2. Можно ли определить понятие натурального числа?
Конечно, можно сказать, что натуральное число – это количество предметов в конечной совокупности. Эта формулировка, по-видимому, будет отвечать как значению (точнее, одному из значений) слова «определить», предложенному «Толковым словарём русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова [5] («дать научную, логическую характеристику, формулировку какого-либо понятия, раскрыть его содержание»), так и формулировке «Философской энциклопедии» [11] [ «поскольку результаты изучения объекта отображаются в соответствующих понятиях, определение можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий»]. Подойдём, однако, к понятиям «определить», «определение» с позиций математика. А именно: потребуем, чтобы определение содержало в себе исчерпывающую информацию об определяемом понятии – настолько исчерпывающую, что человек, ничего ранее не знавший об этом понятии, мог бы составить правильное представление о нём исключительно из предложенного определения. Можно ли в таком случае предположить, что человек, вовсе не знающий, что такое натуральное число (не термин, а именно понятие), может усвоить это понятие из первой фразы данного абзаца? Весьма сомнительно: вряд ли, искренне не зная, что такое число, он понимает, что количество предметов не означает, скажем, их суммарного веса, да и само понятие конечной совокупности предметов расплывается при переходе к очень большим совокупностям. Вероятно, все согласны, что триллион в триллионной степени – это натуральное число, однако это число больше числа атомов во Вселенной. Неясно, насколько уместно говорить о конечной совокупности, состоящей из триллиона в триллионной степени предметов [16].
Итак, будем придирчиво требовать от определения исчерпывающей полноты, т. е. будем требовать, чтобы определяемое понятие выражалось с помощью общепринятых синтаксических конструкций через другие понятия, отправные для рассматриваемого определения. С учётом сказанного попробуем предложить такую формулировку: натуральное число – это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное. В рамках тех теорий, в которых эти понятия уже как-то разъяснены (в частности, объявлены неразъясняемыми, или первичными), приведённая только что формулировка действительно является определением натурального числа. Именно такое определение – в идейном смысле такое с точностью до несущественных деталей – принято, например, в трактате Николя Бурбаки «Начала математики». (Напомним в связи с этим, что полное имя единицы в теории Бурбаки требует для своей записи десятков тысяч знаков [6, с. 188].) Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятие натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное. (Как в прибаутке: «Плазма или, короче говоря, протоплазма».)
Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, конечно же, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цели дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, которое могло бы послужить для обучения новичка). Их цель более скромна и более технична – дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.
Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно – понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать «поисками отражения, моделирования») понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.
Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа – считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т. д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за полярный круг».
