Исключенное третье

В 1924 году, только-только защитив диссертацию, Карл Менгер получил грант Рокфеллера и потратил его на то, чтобы поехать в Амстердам к голландскому математику Л. Э. Я. Брауэру. Брауэр был главным специалистом по той области математики, где работал Менгер. Кроме того, он был главой новой логической школы под названием “интуиционизм”. Представления об основаниях математики были у этой группы прямо противоположны формальному подходу Гильберта. По Брауэру, математика целиком и полностью – творение человеческого разума. Она состоит исключительно из ментальных объектов – точек, чисел, множеств и так далее – и всех их надо конструировать. Конструкции требуют эксплицитных рецептов. Если предположение, что объекта не существует, приводит к противоречию, из этого не следует, что объект существует. И хотя почти все математики придерживаются именно такого подхода к доказательству математического существования и его открыто поддерживал Давид Гильберт, Брауэр считал, что это вопиющее нарушение Закона исключенного третьего.

Этот классический закон гласит, что между истинным и ложным нет нейтральной территории. Если данное утверждение ложно, его отрицание истинно, и наоборот. Однако у Брауэра хватило дерзости усомниться в этом священном принципе. Рассмотрим пример.

Вещественное число либо может быть записано как отношение двух целых чисел (например, дробь 2/7), либо нет. В первом случае это рациональное число, во втором – иррациональное. Например, число √2 иррационально, как нам известно уже две тысячи лет, со времен Пифагора и его команды. Предположим, существуют два иррациональных числа x и y, такие, что x^y – рациональное число. И вот милое маленькое доказательство: возьмем число √2^√2 – иррациональное в иррациональной степени. Рационально ли это число? Если да, дело сделано. А если оно не рационально? Ну, если оно иррационально, рассмотрим следующее число: (√2^√2)^√2 – оно имеет форму x^y, где, как гласит гипотеза, и x и y иррациональны. Правило, управляющее показателями степени, которое известно нам со школьных уроков алгебры – то есть правило (a^b)^c = a^bc, – говорит нам, что это число равно (√2)², то есть, естественно, 2 – абсолютно рациональное число. Дело сделано! Либо так, либо иначе, но мы нашли желаемую пару иррациональных чисел x и y.

Давайте еще раз разберем ход мысли. Нам надо рассмотреть два случая. Либо √2^√2 – уже рациональное число, и тогда дело сделано, либо оно иррационально, но тогда рационально число (√2^√2)^√2, и дело снова сделано. Мы не знаем, какой из двух путей даст нам желанную пару иррациональных чисел x и y, но для нормального человека это незнание не играет никакой роли. У нас есть железное доказательство: если первоначальный выбор значений x и y не привел к результату, к нему привел альтернативный выбор x и y. Единственная заминка – мы не задали заранее, который из двух альтернативных путей приведет нас к желанным x and y, но разве это важно? Так или иначе, фокус удался.

С точки зрения Гильберта и практически всех остальных математиков, доказательство безупречно: мы задали “вилку” и показали, что либо один, либо другой путь приведет к желаемому результату. Дело только в том, что мы не знаем заранее, какая из двух веток нам поможет, но это вроде бы и неважно, поскольку мы доказали, что сработает либо один, либо другой способ. Однако для Брауэра и его учеников такие доказательства-вилки не годились! С их точки зрения, перед нами классический случай, когда вывода сделать нельзя.

Сегодня мы знаем, что число √2^√2 иррационально, но дело не в этом. Дело в том, что Брауэр заставил усомниться в правомерности применения закона исключенного третьего, и у него нашлись последователи. Брауэр утверждал, что особенно опасно применять этот закон при всей его очевидности к бесконечным множествам.

Грубо говоря, если сколько-то яблок положить в два мешка, то либо оба мешка будут с яблоками, либо один окажется пустым, так что нет никакого “среднего” в некоей неуловимой сумеречной зоне между двумя вариантами. Это очевидно сразу. Однако математики применяют те же рассуждения и к случаю, когда яблок бесконечно много: либо в обоих мешках лежит по бесконечному множеству яблок, либо в одном мешке их лишь конечное количество (возможно, нуль). Если мы можем по тем или иным причинам исключить один из вариантов, остается второй, никакого промежуточного варианта нет.

Именно эта очевидная на первый взгляд истина и вызвала сомнения Брауэра. Легко определить, пусто в мешке или нет, но как проверить, конечно или бесконечно его содержимое? Можно, разумеется, пересчитать яблоки, скажем, вынимать их по одному. Если этот процесс через некоторое время завершится, то есть мешок опустеет, мы сможем с уверенностью заключить, что его содержимое изначально было конечным. Но пока мы находимся в процессе подсчета, мы не можем сказать, конечно или бесконечно число яблок в мешке.

Брауэр предостерегал, что нужно опасаться бесконечности, если нет какой-то надежно определенной конструктивной процедуры. Пока не доказано ни утверждение А, ни утверждение не-А, нельзя сказать, что какое-то из них обязательно истинно.

В результате конструктивных ограничений Брауэра математикам стало еще труднее рассуждать логически. Гильберт немедленно запротестовал: запрещать математику пользоваться законом исключенного третьего – все равно что “запрещать боксеру применять кулаки”. Тем не менее к лагерю Брауэра примкнули многие первоклассные математики.

К лагерю? Математика гордится тем, что не знает никаких противоборствующих лагерей, сект и конгрегаций. Подобные скандальные расколы лучше оставить на откуп богословам и философам. Но вот это произошло: философские разногласия нежданно-негаданно перессорили и математиков.

Молодой Карл Менгер изо всех сил постарался объяснить кружку Шлика, в чем суть интуиционизма. Однако члены кружка сочли доводы Брауэра туманными и уж точно диаметрально противоположными всему, что они называли “интуитивным”. Поэтому Менгер, человек весьма широких взглядов, отправился в паломничество, чтобы выяснить все об интуиционизме, усевшись у ног великого учителя.

Л. Э. Я. Брауэр был фигурой внушительной, с резкими, острыми чертами лица. Еще студентом он написал статью “Жизнь, искусство и мистицизм”, которая представляла собой радикальную атаку на традиционную логику. Теперь он жил в колонии художников в пригороде Амстердама. Дом его, по сути, был просто крошечной бедной хижиной в садике, и там не было ничего, кроме стола, кровати и пианино.

Помимо Менгера в свите этого мистика были и другие молодые математики, в том числе и Павел Александров, тот самый спортсмен, который вытащил из моря мертвое тело Урысона. Брауэр взял на себя посмертную публикацию сочинений утонувшего советского математика, сопроводив его своим предисловием.

Карл Менгер глубоко восхищался Брауэром. Он стал его ассистентом в Амстердамском университете и читал там лекции. Когда скоропостижно скончалась мать Менгера, Брауэр окружил своего протеже трогательной заботой. Но через некоторое время все-таки возник неприятный вопрос о приоритете, и это привело к глубоким разногласиям. Карл Менгер полагал, что Брауэр, говоря о теории размерности, не уделил достаточно внимания его роли. А Брауэр оказался не готов корректировать свои взгляды. Он стоял на своем с упорством средневекового рыцаря. А Менгер, со своей стороны, не желал уклоняться от столкновения. Поэтому его положение в Амстердаме пошатнулось, и ситуация накалилась.

И тут, в разгар скандала, явилось спасение – и не откуда-нибудь, а из Вены. В 1927 году Курт Рейдемейстер, великий создатель теории узлов, принял приглашение из Кенигсберга, а следовательно, должность адъюнкт-профессора геометрии в Вене освободилась. Вакансию тут же предложили двадцатипятилетнему Карлу Менгеру. Это был небывалый карьерный взлет. Даже бывший соученик Менгера Вольфганг Паули не мог похвастаться, что стал профессором значительно быстрее.

Однако ссора с Брауэром продолжала мучить Менгера. Письмо, которое он написал, запечатал и отправил на хранение в Академию наук, чтобы подтвердить свои притязания, было вскрыто в официальной обстановке, в присутствии свидетелей, и его содержимое было подтверждено документально – однако никому, похоже, не было до этого дела. Следующим шагом Менгера стала публикация целой пулеметной очереди статей по этому вопросу, и он даже уговорил Ганса Гана писать длинные письма Брауэру в подтверждение своих притязаний.

Примерно тогда же Менгер и Ган пригласили голландского математика выступить в Вене с лекциями. Ведь научное миропонимание требовало строгого разделения личного и научного. Брауэр с удовольствием принял приглашение и с наслаждением воспользовался всеми возможностями напасть на формализм Гильберта. Так появились его знаменитые Венские лекции, которые пробудили в Витгенштейне угасшую было страсть к философии.

Перед самым началом первой лекции Брауэра Ганс Ган в тесноте битком набитой аудитории представился автору “Трактата”. Витгенштейн “поблагодарил его с рассеянной улыбкой и взглядом, устремленным в бесконечность”, – писал Карл Менгер. Сам он смотрел на это в смятении. Юного геометра покоробило, что Витгенштейн так ясно дает понять, что Ган ему неинтересен, и его охватило благородное негодование из-за подобного высокомерия. Менгер дал себе зарок никогда не ставить себя выше других. Как он писал в дальнейшем, “Я всегда старался избегать знакомства с людьми, которые не выражали заинтересованности в знакомстве со мной”.

Менгер был убежден, что понимает, откуда взялась такая надменность. Он приписывал ледяное равнодушие Витгенштейна обиде на всех венских математиков. Конечно, если речь идет о таком иррациональном предубеждении, ничего не поделаешь. Поэтому все осталось как есть.

Это объясняет, почему, хотя математика вскоре заняла центральное место в размышлениях Витгенштейна, между самим философом и венскими математиками так и не возникло личных связей – он не общался ни с Ганом, ни с Менгером, ни с тихим худощавым студентом в роговых очках Куртом Гёделем.

Гёдель, как и Витгенштейн, был в тот достопамятный день в зале и впитывал мрачные слова Брауэра, и для него это знаменовало радикальный поворот в жизни.