23. Скитание по пустыне

(Неизвестная область Оттоманской империи, 1610 год)

Прошло три дня после побега из плена. Вода у тебя кончается, солнце пустыни слепит глаза, а расстилающееся впереди пространство кажется однообразным и бесконечным.

На пятый день, отметив небольшую перемену в окружающем пейзаже, ты стараешься убедить себя, что идешь куда-то. Не важно куда.

Но на самом деле у тебя едва хватает сил, чтобы приоткрыть глаза и осмотреться вокруг.

На шестой день ты замечаешь следы на песке и понимаешь, что они – твои собственные. Твое отчаяние безгранично, однако пересекать свою прежнюю траекторию ты не хочешь и устало бредешь дальше. На одиннадцатый день ты вновь наталкиваешься на свои следы. Вода у тебя кончилась, о еде ты уже и думать забыл. Если ты осмеливаешься поднять глаза, все кажется тебе одинаковым.

На 85-ый день ты уже потерял счет своим возвращениям назад. Вот они, знакомые приметы: сначала долго тянется участок буро-коричневого песка, затем (недолго) рыжевато-желтого, а иногда попадается песок коричнево-красный. Нет, это не может быть восемьдесят пятый день. Это ты понимаешь. Если бы это оказалось правдой, ты бы давно умер. Все очень просто: вероятно, ты просто сошел с ума.

На 91-ый день ты открываешь глаза и, как и ожидал, опять видишь буро-коричневый песок. Ты спрашиваешь себя «Если всю пустыню заполнить следами, значит ли это, что следов нет?»

На 112-ый (или 12-ый?) день ты по счастливой случайности натыкаешься на маленькую, почти неприметную пещеру.

Поэтому вселенная не может существовать вечно: рано или поздно должен наступить момент, когда последний имеющийся в ее распоряжении эрг энергии достигнет самой низкой ступени лестницы убывающей доступности, и в этот момент активная жизнь вселенной должна прекратиться.

Сэр Артур Эддингтон

Что происходит, когда система блуждает, блуждает и блуждает по своему пространству состояний, проходя через все большие и большие макросостояния? Где она в конце концов окажется? В наводящем тоску месте, в пустыне, где даже не кажется, что что-то происходит: в равновесии.

Представим себе пространство состояний системы как довольно пустынную местность между Дамаском и Багдадом, разные места которой соответствуют разным состояниям системы. Кое-что бросается в глаза. Во-первых, хотя пустыня огромна, она конечна. Можно представить себе физическую систему, для которой это утверждение несправедливо, но сейчас предположим, что это так. Во-вторых, если разделить пустыню на макросотстояния, такие как «коричнево-красная пустыня», или «рыжевато-желтая пустыня», или «около реки», или «пещера», мы также увидим, что полная площадь (и, следовательно, разупорядочение каждого макросостояния) тоже конечна.

Это означает, что есть макросостояние (возможно, это «буро-коричневая пустыня»), обладающее максимальной площадью и самое разупорядоченное. Совершенно естественно, что это то макросостояние, в которое система в конце концов попадет. Это и есть состояние равновесия?

Не совсем, поскольку на самом деле мы не можем всегда скитаться только по буро-коричневой пустыне. Она может быть огромна, но если мы обречены бродить по ней целую вечность, то в конце концов, по чистой случайности, мы оттуда выберемся и – что наиболее вероятно – попадем в «желто-коричневую пустыню»: следующее по величине беспорядка макросостояние. (Хотя затем, как это ни грустно, мы скорее всего опять окажемся в «буро-коричневой пустыне».)

Итак, равновесие – это на самом деле не состояние, или, по крайней мере, не макросостояние. Скорее, это состояние ума – то, в котором большую часть времени мы обнаруживаем, что находимся в самых разупорядоченных макросостояниях и проводим все меньше и меньше времени в состояниях с меньшим беспорядком. На самом деле мы можем рассматривать эти относительные интервалы времени как вероятности. Если, пытаясь осмотреться, мы периодически открываем ослепленные солнцем глаза, то долю времени, проведенную в каждом из макросостояний, можно считать вероятностью того, какое именно макросостояние мы увидим, открыв глаза.

Равновесие как состояние ума достаточно скучно и монотонно. Возникает ощущение, что на самом деле ничего не происходит. Хотя время от времени это макроскопическое состояние меняется, эти изменения настолько предсказуемы, что и это неинтересно. Ответ на любой вопрос почему всегда один и тот же: потому что я скитаюсь по пустыне равновесия.

Почему, открывая глаза, я вижу буро-коричневый песок? Потому что я в пустыне и, когда я открою глаза, то с подавляющей вероятностью увижу буро-коричневый песок.

Почему только один час из ста вокруг меня коричнево-красный песок? Потому что я в пустыне, и 1/100 ее часть именно такого цвета.

Ответ на любой ваш вопрос о том, что может произойти на макроскопическом уровне, формулируется на языке вероятностей, рассчитанных исходя из состояния равновесия, в котором вы оказались. Кроме этих вероятностей ничего больше нет.

Ну, то есть почти ничего. Хотя вы бесцельно бродите по пустыне, вы не парите над ней и не прокладываете туннель под ней. Есть ограничение, удерживающее вас на двумерной поверхности Земли. Какие-то ограничения есть в большинстве физических систем: фиксированная полная энергия или полный электрический заряд, фиксированный объем системы или постоянство числа частиц, и так далее. Точно так же, как география или гравитация могут ограничивать свободу странствующего путника, подобные ограничения делают доступной для системы только очень малую часть всего возможного пространства состояний. Например, если задана полная энергия системы частиц, это означает, что ни одна из частиц не может иметь энергию, превышающую эту полную энергию, а если такая система удерживается в определенной области пространства, то, конечно, эту область не может покинуть ни одна частица.

Если нарушение ограничений не допускается, в равновесии система всегда будет блуждать по «разрешенной» части пространства состояний. Но если ограничения в чем-то несовершенны, они могут удерживать там систему очень долго – однако не всегда. В конце концов система совершит «прорыв» в большую область пространства состояний – в новый мир, который можно исследовать! Но до тех пор, пока ответы на ваши вопросы определяет только сочетание равновесных свойств и ограничений, вы не можете – или еще не смогли – туда «прорваться».

Более того: если подумать, «равновесные» ответы на ваши вопросы практически не зависят от того, откуда началось ваше скитание по пустыне. Если вы провели в пустыне достаточно долгое время, как вы можете узнать, где именно все началось? Хотя, по сути, такое забвение предшествующей истории делает равновесие скучным, оно невероятно полезно для описания физических систем: не надо знать, из какого состояния система стартовала, не нужно детальное описание этого состояния. Нужно только знать все ограничения и понимать, что из себя представляет пространство состояний. Во многом именно благодаря этому возможна такая наука, как термодинамика.

Точно так же можно сформулировать более общее утверждение о независимости равновесного состояния. Что если вместо одного «скитающегося» микросостояния вы имеете дело с чем-то вроде рассмотренной выше «смеси» состояний, где каждому состоянию соответствует вероятность P(s)? Что-нибудь изменится? Нет! При условии, что на каждое возможное состояние накладываются примерно одинаковые ограничения, в целом прогноз равновесного состояния будет точно таким же. На самом деле, можно смешать все возможные состояния, подчиняющиеся одному и тому же набору ограничений. Это могут быть или очень похожие состояния, или состояния, переходящие одно в другое, – все равно. Даже если вы смешаете их все произвольно, в состоянии равновесия система по-прежнему будет вести себя так, как при смешивании цветов: в конечном итоге вы всегда получите коричневый. (Может, с небольшим добавлением бурого… может, красного… может…)

Хотя что-то загадочное в этом все же есть. Одно унитарно эволюционирующее состояние содержит огромное количество информации. Можно выбрать состояние, напоминающее хорошую энциклопедию и содержащее полезную информацию, – или же эта информация, подобно холодному буррито, может быть совсем бесполезной; но если мы точно знаем, что система находится в некотором определенном состоянии (и неважно, что оно из себя представляет), то информация всегда максимальна. Когда система долгое время эволюционирует, эта информация оказывается скрытой, но она никогда не теряется. С другой стороны, множество случайно перемешанных состояний содержит очень мало информации. (Напомним, что, распределяя вероятности по состояниям более однородно, мы увеличиваем случайность и тем самым уменьшаем информацию.) Если мы будем наблюдать, что происходит, когда такое состояние меняется, двигаясь вперед или назад во времени, мы увидим только сплошную мешанину: оно никогда не соберется ни в энциклопедию, ни вообще во что-либо интересное.

Предположение о равновесии используется постоянно, чтобы достаточно точно предсказать поведение физических систем. Хотя равновесие, которое можно определить как состояние с максимальным беспорядком, может быть состоянием с огромным количеством скрытой информации – или же не содержать практически никакой информации, не существует ничего, что позволило бы разделить эти два случая.

Этот парадокс зачаровывает и смущает меня. Не столь уж часто «так много» может одновременно означать и «так мало».