Семь размышлений на темы философии математики

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке: причём не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к удовольствию этих последних, осознаётся не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике – опять-таки в отличие от других наук – всё строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой науке. Непонятна даже в школе (репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым). А уж о современной математической науке и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя, хотя над этим мало кто задумывается.)

Когда что-то общеизвестно, закрадывается подозрение, не миф ли это (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во-первых, обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое – через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет портной у кого же учился?» – справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение всё новых и новых понятий в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то?», наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое "что такое"?»

Давайте задумаемся о принципах толкования слов в словаре какого-либо языка – русского, английского и т. д. В нём одни слова определяются через другие, другие – через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счёте через само себя). Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно: если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека – сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.

При составлении перечня (который вряд ли может быть вполне определённым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама». В самом деле, возьмём, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, чьё расстояние от одной определённой точки (центра шара) не превосходит определённой величины (радиуса шара). Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнаёт, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве – на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведённое выше определение он узнаёт лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда учащемуся удосуживаются объяснить, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, который он изучает в школе, – это одно и то же. В результате и возникает представление, что «у них в физике и математике всё наоборот. Может быть, у них и шар пойдёт вверх». Но следует ли на основании того, что понятие шара узнаётся из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым, одной из категорий математики? Вероятно, нет.

Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы – уж это-то понятие никак не отнесёшь к числу первичных. Однако формирование понятия группы в умах профессионалов-математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникает в результате рассмотрения конкретных групп, а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идёт о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ сообщения сведений о нём при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний – в нашем случае знаний о математике – должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, прямая или натуральное число, то это делается по-другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за полярным кругом составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0, 1] составляют множество. И далее после приведения достаточного числа примеров говорится: «Всё это множества», – и так возникает общее понятие множества. Аналогично говорится: «Ноль, один, два, три, четыре, пять и т. д. – всё это натуральные числа», – и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствуют слова «и так далее», иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше – «и т. д.»)

Итак, первый из мифов – в математике всё определено – оказывается разрушенным. Перейдём ко второму: в математике всё доказывается из аксиом. Чтобы убедиться, что это не так и таким образом разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселёва, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных – она же пятый постулат Евклида) найдём какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем, теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать – тема следующего размышления.)

Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики – её непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, но если относительно первых двух черт достаточно было спросить самоё математику – спросить и получить отрицательный ответ, – то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос общественного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления, которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии, – тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящено наше последнее размышление.