25. Горы и туман

(Предгорье Гималаев, 1612 год)

Хотя проводник много раз говорил, что это холмы, ты считаешь, что местность вокруг вполне можно назвать горами. Но вчера, когда после изнурительного подъема вы добрались до вершины седьмого «холма», ты понял, что он был прав. От вида далеких горных пиков, покрытых громадными снежными шапками, у тебя перехватывает дыхание. (Не в последний раз.)

Сегодня, отдыхая в крошечной лачужке в монастыре на склоне горы, ты наблюдаешь, как туман и тучи собираются и отступают через долину. По временам можно ясно видеть дно долины, лес, разбросанные валуны, ручьи…

Но наползает туман, размывая детали, и вместо канувших в неизвестность долин остается только искривленный и запутанный ландшафт. Временами скрыто все, кроме самых верхушек гор, леса и ручьи забыты, и только изредка снизу поднимаются какие-то призрачные образы.

Когда солнце выходит из-за туч, эти призраки превращаются в острова – твердые, притягательные, загадочные.

Кажется, что перед тобой иной мир.

Мир, в котором мы живем, состоит из предметов, живых существ, проторенных тропинок, определенных траекторий, правил, структур и многих других привычных объектов. Но физики, описывая наш мир, используют также – а может, даже и прежде всего – частицы, взаимодействия, волновые функции, суперпозиции, пространства состояний, законы физики и унитарную динамику. Каково соотношение между этими, кажущимися такими разными, мирами: одним, расположенным над туманом, и другим, скрытым под ним?

На самом деле это не один вопрос, а два, и теперь, когда мы уже что-то знаем, можно ими заняться. Вопрос первый: как законы, управляющие большим, очень большим числом крошечных частичек, связаны с набором более простых и понятных правил, позволяющих точно описать большое скопление этих крошечных частиц? Вопрос второй: каким образом квантовая механика, необходимая при описании очень малых объектов, превращается в классическую механику, справедливую для больших тел?

Мы уже обсуждали первый вопрос в терминах «грубой зернистости» – уменьшения детализации при переходе к макроскопическим состояниям. В коане «РУКОПИСИ НЕ ГОРЯТ» мы видели, что есть три возможных подхода к описанию эволюции классической системы: отслеживать какое-то определенное состояние, отслеживать вероятности P(s) разных состояний или отслеживать вероятности макроскопических состояний.

Рассмотрим последнюю возможность более конкретно, считая, что горы и туман не метафоры, а реальные объекты, дальнейшее поведение которых мы хотим предсказать. На микроуровне и то, и другое – невероятно большое скопление атомов. Можно записать уравнения, описывающие движение каждого из этих атомов, но решить эти уравнения по силам только джинну: число состояний, которые необходимо будет рассмотреть, непомерно велико. Однако мы можем перейти к макросостояниям.

Предположим, мы разделили кубический километр местности в Гималаях на миллиард кубиков объемом 1 метр кубический. Можно вычислить плотность, температуру, полный импульс и другие характеристики тумана в каждом из этих кубиков. Затем можно вывести законы, определяющие значения этих величин. Такой метод называется гидродинамическим. Он достаточно эффективен, хотя и не идеален: при описании каждого кубического метра мы опускаем множество деталей, заменив их всего несколькими величинами. Но теперь с задачей можно справиться: вместо 10³⁸ частиц нам надо рассматривать всего несколько миллиардов чисел. Даже если получающиеся уравнения нелегко решить с помощью ручки и бумаги (что правда!), эту задачу можно поручить компьютеру. Именно так всегда и поступают, когда, например, надо предсказать погоду. С другой стороны, для камней гидродинамический метод не подходит. Более правомерно, считая каждый камень одной «частицей», проследить динамику примерно сотни миллионов таких частиц. Это все еще очень трудно, но несравнимо легче микроскопического описания.

В каком-то смысле выбор макроскопического описания – «искусство»: сглаживая детали, требуется сохранить достаточно информации для правильного описания системы. Иногда для понимания поведения макроскопической системы важны мельчайшие детали. Например, груды камней и песка могут очень сильно реагировать на небольшие изменения: причиной лавины может стать один булыжник, добавленный в правильном месте! В таких случаях требуется большая работа, чтобы найти уровень детализации, правильно передающий поведение системы и в то же время позволяющий устранить некоторые из невероятно большого количества деталей. В других случаях вообще не ясно, существует ли и стоит ли искать такое упрощенное описание системы. В частности, биологические системы серьезнейшим образом зависят от множества мельчайших деталей. Гидродинамическое описание человека в терминах плотности, давления и импульса с использованием миллиметровой шкалы позволит понять, как будет человек двигаться, падая со скалы, и показать, какие ограничения накладываются на возможные действия человека. Но это описание никоим образом не дает возможности предсказать его поведение или действительно помочь понять, как такая система, как человек, работает. Хотя перейти к грубой зернистости (уменьшить детализацию) сложно, мы, как и другие создания, использующие ум для выживания в этом мире, хорошо с этим справляемся! Мы без труда подразделяем реальность на «объекты» и «сущности»; мы вполне привыкли, что часть этих объектов ведет себя предсказуемо, другие – неким случайным образом, а третьи – в соответствии с собственным желанием и руководствуясь своими целями.

Однако с точки зрения физики, даже если мы сможем понять, как «увеличить зернистость», вопросы останутся. Вплоть до этого момента все наши рассуждения относились скорее к классическому, а не к квантовому описанию микросостояний. Мы уже видели, сколь непросты отношения квантового мира – с его дискретностью, квантовыми состояниями и суперпозицией – с классическим миром непрерывности, определенности и объективными качественными и количественными характеристиками. Квантовая реальность в какой-то мере неоднозначна, она несет в себе квазисубъективный элемент, хотя физическая реальность (в том виде, в котором мы ее наблюдаем) кажется абсолютно объективной. Это справедливо, особенно тогда, когда речь идет о предметах, сходных с булыжниками: в определенное время мы всегда находим их в определенном месте, их прекрасно описывает механика Ньютона, даже несмотря на то, что они состоят из атомов с их случайностью и набором непостижимых свойств. Как такое возможно?

В определенных случаях установить эту связь можно с помощью достаточно красивого, вызывающего удивление приема, объединяющего идею Фейнмана о всех возможных траекториях (через ворота без ворот) с выводами, к которым мы пришли, выбирая свою ДОРОГУ. Главное, что позволяет это сделать, – предположение о том, что частицы, как и наши пилигримы с молитвенными барабанами, несут с собой фазу, циклически повторяющуюся при их движении через пространство-время. Затем допустим, что в случае реальных частиц скорость изменения их фазы (т. е. числа оборотов вертушки при каждом шаге пилигрима) зависит от массы частицы. Точнее, суммарное изменение фазы в результате эволюции определяется не длиной траектории частицы через пространство или пространство-время, а действием S, накопленным при движении вдоль траектории. Это действие, как и там, где речь шла о ДОРОГАХ, КОТОРЫЕ МЫ ВЫБИРАЕМ, зависит от массы частицы. Для субатомных частиц циклическое изменение фазы может быть достаточно медленным, но, если частица более массивна, оно происходит очень, очень быстро. Давайте еще раз проведем эксперимент с пилигримами, но только будем считать, что у них сверхскоростные вертушки. Тогда мы увидим, что, когда пути двух пилигримов совсем разные, они интерферируют. Следовательно, в случае массивных частиц темные и светлые интерференционные полосы располагаются в пространстве чрезвычайно близко друг к другу.

Теперь добавим к этому вывод Фейнмана о том, что при вычислении вероятности перемещения частицы из одного места в другое надо учитывать все возможные траектории. Рассмотрим огромную толпу пилигримов, входящих через одни ворота и идущих по всем возможным тропинкам, которые заканчиваются где-то вблизи пагоды. Поскольку имеется много тропинок разной длины, они скорее всего будут пересекаться друг с другом, а поскольку их очень много, то пересекаются даже тропинки, слегка отличающиеся по длине. Это значит, что все эти тропинки являются препятствием друг для друга и уничтожаются всеми возможными случайными способами. В результате количество тропинок возле края пагоды будет близко к нулю.

Но из этого правила имеется исключение. Предположим, что есть особая выделенная траектория (тропинка), такая, что небольшое изменение этой траектории не приводит к изменению действия S. Тогда амплитуды выделенной и возмущенной траектории складываются. В каком случае изменение траектории не меняет S? С точки зрения математики это имеет место ровно тогда, когда траектория доставляет экстремум действию S.

Это значит, что, если масса велика, бесконечно много траекторий взаимно уничтожается, за исключением того места, где они суммируются когерентно, образуя одну выделенную траекторию. Эта выделенная траектория и есть та, которая доставляет экстремум действию и, следовательно, точно совпадает с классической траекторией, тоже обеспечивающей экстремум действия.

Вот так красиво одна определенная классическая траектория образуется из всех возможных траекторий.

Мы видели, что, если при описании очень, очень большого числа крошечных частиц перейти к существенно меньшему набору чисел, можно использовать макросостояния. И при переходе от очень малых систем к большим классические траектории появляются как результат комбинации большого числа возможных траекторий. Что еще лучше, это можно сделать одновременно. Элегантный метод, предложенный Марри Гелл-Маном, Джеймсом Хартлом и Робертом Гриффитсом, дает возможность определить историю наблюдаемых макроскопических состояний и вычислить вероятность каждой наблюдаемой истории в соответствии с правилами квантовой теории. Как и тогда, когда мы РАЗДЕЛЯЛИ МИРЫ, данный метод ставит вопрос о том, являются ли истории декогерированными. Если это так, то истории называются «классическими». Таким образом, когда частицы становятся больше или увеличивается их число, нечеткость и неопределенность квантового мира постепенно отступает. Наш взгляд устремляется все выше и выше, туда, где видны только вершины гор.

Но не исключительно туда. Нет четко определенной границы между квантовым и классическим мирами, где принципиально неопределенные события становятся определенными и объективными. И ничто не может нам помочь понять по-настоящему, что происходит, когда, как от взмаха сверкнувшего меча, одна классическая траектория разделяется на две. Поскольку физика определяет только вероятность наступления событий, это разделение происходит именно на всем пути вверх и вниз по лестнице, ступеньками которой являются сложность системы и ее размер: нигде на ней нет места, откуда можно сойти в одну, определенную реальность. Гриффитс несколько провокационно сформулировал это так:

Это противоречит глубоко укоренившейся вере или интуитивным представлениям как философов, физиков, так и самых обычных людей на улице, что в любой момент времени есть одно и только одно состояние вселенной, являющееся «истинным», и с ним должны быть согласованы все истинные утверждения, относящиеся к миру вокруг нас.

Иногда гора – это больше, чем гора, а иногда – меньше.