Запечатанные письма. Часть вторая

Драматург, физик, экономист, даже журналист – юный Карл Менгер успел попробовать себя во многих занятиях, прежде чем нашел свое подлинное métier: математику. Определило все событие, произошедшее во время третьего семестра обучения в университете. Недавно назначенный профессор Ганс Ган проводил первое занятие своего семинара – введение в теорию кривых. Что такое кривая, интуитивно понятно каждому, говорил Ган, однако математически безупречное определение до сих пор ускользает от ученых, а некоторые видные математики сомневаются, можно ли вообще его дать. Долгое время считалось, что кривая – то, что получается, когда проводишь непрерывную линию идеальным, бесконечно тонким пером. Однако Джузеппе Пеано и Давид Гильберт показали, к изумлению коллег, что непрерывная линия, проведенная таким образом, может описывать такую извилистую траекторию, что пройдет через все до единой точки внутри, например, квадрата или куба (подобные линии так и называются – “заполняющие пространство кривые”), и все же никто не станет утверждать, что сплошной квадрат или сплошной куб – это кривая.

Ган применял парадоксальные вымышленные конструкции такого рода, чтобы предостеречь слушателей от опасностей интуитивных представлений: “Ведь, как бы ни говорил Кант, интуицию нельзя считать чистым способом получения априорного знания, скорее это всего лишь сила привычки, коренящаяся в инертности ума”.

Как подсказывает здравый смысл, кривая – это что-то одномерное, поверхность – двумерное и так далее. Но как определить саму размерность? Количеством координат, необходимых, чтобы задать местоположение точки? Тут возникает несколько сложностей. Большинство множеств точек невозможно определить уравнениями, они сложнее, чем обычно считается. И такому определению не удовлетворяют даже самые простые множества точек, например квадрат. Более того, примеры “заполняющих пространство кривых” показывают, что положение точки внутри квадрата задается не двумя числами, а одним (представьте себе бесконечную череду десятичных знаков, скажем, числа π: можно решить, что цифры на нечетных местах задают х-координату точки, а точки на четных – у-координату. Или наоборот – если знать x– и y-координаты каждой точки в квадрате, можно переплести их так, чтобы получилось одно вещественное число). Подобные соображения противоречат интуиции и наталкивают на глубокие вопросы о том, что же на самом деле значит размерность.

Молодой Менгер почти сразу открыл новый подход к загадке о природе “размерности”. Основная идея неожиданно проста. Чтобы разрезать трехмерный предмет, например деревянный брусок, берут пилу, и срез получается двумерный. Чтобы разрезать двумерный предмет, например лист бумаги, берут ножницы, и разрез получается одномерный. Чтобы разрезать одномерный предмет, например проволоку, ее несколько раз сгибают туда-сюда кусачками, и срез получается нуль-мерный. Предложение Менгера состояло в том, чтобы определить размерность наоборот – сначала ввести множества нулевой размерности (где срез – пустое множество), затем одномерные, затем двумерные, затем трехмерные, и каждый раз определять высшие размерности через уже определенные низшие (останавливаться на трех, разумеется, нет никаких причин).

Разумеется, облечь эту грубоватую идею в точную математическую форму было нелегко, но вскоре Менгер убедил Ганса Гана, что этот подход сулит успех. И лихорадочно углубился в дальнейшие изыскания.

Первые шаги в построении кривой, заполняющей квадрат

Причем немного погодя лихорадка оказалась самой настоящей. Университетские аудитории не отапливались. Нет денег – нет угля. Хрупкое здоровье молодого человека пошатнулось. Диагноз – плеврит.

Восстанавливаться после болезни пришлось долго, и лишь через несколько месяцев Карл Менгер вернулся из отпуска и взялся за работу с прежней страстью. Карл Поппер, который в 1921 году посещал занятия по математике в Венском университете, через семьдесят с лишним лет вспоминал: “На нашем факультете тогда учился Карл Менгер, мой ровесник, но явно гений, полный новых великолепных идей”.

Но за этим ударом последовали и другие. Ган нашел ошибку в одном из важнейших доказательств Менгера, и Менгер снова заболел. На сей раз диагноз был страшнее – туберкулез, болезнь, убившая в послевоенные годы очень и очень многих. Врачи даже стали называть его Morbus Viennensis. Страшное было время.

Студенты-математики с детства знали о норвежце Нильсе Хендрике Абеле и французе Эваристе Галуа – двух гениальных математиках, чья жизнь трагически оборвалась в юные годы, прежде, чем к ним пришло заслуженное признание: Абель умер от туберкулеза в двадцать семь лет, а Галуа было всего двадцать, когда он скончался через несколько дней после злосчастной дуэли, о которой мы уже говорили. И теперь Карл Менгер поневоле задумывался, не ожидает ли и его та же “романтическая” участь. Прежде чем отбыть обратно в санаторий, он отправил в Академию наук еще одно запечатанное письмо, на сей раз – с описанием математических идей, которые он еще не успел полностью проработать.

Повод для беспокойства

Карл Менгер провел почти полтора года в санатории в Афленце, в области под названием Штирия. Впоследствии он сравнивал этот сельский курорт с “Волшебной горой”, которую так завлекательно описал Томас Манн. Вот что называется смотреть на мир сквозь розовые очки! Однако Менгер прекрасно распорядился свободным временем. В Вену он вернулся с исправленным доказательством и смог подать свою работу в качестве докторской диссертации, ничего не опасаясь.

Менгер попросил друга, которому доверял, во время отсутствия регулярно присылать ему конспекты всех лекций по математике, которые он пропустил за три семестра. Друга звали Отто Шрайер (1901–1929), и они с Карлом вместе учились в школе, только Отто – на класс старше; он был так же талантлив, как и все остальные ученики в этой школе.

В 1923 году Шрайер уехал в Марбург на ежегодную конференцию немецких математиков. Подающие надежды молодые математики обычно в насмешку называли такие конференции “рынком рабов”: естественно, пожилые профессора пристально вглядывались в молодую поросль. Если кто-то особенно выделялся, он мог рассчитывать на должность ассистента или даже старшего преподавателя.

Молодой Карл Менгер как “человек на все времена”

Отто Шрайеру на рынке рабов в том году крупно повезло: ему предложили работу в Гамбурге. А вот своему другу Карлу Менгеру, который на конференцию не поехал, он был вынужден сообщить неутешительные новости, о чем и написал в открытке: “Конечно, при первой же встрече я расскажу тебе все подробно. Но сейчас вынужден сообщить тебе только одно, хотя и боюсь, что тебя это встревожит. Один молодой русский, господин П. Урысон из Москвы, прочитал доклад по теории размерности. Насколько я могу судить, результаты у него в точности те же, что и у тебя, и он пришел к ним примерно тогда же, а может быть, и немного раньше”.

“Может быть, и немного раньше”! Это для Менгера был страшный удар. Пока он восстанавливал здоровье на своей “Волшебной горе”, Павел Урысон прислал краткое изложение своих результатов в Comptes Rendus de l‘Académie de Paris. Такое официальное оповещение о новых научных результатах имело гораздо больше шансов произвести должное впечатление на научное сообщество, чем запечатанный конверт, который безвестный студент отправил на хранение в венскую академию.

Менгер в отчаянной спешке доработал рукопись. Ган договорился о срочной публикации в Monatshefte, австрийском математическом журнале. И в сноске в конце статьи упоминался зловещий Урысон. Репринты Менгер разослал известным математикам по всему миру.

Судьба распорядилась так, что тем же летом Павел Урысон утонул в коварных волнах Атлантики на побережье Бретани. Его друг Павел Александров, тоже молодой советский математик, присутствовал при этом, но ничего не смог сделать – только вытащил из моря мертвое тело. Статья со всеми подробностями теории размерности Урысона вышла посмертно.

А еще случилось так, что вскоре после этого безвременная смерть настигла и Отто Шрайера – он умер в двадцать восемь лет от заражения крови. Как и Галуа, он считается одной из важнейших фигур в истории современной алгебры. А Карл Менгер, так боявшийся ранней кончины, дожил до восьмидесяти четырех лет – и ему до конца дней не давал покоя вопрос, кому на самом деле принадлежат открытия, поспособствовавшие такому прогрессу в теории размерности. Ах, человеческое эго так хрупко!