Полное название современной системы счисления, которой мы пользуемся, – система десятичных разрядных значений. Разрядных – потому что одна и та же цифра в другой позиции (разряде) может иметь другое числовое значение. Десятичных – потому что каждая цифра в соседней позиции представляет собой число в десять раз больше или меньше своего соседа. Коэффициент умножения между разрядами – 10 – называется основанием. Мы используем именно десятичное основание, а не какое-то другое, скорее в силу биологического случая, а не тщательно продуманного плана. Хотя некоторые из наших предков выбрали другую основу, подавляющее большинство культур, разработавших числовые системы (армяне, египтяне, греки, римляне, индийцы, китайцы и т. д.), выбрали десятичную систему. Все просто: когда мы поняли необходимость счета, мы начали использовать для этого пальцы – во многом так же, как учим наших детей считать и сегодня.

Хотя система счисления на десятичном основании была наиболее распространенной у наших предков, некоторые культуры выбрали другие основания, исходя из различных аспектов нашей биологии. Индейцы юки, проживающие на территории Калифорнии, ведут восьмеричный счет, используя в качестве маркеров пространство между пальцами, а не сами пальцы. Шумеры основанием системы счисления избрали число 60. Его они получили, подсчитав 12 суставов четырех пальцев правой руки большим пальцем и откладывая пять раз по 12 (в сумме 60) на пяти пальцах левой руки. Народность оксапмин на Папуа Новой Гвинее используют 27-ричную систему: подсчет начинается с большого пальца на одной руке (1), перемещается вверх и вниз по рукам и шее через нос (14) и заканчивается на мизинце другой руки (27). Так что десять пальцев – вовсе не единственные части тела, вдохновившие человечество на создание системы счисления, но они были наиболее очевидными, поэтому наши предки на заре математики чаще всего использовали именно их.

Создав систему счисления, культура получает возможность развития высшей математики, которую можно было бы использовать в практических целях. Многие из древнейших человеческих цивилизаций владели весьма развитым математическим аппаратом. К третьему тысячелетию до нашей эры египтяне, например, могли складывать, вычитать, умножать и использовать простые дроби. Соответственно, они знали формулу объема пирамиды, и есть свидетельства того, что они обнаружили прямоугольные треугольники со сторонами длиной 3, 4 и 5 – так называемую пифагорову тройку – задолго до Пифагора. Египтяне использовали распространенную десятеричную систему счисления, но не пользовались разрядами . Вместо этого у них были отдельные иероглифы для разных степеней десяти. Эти пиктограммы чисел не нужно было записывать в каком-то определенном порядке – египтяне узнавали их значение просто на взгляд. Число 1 изображалось всего лишь одним штрихом – почти так, как мы делаем сегодня; 10 – хомутом, 100 – бухтой веревки, а 1000 – изящной водяной лилией. Согнутый палец обозначал 10 000, жаба – 100 000, а бог Хех – олицетворение бесконечности или вечности – 1 000 000. Миллион для древних египтян был очень большим числом. Если они хотели изобразить число 1999, они рисовали одну водяную лилию, девять бухт веревки, девять хомутов и девять вертикальных штрихов. Несмотря на громоздкость, для чисел менее миллиарда эта система работает достаточно хорошо. Однако, если бы египтяне смогли представить число звезд во Вселенной (считается, что порядка септиллиона – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 в нашей десятичной записи), им пришлось бы нарисовать бога Хеха квинтиллион (миллиард миллиардов) раз, что, конечно, не очень практично.

Римляне были во многом более развитой цивилизацией, чем египтяне. Известно, что они широко использовали такие изобретения, как книги, бетон, дороги, домашняя канализация и система общественного здравоохранения. Однако их система счисления была более примитивной. Они использовали семь символов: I, V, X, L, C, D и M – для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно. Понимая, что их система цифр несколько громоздкая, римляне всегда записывали числа слева направо, от самых больших до самых маленьких, поэтому символы можно было просто сложить вместе. Так, MMXV читалось бы: 1000 + 1000 + 10 + 5 или 2015.

Но длинные числовые записи очень неудобны, поэтому ввели исключение из правила. Записанное слева от большего числа меньшее надо было вычесть из большего. Так, число 2019 записывается MMXIX, а не MMXVIIII – из последнего X вычитается I, что дает 9; при этом ключевые символы сохраняются. Но и это еще не все. Проблема в том, что современное представление о стандартизированных правилах и символах римской системы счисления не вполне соответствует тому, как эти символы и правила выглядели и использовались в римскую эпоху. Этруски, например, могли использовать такие символы, как I, Л, Χ, ↑ и Ж вместо I, V, X, L и C, хотя даже это спорно. Нормативные символы и правила написания римских цифр, описанные выше, возможно, формировались на протяжении многих столетий в постримской Европе. Исконно римские системы, вероятно, были гораздо менее единообразными.

Как бы то ни было, римские цифры – в отличие от египетских иероглифов – вполне благополучно пережили падение Римской империи. Сегодня римские цифры, указывающие год завершения строительства, украшают многие здания – это позволяло архитекторам придавать античный флер даже новоделу. По этой причине конец XIX века был особенно трудным временем для каменщиков. На фасаде Бостонской публичной библиотеки имеется надпись из 13 знаков – MDCCCLXXXVIII – самое длинное римское число за последнее тысячелетие; оно обозначает 1888 год, в котором было закончено строительство. Не только архитекторы полагают, что запись числа римскими цифрами выглядит более солидно. Руководства по стилю подсказывают, что человек, на циферблате часов которого изображены римские цифры, выглядит более искушенным, достойным, чем рядовой обыватель. И вправду, официальная запись имени британской королевы, правившей дольше всех остальных британских монархов, – «Елизавета II» – смотрится куда благородней, чем «Елизавета 2», гораздо больше похожая на название сиквела какого-то фильма. В фильмах и телешоу римские цифры, кстати, тоже используются для обозначения даты их производства, но по другой причине. Еще на заре кинематографа создатели фильмов начали обозначать год создания ленты римскими цифрами, чтобы зритель не сразу догадывался, что он смотрит переработанное старое шоу, а требования к оформлению указания на авторство при этом соблюдались.

Несмотря на свою «нишевую» долговечность, римские цифры не сумели покорить мир, поскольку мудреные правила их записи и чтения активно препятствовали развитию высшей математики. Римская империя и вправду не дала миру ни великих математиков, ни великих математических идей. Как мы видели, каждое число в римской системе счисления – потенциально сложное уравнение, которое требует складывать или вычитать ряд символов, чтобы получить результат. Это затрудняет даже простое сложение двух римских числительных. Невозможно было, например, записать два числа одно над другим и сложить их в столбик, как нас всех сегодня учат в начальной школе на уроках математики. Два одинаковых символа в одной позиции в двух разных римских числах не обязательно означали одно и то же. Для подсчета разницы между 2019 и 2015 годом (4 года) просто вычесть число MMXV из числа MMXIX по цифрам справа налево (X–V даст 5, I–X даст – 9 и т. д.) не выйдет. Римской математике категорически не хватало концепции позиционной – или пространственной – системы счисления.

Задолго до римлян и египтян народ Шумера, располагавшегося на территории современного Ирака, имел гораздо более совершенную систему счисления. Шумеры, которых часто называют родоначальниками цивилизации, разработали широкий спектр технологий и орудий труда для сельского хозяйства, включая ирригацию, плуг и, возможно, даже колесо. С ростом их сельскохозяйственного общества возникла необходимость точно измерять земельные участки и администрировать налогообложение. Поэтому около пяти тысяч лет назад шумеры изобрели первую позиционную систему счисления – систему, фундаментальные концепции которой со временем распространились по всему земному шару. Цифры записывались в установленном порядке. Символ, расположенный левее, представлял бóльшую величину, чем тот же символ, расположенный правее. В нашей современной системе счисления в числе 2019 девятка обозначает девять единиц, единица – один десяток, ноль – отсутствие сотен, а двойка – две тысячи. С каждым шагом влево одна и та же цифра превращается в число в 10 раз больше. Хотя шумеры выбрали за основу число 60, они использовали точно такой же принцип. Крайний правый столбец представлял единицы, следующий столбец слева – «шестидесятки», следующий – «3600-ки» и так далее. В шестидесятеричной системе шумеров число 2019 составляют девять единиц, одна 60, ноль 3600 и две 216 000, что в десятичной системе составит 432 069. И наоборот, если бы шумеры хотели записать число 2019 в шестидесятеричной системе, их запись выглядела бы примерно так: 33 39, где символ 33 означает 33 шестидесятки (1980), а символ 39 – оставшиеся 39 единиц.

Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач.

Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы.

Древние греки, основываясь на шумерской традиции, делили каждый градус на 60 минут (обозначается ‘) и каждую минуту на 60 секунд (обозначается ’’). Вообще, слово «минута» означает чрезвычайно маленькую долю (в нашем случае круга), а слово «секунда» – второй уровень деления градуса. В астрономии до сих пор используется шестидесятеричная система позиционного счисления, позволяющая фиксировать размеры объектов, которые сильно отличаются в ночном небе. Круг – символ, обозначающий геометрический градус (как, например, в выражении 360°), который сегодня используется и для обозначения температуры, имеет астрономические корни: считается, что изначально так изображали солнце. Менее романтическая (и более математическая) версия предполагает, что решение применять надстрочный символ ˚ для градусов появилось естественным путем после того, как для его долей – минут и секунд, были использованы надстрочные символы ‘ и ’’; так была завершена последовательность ˚, ‘, ’’.