24. Сто тысяч миллионов кальп

(Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)

С того места, где ты сидишь, видна бесконечная река, текущая по бесконечной равнине. Впереди на склоне горы монастырь; монастырские строения спускаются к самой долине, а кругом горы, горы, горы… Твои мысли прерывают голоса двух монахов, идущих по тропинке. Они о чем-то спорят.

«Если кальпа самый длинный из возможных интервалов времени, разве ее можно определять так, как это делал Будда? Он говорил, что кальпа – это время, которое потребуется, чтобы заполнить площадь большого города зернышками горчицы, если добавлять по одному зернышку раз в сто лет, – сетует один монах. – Ведь я могу увеличить это время, если возьму не зернышки, а песчинки, или город будет больше, или добавлять зернышки я буду реже».

«Да, – нетерпеливо отвечает второй монах, – но Будда говорил, что кальпа длиннее. Просто дело в том, что площадь очень большая, а зернышки крошечные, поэтому, что бы ты ни менял, что бы ни придумывал, у тебя не получится потратить существенно больше времени».

Тебе кажется, что первый монах, побежденный своим старшим товарищем, несколько расстроен. И ты, вспомнив, как азартно играл при дворе падишаха Джахангира, решаешь вступить в разговор.

«Все не так! – восклицаешь ты. – Представьте себе двух дэвов, играющих в тибетские кости. Каждую тысячу лет они подбрасывают кости. Они играют, играют и играют миллиарды лет. Но однажды замечают, что сыграли уже так много игр, что новая партия точно воспроизводит игру, сыгранную раньше. Время, которое потребуется на это, и есть кальпа».

Сначала тебе кажется, что эти слова не произвели впечатления на монахов. Но затем они, тщательно обдумав сказанное, быстро обмениваются замечаниями, разобрать которые тебе не удается. После недолгого разговора они обращаются к тебе, и младший восклицает: «Этот период времени и в самом деле невообразимо огромен! Я представить себе не могу чего-то более длительного!»

Старший монах уже готов согласиться, но тут он замечает, что мимо идет Трипа Драгпа, который явно слышит их беседу. И монах обращается к нему с вопросом: «Учитель! Время игры дэвов – это действительно максимальное время, которое можно себе представить?»

Трипа Драгпа, по обыкновению невозмутимый, на мгновение задумывается, а затем внимательно смотрит на, сквозь и даже, кажется, вокруг старшего монаха. «Но кто из вас, – спрашивает он, – задает этот вопрос?»

Наш разум хорошо справляется с небольшими числами, такими как 3 и 46. Мы наглядно представляем себе три объекта. Возможно, не так четко, но достаточно хорошо мы понимаем, когда нам говорят, что есть 46 чего-нибудь. Но когда речь идет о таких числах как миллионы и миллиарды, приходится прибегать к сравнению. Например, мы можем представить себе мелкие песчинки в стакане (их около миллиона) либо в плавательном бассейне (их триллион или больше), или зернышки горчицы, целиком заполняющие куб со стороной 10 километров (там 10²⁰ зернышек). Но мы совершенно беспомощны, когда сталкиваемся с такими числами как 10¹²⁰, не говоря уже о 10^{10^20}. Это те числа, которые возникают, когда речь заходит о вероятностном пространстве физических систем в нашей вселенной.

Такие невообразимые, но имеющие смысл числа легко появляются в комбинаторике, то есть там, где есть большое число элементов и большое число их различных сочетаний. Если в розыгрыше лотереи участвуют 6 шаров, на каждом из которых может быть одно из 40 чисел, мы получаем 40⁶ (около 4 миллиардов) разных возможных результатов. Играя в шахматы, мы делаем много ходов, приводящих к большому числу возможных последствий каждый. По оценке Клода Шеннона, имеется порядка 10¹²⁰ возможных последовательностей шахматных ходов. Сходным образом за полчаса игры в тибетские кости можно около 120 раз подбросить два кубика. Это значит, что возможно сыграть не меньше 12¹²⁰ различных игр. Согласно оценке монаха, игра, в которой кость бросают один раз в тысячу лет, займет около 10⁵ лет, так что потребуется примерно 10⁵ × 12¹²⁰ ≈ 10¹³⁴ года, чтобы партии действительно стали повторяться: в среднем все возможные последовательности ходов будут проиграны один раз. Но это невероятно долго: в сравнении с этим временем возраст наблюдаемой вселенной, а это порядка 10¹⁰ лет, пренебрежимо мал. Этот временной период столь велик, что заслуживает отдельного нового слова. Следуя Будде, назовем сверхдлинный период времени, длящийся 10^{(двузначное или более многозначное целое число)} лет кальпой.

Тем не менее, как мы отметили, говоря о беспорядке на кухне, даже эти числа чрезвычайно, до смешного малы в сравнении с размером вероятностного пространства реальных материальных систем. Например, ваша рука содержит порядка 10²⁶ каждой из элементарных частиц: протонов, нейтронов и электронов. При комнатной температуре каждая из таких частиц внутри объема руки может находиться, по очень грубой оценке, в одном из 10¹⁰ возможных состояний. Таким образом, пространство состояний частиц, из которых состоит рука, – это ошеломляющее число: 10¹⁰ в степени 10²⁶, что составляет 10^{10^27}. Это число, на вид безобидное, состоящее всего из шести цифр, на самом деле невообразимо велико. Столь велико, что, умножив его на число порядка кальпы, вы можете и не заметить, что результат изменился! Например, результат умножения 10^{10^27} на невероятно большое число 10¹²⁰ равен 10^{10^27 + 120}. Видно, что показатель степени изменился на крошечную, совсем крошечную долю процента. Если речь идет о наблюдаемой вселенной, то в ней, по современным оценкам, число состояний порядка 10^{10^122}. Это число еще более неправдоподобно велико: оно практически не меняется, даже если его разделить на 10^{10^27}. Имеется огромное количество состояний, в которых может находиться вселенная! Как и раньше, временные масштабы абсурдно велики, если речь идет о времени, которое потребуется системе для совершения одного цикла, иначе говоря – для прохождения всех состояний. Будем использовать термин метакальпа для 10 в степени 10^{(целое число в какой-то степени или больше)} лет (или любая другая единица времени).

Какой бы запредельно большой ни была метакальпа, ее значение буквально ничто в сравнении с другой величиной, которую можно ввести с бесконечностью. Зададимся вопросом: не является ли число 10^{10^122} настолько большим, что его можно назвать бесконечностью? Во многих отношениях и во многих случаях это действительно так. Однако бесконечность – другая категория, качественно другое понятие. Образно говоря, другой монстр. И это различие действительно может оказаться важным.

Предположим, мы запечатали затейливый рисунок с большим числом мелких деталей, скажем, тибетскую тхангку, в идеально закрывающийся ящик. Окружающий мир никак не влияет на содержимое такого воображаемого ящика, и это условие соблюдается вечно. Картина просто будет находиться в ящике бесконечно долгое время, меняясь в соответствии с не меняющимися со временем законами физики и становясь все старше и старше. Когда пройдет кальпа или что-то вроде того, картина превратится в пыль, а потом, по прошествии долгого времени, она станет горячим газом. А затем, по истечении еще очень долгого времени, скорее всего произойдет разложение газа и образуется полностью равновесный суп из ультрагорячих кварков, нейтронов и электронов.

А что дальше?

Тхангка скитается в пустыне равновесия. Притом что в небольшом ящичке порядка 10²⁶ частиц, их пространство состояний сопоставимо с пространством состояний частиц вашей руки: 10^{10^27} возможностей. Как при блуждании по пустыне или, например, в кухне, куда вы запустили неугомонного четырехлетнего сорванца, может произойти случайная флуктуация, слегка уменьшающая беспорядок. Но существенное изменение беспорядка, скажем, уменьшение беспорядка более чем вдвое, будет означать, что система перешла в макроскопическое состояние, содержащее, скажем, 10^{10^26} состояний, а на это, в среднем, потребуется метакальпа.

Хотя это непостижимо большое время превышает все, что можно себе вообразить, оно бесконечно мало в сравнении с вечностью, в которой существует ящик. Поэтому такое событие действительно произойдет.

Более того: верно не только то, что в какой-то момент беспорядок станет существенно меньше. Доказуемо, что сама тхангка, рано или поздно, мазок за мазком, восстановится настолько детально, насколько вы этого потребуете. Во время вашего блуждания по пустыне этот удивительный результат, так называемая рекуррентная теорема Пуанкаре (или теорема о возвращении Пуанкаре), становится очевидным. Предположим, что где-то вам пришла в голову безумная мысль отстать от каравана, и с этого места вы стартовали. Вы движетесь как попало, но есть два правила, нарушить которые нельзя. Во-первых, вы никак не можете покинуть пустыню (иными словами, это правило означает, что наша система изолирована и ее пространство состояний велико, но конечно). Во-вторых, никогда нельзя пересекать траекторию своего движения. Если допустить пересечение, получится, что какое-то одно место в пространстве состояний (то, где траектории пересеклись) будет эволюционировать вдоль двух различных траекторий. Но именно это запрещено условием унитарности, согласно которому для данного состояния есть только один-единственный путь эволюции этого состояния в будущее и в прошлое.

Легко видеть, что, если эти два правила выполняются, при блуждании вы «поглощаете» пространство состояний, покрывая его шагами. Даже если активно стараться не прийти туда, откуда начался ваш путь, по прошествии какого-то времени вам придется близко подойти к нему, а затем, с течением времени, вы будете подходить к нему все ближе и ближе. Таким образом, пространство состояний становится полностью плотно заполнено вашей траекторией, которая все ближе подходит к исходной точке (но никогда не проходит точно через нее). Сходным образом, стационарная замкнутая система в конечном счете обязательно окажется сколь угодно близко к своему начальному состоянию (см. рис. ниже).

Сколько времени на это должно потребоваться? Для обычной классической системы масштаб времени, требующийся для возвращения в исходное состояние, соответствует метакальпе. Невероятно, но для квантовой системы характерное время еще на одну ступень выше. Это время можно, если хотите, назвать трансметакальпой. Такое число – 10 в степени 10^{10(многозначное целое число)} – типографским способом напечатать не удастся.

Но и это еще ничто в сравнении с бесконечностью!

В любом случае это означает, что, если подождать достаточно долго, в конечном итоге в ящике может произойти все что угодно, включая восстановление рисунка или материализацию любой другой конфигурации атомов, совместимой с сохраняющимися в данной системе величинами. Как и пустыня, образованная всеми следами, в ящике нет ничего – и одновременно есть все, что вы пожелаете. Надо только достаточно долго подождать.

Ящик по прошествии кальп и метакальп времени.

Можно успокаивать себя: мол, подобный навечно закрытый ящик – просто результат необузданного полета фантазии. Но не является ли Вселенная таким ящиком? Как и в случае ящика, к ней ничего не добавляется и ничего из нее не выходит. Как и ящик, она, вероятно, будет существовать всегда, возможно, почти всегда.

Если ты находишься в этом ящике, какой изо всех этих «ты» именно ты?