В гл. 5 мы рассказали о шкатулках Порции. История эта имеет продолжение. Напомним, что Беллини всегда гравировал на крышках шкатулок своей работы истинные надписи, а Челлини украшал шкатулки своей работы ложными высказываниями. У Беллини и Челлини были сыновья, которые переняли у отцов секреты мастерства и также стали делать изящные шкатулки. Сыновья пошли по стопам отцов: наследники Беллини гравировали на крышках своих шкатулок только истинные высказывания, а сыновья Челлини – только ложные.

Других мастеров по изготовлению шкатулок, кроме Беллини и Челлини, в Италии эпохи Возрождения не было: каждая шкатулка была работы либо Беллини, либо Челлини, либо сына Беллини, либо сына Челлини.

У знатоков и любителей старины шкатулки, изготовленные Беллини и Челлини (особенно отцами), ценятся необычайно высоко.

Однажды мне в руки попала шкатулка, на крышке которой выгравирована надпись:

Чьей работы эта шкатулка: Беллини, Челлини или кого-нибудь из их сыновей?

В другой раз мне довелось увидеть шкатулку, на крышке которой красовалась надпись, позволявшая заключить, что шкатулка была работы Челлини.

Какую надпись мог выгравировать знаменитый мастер на крышке шкатулки?

Особенно высоко ценятся шкатулки с надписями, по которым можно установить, что шкатулки изготовлены Беллини или Челлини, но нельзя определить, кем именно. Однажды мне посчастливилось держать в руках такую шкатулку. Какая надпись могла украшать ее крышку?

Предположим, что вам удалось найти шкатулку со следующей надписью на крышке:

К какому заключению вы бы пришли на основании такой надписи?

Один флорентийский патриций любил предаваться весьма изысканным и дорогостоящим забавам. Кульминацией званых вечеров была какая-нибудь игра, победителю которой вручался драгоценный приз. Прослышав про шкатулки Порции, патриций решил придумать очередную игру в том же духе. Он приказал изготовить три шкатулки – золотую, серебряную и свинцовую – и в одну из них положил драгоценный камень, который должен был стать наградой победителю. Своим гостям патриций объяснил, что каждая шкатулка изготовлена либо Беллини, либо Челлини (а не сыновьями знаменитых мастеров). Первого, кто догадается, в какой шкатулке спрятан драгоценный камень, и сможет доказать правильность своей догадки, ждет награда. Надписи на крышках шкатулок гласили:

В какую шкатулку патриций положил драгоценный камень?

В некоторых музеях шкатулки экспонируются парами. Именно так – в комплекте из одной золотой и одной серебряной шкатулок – их некогда изготовляли и продавали. Род Беллини был связан с семейством Челлини узами крепкой дружбы, и нередко над созданием одного комплекта из двух шкатулок Беллини и Челлини трудились сообща. Разумеется, каждую шкатулку делал только один мастер, но золотая и серебряная шкатулки даже в одном комплекте могли быть работы различных мастеров. Знаменитые мастера любили украшать свои шедевры надписями, по которым сообразительные потомки могли полностью или хотя бы частично определить, кто изготовил ту или иную шкатулку. Искусствоведы подсчитали, что существует 16 вариантов атрибуции шкатулок в каждом комплекте: золотую шкатулку мог изготовить Беллини, сын Беллини, Челлини и сын Челлини, причем в каждом случае любой из четырех мог оказаться создателем серебряной шкатулки.

В одном музее мне довелось увидеть пару шкатулок, украшенных следующими надписями:

Чьей работы каждая из двух шкатулок?

В другой раз мне случилось видеть пару шкатулок с надписями:

Чьей работы каждая из двух шкатулок?

Перед вами пара шкатулок с надписями на крышках:

Докажите, что по крайней мере одна из этих двух шкатулок работы Беллини.

Перед вами пара шкатулок с надписями:

Докажите, что по крайней мере одна из этих двух шкатулок работы сына Челлини.

Взгляните теперь на две шкатулки, украшенные следующими надписями:

Докажите, что по крайней мере одну из этих двух шкатулок изготовил либо Беллини, либо Челлини.

История, о которой пойдет речь в этой задаче, поистине удивительна. Однажды я увидел две шкатулки, золотую и серебряную, и мне захотелось узнать, не была ли по крайней мере одна из них изготовлена Беллини. Прочитав надпись на одной шкатулке, я не смог вывести из нее, что по крайней мере одна из двух привлекших мое внимание шкатулок изготовлена Беллини. Каково же было мое изумление, когда, взглянув на надпись, украшавшую крышку другой шкатулки, я обнаружил, что она ничем не отличается от первой надписи. Но еще большее удивление охватило меня, когда выяснилось, что, прочитав вторую надпись, я мог утверждать со всей определенностью: «Обе шкатулки работы Беллини».

Какие надписи, по-вашему, могли украшать крышки шкатулок?

В другой раз мне довелось видеть две шкатулки с одинаковыми надписями на крышках. Зная обе надписи, я смог прийти к заключению, что обе шкатулки изготовлены Челлини, хотя надпись на каждой шкатулке в отдельности не позволяла утверждать, что даже одна шкатулка изготовлена Челлини.

Какая надпись была, по-вашему, выгравирована на крышках шкатулок?

Однажды мне довелось видеть две шкатулки с одинаковыми надписями на крышках. Из надписей следовало, что обе шкатулки были изготовлены одним мастером: либо Беллини, либо Челлини, но определить, кто из двух мастеров сделал их, было невозможно. Более того, надпись на одной шкатулке не позволяла прийти даже к такому заключению.

Какая надпись выгравирована на крышках шкатулок?

Особенно высоко ценятся пары шкатулок, удовлетворяющие следующим условиям:

1) Из надписей на крышках можно заключить, что одна из шкатулок изготовлена Беллини, а другая – Челлини, но невозможно определить, какая из шкатулок чьей работы.

2) Надпись на крышке любой из двух шкатулок сама по себе не позволяет прийти к заключению, что шкатулки изготовлены либо Беллини, либо Челлини.

Однажды мне посчастливилось увидеть такую пару. (Насколько я могу понять, это была единственная в своем роде пара шкатулок.) Какие надписи могли, по-вашему, украшать крышки шкатулок?

В юности, еще до женитьбы, мне довелось побывать во Флоренции. Проглядывая от нечего делать какую-то местную газету, я неожиданно заметил объявление: «Срочно требуется логик» (к счастью, оно было напечатано на английском языке, так как итальянским я совершенно не владею). Из любопытства я отправился в музей, поместивший объявление, и там узнал, что логик понадобился для решения сложной проблемы. Дело в том, что сотрудники музея разыскали четыре шкатулки: две золотые и две серебряные. По ряду признаков удалось установить, что некогда шкатулки составляли два комплекта, но впоследствии их перемешали, и никто не мог сказать, какие шкатулки образуют пару. Я получил разрешение взглянуть на шкатулки и довольно быстро установил, какие из них входят в один комплект, за что мне было выплачено солидное вознаграждение. Кроме того, мне удалось установить, кто из мастеров изготовил каждую шкатулку, за что благодарная дирекция музея выплатила мне дополнительное вознаграждение (в качестве премии я, помимо всего прочего, получил целый ящик превосходного кьянти), а одна из красивейших девушек Флоренции в знак благодарности поцеловала меня.

Вот какие надписи были выгравированы на крышках четырех шкатулок:

Возникают два вопроса.

а) Какая шкатулка была изготовлена в комплекте со шкатулкой А: С или D?

б) Чьей работы каждая из четырех шкатулок?

127. Шкатулка работы Беллини. Действительно, если бы ее сделал один из сыновей Беллини, то высказывание, выгравированное на крышке шкатулки, было бы ложным, что невозможно. Если бы шкатулка была работы либо Челлини, либо сына Челлини, то высказывание было бы истинным, что также невозможно. Следовательно, шкатулку изготовил Беллини.

128. На крышке шкатулки достаточно было бы выгравировать надпись: «Эту шкатулку изготовил сын Челлини».

129. «Эта шкатулка изготовлена либо Беллини, либо сыном Челлини».

130. Высказывание, выгравированное на крышке шкатулки, очевидно, истинно. Следовательно, шкатулку мог сделать либо Беллини, либо сын Беллини.

131. Первый шаг. Предположим, что свинцовая шкатулка работы Беллини. Тогда выгравированное на ней утверждение истинно, поэтому драгоценный камень находится в шкатулке, изготовленной Челлини. Следовательно, эта шкатулка не может быть свинцовой. Предположим теперь, что свинцовую шкатулку сделал Челлини. Тогда выгравированное на ее крышке утверждение ложно, поэтому драгоценный камень находится в шкатулке работы Беллини. Значит, и в этом случае патриций положил драгоценный камень не в свинцовую шкатулку. Тем самым доказано, что в свинцовой шкатулке драгоценного каменя нет и не может быть.

Второй шаг. Затем мы устанавливаем, что и в серебряной шкатулке драгоценного камня нет. Если бы драгоценный камень находился в серебряной шкатулке, то мы бы пришли к следующему противоречию.

Пусть патриций положил драгоценный камень в серебряную шкатулку. Предположим, что золотая шкатулка изготовлена Беллини. Тогда выгравированное на ее крышке утверждение истинно, а поскольку (по предположению) драгоценный камень находится в серебряной шкатулке, то серебряная шкатулка работы Беллини. Отсюда следует, что золотую шкатулку изготовил Челлини. Итак, если золотая шкатулка работы Беллини, то ее изготовил Челлини!

Предположим теперь, что золотую шкатулку сделал Челлини. Тогда утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Следовательно, серебряную шкатулку изготовил не Беллини. Значит, ее сделал Челлини. Но тогда утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно, из чего мы заключаем, что золотая шкатулка работы Беллини. Итак, если золотая шкатулка изготовлена Челлини, то ее сделал Беллини, что невозможно.

Полученные противоречия доказывают, что драгоценного камня нет и не может быть и в серебряной шкатулке. Следовательно, патриций положил его в золотую шкатулку.

132. Утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, не может быть истинным, так как в противном случае мы пришли бы к противоречию. Значит, золотая шкатулка изготовлена кем-то из семейства Челлини. Так как надпись на золотой шкатулке ложна, то обе шкатулки не могли быть изготовлены членами семейства Челлини. Следовательно, серебряную шкатулку сделал кто-то из семейства Беллини. Значит, утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, истинно, поэтому ни одна из шкатулок не была выполнена ни сыном Беллини, ни сыном Челлини. Следовательно, золотую шкатулку изготовил Челлини, а серебряную – Беллини.

133. Напомним, что если любой житель острова рыцарей и лжецов заявляет: «Если я рыцарь, то то-то и то-то истинно», то этот житель должен быть рыцарем, а «то-то и то-то» должно быть истинно. Исходя из аналогичных соображений докажем, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно.

Предположим, что золотая шкатулка изготовлена кем-то из семейства Беллини. Тогда надпись на ее крышке истинна: «Если эту шкатулку изготовил кто-нибудь из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку изготовил Челлини». Но золотую шкатулку (по предположению) изготовил либо отец, либо сын из семейства Беллини. Значит, серебряную шкатулку сделал Челлини. Итак, мы доказали, что если золотую шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку сделал Челлини. Иначе говоря, мы доказали, что на крышке золотой шкатулки выгравировано истинное утверждение. Следовательно, золотая шкатулка действительно изготовлена кем-то из членов семейства Беллини. Поскольку ранее нами установлено, что если золотую шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку сделал Челлини. Полученный вывод относительно атрибуции (как говорят искусствоведы) золотой шкатулки позволяет прийти к заключению, что серебряная шкатулка изготовлена Челлини. Значит, надпись на крышке серебряной шкатулки ложна, поэтому золотую шкатулку сделал не сын Беллини. Но золотая шкатулка изготовлена кем-то из членов семейства Беллини. Следовательно, ее сделал Беллини. Итак, золотая шкатулка работы Беллини, а серебряная – Челлини.

134. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда серебряную шкатулку изготовил сын Беллини. Значит, утверждение, украшающее крышку серебряной шкатулки, истинно. Следовательно, золотую шкатулку изготовил не сын Беллини, а так как на ее крышке выгравировано истинное утверждение, то золотую шкатулку должен был сделать Беллини.

Предположим теперь, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Это означает, что серебряную шкатулку сделал не сын Беллини. Тем не менее утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, должно быть истинным (так как ложное утверждение на крышке золотой шкатулки не мог выгравировать сын Беллини). Следовательно, серебряную шкатулку изготовил Беллини.

Итак, если надпись на крышке золотой шкатулки верна, то золотую шкатулку изготовил Беллини. Если надпись на золотой шкатулке неверна, то серебряная шкатулка работы Беллини.

135. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, истинно. Поскольку оно истинно, то серебряную шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини. Значит, утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки («Серебряную шкатулку изготовил Челлини»), должно быть ложным. Но поскольку (по предположению) надпись на крышке серебряной шкатулки верна, то золотую шкатулку изготовил не Челлини. Итак, на крышке золотой шкатулки выгравировано ложное утверждение, но шкатулку сделал не Челлини. Значит, золотую шкатулку изготовил сын Челлини.

Предположим теперь, что утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно. Это означает, что золотую шкатулку сделал Челлини. Следовательно, надпись на ее крышке ложна, и серебряную шкатулку изготовил не Челлини. Итак, на крышке серебряной шкатулки выгравировано ложное утверждение, но сделал эту шкатулку не Челлини. Значит, серебряную шкатулку изготовил сын Челлини.

136. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда должна быть верной и надпись на крышке серебряной шкатулки, а это означало бы, что надпись на крышке золотой шкатулки неверна. Полученное противоречие доказывает, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Из него следует также, что серебряную шкатулку изготовил не сын Беллини. Значит, если надпись на крышке серебряной шкатулке неверна, то золотую шкатулку изготовил не сын Челлини, но так как утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно, то золотую шкатулку сделал Челлини.

Итак, если на крышке серебряной шкатулки выгравировано истинное утверждение, то серебряную шкатулку сделал Беллини. Если же это утверждение ложно, то золотую шкатулку сделал Челлини. Итак, мы доказали, что либо серебряную шкатулку изготовил Беллини, либо золотую шкатулку изготовил Челлини.

137. Эта задача, как и следующие три задачи, допускает много решений. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы украсить крышки шкатулок надписью: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них сделал кто-то из членов семейства Челлини».

Ни отец, ни сын Челлини в этом случае не могли изготовить ни одной из двух шкатулок, поскольку какую бы шкатулку они ни сделали, надпись на ее крышке оказалась бы верной, что невозможно. Следовательно, обе шкатулки изготовлены членами семейства Беллини. Значит, утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны, поэтому либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одна шкатулка сделана кем-то из семейства Челлини. Последняя альтернатива ложна. Значит, обе шкатулки изготовлены Беллини.

138. Одно из решений состоит в следующем. На крышках шкатулок было выгравировано: «По крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини». Если бы эти утверждения были истинны, то по крайней мере одна шкатулка была бы работы сына Челлини. Но это невозможно, так как сын Челлини не гравирует на крышках своих шкатулок истинные утверждения. Следовательно, оба утверждения «по крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини» ложны. Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини, из чего мы заключаем, что обе шкатулки сделал Челлини.

139. Крышки шкатулок могли бы украшать, например, такие надписи: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну шкатулку сделал сын Челлини».

Докажем, что если эти надписи верны, то обе шкатулки изготовлены Беллини, а если неверны, то обе шкатулки изготовлены Челлини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны. Тогда (в соответствии с надписями) либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них изготовил сын Челлини. Последняя альтернатива отпадает (сын Челлини не мог бы выгравировать на крышке шкатулки своей работы истинное утверждение). Следовательно, обе шкатулки должны быть работы Беллини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, ложны. В этом случае обе альтернативы, входящие в дизъюнкцию, ложны. В частности, ложна вторая альтернатива (утверждающая, что по крайней мере одну из шкатулок изготовил сын Челлини). Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини. Поскольку оба утверждения все же ложны, то обе шкатулки были сделаны Челлини.

140. Одно из возможных решений состоит в следующем.

Надпись на крышке золотой шкатулки: «Эти шкатулки изготовлены Беллини и Челлини в том и только в том случае, если серебряную шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Надпись на крышке серебряной шкатулки: «Золотую шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Пусть Р – утверждение о том, что шкатулки изготовлены Беллини и Челлини, a Q – утверждение о том, что серебряную шкатулку сделал член семейства Челлини. Надпись на крышке золотой шкатулки сообщает нам, что Р эквивалентно Q, а из надписи на крышке серебряной шкатулки мы узнаем, что золотую шкатулку изготовил лжец, вследствие чего надпись на ее крышке ложна. Следовательно, одна из двух надписей истинна, а другая ложна.

Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда (поскольку мы доказали, что одна из двух надписей истинна, а другая ложна) надпись на серебряной шкатулке должна быть ложной. Значит, серебряную шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Челлини, поэтому Q истинно. Кроме того, так как надпись на золотой шкатулке истинна, Р действительно эквивалентно Q. Следовательно, Р должно быть истинно (так как Q истинно).

Предположим теперь, что надпись на золотой шкатулке ложна. Тогда надпись на серебряной шкатулке истинна. Следовательно, серебряная шкатулка не может быть работы Челлини, поэтому Q ложно и, кроме того, Р не эквивалентно Q. Значит, и в этом случае Р истинно.

Итак, независимо от принятых нами предположений Р должно быть истинно, то есть одна из шкатулок изготовлена Беллини, а другая – Челлини.

141. Шкатулка А входит в один комплект со шкатулкой D, так, если бы мы попытались составить комплект из шкатулки А и шкатулки С, то пришли бы к следующему противоречию.

Предположим, что в одном комплекте со шкатулкой А была изготовлена шкатулка С. Пусть надпись на крышке шкатулки А истинна. Тогда надпись на крышке шкатулки С ложна. Но тогда ложна и надпись на крышке А, и мы приходим к противоречию. Пусть теперь надпись на крышке шкатулки А ложна. Тогда надпись на крышке шкатулки С истинна, из чего следует, что надпись на шкатулке А должна быть истинной, и мы опять приходим к противоречию. Значит, шкатулка С не входит в один комплект со шкатулкой А. Тем самым первая часть задачи решена.

Рассмотрим теперь пару шкатулок В и С. Предположим, что надпись на крышке С ложна. Тогда шкатулка В изготовлена кем-то из членов семейства Челлини, поэтому надпись на ее крышке ложна. Это означает, что ни одна из двух входящих в нее альтернатив не истинна. В частности, ложна первая альтернатива, а это означает, что шкатулку С изготовил кто-то из членов семейства Беллини. Итак, если утверждение, выгравированное на крышке С, ложно, то шкатулку С сделал кто-то из членов семейства Беллини, что невозможно. Значит, надпись на крышке шкатулки С истинна, в силу чего надпись на крышке шкатулки В также истинна (так как надпись на шкатулке С сообщает нам, что шкатулка В изготовлена кем-то из членов семейства Беллини). Но первая альтернатива, входящая в утверждение, выгравированное на крышке шкатулки В, не может быть истинной, поэтому истинна вторая альтернатива. Итак, шкатулки В и С изготовлены Беллини.

Рассмотрим теперь комплект шкатулок А и D. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке шкатулки А, ложно. Тогда шкатулка D сделана членом семейства Беллини. Следовательно, выгравированное на ней утверждение истинно. Это означает, что шкатулку А изготовил кто-то из членов семейства Беллини, и мы приходим к противоречию. Итак, надпись на шкатулке А истинна, из чего мы заключаем, что надпись на шкатулке D ложна. Следовательно, по крайней мере одна из входящих в нее альтернатив ложна. Первая альтернатива истинна (так как истинно утверждение, выгравированное на крышке шкатулки А). Значит, ложна вторая альтернатива. Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена ни сыном Беллини, ни сыном Челлини. Следовательно, шкатулку А сделал Беллини, а шкатулку D – Челлини.