Но прежде чем продолжить разговор о доказательствах, необходимо сказать несколько слов о математической терминологии.

Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Когда, например, говорят, что один общественный строй более прогрессивен, чем другой, то не вполне ясно, что в точности это означает. А вот когда говорят, что две прямые пересекаются, то каждому однозначно понятен смысл этих слов.

Для того чтобы математические суждения воспринимались как точные и недвусмысленные, необходимо прежде всего, чтобы таковыми были те понятия, которые в этих суждениях используются. Суждения облекаются в словесную форму в виде предложений, а понятия – в виде терминов. Таким образом, каждый термин должен иметь, во-первых, точно очерченный смысл. Во-вторых, смысл должен быть только один. Что же в действительности происходит с математическими терминами?

Надо признать, что смысловая точность реально достигается лишь в профессиональных, высокоучёных математических текстах, в повседневной же практике – отнюдь не всегда. Чем точнее очерчен смысл термина, тем убедительнее использующие этот термин доказательства. Однозначности терминов также, к сожалению, не наблюдается. Возьмём, к примеру, такой распространённый термин, как «многоугольник». Его понимают по-разному: и как любую замкнутую ломаную, и как самонепересекающуюся замкнутую ломаную (и то и другое ещё надо определять!), и как часть плоскости, ограниченную ломаной. Если вдуматься, то выражение «часть плоскости, ограниченная ломаной» нуждается в разъяснении, а тот факт, что такая часть существует, – ещё и в доказательстве, каковое оказывается довольно непростым (сам этот факт представляет собой частный случай так называемой теоремы Жордана, касающейся не только ломаных, но и замкнутых линий вообще). Тем не менее именно в таком, достаточно наглядном и потому оставляемом без разъяснения смысле термин «многоугольник» понимается в настоящем очерке (а потому все излагаемые здесь рассуждения о многоугольниках убедительны лишь постольку, поскольку ясен смысл термина).

Или термин «угол». Вот несколько различных значений этого термина:

(1) 'два луча, исходящих из одной точки';

(2) 'угол в значении (1) плюс одна из двух частей, на которые им разбивается плоскость';

(3) 'поворот луча';

(4) 'мера угла в значении (1)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов треугольника или произвольного выпуклого многоугольника);

(5)'мера угла в значении (2)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов произвольного многоугольника, не обязательно выпуклого);

(6) 'мера угла в значении (3)' (так понимают этот термин, когда говорят об отрицательных углах и об углах, бóльших или равных 360°).

Заметим, что отнесение к углу как геометрической фигуре его меры как числа представляет собою с позиций Высокой Науки довольно сложную процедуру.

В дальнейшем изложении встретятся три важных неоднозначных термина. Это термины «натуральное число», «натуральный ряд» и «равно».

Возможны два понимания того, что такое натуральное число, отличающиеся друг от друга в одном пункте: считать ли ноль натуральным числом? В школьных учебниках понятие натурального числа обычно выводят из пересчёта предметов, и потому натуральный ряд начинают с единицы. Но можно понимать натуральное число и как количество элементов какого-либо конечного множества. Поскольку одним из конечных множеств является пустое множество, вовсе не содержащее никаких элементов (например, множество ныне живущих динозавров), а количество элементов пустого множества есть ноль, то – при этом втором понимании – и наименьшее натуральное число есть ноль. При первом понимании понятие натурального числа совпадает с понятием целого положительного числа, при втором – с понятием целого неотрицательного числа. Подчеркнём, что каждое из указанных двух понятий имеет совершенно точное, недвусмысленное содержание, а двусмысленность заключается в терминологии, поскольку каждое претендует на то, чтобы его называли «натуральным числом». Дабы избежать неясностей, первое понятие можно было бы называть считательным натуральным числом, а второе – количественным натуральным числом.

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.

Более грамотно было бы называть фигуры, совпадающие при совмещении, конгруэнтными и использовать для записи конгруэнтности не знак равенства =, а некоторый специальный знак, например ≅. Однако, чтобы не усложнять изложения, мы не будем употреблять ни термина «конгруэнтный», ни знака ≅, а удовольствуемся школьной традицией (не такой уж, впрочем, и устойчивой, поскольку одно время в советских школах использовался именно термин «конгруэнтный»).

Итак, запись АВ = EF вовсе не означает (а должна бы!), что отрезки AB и EF совпадают. Но что-то всё же совпадает, а именно: их, отрезков, длины. Под психологическим давлением этого обстоятельства и длину отрезка AB нередко обозначают точно так же, как и сам отрезок, т. е. посредством символа AB. И можно встретить такую запись известного неравенства, связывающего стороны треугольника: АС < АВ + ВС. Но это уже не лезет ни в какие ворота, и в этом очерке длина отрезка AB будет обозначаться так, как ей и положено: |AB|.