Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида «Если Р истинно, то Q истинно», где Р и Q – некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:

Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)

Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.

Предположим теперь, что жена Джона виновна, но неизвестно, виновен Джон или невиновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или невиновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон невиновен, то его жена виновна?

Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе. В рассказе Киплинга «Рикки-Тикки-Тави» кобра говорит перепуганному семейству: «Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу». В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: «Я укушу». О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и «невопросы») он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: «Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать».

Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание «Если Р, то Q» (так же как и условное высказывание «Если не Р, то Q») истинно.

Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание «Если Р, то Q», когда оба высказывания Р и Q ложны. Обратимся к нашему примеру. Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена невиновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.

С интересующим нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена невиновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена невиновна? Если связку «если …, то …» понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания Р и Q, то сложное высказывание «Если Р, то Q» означает: «Неверно, что Р истинно, a Q ложно» (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена невиновны, то высказывание (1) следует считать истинным. Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена невиновна. Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена невиновны. Иначе говоря, если Джон и его жена невиновны, то заведомо неверно, что Джон виновен, а его жена невиновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.

Следующий пример еще более причудлив:

Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2) Высказывание (2) означает всего-навсего: «Неверно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.

К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.

Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, Q. Составим из них сложное высказывание:

Если Р, то Q. (3)

Будем обозначать его Р → Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если Р, то Q», либо как «из Р следует Q», либо «Р влечет за собой Q», либо даже «Р имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: неверно, что Р истинно и Q ложно. Итак, относительно высказывания Р → Q мы располагаем следующей информацией.

Факт 1. Если Р ложно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 2. Если Q истинно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 3. Высказывание Р → Q может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, a Q ложно.

Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».

Если заданы два высказывания Р, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и Q истинны; 2) Р истинно, Q ложно; 3) Р ложно, Q истинно; 4) Р и Q ложны.

В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р → Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.

Случай 1: Р и Q истинны. Так как Q истинно, то Р → Q истинно (факт 2).

Случай 2: Р истинно, Q ложно. Тогда Р → Q ложно (факт 3).

Случай 3: Р ложно, Q истинно. Тогда Р → Q истинно (факт 1 или факт 2).

Случай 4: Р ложно, Q ложно. Тогда Р → Q истинно (факт 1).

Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:

Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и Q истинно, высказывание Р → Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, Q ложно, то Р → Q ложно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если Р ложно и Q ложно, то Р → Q истинно.

Заметим, что Р → Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.

Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если Р, то Q», достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение Q, то высказывание «Если Р, то Q» истинно.

В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.

О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то В – рыцарь».

Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец?

У А спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».

Докажите, что А придется съесть свою шляпу.

А утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два – четыре». Кто такой А: рыцарь или лжец?

А заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два – пять». Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец?

Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если В – рыцарь, то я лжец». Кто А и кто В?

Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:

А: Если X виновен, то Y виновен.

В: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)

У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:

А: В – рыцарь.

В: Если А – рыцарь, то С – рыцарь.

Можно ли определить, кто из А, В и С рыцарь и кто лжец?

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?

Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее:

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.

Кого из девушек я люблю?

Не кажется ли вам, что логики – народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: «Милый, ты меня любишь?» – услышала бы в ответ: «Минуточку, дорогая», после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: «Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю»?

В этой связи мне вспоминается история, якобы приключившаяся с Лейбницем. Однажды великий философ стал размышлять, не жениться ли ему на некоей даме. Взяв лист бумаги, он разделил его на две части и на одной подробно перечислил все достоинства дамы, а на другой – ее недостатки. Недостатков оказалось больше, и Лейбниц решил воздержаться от женитьбы.

Эта задача, хотя и проста, но несколько неожиданна. Предположим, что я либо рыцарь, либо лжец и высказываю два следующих утверждения:

1) Я люблю Линду.

2) Если я люблю Линду, то я люблю Кати. Кто я: рыцарь или лжец?

Старинная английская пословица гласит: «Под приглядом котел не закипит». Как я установил, это утверждение ложно. Однажды мне довелось приглядывать за котлом, стоявшим на раскаленной плите, и котел закипел.

А что, если мы исправим старинную пословицу, например, так: «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать»?

Как, по-вашему, истинно или ложно такое утверждение?

Задачи двух предыдущих групп были связаны в основном с условными высказываниями, то есть с высказываниями вида «Если Р истинно, то Q». Задачи этой группы связаны главным образом с высказываниями вида «Р истинно в том и только в том случае, если Q истинно». Оно означает, что если Р истинно, то Q истинно, и если Q истинно, то Р истинно. Иначе говоря, если одно из двух высказываний Р, Q истинно, то другое также истинно. Оно означает также, что высказывания Р и Q либо оба истинны, либо оба ложны. Сложное высказывание «Р в том и только в том случае, если Q» принято обозначать «Р ↔ Q».

Таблица истинности для Р ↔ Q имеет следующий вид:

Высказывание «Р в том и только в том случае, если Q» иногда читают как «Р эквивалентно Q» или как «Р и Q эквивалентны». Отметим два следующих факта:

Факт 1. Любое высказывание, эквивалентное истинному высказыванию, истинно.

Факт 2. Любое высказывание, эквивалентное ложному высказыванию, ложно.

На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его А), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос А заявляет: «Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь».

Наша задача подразделяется на две части:

а) Можно ли определить, кто такой А – рыцарь или лжец?

б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове?

В предыдущей задаче коренной житель А острова рыцарей и лжецов добровольно снабдил вас информацией. Предположим, что теперь вы спросили у А: «Эквивалентно ли высказывание о том, что вы рыцарь, высказыванию о том, что на этом острове спрятаны сокровища?» Если бы А ответил «да», то задача свелась бы к предыдущей. Предположим, что А ответил «нет». Могли бы вы в таком случае сказать, спрятаны ли сокровища на острове?

К сожалению, история, которую я хочу вам поведать, не соответствует истине. Но поскольку она интересна, то мне все равно хочется рассказать ее вам.

В океане (в каком именно – не помню) неподалеку друг от друга расположены три острова: А, В и С. Мне удалось разузнать, что по крайней мере на одном из них закопаны сокровища, но на каком именно – неизвестно. Острова В и С были необитаемы, население острова А составляли рыцари и лжецы. Не исключено, что среди местных жителей встречались и обычные люди, но сказать с уверенностью, был ли на острове хоть один обычный человек, я не берусь.

Мне посчастливилось раздобыть карту островов, составленную знаменитым капитаном Марстоном – пиратом, славившимся своими причудами (он-то и запрятал сокровища). К карте была приложена записка, разумеется, зашифрованная. Когда я ее расшифровал, то выяснилось, что она состоит лишь из двух предложений. Вот что в ней значилось:

1) На острове А нет сокровищ.

2) Если среди жителей острова А встречаются обычные люди, то сокровища закопаны на двух островах.

Я поспешил на остров А. Мне было достоверно известно, что обитатели этого острова знают о зарытых сокровищах все до мелочей. Король острова догадался, зачем я прибыл в его владения, и в недвусмысленных выражениях разрешил мне задать лишь один вопрос любому из наугад выбранных мною его подданных. Способа установить, на кого пал мой выбор – на рыцаря, лжеца или на обычного человека, у меня не было.

Мне необходимо было придумать такой вопрос, чтобы, получив ответ, я мог указать на один из островов и быть уверенным, что сокровище закопано на нем.

Какой вопрос следовало мне задать островитянину?

Случилось мне как-то раз побывать на другом острове рыцарей, лжецов и обычных людей. По слухам, на том острове были закопаны несметные сокровища, и я хотел разузнать, как обстоит дело в действительности. Король острова (рыцарь) любезно представил меня трем своим подданным А, В и С и сообщил мне, что не более чем один из них обычный человек. Любому из них разрешалось задать два вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет».

Можно ли при помощи двух таких вопросов выяснить, запрятаны ли на острове сокровища?

Предположим, что население двух соседних островов составляют только рыцари и лжецы (на островах нет ни одного обычного человека). Вам говорят, что на одном острове проживает четное, а на другом – нечетное число рыцарей. Вам также сообщают, что на острове с четным числом рыцарей закопаны сокровища, а на острове с нечетным числом рыцарей сокровищ нет.

Вы выбираете наугад один из островов и отправляетесь туда. Все обитатели острова знают, сколько рыцарей и сколько лжецов живет среди них. Вы беседуете с тремя обитателями А, В и С острова и получаете от них следующие заявления:

А: Число лжецов на этом острове четно.

В: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.

С: Я рыцарь в том и только в том случае, если А и В однотипны.

Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?

109–112. Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть Р – любое высказывание, а А – любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если А высказывает утверждение: «Если я рыцарь, то Р», то он должен быть рыцарем, а высказывание Р должно быть истинным! В это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.

1. Предположим, что А – рыцарь. Тогда высказывание «Если А – рыцарь, то Р» должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, А – рыцарь, и верно, что если А – рыцарь, то Р. Из этих двух фактов мы заключаем, что Р должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что А – рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание Р. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если А – рыцарь, то Р. Но именно это и утверждал А! Следовательно, А должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если А – рыцарь, то Р, то заключаем, что Р должно быть истинно.

2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если А не рыцарь, то высказывание «Если А – рыцарь, то Р» автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание Р должно быть истинным.

Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109. Если в качестве Р принято высказывание «В – рыцарь», то ясно, что А должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, В – рыцарь, и мы получаем ответ: А и В – оба рыцари.

В задаче 110 в качестве Р выберем высказывание «А придется съесть свою шляпу». Мы видим, что А должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)

Ответ к задаче 111: A – рыцарь.

Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание «Если я рыцарь, то дважды два – пять» не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.

113. А должен быть рыцарем, а В – лжецом.

Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида «Если Р, то я лжец». Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания. Значит, если высказывание «Я лжец» истинно, то полное высказывание «Если Р, то я лжец», также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение «Если Р, то я лжец», я должен быть рыцарем.

Итак, А должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если В – рыцарь, то А – лжец (потому что А настаивает на истинности этого высказывания). Тогда В не может быть рыцарем, так как в противном случае А должен бы быть лжецом, а он им не является. Следовательно, В – лжец.

114. А в действительности утверждает: «Неверно, что X виновен, a Y невиновен». Но это то же самое, как если бы А утверждал: «Либо X невиновен, либо Y виновен». Следовательно, А и В в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому А и В должны быть однотипными.

115. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В также рыцарь (по утверждению А). Следовательно, высказывание В «Если А – рыцарь, то С – рыцарь» истинно. Но (по предположению) А – рыцарь. Следовательно, С – рыцарь (в предположении, что А – рыцарь).

Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Именно это и утверждал В. Следовательно, В – рыцарь. Значит, высказывание А о том, что В – рыцарь, истинно, поэтому А также рыцарь. Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Следовательно, С также рыцарь. Значит, все трое – рыцари.

116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.

Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.

Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.

117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение «Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн» должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.

Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.

118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть Р – высказывание «Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет». Нам известно:

1) Если Р истинно, то я люблю Еву.

2) Если я люблю Еву, то Р истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание Р, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.

119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них. По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.

120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными. Следовательно, я не могу быть лжецом.

121. Сказать: «Р ложно, если не Q» – то же самое, что сказать: «Если Р, то Q». (Например, высказывание «Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной» эквивалентно высказыванию «Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной».) Следовательно, «исправленный» вариант пословицы «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать» эквивалентно утверждению «Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают», а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.

122. Определить, кто такой А – рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.

Для решения этой и других задач серии «Есть ли сокровища на этом острове?» установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то Р должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец).

Пусть К – утверждение о том, что говорящий – рыцарь. По словам говорящего, К эквивалентно Р. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда К действительно эквивалентно Р, и К – истинно. Следовательно, Р эквивалентно истинному утверждению. Значит, Р должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий – лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому Р не эквивалентно К. Кроме того, так как он лжец, то утверждение К ложно. Поскольку Р не эквивалентно ложному утверждению К, то Р должно быть истинно (если бы Р было эквивалентно К, то Р было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец, Р должно быть истинно.

Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то Р», то мы можем заключить, что он рыцарь и что Р истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то мы можем заключить, что Р истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.

123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.

Пусть G – утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а К – утверждение о том, что А – рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, А тем самым заявляет, что G не эквивалентно К. Предположим, что А – рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно К. Так как А – рыцарь, то К истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению К, должно быть ложным. С другой стороны, предположим, что А – лжец. Тогда G в действительности эквивалентно К (поскольку лжец сказал, что G и К не эквивалентны). Но К – ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению К. Таким образом, независимо от того, кто такой А – рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.

Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по «рыцарям и лжецам». Предположим, что Р – любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания Р. Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно Р или ложно. Достаточно спросить: «Эквивалентно ли высказывание «вы рыцарь» высказыванию «Р истинно»? Получив утвердительный ответ, вы поймете, что Р истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что Р ложно.

Тот же принцип используется и в решениях трех следующих задач. Мы будем называть его фундаментальным принципом.

124. Нам заранее известно, что на острове А нет никаких сокровищ, что сокровища зарыты либо на острове В, либо на острове С и что если на острове А есть хоть один обычный житель, то сокровища зарыты и на острове В, и на острове С.

У выбранного наугад островитянина я спросил: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что сокровища зарыты на острове В?»

Предположим, что на мой вопрос островитянин ответил утвердительно. Если он либо рыцарь, либо лжец, то сокровища (в силу фундаментального принципа, установленного в решении предыдущей задачи) зарыты на острове В. Если же он обычный человек, то сокровища зарыты на островах В и С, поэтому на острове В сокровища заведомо имеются. Таким образом, утвердительный ответ на мой вопрос означает, что на острове В есть сокровища.

Предположим, что островитянин на мой вопрос ответил отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то (в силу фундаментального принципа) сокровищ на острове В нет. Значит, сокровища должны быть на острове С. С другой стороны, если он обычный человек, то сокровища зарыты и на острове В, и на острове С. Следовательно, на острове С зарыты сокровища. Таким образом, отрицательный ответ на мой вопрос означает, что на острове С есть сокровища.

125. Чтобы решить эту задачу, достаточно дважды воспользоваться фундаментальным принципом (объяснение его см. в решении задачи 123).

Один вопрос понадобится вам, чтобы установить, кто из трех островитян заведомо не обычный человек. Обращаясь к А, вы спрашиваете его: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что В – обычный человек?» Предположим, что А отвечает утвердительно. Если А либо рыцарь, либо лжец, то (в силу фундаментального принципа) В должен быть обычным человеком. Значит, С – не обычный человек. Если же А не рыцарь и не лжец, то он должен быть обычным человеком, и тогда С снова не может быть обычным человеком. Таким образом, утвердительный ответ на ваш вопрос означает, что С – не обычный человек.

Предположим, что А отвечает отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то В – не обычный человек (в силу фундаментального принципа). Если же А – не рыцарь и не лжец, то В, как и в предыдущем случае, не может быть обычным человеком, так как А – обычный человек. Таким образом, отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что В – не обычный человек.

Итак, получив от А утвердительный ответ, вы обращаетесь со вторым вопросом к С. Если же на ваш первый вопрос А отвечает отрицательно, то со вторым вопросом вам надлежит обратиться к В. И в том и в другом случае вы знаете, что обращаетесь со вторым вопросом либо к рыцарю, либо к лжецу. Вы спрашиваете (тот же вопрос был задан вами островитянину А в задаче 122): «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что на этом острове зарыты сокровища?» Утвердительный ответ означает, что на острове есть сокровища, отрицательный – что их нет.

126. Не будь у вас на вооружении фундаментального принципа, решить эту задачу было бы довольно трудно. Но фундаментальный принцип позволяет без труда расправиться с задачей. Я предполагаю, что вам известны следующие свойства целых чисел: сумма двух четных чисел четна, сумма двух нечетных чисел также четна. Следовательно, вычитая четное число из четного числа или нечетное число из нечетного числа, вы получаете четное число. (Например, 12–8 = 4, 13–7 = 6.)

Из высказанного С утверждения (в силу фундаментального принципа) следует, то А и В однотипны, то есть они либо оба рыцари, либо оба лжецы. Следовательно, их высказывания либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что оба высказывания истинны. Тогда по утверждению А на острове имеется четное число лжецов. По утверждению В на острове (вместе с вами) находится нечетное число людей. Но вы не рыцарь и не лжец, и, кроме вас, других гостей на острове нет. Поэтому, вычитая четное число лжецов из четного числа рыцарей и лжецов, вы получаете четное число рыцарей. Следовательно, в данном случае сокровища зарыты где-то на острове. Предположим теперь, что оба утверждения ложны. Это означает, что на острове находится нечетное число лжецов и нечетное число рыцарей и лжецов (так как всего на острове вместе с вами находится четное число людей). Следовательно, число рыцарей снова должно быть четным, и сокровище, как и в предыдущем случае, должно быть зарыто где-то на острове.