12. Закон достаточного основания при бросании кости
(Агра, Индия, 1611 год)
Хотя азартные игры при дворе Джахангира и были формально запрещены, к игрокам все еще относились снисходительно, и ты, вспомнив о неопубликованной книге Кардано по математической теории азартных игр, приходишь к мысли, что у тебя должно быть преимущество при игре в кости. Однако удача отвернулась от тебя, и ты начинаешь громко сетовать, что тебе не везет. А ставки меж тем поднялись уже высоко. Старец суфий, проходя мимо, слышит твои стенания и укоряет тебя: «Не жалуйся. Твое невезение в игре – воля Аллаха». Учитывая состояние твоих финансов, звучит не слишком вдохновляюще, но слова суфия заставляют тебя задуматься. Что влияет на бросок кости? Грань кубика с определенной цифрой оказывается сверху не то чтобы совсем случайно, это зависит от множества сложных причин – угла наклона руки и точного значения переданной ею кубику скорости в момент броска, текстуры стола и так далее; все это вместе делает результаты бросков трудно предсказуемыми. Однако время, проведенное с джинном, убедило тебя в том, что предсказание результатов броска дело хотя и сложное, но не безнадежное.
Держа кубик в руке, ты понимаешь, что у тебя, допустим, 1 шанс из 3 получить благоприятный результат. Но для Вселенной – в лице Аллаха или джинна – в момент броска результат уже фактически предопределен, то есть вероятность определенного исхода равна 100 процентам. Вот только бы знать, какого именно! Ты утешаешь себя мыслью, что броски твоих партнеров по игре тоже зависят от случая, ты ведь не с джинном играешь, иначе у тебя не было бы ни единого шанса. Однако ты начинаешь задаваться вопросом, можно ли бросить кость так, что результат не сумеет предугадать даже джинн? Возможно. Ну а как насчет Бога? Или Вселенной? Может ли цепочка причинно-следственных связей запуститься без причины?
Ты заставляешь себя вернуться мыслями к игре и готовишься бросить кость…
Может ли событие произойти без причины? Мы сплошь и рядом имеем дело с непредсказуемыми событиями, вроде результата бросания кости или погоды на следующей неделе. Также мы привыкли к идее, что многие непредсказуемые в конкретных случаях события статистически предсказуемы: например, вероятность выпадения двух шестерок у двух правильных костей равна 1/36 или 2,78 %. Под термином «правильная кость» мы понимаем вот что: для каждой такой кости шансы выпадения любого числа от 1 до 6 одинаковы. Под словом «шанс» мы понимаем следующее: если мы вообразим, что кидаем две кости очень много раз и подсчитываем результаты, число выпадений шестерок на обеих костях сразу составит примерно 1 из 36. (Эта своего рода закономерность во времени, позволяющая казино постоянно богатеть!) Хорошо разработанная отрасль математики – теория вероятности – берет свое начало в работах Джероламо Кардано. Дальнейшее свое развитие она получила в семнадцатом и восемнадцатом веках в трудах Лапласа и Декарта и по сей день применяется в тех случаях, когда точный результат предсказать нельзя. И тогда событиям приписывается определенная вероятность.
Мы пользуемся этой теорией, потому что не знаем, как упадет кость или, к примеру, будет ли завтра дождь. Но знает ли это Вселенная? Абсолютно понятно, что существуют определенные причины для того, чтобы данная грань кости оказалась вверху, а дождь завтра пролился. Современные суперкомпьютеры предсказывают погоду гораздо лучше, чем это можете сделать вы. Или возьмем брошенную кость. Короткий видеоклип о движении только что брошенной кости в сочетании со сложнейшими компьютерными вычислениями, учитывающими особенности самой кости, стола, окружающего воздуха и прочего, предоставили бы достаточно информации для того, чтобы с большой точностью предсказать, как именно кость приземлится. С такой системой, если бы ей в процессе полета кости было разрешено сообщать информацию о полете, было бы глупо заключать пари на результат!
Способность компьютера предсказывать результат падения кости поднимает два вопроса. Во-первых, что произойдет с нашей вероятностью 1/6 выпадения определенной грани кубика? Ясно, что компьютер рассуждает не в таких выражениях. Он, напротив, выполнив вычисления, припишет выпадению определенной грани гораздо большую, чем другим, вероятность. Во-вторых, откуда вообще взялась вероятность 1/6?
Вглядимся пристальнее в то, что может делать эта причудливая компьютерная система (назовем ее симулятором). Короткий видеоклип представляет собой серию измерений положений в пространстве и скоростей определенных частей кости. Симулятор использует их в качестве начальных условий, численно решает основные физические уравнения и выводит результаты моделирования, показывающие (например), что грань кубика с четверкой окажется вверху.
Но хорошо сконструированный симулятор на этом не остановится, поскольку даже если бы вычисления были идеальными, измерения с помощью видеоклипа совсем не идеальны: каждое измерение допускает некоторую неточность. Чтобы вычисления оказались надежными, они проделываются не один раз, а много, очень много раз, причем всегда с использованием слегка отличающихся начальных условий, взятых из полного набора возможностей для каждого измерения. Например, если начальная скорость верхней вершины кубика, измеренная по видеоклипу, находится в интервале 4,5–4,7 см/сек, вычисления могут делаться для скоростей 4,50, 4,51,… 4,70 см/сек. И измерения других величин (типа начального положения или направления) для каждого из этих 21 значения могут варьироваться. В результате будет выполнено множество расчетов, и при этом, по идее, возникнет множество конечных результатов.
Теперь симулятор может подсчитать, какую долю результатов во всей этой серии симуляций составляет результат, при котором вверху оказывалась грань с определенной цифрой (1, 2 и т. д.). Эти доли переводятся в набор вероятностей, которые приписываются результатам бросков кости. Симулятор может выдать, например, такой результат: «Из 100000 смоделированных бросков кости с начальными условиями, взятыми из видеоклипа, в 3 % случаев выпала единица, в 96 % – четверка, а на остальные цифры (2,3,5,6) пришелся 1 % случаев». Это чрезвычайно полезный прогноз, предсказывающий не только самый вероятный результат, но и то, насколько этот результат более вероятен, чем остальные. И это в точности то, что делается при составлении прогноза погоды: одни и те же расчеты проводятся множество раз, и доля тех результатов, которые показали, что в вашем районе завтра будет дождь, считается «вероятностью дождя».
Теперь вернемся к вероятности выпадения четверки, которую в отсутствие поддержки от симулятора с его мощной предсказательной способностью мы считаем равной 1/6. Но эта вероятность обусловлена другой причиной. Мы можем бросать кость много раз и записывать результаты. Но очевидной причины для получения в этом опыте вероятности выпадения четверки, равной 1/6, не видно. Однако именно такая вероятность получается вследствие симметрии кости: все грани кубика в смысле результатов бросков идентичны и отличаются только нарисованными на них цифрами. Точнее, между конкретной гранью кубика и физическими процессами, происходящими при бросании кубика, нет корреляции, и именно это мы называем «правильной» костью. Если одна сторона кости тяжелее, такая кость будет «неправильной» именно потому, что имеются корреляции между этой стороной кости и физическими процессами, происходящими при броске, и эти корреляции нарушают симметрию шести граней.
Симметрии, однако, не вполне достаточно для того, чтобы объяснить разницу между «вашей» вероятностью 1/6 и результатом симулятора – 96 %. Если вы бросаете кость с высоты всего 1 см над столом, очень вероятно, что она упадет вверх той же стороной, которая смотрела вверх, когда кость была в руке в момент броска. Таким образом, для получения вероятности 1/6 требуется не только отсутствие корреляции между определенной стороной кубика и физическими процессами, управляющими его движением, но и достаточная сложность физического процесса, которая бы позволила разрушить любую корреляцию между результатом и видом информации, доступной вам как человеку, бросающему кость. Другими словами, при обычном броске кости имеется зависимость результата броска от начальных условий, но чтобы увидеть и использовать эту зависимость и получить в конечном итоге вероятность, отличную от 1/6, необходимо использовать всю мощь компьютерного симулятора и точные данные наблюдений.
Теперь подведем итоги. При бросании кости и вы, и компьютерный симулятор проходите через очень схожий прогнозирующий процесс. У вас есть модель процесса бросания кубика, а также доступ к некоторой информации о том конкретном броске, результат которого вы пытаетесь предсказать. Для вас эта информация довольно бесполезна, и вы прибегаете к оценке, основанной на симметрии, то есть на одинаковой вероятности выпадения грани с любой цифрой. А вот симулятор, который имеет доступ к полезной информации и возможность использования гораздо более сложной физической модели, может получить более точные прогнозы по распределению вероятностей. И поэтому, например, вы потеряете деньги при игре в кости с симулятором.
Легко себе представить, что симулятор может решить эту задачу лучше или хуже. Если используются лучшая видеокамера, более точная физическая модель стола и падения кости на него, более мощный компьютер и тому подобное, это может повысить точность определения вероятности выпадения, к примеру, четверки при броске правильной кости, доведя ее до значения 99,6 % вместо 96 %. Но столь же легко можно вообразить процесс броска, проходящий не так гладко. Например, если при броске кубик приземляется на ребро, вероятность кубика лечь на одну из прилегающих к этому ребру граней может оказаться примерно 50 на 50, так что потребуется очень много уточняющих расчетов перед тем, как та или иная вероятность начнет преобладать. Если же кость скатывается, к примеру, с длинного неровного холма, то даже симулятору будет трудно получить результат, отличный от стандартной вероятности 1/6, поскольку невозможно учесть все переменные и неопределенности. Но все-таки есть ощущение, что если приложить бездну усилий для улучшения модели и сбора более точных данных, то расчеты симулятора в конце концов приведут к единственному наиболее вероятному ответу на вопрос, что именно произойдет.
Тогда где предел? Возможно ли, что «оракул» со способностями, как у джинна, так хорошо справится со своей работой, что всегда с вероятностью 100 % предскажет определенный результат, оставляя для прочих результатов нулевую вероятность? В этом случае можно было бы сказать, что ему известны все обстоятельства, сопровождающие падение кости и приводящие к данному результату, и что у него имеется полный ответ на вопрос, почему именно эта грань кубика оказалась сверху.
Хотя задача кажется сложной, не очевидно, что ее невозможно решить в принципе. Даже если у вас нет необходимой информации и ноу-хау для того, чтобы предсказать, что случится, интуитивно кажется очевидным, что такая информация и ноу-хау существуют, поскольку Вселенная обладает этой информацией и устраивает так, что случается именно это событие, а не какое-то другое. Для этого должна быть причина, не так ли? Великие философы Просвещения – Декарт, Спиноза и Лейбниц – расходились во мнениях по многим вопросам, но в одном они были согласны: всегда есть причина, по которой происходит данное – а не какое-то другое – событие. Лейбниц писал об этом в своем труде «Монадология»: «Ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым – без достаточного основания, почему дело обстоит именно так, а не иначе». Сделать точный прогноз или найти идеальное объяснение может оказаться делом чрезвычайно сложным, но это всегда должно быть возможным.
Когда что-то случается, мы часто говорим, что оно произошло «без причины», но на самом деле мы редко имеем в виду буквально это. Да и впрямь: можете ли вы вообразить действие без причины? Некоторые величайшие умы пытались сделать это, но безуспешно, и тогда они решили, что это невозможно.
И тем не менее, согласно квантовой механике – вероятно, наиболее фундаментальной теории физики, – такое возможно.
… Когда ты собираешься бросить кость, ты задумываешься над тем, как такая простая вещь – всего один бросок кости – может, подобно колесу фортуны, круто изменить твою судьбу. Всего 6 цифр на гранях каждой кости, ничего между ними, никаких двусмысленностей. Отброшены стратегия, мастерство, история, и сложность мироустройства свелась к предельной простоте.
Ты бросаешь, и твоя судьба решена.
Вообразите, что кость состоит из одной элементарной частицы, а не из огромного числа частиц. В частности, попытайтесь вообразить, что кость имеет только два свойства: определенная цифра на верхней грани (i-б) и местоположение кости. Каждое из этих свойств соответствует вопросу, который можно задать кости, или, иными словами, виду измерения, которое можно произвести. Например, мы можем задать следующие вопросы:
Вопрос № 1 (В1): Какая грань у тебя верхняя?
Вопрос № 2 (В2): Где в точности ты находишься?
И кость может дать такие ответы:
Ответ № 1 (О1): У меня на верхней грани шестерка.
Ответ № 2 (О2): Мои координаты [широта, долгота, высота]: [27.1789335252, 78.0224962785, 1.232432].
Эта идея приводит нас к важному определению, имеющему далеко идущие последствия. Назовем квантовым состоянием физической системы полный набор определенных фактов, которые система, если ее спросить, сообщит о себе. Так, квантовое состояние нашего кубика будет определяться двумя ответами О1 и О2 и кратко записываться следующим образом: [О1; О2] = [6 ↑; 27.1789335252, 78.0224962785, 1.232432], где точка с запятой разделяет различные поставленные вопросы, на которые получены ответы.
Здесь ключевым обстоятельством является то, что эти ответы содержат всю определенную информацию, которую кубик должен предоставить. Это кажется совершенно тривиальным утверждением, но – внимание! – из этого утверждения о фундаментальной простоте системы следует огромное число результатов, противоречащих интуиции. Посмотрим, каких именно.
Во-первых, ясно, что есть разные состояния, в которых наша кость может находиться. Чтобы их описать, вообразим, что мы получили полный (включены все возможности) перечень взаимоисключающих ответов (только один из них может быть истинным для системы в каждый заданный момент времени) на каждый вопрос. Для кости это будет означать 6 возможностей в О1 – одна из шести граней вверху – и все ее (кости) возможные положения в ответах О2. Квантовое состояние кости может соответствовать любой одной паре из набора всех возможных ответов, и все возможные определенные ответы, которые может дать кость, находятся где-то в этом перечне.
Теперь мы подошли к ключевому моменту. Хотя мы включили в список всего два вопроса, что будет, если мы все-таки пойдем дальше и зададим еще один вопрос (назовем его В3) – например, какая сторона кубика смотрит на восток? И теперь у нас появилась головоломка: В3 – справедливый вопрос, соответствующий эксперименту, который мы можем реально провести. Мы можем взглянуть на кубик с востока и увидеть, какая грань обращена к нам. То есть кубик Должен дать нам ответ.
И он дает. Но ответ не может быть теперь определенным, не так ли? У нас уже есть исчерпывающий список вопросов, на которые мы получаем определенные ответы, и вопроса Вз в нем нет! Следовательно, должны быть ситуации, в которых ответом могла бы быть двойка, тройка или четверка. (Могла бы быть и шестерка, даже в том случае, когда мы знали бы, что шестерка на верхней грани, а не на восточной!) И это значит, что возникает неустранимая неопределенность в том, какой ответ даст наша игральная кость.
Это не значит, что все возможности одинаково вероятны. Квантовая механика дает очень прозрачное математическое правило (называемое правилом Борна) для определения того, насколько правдоподобен каждый ответ для данного состояния кубика. То есть оно дает возможность определить вероятность каждого ответа еще до проведения измерений.
Таким образом, вероятности появились в совершенно, казалось бы, простом вопросе о состоянии системы, о которой мы знаем все, что нужно знать.
Нам невероятно трудно представить физические вещи, которые в этом смысле принципиально просты. Когда мы представляем себе нашу действительно простую квантовую кость с шестеркой на верхней грани, мы, естественно воображаем неподвижный кубик, у которого грань (скажем) с четверкой смотрит на восток, с двойкой – на юг и т. д. Но это неправильно! Состояние покоя было бы свойством обладания нулевой скоростью, и ориентация на восток грани с четверкой – тоже была бы свойством. Однако кубик имеет только два свойства – его местоположение и определенная цифра на верхней грани. Это ограничение сильно противоречит нашей интуиции. Когда мы определяем свойство, которое некий объект может иметь, легко забыть, что это свойство изобретено нами, поскольку обычно, изобретая свойство, мы в глубине души уверены, что объект либо имеет это свойство, либо не имеет. И когда с этим свойством нам все становится ясно, то препятствия к переходу к другому свойству, и еще к одному, и еще… вроде как исчезают, и, похоже, явного предела количеству свойств, которые мы можем придумать, нет. Но квантовая реальность устроена иначе.
В квантовой механике существует красивый и точный способ описать все это, и называется он суперпозицией. Мы можем считать суперпозицией состояний набор «взвешенных» ответов на один вопрос, выраженных через ответы на другой вопрос. Например, для квантовой кости состояние [ft], то есть один ответ на вопрос В1, есть то же самое состояние, что и сумма по состояниям, которые бы дали точные ответы на вопросы Вз относительно того, какая грань ориентирована на восток. Это можно записать так:
[5↑] = C1 [1→] + C2 [2→] + C3 [3→] + C4 [4→] + C5 [5→] +C6 [6→],
где направленные вправо горизонтальные стрелки означают направленность на восток, а C1… C6 – числа. Это выражение означает, что квантовое состояние [5↑] дает определенный ответ на вопрос В1, но содержит все шесть возможных ответов на вопрос В3. Вероятности находятся из чисел C1… C6, которые показывают, какую часть состояния [5↑] составляет каждое из состояний [1→],…[6→]. Вероятность, например, получить состояние [3→] при измерении оказывается равной 1/16. Таким образом, суперпозиция – это другой способ сказать, что какое-то свойство не определено, и система имеет чуть-чуть одного свойства и чуть-чуть другого. Но только одна из этих возможностей проявится при измерении.
Ну а что происходит после этого измерения? Мы уже знаем ответ на вопрос В3, поскольку только что его нашли. Следовательно, состояние кубика должно быть таким, которое бы имело определенный ответ на вопрос В3. И если бы мы измерили эту величину, эта часть состояния могла бы быть [3→], а полное состояние могло бы быть, например, таким: [О3; О2] = [3→; 27.1789335252, 78.0224962785, 1.232432]. Таким образом, мы определили, что если мы зададим системе вопрос, на который она готова дать определенный ответ, то получим этот ответ, никак не изменив систему (а только что-то узнав о ней). Но если мы задаем вопрос, на который система не готова дать определенный ответ, мы все равно получим какой-то ответ, и система, давая этот ответ, перейдет в состояние, в котором у нее будет определенный ответ на этот вопрос – как раз тот, который мы только что получили.
Есть еще один момент, необходимый для завершения картины. Предположим, мы задаем системе какие-то вопросы и получаем какие-то ответы – и в результате система переходит в некоторое состояние, соответствующее только что полученным нами ответам. Оставим теперь ее в покое. Что с ней будет происходить? Квантовая механика утверждает, что квантовое состояние само по себе изменяется со временем, и это изменение описывается некоторым уравнением, названным в честь Эрвина Шрёдингера. Как и в уравнениях Ньютона и Максвелла, в уравнении Шрёдингера используются начальные условия для системы – ее состояние в начальный момент – и определяется ее состояние во все последующие моменты времени. Таким образом, мы получаем описание и прогноз дальнейшего поведения системы, то есть эволюцию ее состояния.
Пожалуй, новых понятий – квантовое состояние, суперпозиции, уравнение Шрёдингера и вероятности при измерениях – появилось слишком много, так что нужно время, чтобы с ними освоиться. Хорошая новость, однако, состоит в том, что в действительности это почти все, что есть в квантовой механике. Разумеется, есть огромное множество невероятно тонких сопутствующих идей и приложений, а также множество технических приемов, позволяющих применить их к конкретным системам, но основное ядро теории составляют только эти несколько элементов.
Давайте подведем итоги, сравнив предсказания в рамках квантового формализма с тем, как это будет делать наш (классический) симулятор. Для начала мы определим конкретный процесс измерения, состоящий в определении того, какая сторона игральной кости находится вверху, а также определим набор состояний, каждое из которых соответствует одному из шести возможных результатов измерения. Затем в данный начальный момент времени припишем системе какое-то состояние на основе нашего знания о ней или измерения ее свойств. Далее мы посмотрим, как система эволюционирует, используя уравнение Шрёдингера. И тогда, наконец, зададим свой вопрос: какая грань окажется сверху? Для того чтобы это предсказать, рассчитаем состояние системы в момент, когда будет произведено измерение, с помощью правила Борна сравним его с каждым из состояний при возможных исходах и, наконец, на основе этого сравнения присвоим каждому исходу свою вероятность.
Таким образом, возникает довольно прозрачная аналогия между тем, как с одной стороны квантовая механика, а с другой – «симулятор», работа которого основана на не квантовой физике, прогнозируют результат бросания кости, прослеживая эволюцию брошенной кости от некоторых начальных условий (рис. ниже). Оба процесса дают результат с некоторой неопределенностью. Но эти неопределенности имеют принципиально разную природу. Результат симулятора неопределенен из-за небольших неточностей – как в начальных условиях, так и в динамике, – и эти маленькие неопределенности превращаются в процессе полета кости в большие. Однако легко представить, что, взяв лучшие камеры, более быстрые компьютеры и усовершенствовав программы, можно улучшить точность предсказания.
Предсказание результата бросания кости с помощью квантовой механики и классического симулятора.
В квантовом случае мы не обязательно получим определенный ответ на интересующий нас вопрос, даже если мы задали его немедленно и даже если начальное состояние известно с идеальной точностью. Хуже того: динамика системы делает чрезвычайно маловероятной возможность, что состояние кости даст определенный ответ на вопрос, который мы зададим позже. Уравнение Шрёдингера (как мы вскоре увидим) «пытается размыть» состояния с точным местоположением в состояния с постепенно все менее определенным положением или скоростью. Уточним для ясности, что квантовые неопределенности у объектов в повседневной жизни чрезвычайно малы, и у нас есть огромный запас времени для того, чтобы улучшать точность нашего великолепного симулятора процесса бросания кости, не заботясь об этих неопределенностях. Но на каком-то уровне точности они появятся и станут абсолютно неустранимыми.
Итак, могут ли быть такие броски кости, результаты которых не сумеет уверенно предсказать даже джинн с его идеальным пониманием мира? Квантовая теория отвечает на этот вопрос утвердительно. При достижении совершенного знания джинн приобретает состояние, в котором предсказание некоторых наблюдаемых обязательно будет не определенным, а вероятностным. Даже если он знает все, что нужно знать, и в точности знает, как отвечающее этому знанию состояние развивается во времени, он не сможет ответить с уверенностью на некоторые совершенно уместные и очень существенные вопросы. И джинну не удастся привести определенных достаточных оснований, объясняющих, почему исход будет тем, а не иным.
Но все же мы могли бы возразить: если кость брошена, разве вселенная не знает исход броска? И если мы не можем узнать ответ, но можем задать хорошо сформулированный вопрос, то разве ответа на него не существует?
Ответ на вопрос нельзя получить, если вопрос не задан, а когда он задан, он не может остаться без ответа.
