20. Рукописи не горят

(Здесь и там, сейчас и потом)

Что останется, когда ты покинешь этот мир? Что сохранится после твоего пребывания в этом мире в невообразимо далеком будущем – через 400 лет?

Может быть, останутся какие-то зримые свидетельства твоего непосредственного влияния на мир? Кучка камней, зарубки на дереве, отметившие твой путь? Вещи, изготовленные твоими руками? Нет, ничего из этого так долго не живет. Конечно, ты можешь сделать записи, и ты наверняка останешься в памяти близких. Возможно, сохранятся упоминания в хрониках, записи в официальных документах и тому подобное. Все это может остаться благодаря усилиям тех, кто придет после тебя, и они могут сберечь эту память, если, сочтя нужным, позаботятся об этом.

Конечно, ты влиял на многое: выбирал варианты, осуществлял проекты – от личных до глобальных. Твое случайное слово могло оказаться решающим и изменить течение чужой жизни, ход событий или даже саму историю. Однако сколь долго это влияние будет ассоциироваться с тобой? Ведь в общем течении событий твое влияние трудно выделить даже здесь и сейчас.

Возможно, людям приятно считать, что остается буквально все – каждое действие, каждый выбор, каждая мысль, – остается, навечно воплощенным, в движении атомов и волн, хотя и сокрытым навсегда.

Но возможно, это вовсе не так.

«…»

Гипатия Александрийская, все работы которой были утеряны

До изобретения печатного станка большая часть работ по науке, философии и литературе существовала в лучшем случае в виде нескольких хрупких копий. При разрушении (повторном) библиотеки в Александрии были, к нашему прискорбию, безвозвратно утеряны бесчисленные работы Платона, Сократа, Евклида, Гипатии и других авторов. Сохранились ли они в этом мире, закодированные в волновой функции вселенной внутри расширяющейся сферы радиусом 2000 световых лет, спрятанные от нас и интригующие историков? Будут ли эти слова и ваши мысли, возникшие при чтении этих слов, навсегда и неустранимо впечатаны в космическую историю? Фундаментальное сохранение информации – один из основных постулатов и базовых принципов фундаментальной физики. Но что в точности это означает? И действительно ли это так?

Когда мы получали СОВЕТЫ ОТ ПОВАРА, мы описывали конкретную физическую систему – кухню – как набор состояний, что могут превращаться друг в друга при некоторой динамике. Мы видели и другие такие системы: летящую стрелу, падающий с башни шар, частицы, движущиеся в пространстве-времени в логове джинна, и так далее. Но взглянем на эту основную концепцию с более абстрактной точки зрения. Если мы обозначим буквой s одно состояние нашей системы, тогда s(t) будет состоянием системы в момент t. В падающем пушечном ядре, например, для определения s(t) нужны два числа: высота и значение направленной вниз составляющей скорости. Тогда s(t₀) могло означать, что «пушечное ядро находится в состоянии покоя на высоте 100 метров», а состояние s(t₁) через несколько секунд (в момент t₁) могло бы соответствовать «пушечному ядру на высоте 45 метров, падающему со скоростью 30 метров в секунду».

Многие законы физики определяют правила, переводящие данное состояние в некоторый момент времени в состояние в другой момент. Давайте присвоим символ U всей процедуре, в соответствии с которой это делается. Рассуждение о пушечном ядре привело Галилея к пониманию того, что, если мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, падающие объекты подчиняются особому правилу, устанавливающему, что направленная вниз скорость в течение каждой секунды возрастает на определенную величину (около 10 м/сек). Включенное в U, это правило позволяет по заданной в момент t₀ высоте объекта и вертикальной составляющей скорости вычислить высоту и вертикальную составляющую скорость в любой последующий момент времени. Вообще говоря, в классической механике U означает хотя и нечто гораздо более сложное, но в принципе похожее: нужно взять все частицы, рассчитать межчастичные силы и все траектории частиц, чтобы найти их положения и скорости в более поздние моменты времени; то есть это та самая процедура, которую джинн собирался использовать, чтобы узнать, как состояние мира эволюционирует от одного состояния к другому.

Когда у нас есть абстрактное понятие о состояниях s(t) и правило U, по которому развивается их эволюция (рис. ниже), можно в общем виде сформулировать и базовые свойства, которые должно иметь U, и те свойства, которые оно иметь не должно. Сосредоточимся на двух, особенно важных для разрешаемых нами вопросов.

Первое свойство – детерминизм: действительно ли из данного начального состояния следует, что при данном выборе более позднего момента времени в системе возникает единственное и неповторимое состояние? Высота нашего падающего пушечного ядра определенно обладает этим свойством: если мы введем текущую высоту пушечного ядра, скорость и интервал времени в соответствующую формулу и вычислим по этой формуле новую высоту, то мы получим одно-единственное значение. Классическая механика в общем случае обладает этим свойством – как и утверждал джинн. Им же будут обладать многие правила и алгоритмы, которые вы могли бы придумать.

Идеализированное пространство состояний системы.

Эволюционное правило U переводит любое состояние в момент t₀ в соответствующее состояние в более поздний момент времени t₁.

Второе свойство – унитарность, которую грубо можно определить как «обратимость». Если задано U, существует ли обратная процедура, позволяющая по данному состоянию в определенный момент времени восстановить состояние в начальный момент времени? Иными словами, можете ли вы повернуть часы вспять или перемотать назад ленту, безошибочно восстановив прежнее состояние? Что касается нашего пушечного ядра, то ответ – «да». Эта процедура соответствует перехватыванию на определенной высоте ядра, летящего с определенной скоростью вниз, и подбрасыванию его с той же скоростью вверх. Ядро при этом должно оказаться в точности на вершине башни. В классической механике, вообще говоря, обратная процедура соответствует движению классической частицы по той же самой траектории, по которой она двигалась через пространство-время, но назад.

Если в общем случае такой унитарный оператор существует для физических законов, то это значит, что прав Ленни Сасскинд, писавший: «В принципе вы всегда можете достаточно внимательно присмотреться к объектам и определить с бесконечной точностью, что с ними происходило раньше, прокрутив их историю в обратном направлении». Труды Платона и Гипатии в действительности не потеряны, поскольку траектории всех частиц, из которых состояли папирусные свитки, можно в принципе направить в обратном направлении для того, чтобы реконструировать исходные книги. Даже если бы нам пришлось сжечь одну из книг Платона, дым, пепел и тепло, состоящие из атомов, фотонов и прочего, все равно подчинялись бы правилу унитарности, как и вся окружающая книги среда. Хотя на практике, скорее всего, восстановить книгу невозможно – в силу тех же самых обстоятельств, которые мешают джинну точно предсказать будущее, – книги все-таки останутся здесь, с нами, закодированные и впечатанные в текущее состояние Вселенной (так же как и спрятанное там, по утверждениям джинна, будущее). Ничто не будет утеряно бесследно.

Но описание мира не ограничивается классической физикой. Что если мы опишем мир с помощью квантовой механики (а мы обязательно должны это сделать, если хотим быть добросовестными)? Или же что будет, если мы станем описывать мир классически, но допустим (и это мы тоже должны сделать!), что у нас есть некоторая неопределенность при описании состояния, в котором мир находится? В обоих случаях мы обнаруживаем очень хитрую и интересную комбинацию: мир, какой он есть, в некоем смысле одновременно унитарный и детерминистский и не унитарный и не детерминистский!

Возьмем классическую систему, для которой мы знаем только вероятности состояний – например, пятидесятипроцентную вероятность того, что кость находится на высоте 10,1 см над столом, и такую же вероятность того, что кость находится на высоте 10,2 см. Мы можем обозначить их как P(s) – вероятность, приписываемая каждому состоянию s. Теперь, если мы посмотрим на кость (быстро и внимательно) и увидим, что с большой вероятностью она находится на высоте 10,2 см, мы сможем считать, что, скажем, P(10,2 см) = 99 %, а P(10,1 см) = 1 %. Это изменение в P(s) было скачкообразным и непредсказуемым по определению, так как если бы мы могли это предсказать, то не стали бы вначале приписывать этим состояниям пятидесятипроцентные вероятности. И когда мы уже получили вероятности после наблюдения, у нас не осталось никакого способа (кроме, разве что, воспоминания) «восстановить» тот факт, что сначала неопределенность считалась нами равной 50–50 или 25–75 либо какой-нибудь еще. Таким образом, мы обнаружили и недетерминизм, и неунитарность.

Аналогично, мы видели, что квантовая механика – недетерминистская наука в смысле измерений свойств системы: когда вы задаете системе вопрос, на который у нее нет определенного ответа, вы получаете неопределенный (недетерминированный) ответ. Более того, делая это, вы меняете состояние довольно скачкообразно и необратимо, так как различные состояния до измерений могут дать одно и то же состояние при измерениях. Таким образом, вы не можете однозначно перевести то состояние, в котором система оказалась после произведения измерения, обратно в то единственное, в котором она находилась до того, как вы задали вопрос. Это означает, что данный процесс еще и не унитарный. Положение любой заданной молекулы дыма от сгоревшего папирусного свитка книги Платона представляло бы собой суперпозицию ее местоположений, а как только мы бы его определили, часть сведений о том, где она была раньше, исчезла бы.

Однако в таких системах есть и другой источник потери информации. Представим себе, что квантовое состояние эволюционирует с помощью уравнения Шрёдингера, или что классические вероятности P (s) эволюционируют в процессе действий симулятора, который мы использовали при расчетах поведения брошенной кости. В начале броска вероятность кости находиться в руке с различными ориентациями граней очень велика, а вероятность того, что она лежит на столе, мала. Но со временем вероятности изменяются и распределяются равномерно между состояниями лежащей на столе кости с разными цифрами на ее верхней грани.

В данном случае это выглядит так, будто вероятность «разветвляется» на все большее и большее количество состояний (рис. ниже). Даже при узком интервале начальных условий для игральной кости, скатившейся с вершины длинного холма, шансы реализации каждого из событий, состоящих в том, что одна из ее шести граней окажется вверху, будут примерно равны. Другими словами, классическая вероятность P, сконцентрированная для состояний, которые выглядят очень похожими друг на друга, будет эволюционировать к распределению между состояниями, кажущимися очень разными даже для невооруженного глаза. Это ветвление как раз и объясняет, почему мы говорим, что кость ведет себя «случайным образом». Но при этом представляется, что информация о начальной вероятности P(s) потеряна: почти при любом наборе вероятностей P(s) начальных состояний вероятности конечных состояний, при которых на верхней грани окажутся цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, будут практически одинаковыми. Как же тогда мы сможем повернуть стрелки часов назад и восстановить начальные значения P(s)?

И все-таки это в принципе возможно! Присмотримся повнимательнее к определенному способу эволюции P(s): какую бы вероятность P мы ни приписали начальному состоянию s(t₀), эта вероятность просто переносится на то состояние s(t), в которое данное начальное состояние переходит (рис. ниже). Другими словами, если мы приписываем вероятность P(s) начальному состоянию системы, все, что мы делаем, – это помечаем каждую возможную траекторию s(t) той ее вероятностью, которую траектория сохраняет. Но поскольку каждое состояние s(t) эволюционирует унитарно (обратимо), для каждого отдельного состояния мы всегда можем повернуть стрелки часов назад. Таким образом, если мы знаем P(s) в более поздний момент времени, мы, чтобы получить P(s) в более ранний момент, можем обратить время вспять: нам надо просто проследить за каждым состоянием, идя в обратном направлении по времени и придерживаясь приписанной ему вероятности.

Схематически изображенное фазовое пространство для брошенной кости. Эволюция состояний начинается от состояний «кость в руке», далее следуют состояния «кость в воздухе» и, наконец, состояния «подпрыгивание и остановка». Они ветвятся и распределяются по макросостояниям, соответствующим разным цифрам на верхней грани приземлившейся кости. Однако эта ветвящаяся картина эволюции образована бесчисленными микротраекториями, которые не ветвятся.

Это означает, что, в принципе зная (во всех деталях) вероятности состояний кости у подножья холма, можно в точности восстановить изначальные (концентрированные) вероятности. Вся информация о начальных вероятностях при эволюции сохраняется и всегда может быть восстановлена, если повернуть эволюцию в обратном направлении. Теория унитарна. И поскольку, зная P(s) в какой-то момент времени, вы в состоянии вычислить ее в любой другой момент времени, теория еще и детерминистская! Во многом то же самое происходит в квантовой механике с уравнением Шрёдингера: зная квантовое состояние, его можно трансформировать в будущее или в прошлое единственным способом, и пока не сделаны измерения, эти преобразования будут и унитарными, и детерминистскими. Таким образом, динамика замкнутой системы, если ее отрезать от внешнего мира и не наблюдать за ней, может быть и детерминистской, и унитарной, – но если начать за ней подглядывать, то она становится и не унитарной, и недетерминистской. Странно, правда? Но так уж это выглядит: если вы не смотрите на систему – и в случае вероятностей, и в случае квантовой механики, – информация, попросту говоря, сохраняется.

В действительности существует математическое определение информации, которое превращает это грубое определение в очень точное. Когда мы получали СОВЕТЫ ОТ ПОВАРА, мы обсуждали приписываемую макросостоянию «беспорядочную» энтропию, впервые введенную Больцманом. Но есть и другое определение энтропии, точно в терминах P(s), введенное Дж. Уиллардом Гиббсом (и позже – в более общем виде – Клодом Шенноном). Эта энтропия Гиббса-Шеннона достигает максимума, когда вероятность равнораспределена по всем состояниям, и равна минимальному значению, когда вся вероятность концентрируется на одном состоянии, а вероятность остальных состояний обращается в ноль. Мы могли бы назвать это свойство неопределенностью, чтобы отличать его от свойства беспорядочности, определенного Больцманом. Полная информация о системе (знание о точном состоянии) соответствует нулевой неопределенности, а полное неведение (одинаковые вероятности, приписываемые каждому состоянию) соответствует максимальной неопределенности. Теперь мы можем высказать некое точное утверждение, которое можно доказать математически: при унитарном преобразовании неопределенность остается постоянной. Это постоянство неопределенности отражает сохранение информации.

Но как же насчет «распределения» вероятностей при бросании кости? Кажется, мы пришли к парадоксу. С одной, формальной, точки зрения, кажется, что классическая динамика сохраняет информацию, но, с другой стороны, наше интуитивное представление о том, как происходит бросание кости, подсказывает нам, что информация теряется: многие начальные распределения вероятностей эволюционируют в почти одинаковое распределение вероятностей (равнораспределенность) в конце. Кажется, что наблюдение или ненаблюдение за поведением кости имеет мало общего с этой эволюцией состояний, поскольку мы можем подглядывать и в начале, и в конце процесса.

Ключом, позволяющим разрешить этот парадокс, является различие двух понятий, которые мы уже обсуждали: беспорядка и неопределенности. В то время как унитарная эволюция сохраняет вероятности микросостояний и удерживает постоянный уровень неопределенности, она может потерять объем информации (и обычно так и делает) о макросостоянии, тем самым увеличивая беспорядок. Верхние грани с разными цифрами соответствуют различным макросостояниям, каждое из которых содержит огромное количество микросостояний. Если узнать вероятности этих микросостояний у кости, докатившейся до подножья холма, то можно восстановить начальные микросостояния. Но если вы можете смотреть на систему только своими ограниченными макроскопическими глазами, вы упустите мелкие детали информации, которые понадобились бы вам для восстановления начальной информации.

Эта потеря порядка и есть в точности то, на что указывает второй закон термодинамики: в замкнутой системе макроскопический порядок теряется, несмотря даже на то, что микроскопическая информация сохраняется. Законы физики, хотя они и унитарные, сохраняют ту информацию, которую они выбирают для сохранения, но их ничуть не заботит информация или порядок, о которых мы, люди, беспокоимся, – будь то слова в книге, зарубки на дереве или следы на песке в пустыне. Все это уносится постоянно дующим ветром унитарной стихии.

Ничто, может, и не теряется, но все спрятано.