Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III в. до н. э. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX в. н. э., и решился на неё французский математик Николя Бурбаки, в 1939 г. приступивший к изданию многотомного трактата «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"».

Таким образом, эти два слова – «математика» и «доказательство» – объявляются почти синонимами.

Казалось бы, можно возразить, что доказательства встречаются и в других сферах, например в юриспруденции. Так, в суде каждая из сторон предъявляет свои доказательства (причём доказательства одной стороны нередко противоречат доказательствам другой стороны). Однако все согласны, что математические доказательства гораздо убедительнее тех, которые оглашаются в судах.

Доказательства, собственно, встречаются во всех науках, даже гуманитарных. Приведу два примера: первый – из исторической науки, второй – из филологии.

Первые шаги в науке великого российского математика Андрея Николаевича Колмогорова были сделаны не в математике, а в истории и относились к истории Новгородской земли в XV в.

Колмогоровские разыскания содержали в числе прочего ответ на вопрос, как брался налог с селений Новгородской земли – с селения в целом или же с каждого его двора. Опровергая господствующее мнение, Колмогоров доказал, что налог брался с селения в целом. Доказательство состояло в том, что в противном случае правило налогообложения было бы чересчур сложным. Проведённый Колмогоровым анализ новгородских писцовых книг, в которых наряду с другими сведениями записывались сведения о налогообложении, привёл к следующим результатам. Налог с больших селений всегда брался в целых единицах, к тому же в большинстве случаев в круглых цифрах, налог со средних селений брался в основном также в целых единицах. Налог с небольших селений мог составлять как целое, так и дробное число налоговых единиц, но это дробное число всегда имело вид целого числа с половиной. Более того, во многих случаях, когда налог с небольших селений брался в целых единицах, дворов в селении оказывалось больше, чем налоговых единиц, взимаемых с селения. Кажется невероятным, чтобы налог был подворным и его ставки были столь хитроумны, чтобы достигнуть таких числовых эффектов!

Теперь пример из филологии. Долгое время предметом ожесточённых спекуляций служил вопрос о подлинности «Слова о полку Игореве», т. е. о том, создано ли оно в XII–XIV вв., что и означает подлинность, или же является позднейшей подделкой, относящейся, скорее всего, к XVIII в. Андрей Анатольевич Зализняк доказал подлинность «Слова». Доказательство опирается на анализ раскрытых Зализняком тончайших закономерностей древнерусского языка. Невероятно, чтобы мог существовать такой фальсификатор, который не только знал бы эти закономерности, иные из коих были обнаружены лишь недавно, но и скрыл своё знание от современников! (Это при том, что, как известно, незнание можно скрыть, знание скрыть невозможно.)

В обоих наших примерах о доказательствах в гуманитарных науках мы употребили слово «невероятно», а не слово «невозможно». Дело в том, что в обоих случаях всё-таки остаётся некоторая, пусть весьма малая, вероятность того, что в действительности налог был подворным, а «Слово» – подделкой. Требуется ли ещё уменьшать эту вероятность? На мой взгляд, в приведённых примерах не требуется, но этот взгляд субъективен. И если кто-нибудь потребует сделать вероятность опровержения открытий, сделанных Колмогоровым и Зализняком, ещё ничтожнее, против этого будет трудно возразить. Вот, например, как реагировал на сообщение Колмогорова известный историк С. В. Бахрушин, когда работа была доложена на занятиях руководимого им семинара в Московском университете. Пишет известный археолог, руководитель Новгородской археологической экспедиции В. Л. Янин:

Думается, позиция Бахрушина имеет следующее объяснение. Он привык к тому, что обычно применяемые в исторической науке доказательства допускают, каждое в отдельности, ощутимую вероятность того, что доказанное утверждение не соответствует действительности, а посему для уменьшения этой вероятности требуется несколько доказательств. Возможно, он впервые услышал доказательство, которое одно уже делало указанную вероятность пренебрежимо малой, – услышал, но не осознал.

Вернёмся, однако, к математике. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я тебе докажу математически», встречающиеся в русской классической литературе, касаются доказательств, которые нельзя оспорить.

Но что же такое доказательство? Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, что он готов убеждать других с помощью этого же рассуждения. Так понимается доказательство всюду: и в истории, и в филологии, и в математике. Во избежание недоразумений и возможного возмущения просвещённых читателей (если таковые найдутся среди читающих этот текст) отметим: есть и другое понимание того, что такое доказательство. По Бурбаки, например, доказательство – это цепочка символов, организованная по определённым правилам. Мы обсудим это другое понимание в заключительном разделе нашего очерка. Полагаем, однако, что наше понимание не является чем-то оригинальным, а отражает то стандартное употребление слова «доказательство», которое имеет место и в средней, и в высшей школе. Те математические объекты, которые именует доказательствами Бурбаки, разумно называть формальными доказательствами, в отличие от содержательных, психологических доказательств, о которых мы здесь говорим. Формальные доказательства составляют предмет изучения математической логики. Заметим ещё, что, на наш взгляд, и Бурбаки не может избежать содержательных доказательств, ведь чтобы убедиться, что данная цепочка символов является формальным доказательством, требуется провести содержательное рассуждение, т. е. именно психологическое доказательство.

Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно. Так, уже отмечалось, что в приведённых выше примерах из истории и филологии оставалась возможность, пусть совершенно невероятная, что доказываемое утверждение ложно. И даже демонстрация нескольких доказательств, как того требовал Бахрушин, всего лишь повысила бы степень невероятности, но не превратила бы её в невозможность. В математических же доказательствах невероятность противоположного эффекта, т. е. допущения того, что доказанное утверждение неверно, заменяется на невозможность. Поэтому убедительность математических доказательств должна быть абсолютной, не оставляющей никакой возможности для противоположного суждения.

Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.

Предупреждение второе. Ниже будут приведены примеры лишь очень простых и коротких доказательств. Между тем многие математические доказательства и гораздо сложнее, и гораздо длиннее, они могут занимать десятки, сотни и даже тысячи страниц. Поясним, откуда берутся эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и, если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.