13. Проход паломников через ворота

(Монастырь Самье, Тибет, 1612 год)

С вершины горы открывается великолепный вид на монастырь и на движение праздничной толпы. Несколько часов ты наблюдал за тем, как паломники проходили через узкие ворота в храмовый комплекс. Каждый паломник, пройдя через ворота, раскручивал свой ручной молитвенный барабан. Ты удивился, увидев, что все паломники раскручивают свои барабаны с одной и той же скоростью: один оборот за шаг. Они идут – с одинаковыми скоростями, в медитативном темпе – по главной монастырской дороге и скапливаются у стены просторного павильона.

Плотность потока постоянно нарастает, так что перед входом выстраивается очередь из паломников, и, чтобы избежать заторов, в какой-то момент из монастыря выбегает монах, который открывает еще одни ворота, расположенные точно на север от первых. Очень скоро образуются два постоянных потока паломников, проходящих через ворота с такой скоростью, что (сосредоточившись на своих молитвах) они едва не сталкиваются друг с другом.

Ты поражаешься, когда замечаешь, что если при сближении двух паломников их барабаны синхронизованы (спиннеры – цепочки с грузиками, служащие для раскручивания барабанов, – направлены в одну сторону), то паломники не сталкиваются друг с другом. Но если спиннер барабана у одного направлен на север, а у другого – на юг, то цепочки с грузиками запутываются и паломники вынуждены останавливаться, чтобы их распутать.

А потом ты замечаешь нечто потрясающее. Вдоль открытой стороны павильона образовались кластеры, где распутывали цепочки своих барабанов столкнувшиеся паломники, а между ними возникли «коридоры», по которым паломники проходили свободно. Ты наблюдаешь дальше и видишь, что эта картина не меняется во времени: по какой-то причине у открытой стены павильона образуются зоны, где постоянно происходят столкновения и где внутрь павильона попадает очень мало паломников. Но есть и другие зоны, где столкновений очень мало и где свободно проходит множество паломников. Тут в твоем мозгу шевельнулась некая мысль: это напоминает тебе наблюдения, которые вы с Галилеем проводили раньше в доках. Но ты никак не можешь уловить связь. В раздражении ты списываешь все на то, что слишком долго пробыл на полуденном солнце, и начинаешь спускаться с горы вниз, в деревню.

На следующий день ты возвращаешься на свое место. Редкие паломники все еще бредут к монастырю, примерно по одному за пару минут. Ты замечаешь, что монах забыл закрыть северные ворота. Но, пока ты наблюдаешь за бредущими паломниками, ты подмечаешь одну странность. Когда паломники приближаются к открытой стороне павильона, многие из них заходят внутрь только в определенных местах – в тех же, что и накануне, – и стараются избегать других. Это кажется тебе весьма загадочным. Ты осторожно приближаешься к монастырю и убеждаешься, что сегодняшние паломники и правда ведут себя в точности так же, как толпа накануне, несмотря на то, что сегодня их мало и они не сталкиваются друг с другом.

Как это может быть? Ворота без ворот стоят открытыми.

Ворота Дхармы необъятны. Я обещаю все их пройти.

Плач Бодхисаттвы

Было ли у вас «достаточное» основание для выбора пути через Тибет, а не через Монголию?

Оставим свой наблюдательный пункт, спустимся с горы к монастырю Самье и рассмотрим вблизи и те, и другие ворота, ведущие внутрь. Каждый паломник может выбрать либо одни ворота, либо другие, но два паломника могут лишь одновременно пройти через разные ворота. Что произойдет, если они сделают это?

Взаимодействие молитвенных барабанов.

Вообразите, что в монастырь входят два паломника – один в северные, другой в южные ворота – примерно в одно и то же время, как это изображено на рисунке выше, и, когда они входят внутрь, спиннеры обоих молитвенных барабанов направлены на восток. Когда паломники с одинаковой скоростью идут дальше, барабан прокручивается со скоростью один оборот за один шаг. Через 20 шагов, идя в данном направлении, паломники могут сойтись у стены павильона в точности напротив точки, лежащей посередине отрезка, соединяющего северные и южные ворота, то есть на восток от этой точки (нижняя пара путей на рис. выше). Поскольку оба молитвенных барабана совершили при этом по 20 полных оборотов, спиннеры на них опять смотрят на восток и не цепляют друг друга.

Но вообразим теперь, что два паломника встречаются чуть севернее (верхняя пара путей на рисунке). Тогда паломник из южных ворот должен будет пройти 20 и ¼ шага, то есть на ¼ шага дальше. В этом случае дополнительная ¼ оборота барабана у паломника из южных ворот означает, что спиннер в этот момент будет направлен на север. К сожалению, у барабана паломника из северных ворот, прошедшего 19 и ¼ шага, спиннер будет показывать на юг. Таким образом, спиннеры барабанов зацепятся и паломники не смогут двигаться дальше.

Есть наглядный математический способ для описания поведения этих паломников – комплексные числа. Мы можем представить себе комплексное число в виде маленькой стрелки на плоскости, которая, как любая стрелка, имеет длину (или модуль) и направление (или фазу), меняющуюся в диапазоне между 0 и 360 градусами. Ключевой вопрос с комплексными числами состоит в том, что когда вы хотите найти их комбинацию, вы должны учитывать не только модуль, но и их фазу (подобно тому, как при операциях с реальными числами вы должны учитывать не только величину, но и знак, то есть положительные они или отрицательные). Сама процедура несложная. Чтобы сложить два комплексных числа, вы должны приложить острие одной стрелки к основанию другой. Стрелка, основание которой совпадает с основанием первой стрелки, а острие совпадает с острием второй, представляет собой их сумму. Длина результирующей стрелки (и, следовательно, модуль суммы) не больше суммы длин составляющих стрелок и не меньше разности их длин.

Спиннеры молитвенных барабанов паломников взаимодействуют по тому же принципу за исключением того, что все спиннеры имеют одинаковую длину, так что важно только их направление, которое меняется при каждом шаге паломника на 360 градусов. Если два паломника придут в одно и то же место, мы можем считать, что они провзаимодействуют по типу сложения комплексных чисел, представляющих спиннеры их молитвенных барабанов. Если спиннеры направлены в противоположные стороны, они компенсируют друг друга (то есть модуль суммы равен нулю). Если они направлены в одном направлении, соответствующие комплексные числа просто складываются (модуль суммы равен удвоенному модулю каждого). Для других ориентаций модуль суммы может быть как больше, так и меньше длин исходных стрелок, а направление ее может быть любым.

При таких взаимодействиях, если они происходят вдоль открытой стороны павильона, возникают области (например, в центре), где амплитуда велика и множество паломников заходят в павильон («ворота открыты»), а в других областях (например, чуть севернее) барабаны паломников цепляются, их нужно распутывать, и в результате внутрь попадают только некоторые из паломников. Между областями «открытых ворот» количество паломников плавно меняется в зависимости от направления, сначала постепенно уменьшаясь, а потом увеличиваясь. Это свойство применительно к волнам называется интерференцией. Волны также обладают модулем, иначе называемым амплитудой (то, насколько высока волна), и фазой (пик или впадина), и их можно описывать с помощью той же самой математики.

Интерференция волн была известна физикам еще в XVII–XVIII веках и позже использовалась для того, чтобы попытаться разрешить яростный спор между сторонниками теории, что видимый свет по существу состоит из частиц вроде пылинки, и сторонниками представления света в виде волн, подобных морским. Известный эксперимент, впервые проведенный британским физиком Томасом Юнгом в начале девятнадцатого века, состоял в том, что свет пропускался через две щели и освещал экран, помещенный за этими щелями. При этом освещение экрана оказывалось неоднородным – там появлялись темные и светлые полосы, как если бы свет представлял собой волны и свет, проходящий через одну щель, интерферировал со светом, прошедшим через другую щель.

Но эта победа сторонников волновой природы света была преходящей. В начале двадцатого века Эйнштейн в своей пионерской работе (за которую он получил Нобелевскую премию) показал, что свет имеет ярко выраженные частичные свойства и состоит по существу из отдельных пакетов – фотонов. Как это согласовать с волновым экспериментом Юнга? Похоже на тупик! Можно провести эксперимент с двумя щелями, используя чувствительный детектор, который способен зарегистрировать единичный фотон (это аналогично тому, что вы наблюдали, когда вернулись к монастырю на следующий день после праздника: через ворота тогда время от времени проходило только по одному паломнику). Каждый фотон оказывается в определенном месте экрана, как и должна делать частица (или паломник). Вы подумаете, что каждая из этих частиц пройдет через первую или вторую щель. Однако, глядя на картину распределения частиц на экране, мы убедимся, что они также образуют светлые и темные полосы, как и в эксперименте Юнга: в «светлых» полосах больше фотонов, в «темных» – меньше. Так что фотоны интерферируют, как волны, хотя это и частицы, проходящие через щели по отдельности. Даже если вы вообразите, что фотон проходит через одну из щелей, он каким-то образом «знает», что другая щель открыта. Такое поведение очень озадачило физиков в начале двадцатого века.

Чтобы придать этим фактам смысл, создатели теории сформулировали математическое понятие, называемое волновой функцией и тесно связанное с квантовым состоянием, которое мы обсуждали в коане «ЗАКОН ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ БРОСАНИИ КОСТИ». Вспомним, что мы можем записать квантовое состояние чего-то как сумму (или суперпозицию) состояний, соответствующих определенным ответам на некий набор вопросов (например, «где вы находитесь?»), или определенных ответов на дополнительный вопрос (типа «насколько быстро вы движетесь?»), но в большинстве случаев не на оба набора вопросов одновременно. Мы можем представлять волновую функцию фотона из светового пучка как квантовое состояние фотона, выраженное в виде суммы состояний с определенным местоположением. Отсюда мы прямо получаем вероятности нахождения фотона в определенном месте в заданное время. Волновая функция на поверхности, на которой находятся обе щели (ворота), может иметь вид:

[Волновая функция на щелях (воротах)] = [у северных ворот] + [у южных ворот],

так что измерение с равной 50 % вероятностью обнаружит фотон у каждых ворот.

В квантовой теории также имеется четко определенная процедура для расчета волновой функции на экране: так же как уравнение Шрёдингера позволяет следить за изменением квантового состояния (что мы наблюдали в коане «ЗАКОН ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ БРОСАНИИ КОСТИ»), она позволяет и проследить за изменением волновой функции фотона от каждой щели, и рассчитать ее в плоскости экрана. Поскольку волновая функция точно определена в терминах положения у каждой щели, ее невозможно точно определить в терминах скорости. Это означает, что положение частицы стремится размыться и что она во многом начинает напоминать волну, распространяющуюся во всех направлениях от источника. Чтобы получить результирующую волновую функцию на экране, вы должны сложить эти волны/волновые функции, распространяющиеся от двух щелей. Поскольку каждая волновая функция имеет «волновую структуру» (то есть обладает амплитудой и фазой), волновые функции могут интерферировать, что приводит к появлению интерференционной картины, представляющей собой темные и светлые пятна – области, где вероятность найти фотон в соответствии с его волновой функцией низкая или высокая соответственно.

Итак, фотоны – частицы, если вы интересуетесь тем, где они находятся. Но если вы спрашиваете, в какое место экрана они попадут, ответ приходится давать в терминах волн. (Волн чего? Вероятности!) Но после того, как они ударяются об экран, они опять становятся частицами.

Имеется длинный список удивительных и интересных вопросов, касающихся этой проблемы, и физики не перестают их задавать себе уже в течение века. «Действительно» ли фотон пролетает через одну щель или через две щели? Можем ли мы выяснить, через какую щель фотон пролетел после того, как он ударился об экран? А до того? Что если мы не будем смотреть на экран? Что если мы закроем одну щель после того, как фотон пролетит через щели, но до того, как он ударится об экран? И подобных вопросов накопилось немало.

Но как бы забавно это ни было, прежде чем разбираться с любым из вышеприведенных вопросов, давайте вернемся к озадачившему всех утверждению Фейнмана о том, что «электрон… движется в любом направлении на любой скорости. как ему нравится, а затем вы складываете амплитуды путей и получаете волновую функцию». Если мы рассмотрим по отдельности частицы (или паломников), то увидим, что имеется много, очень много возможных путей, по которым в принципе можно через какое-то время попасть из одного места (например, от ворот) в другое место (например, к открытой стороне павильона). Классическая физика рассматривает только один путь из многих и считает его единственно правильным. Квантовая механика разрушает эту концепцию: если частица находится в воротах, мы можем воспользоваться уравнением Шрёдингера, которое позволит нам узнать только вероятность для частицы позже оказаться в каком-то месте у входной стороны павильона. Мы можем считать эту вероятность вероятностью для частицы избрать данный путь, но это не совсем верно: мы видели на примере пары паломников, что для того чтобы произошла интерференция, частица должна каким-то образом пройти одновременно больше чем по одному пути.

Фейнман довел эту мысль до логического завершения. Он задался следующим вопросом: если частица должна пройти одновременно по нескольким путям, то не пролетает ли она сразу по всем возможным путям? В своем анализе он использовал гениальный мысленный эксперимент. Вообразите забор между воротами и павильоном с одними воротами в этом заборе. Тогда какие бы пути к павильону паломники ни избрали, они должны пройти через эти ворота. Если ворот и заборов добавить, то мы установим определенный набор ограничений на пути, по которому могут двигаться паломники. Для того, чтобы рассчитать вероятность прохождения по каждому возможному пути через ворота, можно использовать аппарат квантовой механики – так же, как его использовали для того, чтобы рассчитать вероятность нахождения каждого паломника в определенной точке у открытой стороны павильона. Фейнман обратил внимание вот на что: если рассмотреть бесконечное количество заборов с бесконечным количеством ворот в каждом, то полученные вероятности можно описать двумя способами.

Во-первых, вы можете сказать, что они представляют собой своего рода сумму по всем возможным путям к павильону, которые мог выбрать паломник, поскольку для каждого такого пути существует серия ворот, через которые он должен пройти.

В то же самое время забор, полностью состоящий из ворот, – уже вовсе не барьер: его можно считать безбарьерным барьером! Таким образом, вероятности также описывают просто «свободное» движение паломников к павильону, так же как волновая функция описывает движение частиц по пути, вообще лишенном барьеров.

Итак, волновая функция, которая описывает единичную частицу, движущуюся от одного места к другому, математически эквивалентна частице, движущейся по всевозможным путям, соединяющим первое местоположение со вторым, причем все они абсолютно равно возможны. Как сказал Дайсон, это безумие, но это работает!

А еще это приводит к довольно загадочным последствиям. Один ключевой пункт состоит в том, что для того, чтобы этот метод работал, каждому из всех возможных путей необходимо приписать одинаковую амплитуду. Ни один путь – ни прямой, ни тот, который диктуется классической физикой, ни какой-либо другой – по сути не имеет преимуществ перед другими, и бессмысленно говорить, что эта частица выбрала этот путь, а не другой. Эти пути определяют волновую функцию, которая определяет вероятности, дающие нам (неопределенные) ответы на вопросы, – типа вопроса о том, где мы оказались в конце.

И – однако – объекты движутся по прямым траекториям, определяемым соответствующими законами. И когда мы спрашиваем себя, как мы сюда попали, мы вспоминаем конкретный путь, которым пришли.

Но мы сделаны из частиц, которые движутся всеми возможными путями. Как же мы можем выбрать один-единственный путь?