вальд внес много нового и в теорию вероятностей. Ученые давно поняли, как рассчитывать вероятности, но поскольку само слово “вероятный” неоднозначно и полно скрытых смыслов, теории недоставало по-настоящему твердых оснований. Задача выстроить такие строгие основания даже входила в знаменитый список из двадцати трех задач, которые сформулировал в 1900 году Давид Гильберт.

Над этим ломал голову и Рихард фон Мизес. Он сосредоточился на сериях событий – например, когда много раз бросают монетку. В результате получается случайная последовательность орлов и решек, а если выражаться более абстрактно, то случайная последовательность единиц и нулей. Если дана такая последовательность, спрашивал Мизес, как проверить, действительно ли она случайная? Очевидно, нули и единицы должны встречаться в ней примерно одинаково часто. Однако таким качеством обладает и периодическая последовательность 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, …, а она ни в коем случае не случайна. Ее регулярность подтверждается тем, что подпоследовательность, состоящая из всех ее членов с четным номером, состоит исключительно из единиц, а дополнительная подпоследовательность – только из нулей. Едва ли это случайно! Это натолкнуло Мизеса на мысль посмотреть на подпоследовательности. Должна ли любая подпоследовательность подлинно случайной последовательности иметь примерно одинаковое количество нулей и единиц? Однако, как выяснилось, это оказалось чрезмерное требование: таких последовательностей не существует.

Однако Абрахам Вальд сумел дать красивое определение случайных последовательностей и тем самым описал понятие иррегулярности в математически точных терминах. Грубо говоря, определение гласило: никакая система в азартных играх не позволит выиграть против подлинно случайной последовательности. Вальда натолкнула на эту мысль лекция Карла Поппера на Математическом коллоквиуме Карла Менгера. Очевидно, коллоквиум в отличие от Венского кружка не был для юного Поппера запретной территорией.

Абрахам Вальд давал Оскару Моргенштерну уроки математики. Тот писал: “Очередной урок математики. Мы уже дошли до производных. Вальд считает, к следующему году я уже продвинусь настолько, чтобы понимать в математической экономике почти все. Приятно слышать!”

Чтобы глубже понять, как ведут себя экономические агенты, Моргенштерн решил применить некоторые методы из книги Менгера “Мораль, принятие решений и организация общества” (Moral, Wille und Weltgestaltung). Что бывает, если агент принимает в расчет реакцию других агентов? Моргенштерн собирался написать на эту тему статью под названием “Максимы поведения”. Поначалу дело шло медленно. Но затем к нему присоединился Джон фон Нейман, и их сотрудничество привело к созданию теории игр, весьма плодотворного нового раздела математики, изучающего конфликт интересов.

Теория игр, в свою очередь, имела последствия для этики. И в самом деле, к середине пятидесятых годов Ричард Бретуэйт (1900–1990), в прошлом кембриджский коллега Витгенштейна, указал, что теория игр обеспечивает инструмент для изучения моральной философии. Это позволяет давать точные с научной точки зрения ответы на вопросы, касающиеся, например, справедливого распределения, наград и наказаний, личных интересов и общественного блага. Таким образом, вполне можно считать, что корни этого раздела философии лежат в попытках Карла Менгера найти формальный подход к изучению этики.