Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; другое дело, если человек укусил собаку. (От себя замечу, что иные из репортёров дают сообщение, что человек укусил собаку, и тогда, когда в действительности этого не было.) Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, 100 лет не поддававшуюся решению, начали появляться в российских средствах массовой информации с 2003 г. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, сенсацией – в согласии с приведённой формулой – стало облетевшее СМИ летом 2006 г. и заметное время не сходившее с экранов и страниц известие: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград, в частности от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместность шумихи, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, – эти причины были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только знаменитая и очень трудная, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.

Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с тянущимся за ней шлейфом обстоятельств не приобретала ни в какой стране такой массовой известности. Математическая проблематика вторглась в общественное сознание. Не следует ли нам утвердить величие великой проблемы, оставив её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в следующих главах мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.

Но сперва о «шлейфе обстоятельств». Григорию Яковлевичу Перельману, кандидату физико-математических наук, ныне безработному, который, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма «академиков» (см. главу 2), в самом деле решил так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов. До тех пор пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических «проблем тысячелетия» и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни о том, ни о другом, кажется, ещё говорить не приходится. И неясно, придётся ли когда-либо. Дело в том, что к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман публикацией не удостоил и своё решение обнародовал лишь в интернете.

Предыдущий текст был написан до 2010 г. 18 марта 2010 г. институт Клэя присудил Григорию Перельману свой приз, от которого Перельман отказался.

Перельман отказался и от медали Филдса.

Математика, как известно, не входит в число наук, за достижения в которых присуждают Нобелевские премии. Неоднократно предпринимались попытки, иногда презабавные, выяснить, почему же Нобель обошёл математиков в своём завещании. Наиболее популярное объяснение сводится к Сherchez la femme. Якобы Нобель не поделил женщину с неким знаменитым шведским математиком, коему, существуй премия по математике, пришлось бы её дать. Однако такие объяснения хоть и привлекательны, но не слишком достоверны.

Медаль Филдса (Fields Medal) в мире математиков считается примерно такой же престижной наградой, как Нобелевская премия – в мире физиков, например. Она как бы заменяет собою эту премию. На лицевой стороне золотого диска изображён рельефный профиль Архимеда, обрамлённый приписываемым ему девизом: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти себя и овладеть миром»), на оборотной – надпись: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, отдают должное замечательным работам»).

Между медалью Филдса и Нобелевской премией имеются по меньшей мере три различия. Премия присуждается ежегодно, медаль – раз в четыре года, зато награждённых бывает больше – от двух до четырёх. Возраст нобелевских лауреатов не ограничен, и премию зачастую присуждают за достижения весьма и весьма давние. Возраст филдсовских лауреатов лимитирован 40 годами, а потому Уайлс, решивший проблему Ферма в возрасте 41 года, медали не получил; вместо неё председатель Филдсовского комитета торжественно вручил ему специальную серебряную табличку. Наконец, хотя медаль и сопровождается некоей суммой, сумма эта в несколько десятков раз меньше Нобелевской премии.

Медали вручают на проходящем раз в четыре года Международном конгрессе математиков. Президент Международного математического союза специально прилетал в Петербург, чтобы уговорить Перельмана посетить XXV конгресс, который должен был состояться в Мадриде в августе 2006 г., и получить медаль из рук короля Испании.

Перельман остался непреклонен и на конгресс не поехал.

Это был первый случай отказа от Филдсовской медали. Проблемы и даже скандалы в ходе присуждения и вручения медалей Филдса возникали и раньше. Так, из-за Второй мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений с 1936 по 1950 г. (Последний предвоенный Международный конгресс математиков прошёл в Осло в 1936 г., первый послевоенный состоялся в 1950 г. в Кембридже, штат Массачусетс.) Все последующие недоразумения были вызваны вмешательством советской власти. Например, намеченный на 1982 г. конгресс в Варшаве был перенесён на август 1983 г. из-за объявления в Польше военного положения.

В 1966 г. один из крупнейших математиков XX в. Александр Гротендик (Alexander Grothendieck; 1928–2014) в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов. Вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов (так что было непросто разобрать, сколько их) и всех чохом пригласил на сцену, где и раздал медали, уже не повторяя имён. Кто есть ху, понять из зала было невозможно; некоторые могли подумать, что среди вышедших на сцену есть и Гротендик.

В 1970 и 1978 гг. конгрессы состоялись соответственно в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить медали два математика из СССР: в Ницце – Сергей Петрович Новиков (р. 1938; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки – Григорий Александрович Маргулис (р. 1946). Поездка их за наградой была признана, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразной», так что их не выпустили за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (кажется, единственном российском издании, откликнувшемся на присуждение соотечественнику высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «И [даже] докторская диссертация на подходе».

Относительно недопущения поездки Маргулиса и отсутствия публикаций о его премии свидетельствует М. И. Монастырский:

Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 г. Далее излагается рассказ самого Арнольда (надеюсь, что помню его правильно). Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Вручение должно было происходить в августе 1974 г. в канадском городе Ванкувере на очередном XVII конгрессе математиков. Утвердить решение Филдсовского комитета предстояло высшему органу Международного математического союза, его исполнительному комитету. В 1971–1974 гг. вице-президентом исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждения тому Филдсовской медали. В том случае, если Арнольду всё же будет присуждена медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации на конгресс в Ванкувер, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним – интересна, обед – хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только медали Филдса Арнольд тогда не получил – было выдано две награды вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 г. Арнольд исчерпал возрастной лимит.

В 1995 г. Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 г. на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда.

Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 г. великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд., т. 21):

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер – как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Смысл этой устрашающей словесной формулы мы попытаемся разъяснить в следующих главах. В силу особенностей жанра наши разъяснения не будут совершенно точными. В их композиции мы постараемся по возможности учесть заветы Колмогорова, в 1950-е гг. учившего, как надо писать статью для энциклопедии. В ту пору энциклопедическая статья была устроена так: заглавное слово, тире, дефиниция, точка; дефиницией назывался текст, идущий сразу вслед за тире до ближайшей точки. В крайнем случае статья могла этим исчерпываться. Если же автору дают ещё место, то, учил Колмогоров, следует написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем – десятиклассного. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце – даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме в самом конце автор – в качестве премии самому себе – вправе поместить текст, который понимает он один. Этой премии мы себя лишим, но на четырёх- и семиклассное образование тоже не будем ориентироваться.

В заключение предложим в очень огрублённой форме космологическую интерпретацию гипотезы Пуанкаре. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфия» означает некую степень глубинного сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия, то она – в том же самом «известном смысле» – и есть трёхмерная сфера. В отличие от обычной двумерной сферы, т. е. поверхности шара, трёхмерная сфера недоступна нашему непосредственному наблюдению. Однако не исключено, что именно в ней мы все и живём.