ПЛАН МИНИМИЗАЦИИ СРЕДНЕЙ СЕБЕСТОИМОСТИ КОНТРОЛЯ ВХОДЯЩИХ МАТЕРИАЛОВ И ГОТОВОЙ ПРОДУКЦИИ

Я погряз в глубоком болоте, и не на чем стоять; вошел в глубину вод, и быстрое течение их увлекает меня.

Пс. 68:3

Введение

Содержание этой главы. Даже когда продавец и покупатель заинтересованы в снижении доли дефектных деталей, достичь максимальной экономии не так-то просто, требуется знание теории, позволяющей технически грамотно использовать комплектующие изделия. Должны ли мы стараться отбраковывать часть или все дефектные изделия во входящей партии? Или нам следует направлять каждую партию, минуя контроль, прямо в производство?

Мы выработаем принципы, которые позволят при широком диапазоне условий ответить на вопрос, как минимизировать среднюю совокупную стоимость контроля входящих материалов, включая затраты на ремонт и перепроверки на последующих стадиях для продукции, которая вышла из строя из-за дефектных комплектующих, попавших в производство.

Эта глава включает несколько разделов. В следующем разделе описываются условия контроля входящих изделий с соблюдением правила «все или ничего», при которых достигается минимальная средняя совокупная стоимость. В разделе «Другие условия, наблюдаемые на практике» правило «все или ничего» распространяется на изделия, поступающие с производственного процесса, который не находится в хорошо управляемом состоянии, но и не настолько бессистемен, чтобы его можно было классифицировать как хаотичный. Затем рассматривается состояние хаоса, когда качество поступающих комплектующих абсолютно непредсказуемо. Далее рассмотрены три примера применения правила «все или ничего» и обстоятельства, при которых готовая продукция не подлежит ремонту и можно только понизить ее сортность или отбраковать. Затем следуют раздел, в котором рассматриваются изделия, представляющие собой совокупность составных частей, и раздел о применении стандартных планов приемочного контроля; их невозможно адаптировать для цели минимизации средней совокупной стоимости. Раздел «Дополнительные проблемы с измерениями и материалами» посвящен применению метода испытаний, который хотя и дешевле, чем основной метод, но допускает либо попадание нескольких дефектных изделий в производство, либо браковку изделий, которые не причинили бы вреда производству. Далее следуют советы касательно анализа и сравнения методов измерения. В частности, метод консенсуса, как ни важно его значение для работы различных комитетов или в системе менеджмента, при проведении визуального контроля может нанести вред. Согласие может быть следствием боязни одного контролера перед другим или страха показаться некомпетентным. Затем следует раздел с упражнениями, которые развивают фундаментальную теорию «все или ничего» и подчеркивают тот факт, что в состоянии хорошей статистической управляемости нет корреляции между выборкой и остальной частью совокупности. Заканчивается глава разделом, в котором более глубоко проанализирован смысл описанных ранее экспериментов с лопаткой и бусинами и приведен список источников для углубленного изучения.

Некоторые простые и широко применимые правила

Допущения

Сначала мы рассмотрим простые изделия, не имеющие составных частей. Затем обратимся к проблеме сложных изделий, состоящих из множества компонентов (пункт и ).

Мы должны проводить испытания готовой продукции прежде, чем она покинет завод.

Если входящая деталь дефектна и попадает в сборку, то механизмы откажут при испытаниях. Если входящая деталь не дефектна, то сборка будет работать.

Поставщик снабжает нас дополнительным числом деталей (назовем их С) для замены любой обнаруженной дефектной детали.

Конечно, он включает стоимость этих деталей в выставляемый нам счет. Стоимость этих деталей входит в состав накладных расходов. Здесь мы рассмотрим только переменные затраты. Мы не будем учитывать накладные расходы, которые возникли бы в любом случае, независимо от того, каков будет наш план контроля.

Дефектная деталь — это деталь, которая приводит к отказу всей сборки. Если деталь, которую определили как дефектную, не приводит к проблемам на последующих производственных операциях или у потребителя, то вы еще не уяснили, что понимать под дефектом. Следующим шагом в данной ситуации будет рассмотрение метода испытаний, который позволяет четко опередить, есть у детали дефект или нет.

Существуют ситуации, когда для обнаружения дефекта во входящей детали на заводе могут потребоваться слишком большие затраты. Поэтому дефект может остаться, а спустя несколько месяцев или лет его обнаружит потребитель. В этом случае речь идет о скрытых дефектах. Хромированный фотошаблон — один из примеров. Наилучшее решение этой проблемы — улучшить процесс настолько, чтобы проблема исчезла. Такое же решение применимо к проблеме разрушающих испытаний, при которых изделие испытывается на прочность.

Допустим,

p — средняя доля дефектных изделий во входящей партии деталей;

q = 1 – p;

k₁ = стоимость контроля одной детали;

k₂ = стоимость демонтажа, ремонта, повторной сборки и испытаний узла, который отказал из-за дефектной детали, попавшей в производство;

k = средняя стоимость последовательных испытаний достаточного числа деталей, чтобы найти в запасе С качественную (далее в этом разделе для k в упражнении 7 получено выражение k = k₁/q);

k₁/k₂ = равновесное качество, или точка равновесия (k₂ будет всегда больше k₁; следовательно, отношение k₁/k₂ будет лежать между 0 и 1).

Читатель может оценить эти допущения, забежав немного вперед и ознакомившись с тремя примерами, начинающимися чуть дальше.

«Все или ничего». Правила для минимизации совокупных средних затрат оказываются чрезвычайно простыми в некоторых условиях.

Условие 1: Самая плохая входящая партия будет иметь долю дефектных изделий меньше, чем k₁/k₂. В этом случае

Никакого контроля

Условие 2: Самая хорошая входящая партия будет иметь долю дефектных изделий больше, чем k₁/k₂. В этом случае

100%-ный контроль

Подтверждение правил для условия 1 и условия 2 исключительно простое: смотри упражнение 4 в следующем разделе.

Если же применить правило условия 2 в ситуации, когда следует применять правило условия 1, тогда полные затраты будут максимальными. Обратное тоже верно.

Отказ от проведения контроля не означает, что мы собираемся работать, пребывая в полном неведении. Для условия 1, основываясь на прошлых результатах, нужна уверенность в том, что наихудшая входящая партия (или полученная за неделю) будет лежать слева от точки равновесия k₁/k₂. Для условия 2 предусматривается, что наилучшая входящая партия будет лежать справа от этой точки. Контрольные карты, которые совместно ведут поставщик и покупатель, покажут, будет ли входящая продукция в ближайшем будущем удовлетворять условию 1 либо условию 2 или же находиться в промежуточном состоянии. Состояние хаоса, если оно присутствует, не станет секретом; о нем будет хорошо известно. Покупатель всегда проверит входящие материалы на соответствие накладным, чтобы быть уверенным, что ему доставили именно то, что он заказал (см. далее раздел «Никогда не оставаться без информации»).

Условия 1 и 2 позволяют минимизировать средние полные затраты во многих случаях, встречающихся на практике. Примеры будут приведены ниже.

Биномиальный разброс. Предположим, что статистически управляемый процесс поставляет партии, в которых дефектные изделия распределены биномиально со средним значением p. Тогда правила для минимальных средних полных затрат будут столь же просты:

Условие 1: если p < k₁/k₂, — никакого контроля;

Условие 2: если p > k₁/k₂, — 100%-ный контроль,

даже если распределение доли дефектных изделий в партии колеблется вокруг точки равновесия k₁/k₂.

Таким образом, состояние статистической управляемости имеет явное преимущество. Чтобы узнать, соответствует ли входящий поток партий условию 1 или условию 2 или находится в состоянии, граничащем с хаосом, надо лишь отслеживать статистическую управляемость и среднюю долю дефектных изделий с помощью карт, построенных на основе текущих испытаний малых выборок (как и в любом случае), предпочтительно в сотрудничестве с поставщиком и на его территории.

Важно отметить, что в состоянии статистической управляемости выборки из партий и остающаяся часть некоррелированы. Иными словами, в статистически управляемом состоянии выборка не дает информации об остальной части (невероятно; см., однако, упражнение 1, и рис. 57–60).

Другие условия, наблюдаемые на практике

Промежуточное положение распределения с умеренным отклонением от статистической управляемости. Теперь мы проанализируем два типа промежуточных ситуаций для распределения доли дефектных изделий во входящих партиях. Возможно, используя собственные контрольные карты, или карты поставщика, или карты, ведущиеся сообща, мы сможем предсказать, что лишь малая часть распределения попадет в область справа от точки равновесия. Для этого случая мы можем принять правило «никакого контроля». Это правило даст нам возможность приблизиться к минимуму средних полных затрат при условии, что та часть распределения, которая лежит справа от точки равновесия, невелика.

Обратная ситуация: только малая часть распределения доли дефектных изделий во входящих партиях лежит слева от точки равновесия. Зная это, можно смело принимать правило 100%-ного контроля входящих партий.

Рисунок 47 демонстрирует типичные обстоятельства, включая состояние хаоса, которое мы рассмотрим далее.

Рис. 47. Возможные ситуации при получении входящей продукции партиями. Точка Б — точка равновесного качества, в которой p = k₁/k₂

Тренд в доле дефектных изделий во входящих партиях. Предположим, что сформировался тренд в сторону возрастания доли дефектных изделий. Сегодня мы находимся в зоне условия 1 и не проводим контроля, но p зависит от времени и возрастает, возможно, с постоянной скоростью и, возможно, нерегулярно. Через два дня мы попадем в зону условия 2: мы предупреждены. Контрольные карты поставщика или наши выявят тренд, если он существует. Эта проблема легкоразрешима.

Проблемы, вызываемые переключением между различными поставщиками. В главе 2 мы ознакомились с проблемами, возникающими из-за изменения источников материалов на входе в систему. Ограничимся рассмотрением двух источников. Если оба источника хорошо или умеренно статистически управляемы и могут быть отделены друг от друга в течение нескольких дней, то в принципе каждый источник удовлетворяет условию 1 или условию 2, в зависимости от того, попадает ли среднее этого источника влево или вправо от точки равновесия. На словах эта идея проста, но на некоторых заводах может оказаться трудновыполнимой.

Если материалы из двух источников перемешиваются однородно, находясь в постоянной пропорции и если оба источника демонстрируют достаточную статистическую управляемость, тогда смешанные партии можно рассматривать как биномиальную смесь, минимальной средней стоимости которой можно достигнуть с помощью правила «все или ничего». Как мы уже знаем из главы 2, материалы из двух источников приносят дополнительные проблемы производству. Однородная смесь материалов из двух источников — наихудший вариант для производственного менеджера.

Первым делом следует сократить число поставщиков до одного. (Преимущества одного поставщика для каждой детали приведены в главе 2.) Если продукцию переменного качества поставляет один источник, тогда поставщик и его потребитель должны совместно работать над ее улучшением, стремясь соблюсти условие 1 и в конце концов достичь нуля дефектов. А мы тем временем переходим к рассмотрению случая, когда источник находится в состоянии хаоса.

Состояние хаоса. Решить, что делать, в ситуации, когда положение распределения незначительно колеблется ближе-дальше от точки равновесия, относительно легко. Вблизи точки равновесия не имеет особого значения, проводим ли мы 100%-ный контроль или не проводим никакого контроля. Я бы выбрал 100%-ный контроль, чтобы собрать информацию так быстро, как это только возможно. Если мы не можем утверждать, что качество входящих материалов преимущественно находится справа или слева от точки равновесия, а, напротив, колеблется в широких пределах, проходя через точку равновесного качества, значит, мы находимся в состоянии хаоса. Такое недопустимое положение может возникнуть при поставке материала с большой вариабельностью и непредсказуемым качеством из одного источника. Такой разброс точек равновесия может быть следствием получения материала из двух или более источников с сильно разнящимся качеством. При этом переключение с одного источника на другой осуществляется бесконтрольно, без продуманной последовательности. Следует как можно быстрее выйти из этого состояния и перейти на условие 1. Но партии продолжают поступать, и мы должны с ними что-то делать. Как нам с ними поступать?

Если бы каждая партия приходила с ярлыком, сообщающим нам долю дефектных изделий в ней, проблемы не возникло бы. Мы достигли бы минимальных средних полных затрат, помещая каждую партию, одну за другой, справа или слева от точки равновесия и применяя от партии к партии правило «все или ничего».

Но партии не промаркированы. Вместе с тем в состоянии хаоса существует некоторая корреляция между качеством изделий в выборке и оставшейся частью партии. Поэтому в состоянии хаоса можно испытывать выборки и с помощью некоторого правила принимать решение о том, посылать ли оставшуюся часть в производство полностью или проводить отбраковку. Выборки при любом правиле их использования будут приводить к тому, что некоторые партии попадут не на ту сторону от точки равновесия, следствием чего будет максимизация полных затрат для неправильно идентифицированной партии.

В состоянии хаоса можно было бы склониться к 100%-ному контролю. В таком решении есть определенный смысл, однако мы рассмотрим альтернативную процедуру, предложенную Джойс Орсини).

Правила Джойс Орсини. В состоянии хаоса простой альтернативой 100%-ному контролю выступают правила Джойс Орсини. Эти правила легко использовать. Они значительно уменьшают средние полные затраты по сравнению со 100%-ным контролем. Сопоставление со 100%-ным контролем целесообразно, поскольку его средняя стоимость нам известна: это k₁ + kp на изделие. Вот эти правила:

Выборки объемом n = 200 обеспечат текущий учет качества входящей продукции. Удовлетворяющей целям формой текущего учета может стать карта числа обнаруженных в каждой выборке дефектных изделий. Для такой карты можно порекомендовать объединять несколько выборок, идущих подряд, чтобы иметь в каждой точке для среднего примерно от трех до четырех дефектных изделий. Текущие записи расскажут вам о колебаниях качества изо дня в день. Подобная информация будет полезна вам и вашему поставщику для идентификации его проблемы. Вы также поймете, действительно ли входящее качество находится в состоянии хаоса или вопреки ожиданиям может с небольшими потерями удовлетворять условию 1 или условию 2.

Конечно, на следующей неделе было бы возможно и даже легко улучшить результаты — в смысле критериев Джойс Орсини. Мы могли бы выяснить, каково было в прошлом распределение доли дефектных во входящих партиях. К сожалению, это малоинформативно, поскольку в состоянии хаоса не существует предсказуемого конкретного распределения. Если бы мы знали распределение входящих партий, мы не находились бы в состоянии хаоса.

Процедура, которую легко описать и которая приводит почти к минимуму средних полных затрат при любых обстоятельствах, — это последовательный план Френсиса Энскамби. В случае если все предшествующие предположения не работают, Энскамби предлагает последовательно отбирать из партии выборки, первая из которых должна быть объемом

где N — это объем партии, а последующие выборки должны иметь объем n = k₂/k₁. Следует продолжать эту процедуру до тех пор, «пока либо полное число обнаруженных дефектных изделий не станет меньше числа проверенных выборок, либо вся партия не будет проверена».

К сожалению, правило Энскамби довольно трудноприменимо на практике.

Изложенную выше теорию и предложенные правила можно было применить при ремонте и замене деталей у потребителя (или в ремонтных мастерских), если бы мы знали величину затрат. Единственная трудность состоит в том, что, когда ваш продукт достиг потребителя, непосредственная стоимость ремонта и замены — это лишь малая часть стоимости дефекта. Потеря бизнеса в будущем из-за неудовлетворенного потребителя или из-за потенциального потребителя, узнавшего о случившемся, может быть огромна, и, к несчастью, ее невозможно оценить.

Потребность в простоте использования. Любое правило должно быть простым в применении. Полные затраты должны учитывать затруднения, связанные с практическим применением правил, и значительные потери, сопутствующие любому плану, для реализации которого хотя бы время от времени требуется участие специалиста в области статистики. Правила Джойс Орсини в этом отношении одни из самых простых.

Неудобства, связанные с переменной рабочей нагрузкой. Все правила, в которых проверка оставшейся части изделий связана с результатами контроля выборки, независимо от цели применения имеют общий недостаток. Все они порождают неудобства из-за переменной рабочей нагрузки в процессе контроля. Более того, и так уже испытывающий огромную нагрузку производственный менеджер получает дополнительную головную боль — нестабильный ритм получения входящих деталей. Он может требовать и получать детали независимо от того, проводился контроль или нет, есть ли дефектные изделия или нет, и это может разрушать составленные планы контроля. Исключение возможно, лишь когда число поступающих изделий столь велико и уровень качества столь низок, что команда контролеров большую часть времени занята проверкой выборок и остающихся частей партий.

Никогда не оставаться без информации. Правило отсутствия контроля не означает езды в темноте с выключенными фарами. Следует просматривать все входящие материалы (возможно, с пропуском некоторых партий) с целью получения информации и сравнения фактической поставки с отгрузочными накладными поставщика, контроля проведенных им испытаний и прилагаемых контрольных карт. Если имеются два поставщика, ведите записи отдельно для каждого.

Следующий совет (уже предлагавшийся в пункте 4 главы 2) — перейти для каждого изделия к одному поставщику на основе долговременных взаимоотношений и работать с ним над совершенствованием входящего качества.

Ошибки и их исправление в сервисных организациях. Изложенная выше теория применима к работе банка, универмага, любой компании, допускающей ошибки в платежных ведомостях, и к большинству других ситуаций (см. пример 3). Поток работы переходит с этапа на этап, конечный пункт — счет потребителя, или цифры на чеке, или отчет. Работа может пройти через несколько этапов, прежде чем ошибка будет обнаружена. К этому моменту стоимость исправления может стать в 20, 50 или 100 раз больше стоимости ее обнаружения и исправления в месте возникновения. В рассмотренном ниже примере 3, представленном мистером У. Лацко из Irving Trust Company, k₂ в 2000 раз больше k₁.

Разрушающие испытания. Предшествующая теория основана на испытаниях без разрушения опытного образца. Некоторые испытания связаны с разрушением, они разрушают контролируемую выборку. Пример — долговечность лампочки, число тепловых калорий при сгорании кубического фута газа, или время работы плавкого предохранителя, или проверка содержания шерсти в куске ткани. Отбраковка всей партии не имела бы смысла, поскольку передавать в производство было бы нечего.

Очевидно, что для разрушающих испытаний единственное решение — достижение состояния статистической управляемости в производстве деталей, чтобы сразу делать их правильно. Это решение — наилучшее как для разрушающих, так и для неразрушающих испытаний.

Примеры применения правила «все или ничего»

Пример 1. Производитель телевизоров проводил контроль каждой входящей микросхемы.

Вопрос: Сколько дефектных микросхем вы обнаруживаете?

Ответ: Очень мало. (Он взглянул на цифры за последние несколько недель.) В среднем одна или две дефектные микросхемы на десять тысяч испытанных.

Таким образом, мы имеем

Дальнейшие вопросы позволили получить информацию о том, что стоимость первоначального контроля k₁ равна 30 центам и что каждая плата с микросхемами проверяется по ходу процесса после того, как к ней добавляется значительное количество ценности. В этой точке замена дефектной микросхемы причиняет ущерб

k₂ = 100k₁.

Таким образом,

В соответствии с этим не следовало проводить контроль микросхем. Производство удовлетворяет условию 1, но производитель действует в соответствии с процедурой условия 2. Другими словами, он максимизирует свои полные затраты. При его плане средние полные затраты на одну интегральную схему составят

k₁ + kp,

тогда как при отсутствии контроля поступающих микросхем средние затраты равнялись бы

p (k₂ + k).

Разница составляет

Потери = [k₁ + kp] – [p (k₂ + k)] = k₁ – pk₂ = 29,6 цента

на каждую микросхему. В телевизоре от 60 до 80 микросхем. При 60 микросхемах потери из-за неправильного выбора плана составили бы 60 × 29,6 цента = 1776 центов, почти 10% себестоимости — это пример потерь, встроенных в продукцию.

Отвечающий за качество инженер сначала объяснил мне, что ему не нужен статистический контроль качества, поскольку проверке подвергается 100% продукции. По его словам, он применяет 100%-ный контроль микросхем, потому что его поставщик не имеет оборудования для проведения испытаний при требуемых условиях. Тем не менее изготовитель микросхем, как мне кажется, отлично справляется со своей работой, которая столь хороша, что p = 0,00015.

Как это часто случается при отсутствии теории, этот человек максимизировал свои затраты. Он всего лишь делал все, что мог. Вычисления, приведенные выше, стали поворотной точкой в его карьере.

Между прочим, на телевизионном мониторе перед каждой группой производственных рабочих размещалась информация о числе дефектов каждого типа, произведенных группой накануне. Эта информация была не только абсолютно бесполезной, но и деморализующей и контрпродуктивной. Она никому не помогала делать работу лучше.

Пример 2. Производитель автомобилей испытывает двигатели до того, как они устанавливаются на шасси. Назовем этот момент точкой А. Позднее двигатель становится частью силовой установки, готовой привести автомобиль в движение. Назовем этот момент точкой Б. Стоимость испытаний в точке А равна k₁ = 20 долл. Стоимость ремонта двигателя, не выдержавшего это испытание, равна k = 40 долл. Стоимость ремонта двигателя, отказавшего в точке Б, составляет 1000 долл. Разделим эту стоимость на две части: k₂ = 960 долл. и k₁ = 40 долл. В точке Б отказывает один из 1000 двигателей, прошедших все испытания в точке А. Вопрос состоит в том, нужно ли проводить испытания в точке А. Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим таблицу затрат.

Таблица 1

Точка равновесного качества соответствует значению

Таким образом, если 2% двигателей будут отказывать в точке А, разумно продолжать 100%-ный контроль в этой точке и попытаться повысить качество до такого уровня, когда контроль из соображения сокращения полных затрат следовало бы прекратить.

Если бы k₂ равнялось 500 долл., точка равновесного качества соответствовала бы значению p = 20/500 = 1/25. Таким образом, если бы p равнялось (например) 1 к 50, разница между 100%-ным контролем в точке А и отсутствием контроля была бы равна k₁ – pk₂ = 20 долл. – (1/50) 500 долл. = 10 долл. Очевидно, что в таких условиях разумно прекратить испытания в точке А.

Пример 3. (Предложен Уильямом Лацко, в то время сотрудником Irving Trust Company, Нью-Йорк.) Поток работы переходит из отдела в отдел банка, универмага или бухгалтерии. Стоимость проверки одной операции, выполняемой в конкретном отделе, равна 25 центам, а средняя стоимость исправления допущенной здесь ошибки на последующих стадиях процесса равна 500 долл. = 50 000 центов. Одна ошибка на 1000 транзакций — это почти предел точности для рассматриваемого типа работы, поэтому мы примем

p ≥ 1/1000,

k1/k2 = 25/50 000 = 1/2000.

Поскольку p > k₁/k₂, это условие 2, тогда план минимизации средних полных затрат — это 100%-ная проверка на выходе.

Обнаружение ошибок в операциях в сфере услуг, возможно, даже более трудная задача, чем на производстве. Проверяющий может обнаружить только половину совершенных ошибок или в лучшем случае две из трех. Очевидно, что важно совершенствовать систему, в частности, за счет повышения разборчивости цифровых данных, реконструкции освещения, изменения принципов найма, размещения, подготовки и также, что важно, помощи руководству в использовании статистических методов.

Рекомендуемая в данном случае процедура, которая приводилась в главе 3, — это параллельная обработка информации двумя сотрудниками, каждый из которых работает со своей копией документа, при этом они не обмениваются информацией о методах и результатах своей работы. Введите оба набора результатов в компьютер с целью обнаружения различий.

Мой опыт показывает, что параллельная работа сотрудников и сравнение результатов с помощью машины — единственный удовлетворительный способ проверки критически важной работы.

Результирующее качество будет намного лучше, чем p₁p₂, где p₁ — предсказуемый уровень качества для одного сотрудника и p₂ — предсказуемый уровень качества для другого сотрудника. Если p₁ = p₂ = 1/1000, тогда результирующее качество будет намного лучше, чем 1/1000² = 1/10⁶. Это так, ведь вероятность того, что оба сотрудника сделают одну и ту же ошибку при выборе процедуры и придут к одним и тем же результатам, очень мала. Однако закон Мэрфи гласит: все, что может случиться, случится обязательно.

Оба сотрудника должны придерживаться правила останавливать работу на любой цифре, которая может быть неверно прочитана, независимо от того, сколько времени потребуется на то, чтобы проследить источник возникновения этой цифры. «Производство» неразборчивой цифры в любом месте процесса так же опасно, как и запуск дефектных материалов в производство.

Модификация правил для ценности, добавляемой к подложке. Работа выполняется на входящем материале — подложке. Готовый продукт будет контролироваться и классифицироваться на первый, второй, третий сорт и отходы. Пусть k₂ означает чистые средние убытки из-за понижения сортности готовой продукции или утилизации негодных изделий. Средняя стоимость контроля одного входящего изделия на подложке будет равна

k₁ + kp

и средняя стоимость понижения сортности сборки будет равна pk₂, при условии, что мы не проверяем подложку заранее. Тогда равновесное качество будет равно значению p, удовлетворяющему соотношению

k₁ + kp = pk₂ .

При k = k₁/q (упражнение 5) это дает

k₁ + pk₁/q = pk₂ .

Левая часть равна просто k₁/q, поэтому уравнение выполняется, если

p = k₁/k₂q.

Теперь правила приобретают следующий вид:

Случай 1: p < k₁/k₂q — никакого контроля;

Случай 2: p > k₁/k₂q — 100%-ный контроль,

где k₂ теперь средние потери из-за понижения сортности или утилизации отказавших готовых изделий.

Заметьте, что значение q почти всегда будет близко к единице, поэтому правило «все или ничего» для практических применений останется неизменным.

Пример 4. Этот пример имеет форму меморандума, который я послал одной компании в день его написания. Вот эта памятная записка.

Как я понял из нашей вчерашней встречи, стержни с покрытием, деталь № 42, — важная для вас продукция, объем производства которой в настоящий момент составляет 20 000 штук в неделю и вскоре должен вырасти до 40 000. Объем входящих партий необработанных стержней равен 2800 штук, хотя это и не относится к делу.

Затраты, данные о которых вы мне предоставили, предположительно полностью распределены между оплатой труда, материалами, испытаниями и другими расходами и равны

k₁ = 7 центов, k₂ = 1500 центов.

Средняя доля дефектных изделий, согласно вашим данным, составляет примерно 1%. Соответственно, значение вашей точки равновесия равно

p = k₁/k₂q = 7/1500 × 0,99 = 0,00471,

или чуть меньше 1/200. Здесь привожу табл. 2, которую вчера я вывешивал на доску. Очевидно, что для минимизации средних полных затрат вам надо проводить 100%-ный контроль входящих стержней. Ваше производство соответствует условию 2.

Таблица 2

Затраты для двух возможных процедур

Примечание: Затраты приведены в центах на штуку; k₁= 7 центов, k₂= 1500 центов, p = 0,01.

Если бы доля дефектных изделий во входящем сырье равнялась бы в среднем (например) 1/300 или 1/500, вам следовало бы совсем отказаться от входного контроля и положиться на контроль в точке проведения испытаний готовой продукции.

Вы подняли вопрос о потребности мониторинга данных о входящем качестве. Конечно, вы должны это делать. С этой целью я рекомендую вам вести объединенную p-карту для всех типов дефектов и еще одну для доминирующего типа дефектов. Вы могли бы наносить точку для каждой партии или (возможно, позднее) точку для каждого дня. Как я вас понял, ваш поставщик хочет изучить ваши методы и результаты контроля вместе с вами. Регулярно посылаемые копии ваших карт (возможно, ежемесячно) были бы для него полезны. Почему вы не получаете карты от него?

Вероятность дефектной сборки из многих деталей. В предшествующих разделах речь шла о простых изделиях, состоящих из одной детали. Мы вернемся к полезной теории в упражнении 4. Некоторые детали могут в целях минимизации полной стоимости потребовать 100%-ного контроля. Однажды проверенные, они не приведут к отказу сборки (узла). Остальные детали не будут проверены, и дефектная деталь, если она попадет в производство, послужит причиной отказа. Предположим, у нас две непроверенные детали.

Начнем с того, что две непроверенные детали имеют доли дефектных p₁ и p₂. Тогда вероятность того, что сборка откажет, будет равна

Pr (отказать) = 1 – Pr (не отказать) = 1 – (1 – p₁)(1 – p₂) = p₁ + p₂ – p₁p₂. (1)

Если оба значения p₁ и p₂-малы, то эта вероятность будет близка к значению p₁ + p₂. Например, если p₁ = p₂ = 1/20, то вероятность отказа сборки равна 1/20 + 1/20 – 1/20² = 1/10 – 1/400. Ясно, что мы можем пренебречь произведением p₁p₂.

Простой способ написать вероятность отказа для любого числа деталей состоит в использовании диаграмм Венна (описан в любой книге по теории вероятностей). Таким образом, для трех деталей

Pr (отказать) = p₁ + p₂ + p3 – (p₁p₂ + p₁p3 + p₂p3) + p₁p₂p3 p₁ + p₂ + p3, (2)

при условии, что все p_i малы. Обобщение на m деталей дает

Pr (отказать) p₁ + p₂ + … + pm (3)

снова при условии, что все p_i малы.

Таким образом, вероятность отказа возрастает по мере того, как увеличивается число деталей. Радиоприемник может иметь 300 деталей, хотя это число будет зависеть от того, как вы их считаете. Автомобиль может иметь 10 000 деталей, опять в зависимости от того, как считать. Радиоприемник в автомобиле — это одна деталь или 300? Топливный насос — это 1 деталь или 7? Как бы вы ни считали, число деталей в одной сборке может быть огромным.

Но есть и другая проблема: k₂ (стоимость исправления дефектной сборки) растет по мере увеличения числа деталей. Когда сборка отказывает, какая деталь виновата? Слишком легко поставить неверный диагноз. Более того, из двух деталей обе могут оказаться дефектными.

Чем сложнее становится продукция, тем более надежными должны быть компоненты, если задача — снизить затраты. Плохая работа увеличивает расходы на всех этапах производства — это отбраковка, ремонты, большие запасы для смягчения последствий обнаружения дефектных деталей, более высокие гарантийных затрат — и в конце концов приводит к потере репутации и бизнеса.

Таким образом, в отношении изделий, состоящих из многих деталей:

1. Мы можем допустить, чтобы только несколько деталей соответствовали условию 2 (100%-ный контроль); в противном случае стоимость контроля будет чрезмерной.

2. Для остальных деталей допустимо только качество, близкое к нулю дефектов.

Испытания сложной аппаратуры могут потребовать времени и тщательного планирования, поскольку различные компоненты оборудования могут подвергаться различным нагрузкам и иметь различную наработку до отказа.

Это все непросто. Компания может закупать много типов комплектующих и при этом не вылезать из проблем. Одна из типичных проблем — когда качество и однородность некоторого входящего материала жизненно важны для покупателя. Широкие колебания качества — постоянная головная боль для него. Однако критичный для покупателя материал для поставщика может быть побочным продуктом, составляющим менее 1% его бизнеса. Вряд ли стоит ожидать от поставщика, что он возьмет на себя расходы и риск установки оборудования для совершенствования продукции.

Возможная рекомендация — рассматривать такой материал как железную руду или другое входящее сырье, которое поступает с большой вариабельностью и не очищено. Установите собственную систему очистки материала или воспользуйтесь услугами сторонней компании. Этот план в некоторых случаях эффективен.

Многократное повторение одного и того же дефекта оказывает такое же влияние, как и множество бракованных деталей. Д-р Майрон Трайбус из Массачусетского технологического института указал мне на простой пример. Предположим, что небольшие моторы (в пылесосе, смесителе, домашнем обогревателе) сегодня отказывают у потребителя с частотой 1/10, как и 15 лет назад. Но ведь и моторов в домашнем хозяйстве сейчас в среднем в 10 раз больше, чем 15 лет назад. Таким образом, сегодняшнее домашнее хозяйство столкнется с тем же количеством отказов моторов, что и раньше. Можно привести и другие примеры.

Пусть конструкция люстры рассчитана на три лампочки определенной яркости. Средняя долговечность лампочки в условиях домашнего хозяйства может составлять три месяца, но при наличии трех лампочек в конструкции домохозяин должен держать стремянку под рукой, так как он будет нуждаться в ней в среднем раз в месяц.

Рассмотрим точечную сварку багажника автомобиля. Любой, кто когда-либо пытался выполнить точечную сварку, согласится, что один дефект на 2000 точек — замечательный результат. Сварочные автоматы не намного эффективнее. Однако в масштабах завода даже столь замечательная работа приводит к дорогостоящим проверкам и переделке багажников.

Так, предположим, что на багажнике вашего автомобиля 70 точек и что сварщик, работая вручную или на автомате, производит один дефект на 2100 точек. Тогда шансы, что багажник при испытаниях протечет, будут равны 70/2100 = 1/30. Другими словами, около 3% багажников будут течь и требовать переделки. (К счастью, очень мало багажников с подобным дефектом выходит за пределы завода.)

Чтобы снизить частоту этого дефекта до значения 1 к 100, операция сварки должна быть улучшена ориентировочно до значения один дефект на 7000 точек.

Заключение: дефектные материалы и работа недопустимы в производственном процессе. Изложенная выше теория учит нас, как важно не мириться с дефектными материалами ни на каком этапе производства. Продукт одной операции — это входящий материал для следующей. Дефектный материал, произведенный однажды, остается таким до тех пор, пока изъян не обнаружится, если повезет, позднее при испытаниях, тем не менее исправление и замена обойдутся недешево.

Затраты k₁ и k₂ из предшествующей теории не единственные, заслуживающие рассмотрения. Дефекты порождают дефекты. Производственный рабочий страдает от мощного деморализующего влияния, оказываемого на него, когда он получает частично законченное изделие или сборку, которые уже дефектны. Как может он приложить максимум стараний, если независимо от приложенных усилий изделие все равно будет дефектным? Если это никого не заботит, то почему он должен беспокоиться? И наоборот, когда дефекты редки, или их нет, или они хорошо известны, рабочий понимает, что менеджмент осознает свою ответственность, и чувствует себя обязанным трудиться усерднее.

К сожалению, иногда хорошие детали становятся дефектными из-за несоблюдении технологии производства или неаккуратного обращения с материалом, т.е. когда готовая или частично готовая продукция повреждается при перемещении с одной операции на другую. Ущерб, вызванный неправильным обращением, может возникать по неосторожности или из-за абсолютного незнания технологии. Урон также может быть нанесен при упаковке и отгрузке. Когда Саймон Кольер работал в компании Johns-Manville, он демонстрировал фильм о том, как небрежные действия приводят к ущербу, когда, например, партия готовой черепицы на автопогрузчике ударяется о стальной стеллаж, уничтожая плоды работы многих людей; или когда веревка, которой был завязан мешок, выбрасывается не в бочку с отходами, а в гипс. Никто не объяснил людям, как много вреда приносят эти незначительные проступки. Я видел, как женщина работала с жестким диском с помощью пинцета так же осторожно, как медсестра в операционной, и затем испортила его, приложив к нему большой палец. Объяснил ли ей кто-нибудь, что она может так легко перечеркнуть все усилия, которые она вложила в этот диск до того? Я видел черную полоску на белых туфлях, во всем остальном превосходных и готовых к упаковке. Чья-то небрежность привела к дорогой переделке или браку.

Исключения. Многие входящие материалы не подчиняются теории, изложенной в этой главе. Например, цистерна с метанолом после перемешивания с помощью воздушного шланга. Проба метанола, взятая практически из любой части цистерны, будет почти одинаковой. Однако химические компании берут пробы метанола на нескольких уровнях. Возможно, более близкий пример — отбор порции джина или виски. Мы согласны с тем, что не имеет значения, откуда мы берем порцию: сверху, из середины бутылки или со дна.

Нагрев доменной печи создает проблемы, это еще один пример, к которому теория данной главы неприменима. Нагрев неоднороден. Некоторые компании берут маленькие образцы из каждой разливки. Эти образцы, если их проанализировать, дают данные для карты хода процесса, которая могла бы показать вариации качества от первой и до последней разливки, что дает ключ к улучшениям.

Использование стандартных планов приемки

Стандартные выборочные планы. Существуют так называемые стандартные планы приемки партий для входящих материалов или для выпуска готовой продукции. Если коротко, они требуют проведения испытаний выборки и выработки правила для принятия решения об отбраковке оставшейся части или отправке ее прямо в производство, что зависит от числа дефектных изделий, обнаруженных в выборке.

Теория, заложенная в таблицы Доджа-Ромига, минимизирует стоимость затрат на контроль при достижении предписанного уровня качества. В противоположность этому трудно понять, какова цель Военного стандарта 105D, кроме как наказать продавца, если качество реализуемой им продукции оказывается плохим.

Хальд в книге, приведенной в библиографии в конце данной главы, рассматривает Военный стандарт 105D как метод классификации выборочных планов по их AQL (средний предел качества). Дайте мне AQL и объем партии N, и я найду в Военном стандарте 105D план, позволяющий достичь этот AQL. Военный стандарт 105D вынуждает вас заявить о желаемом значении AQL. Он не использует данные о затратах. Поэтому неудивительно, что он может приводить к полным затратам в два раза большим, чем стоимость 100%-ного контроля.

Любой первоначально вводимый выборочный план с целью снижения среднего качества, обозначаемого p в этой главе, будет лишь увеличивать средние полные затраты на одно изделие по отношению к минимальному значению (см. упражнение 5 в конце данной главы).

Компания, покупающая изделия на основе значения AOQL (предел среднего выходного качества), равного 3%, тем самым дает понять продавцу, что бизнес компании возможен при 97 хороших и 3 плохих изделиях из ста. Поставщик с радостью будет соответствовать этим требованиям.

К примеру, один производитель сказал мне недавно, что его цель — отправлять своим потребителям не более 3% дефектных изделий. Для некоторых потребителей это число непомерно велико. Будет ли это хорошей тактикой ведения бизнеса? Хотели бы вы быть потребителем, получающим не более 3% дефектных изделий?

К сожалению, стандартным планам приемки отводится главное место в книгах по статистическим методам контроля качества, моя книга о выборочном контроле не исключение. Пора нам, как говорит Энскамби, «осознать, в чем на самом деле проблема, и решить ее максимально эффективно, вместо того чтобы щелкать как орехи выдуманные, не имеющие отношения к делу проблемы».

Пора выкинуть эти планы и прекратить обучение им. Пришло время поговорить о полной стоимости и о проблемах практики.

Формальное применение стандартных планов. Боюсь, что большинство применений планов приемки Доджа–Ромига и Военного стандарта 105D — проформа для соблюдения требований контракта, подготовленного людьми, не имеющими достаточной для выбора плана квалификации, и выполняемого другой группой людей с той же квалификацией. Все так делают, и мы не исключение. Результат — рост стоимости. Как говорит Фейгенбаум:

Главная проблема… неразумное использование этих (приемочных) планов в ситуациях, когда они неприменимы.

Пример: как увеличить затраты с помощью Военного стандарта 105D. Подсистемы поступают от изготовителя партиями по 1500 штук. Требуется примерно два часа для проверки подсистемы при средней стоимости (включая накладные расходы) 24 долл. на штуку. Среднее процесса производства равно 2%, и недавняя информация о качестве подтвердила это значение для полученных партий. Стоимость замены дефектных компонующих при окончательном контроле равна 780 долл., распределенным по всем комплектующим. Какой план контроля следовало бы применить? Здесь

p = 0,02 < k₁/k₂ = 24/780 = 0,031.

Очевидно, что это условие 1. Значит, для минимальной полной стоимости не нужно никакого контроля. Следование рекомендациям Военного стандарта 105D удваивает минимальную полную стоимость. Это легко увидеть по результатам упражнения 5.

Было бы еще хуже, если бы степень статистической управляемости была высока, контроль выборок дал бы не больше информации о партиях, нежели подбрасывание монеты (упражнение 1).

Дополнительные проблемы с измерениями и материалами

Возможная экономия при создании вспомогательных подсистем. В предшествующей теории стоимость k₂ обычно возрастает (возможно 10-кратное увеличение) с каждым этапом работы процесса и может достигать очень высоких значений при окончательной сборке. Иногда можно избежать излишне высоких затрат, создавая подсистемы, которые движутся вдоль потока собранными и формируют финишную продукцию. Некоторые подсистемы, пройдя через контроль и потребовав незначительных замен и регулировки, образуют новую точку отсчета. Стоимость k₂ теперь будет стоимостью контроля и наладки подсистемы. Теория совместно с полезными записями, отражающими опыт, может показать, что некоторые подсистемы вообще не нуждаются в проверке, в то время как другие надо подвергнуть 100%-ному контролю во избежание роста затрат по ходу процесса. Теория, изложенная в этой главе, позволяет принять верное решение.

Наша цель в предшествующих разделах — показать, что существуют способы минимизации затрат и максимизации прибыли, если руководствоваться правильной теорией.

В то же время мы прилагаем все усилия с целью полного исключения дефектных изделий из процесса. Мы делаем это систематически, сравнивая результаты наших испытаний с результатами поставщика и применяя подходящие статистические методы, такие как x - и R-карты.

Плодотворное сотрудничество с поставщиком деталей, особенно критических, и успешные испытания и регулировка подсистем сводят все основные проблемы при окончательном контроле систем к редчайшим событиям.

Трудности обнаружения редких дефектов. Редкие дефекты трудно обнаружить. По мере того как доля дефектных изделий уменьшается, все труднее определить, насколько мало их число. С помощью контроля нереально обнаружить все дефекты, особенно когда они редки, и это верно как для визуального, так и для автоматического контроля. Нет никаких оснований верить больше изготовителю, который заявляет, что имеет только 1 дефект на 10 000, чем тому, кто декларирует 1 дефект на 5000 изделий. В обоих случаях такую пропорцию трудно оценить.

Так, если бы p было равно 1/5000 и если бы процесс находился в статистически управляемом состоянии, то следовало бы проверить 80 000 деталей, чтобы найти 16 дефектных. Эти данные дали бы оценку = 1/5000 для производственного процесса со стандартной ошибкой √16 = 4, или 25%. Такая оценка доли дефектных неточна, несмотря на трудность контроля партии объемом 80 000 деталей. Возникает вопрос: оставался ли процесс стабильным в течение всего времени изготовления 80 000 деталей? Если нет, то каков смысл числа 16 дефектных изделий? Трудный вопрос.

Существуют примеры, когда на миллионы деталей нет ни одного отказа либо их число очень мало или они отсутствуют на 10 млрд. Никакой контроль готовой продукции не поможет получить требуемую информацию, когда доля дефектных изделий столь мала. Единственный возможный способ узнать, что происходит при столь крайних требованиях, — это использование контрольных карт с реальными измерениями деталей в ходе процесса. Сто наблюдений, таких как 4 изделия подряд 25 раз в день, дали бы 25 выборочных точек для x- и R-карт. Карты показали бы, идет ли процесс без изменений, или где-то произошел сбой и выпуск ряда изделий надо остановить, пока причина не будет обнаружена. Как только причина найдена, можно принять решение забраковать всю совокупность продукции за определенный период или пропустить некоторые изделия. Все возрастающие возможности x- и R-карт становятся все более очевидными.

Использование резервирования. Иногда возможно и разумно при конструировании сложной аппаратуры поставить две или более детали параллельно, так чтобы, если одна из них откажет, другая автоматически взяла бы на себя ее функции. Две параллельные детали, каждая со средней долей дефектности p_i, эквивалентны одной со средней долей дефектности, равной p_i². Если, например, p_i было бы равно 1/1000, то p_i² равнялось бы 1 000 000. Ограничения на вес и размеры, конечно, могут не позволить использовать резервирование. Существуют и другие проблемы: сработает ли резервная деталь, когда понадобится? Возможно, наилучшее решение — это высокая надежность единичной детали.

Математическая теория отказов и резервирования — чрезвычайно интересный и важный раздел статистики, но мы вынуждены на этом расстаться с данной темой, обозначив лишь ее важность.

Будет ли более недорогой метод контроля действительно дешевле? Вечный вопрос: как уменьшить затраты на контроль, если контроль неизбежен (как при условии 2)? Предположим, что существует основной метод контроля и метод, который обходится дешевле на одно изделие (меньше k₁), чем основной. Действительно ли менее дорогой метод дешевле с точки зрения полных затрат? В случае неразрушающих испытаний следует подвергнуть 200 изделий обоим методам и по результатам исследования составить таблицу 2 × 2, как это проиллюстрировано на рис. 48. Каждая точка — это результат двух испытаний одной детали. Точка на диагонали показывает согласие обоих методов. Точки вне диагонали представляют расхождение. Деталь, которая была бы отвергнута основным методом испытаний, но выдержала испытание более дешевым методом (пропуск дефекта), привела бы к отказу системы со стоимостью k₂. В то же время деталь, которая прошла бы испытание основным методом и была бы отвергнута более дешевым (ложный сигнал), привела бы к затратам, равным u, где u — стоимость одной детали.

Результаты таблицы 2 × 2 легко описать численно. Примем для чисел в четырех ячейках следующую схему расположения:

Рис. 48. Таблица 2 × 2 для затрат на испытания ряда изделий двумя методами. Каждые два испытания производят точку в одной из четырех ячеек

Пусть M — стоимость измерения 200 изделий основным методом и C — более дешевым. Тогда экономия вследствие применения более дешевого метода будет равна

S = M – C (n₁₂k₂ + n₂₁u).

Недиагональные члены обычно малы и, следовательно, подвержены значительным статистическим флуктуациям. Стандартную ошибку для недиагонального члена с хорошим приближением можно оценить как корень квадратный из самого значения. Таким образом, если бы это число равнялось 16, то это значение имело бы стандартную ошибку, равную 4. Если бы число было равно 9, то стандартная ошибка равнялась бы 3. (Эти утверждения основаны на распределении Пуассона для разностей.)

Если возникает сомнение в более низкой стоимости неосновного метода, можно проверить другие 200 или даже другие 400 изделий с целью повышения точности. Если сомнения все равно остаются, мой вам совет: используйте основной метод испытаний.

Сложное изделие. Приведенные выше советы и вычисления применимы к простым изделиям, состоящим из одной детали. Предположим, что в сборку входят две или более деталей и что мы хотим использовать более дешевый метод для каждой из них. Фактически мы можем применить вышеприведенные вычисления к любой детали и принять решение по ней одной вне зависимости от общего числа деталей, входящих в состав сборки.

Испытания любой части механизма дешевым методом могут повлечь за собой испытания всей сборки. Причиной может послужить пропуск дефекта, обозначенного в верхнем правом углу таблицы на рис. 48. Некоторые из отобранных таким образом сборок будут направляться на испытания из-за одновременного проявления дефекта другой детали, но в целом по мере увеличения числа комплектующих доля испытываемых сборок будет расти. Таким образом, при 20 комплектующих, каждая из которых испытывается дешевым методом, дающим (например) один пропуск дефекта на 20 испытаний, доля сборок, отправляемых на испытания из-за пропущенных дефектов, будет равна 1 – (1 – 0,05)²⁰ = 1 – 0,36 = 0,64.

Если технологический процесс сборки предусматривает последовательное соединение деталей, то из-за отказа сборки может потребоваться проверить все комплектующие.

Мораль состоит в том, что испытания могут вызвать больше проблем, чем само изделие. Многие продукты бракуются на предприятии напрасно только из-за того, что результаты процессов измерения не согласуются с другими данными.

Применяем ли мы основной или дешевый метод — оба должны быть статистически управляемы, стабильны, в противном случае сравнение может вводить в заблуждение.

Улучшенная таблица 2 × 2 для сохранения информации — сравнение двух проверяющих. Пятьдесят изделий поступили на испытание одно за другим проверяющим № 1 и 2 с целью определить, дают ли оба проверяющих одинаковые результаты. Сертификация защищает потребителя, а также изготовителя. И тот и другой проверяющий относит каждое изделие к высшему или к более низкому сорту. Результаты 50 испытаний занесены в таблицу из двух столбцов и 50 строк в порядке проведения испытаний, один столбец для проверяющего № 1, другой — для проверяющего № 2.

Вместо того чтобы ставить по результатам испытаний для каждой пары точки, как на рис. 48, можно сохранить больший объем информации об испытаниях, указывая не точку, а порядковый номер испытуемого изделия в соответствующей ячейке. Пример показан на рис. 49.

Рис. 49. Таблица 2×2 для испытаний двумя проверяющими 50 изделий. Показаны номера изделий. Отличие от предыдущего рисунка состоит в том, что на этом показаны номера изделий

Можно заметить, что верхняя правая ячейка демонстрирует серию из четырех последовательных номеров (35, 36, 37, 38). Вероятность такого события очень мала и может указывать на специальную причину расхождений. Если (например) одно испытание из 10 попадает в эту ячейку, вероятность серии из четырех последовательных строк была бы только (1/10)³.

Возможное использование дешевого метода для отсеивания (разбраковки). План, широко применимый в обследованиях заболеваемости, иногда может быть полезен при испытаниях. Предположим, что вычисления показывают: pk₂ > k₁; т.е. для минимизации полных затрат нужен 100%-ный контроль. Дешевый тест под рукой, и его можно адаптировать так, что он не будет пропускать изделия, которые основной метод забраковал бы. Отбракуем сначала n деталей с помощью дешевого метода, и таким образом разделим партию на два класса деталей, приемлемых и неприемлемых, численностью n₁. и n₂., как показано в табл. 3.

Таблица 3

Дешевый метод

Мы можем смело пустить в производство n1. деталей, которые дешевый метод классифицировал как приемлемые. (Мы по определению адаптировали дешевый метод, чтобы делать это.) Далее проверим основным методом n2. деталей, не принятых дешевым методом. Результаты показаны в табл. 4.

Таблица 4

Основной метод

Если стоимость испытаний n2. деталей основным методом не слишком велика, этот план позволит сэкономить нам значительную сумму. Вычисления просты. Пусть

k₁ = стоимость испытания детали основным методом;

k₁^´ = стоимость испытания детали дешевым методом.

Таким образом, использование отбраковки сэкономило бы

D = nk₁ – nk₁^´ – n₂k₁ = n(k₁ – k₁^´ – k₁n₂/n),

где величина в скобках — это разница на одно изделие. Для иллюстрации примем

k₁ = 1,20 долл.;

k1 = 0,10 долл.;

n₂ / n = 0,4.

Тогда разница была бы

D = n (1,20 – 0,10 – 0,4 × 1,20) = 62 цента,

что составляет примерно 50% экономии.

Преимущества использования шкалы сравнения. Если бы измерения производились в стандартных единицах, таких как сантиметры, граммы, секунды, амперы, фунты на квадратный дюйм, или в иных мерах, следовало бы использовать более эффективный метод сравнения. В этом случае можно отобразить результаты n измерений на плоскости xy. На рис. 50 изображены четыре возможных результата сравнения дешевого и основного методов испытаний. В данном случае для принятия решения требуется намного меньшее число данных n, чем для таблицы 2×2 на рис. 48. Точки на диагонали под углом 45˚ указывают на согласие между двумя методами. Точки вне этой линии свидетельствуют о расхождении результатов. Из такой карты легко понять, в каком месте два метода отличаются и насколько. Как модифицировать дешевый метод, чтобы улучшить его связь с основным методом, по-видимому, очевидно для любого, знающего и умеющего использовать эти два метода.

Сравнение основного и дешевого методов. Измерение изделия двумя методами дает точку на плоскости. Точка на линии 45° указывает на полное согласие. (А) Точки лежат на линии 45° или близко от нее. Здесь оба метода хорошо согласуются. (Б) Наклон линии примерно 45°, но существует отрезок, отсекаемый на оси. Обычно небольшая наладка позволяет привести оба метода в хорошее согласие друг с другом. (В) Наклон линии далек от 45°, и существует отрезок, отсекаемый на оси. Небольшая наладка может привести оба метода в хорошее согласие друг с другом. Или можно использовать простую формулу для коррекции результатов дешевого метода. (Г) Точки рассеяны по плоскости, что указывает на серьезные проблемы

Другая возможность в простом случае Б на рис. 50 — это оставить дешевый метод ненастроенным и преобразовать его результаты до согласия с основным. Так, пусть

y' — измерение, полученное основным методом,

y — измерение, полученное дешевым методом на том же изделии,

m — наклон линии наилучшего соответствия между двумя методами (в предположении, что зависимость линейна),

b — отрезок, отсекаемый на оси y'.

Тогда соответствующее преобразование для случая Б на рис. 50 было бы y' = my + b.

Между тем согласие между двумя методами не означает, что они оба правильны. Согласие означает, что система измерений существует. Случай В на рис. 50 представляет интерес. Наклон линии меньше 45° указывает, что дешевый метод более чувствителен, чем основной. Если требуется сохранить это преимущество, то следует отказаться от основного метода и внедрить после корректировки дешевый. (Предложено Питером Кларком из Hammersdale, Natal на семинаре в Кейптауне, ноябрь, 1983.) Наклон больше 45° указывал бы на то, что дешевый метод менее чувствителен, как обычно и бывает. Можно было бы подстроить дешевый метод под основной с помощью преобразования через уравнение y' = my + b, где m — тангенс угла наклона прямой линии.

Превосходный анализ точности инструментов и ошибок измерений содержится в разделе B-3 руководства Statistical Quality Control Handbook, подготовленного и опубликованного компанией Western Electric в 1956 г. (См. ссылку в конце главы 11.)

Опасности консенсуса при контроле. Согласие, достигнутое в результате дискуссии, в которой люди не боятся высказывать свою точку зрения и задавать вопросы, говорит о здоровом командном духе и приносит пользу благодаря взаимодействию и обучению друг друга.

К сожалению, согласие на этапе контроля или где-то еще может означать всего лишь, что один навязывает свое мнение другому.

Например, два врача могут зафиксировать в отчете согласие в отношении состояния пациента — улучшилось, не улучшилось, ухудшилось. В этом отчете представлено мнение только опытного врача, молодой рад возможности ассистировать ему и прислушиваться к мудрым словам, которые тот изрекает. Угодливое согласие со стороны молодого специалиста продлится до тех пор, пока у него появится собственное мнение. Возможно, что сейчас молодой врач проходит интернатуру. Он не может рисковать своим назначением на будущий год, поэтому согласен со всем и задает вопросы осторожно.

Более удачным было бы каждому врачу вести собственную запись о состоянии пациента (улучшилось, не улучшилось, стало хуже). Затем при случае записи сравниваются. Тогда молодой врач может без конфронтации задать вопрос, касающийся любого пациента, состояние которого у него вызывало сомнение. Другими словами, такая система устраняет у молодого специалиста страх задавать вопросы.

Рис. 51. Записи диагнозов двух врачей для ряда пациентов. Анализ согласий и несогласий по типу пациентов может помочь обоим лучше понять, как они лечат, и привести их к почти полному и надежному согласию

Простая карта, показанная на рис. 51, визуализирует согласия и несогласия. (Предложено автором и принято во время совместной работы в качестве консультанта с покойным д-ром Францем Кальманом в Нью-Йоркском институте психиатрии, примерно в 1960 г.)

Обозначения возраста и пола пациента на этой карте, возможно, покажут, когда молодой врач нуждается в помощи.

Между прочим, хорошее согласие между независимыми результатами двух врачей означает только то, что у них есть система. Это не значит, что они оба правы. Правильного ответа не существует, за исключением методов, согласованных экспертами.

Сравнение двух контролеров. Два контролера, проверяющие качество кожи, годами демонстрировали консенсус для каждого тюка кожи, отбираемого на контроль из поступающей партии. Когда я обсудил это с ними, они охотно согласились с опасностью консенсуса и с целесообразностью индивидуального сбора данных, чтобы можно было сравнить результаты и выяснить, расходятся ли они.

Тюки с кожей сортируются как 1, 2, 3, 4 или 5. № 1 — высший сорт. Разработанный нами план был следующим:

1. Каждый контролер при поступлении продукции отбирает один тюк. Тюк берется сверху, из середины, снизу. (Это то, что мы раньше называли механической выборкой, без использования случайных чисел.)

2. Каждый контролер проверяет выбранный им тюк независимо и записывает результат.

3. Оба контролера независимо проверяют и записывают результат для каждого 20-го тюка. Тюк они выбирают по очереди.

4. Результаты наносятся на карту, упрощенный вариант которой показан на рис. 52.

Рис. 52. Схема визуализации результатов двух контролеров, работающих независимо. Карта показывает, что признаков расхождений нет. Рамка вокруг 20-й точки означает, что оба контролера проверяли один и тот же тюк

Несходство двух наборов результатов может быть обусловлено двумя причинами: а) из-за различия между людьми; б) из-за различия между выборками. Результаты показали, что в течение почти года значимого различия нет. Один контролер не отличается от другого. Несогласие редко наблюдается на каждом 20-м тюке, который они оба проверяют. В других ситуациях могла бы возникнуть потребность в более точных определениях.

И снова, как уже подчеркивалось, согласие контролеров не означает, что они записывают правильные значения, просто их метод отбора и контроля образует систему сортировки кожи.

Дальнейшие замечания о графическом представлении. Планы, представленные на рис. 51 и 52, можно легко адаптировать для четырех или пяти контролеров (число шесть нецелесообразно из-за слишком большого числа символов). Я использовал тот же самый план, чтобы с помощью трех символов (•, ○, ◊) показать характеристики качества, полученные на более поздних стадиях из материала, отобранного из печи: 1) в начале нагрева, 2) в середине, 3) в конце. В этой реальной ситуации три символа относились к одним и тем же точкам по вертикали в 12 печах, за исключением зависимости между ○ и ◊. Эта повторяющаяся связь указывала на возможность того, что: а) компоненты недостаточно перемешивается в нагревателе или б) смесь заметно стареет в ходе производства.

Упражнения

Упражнение 1. Дано: чаша с красными и белыми бусинами, доля красных — p, доля белых — q (рис. 53).

Рис. 53. Партии извлекаются из чаши с красными и белыми бусинами. Затем из партии берется выборка. Замещение каждой бусины , попавшей в партию, обеспечивает постоянство доли p при каждом вынимании

Шаг 1. Извлечем из чаши с помощью случайных чисел с возвратом партию объемом N. Результат:

N    всего

X    красных

N – X    белых

Шаг 2. Извлечем из партии с помощью случайных чисел без возврата выборку объемом n. Результат:

Шаг 3. Вернуть бусины из выборки в партию.

Шаг 4. Повторять шаги 1, 2, 3 неоднократно, сохраняя постоянными объемы партии и выборки. Записать результаты для значений r и s.

Показать, что теоретическое распределение для r и s будет равно:

(4)

Выводы: а) Число красных бусин в выборке объемом n и число красных бусин в оставшейся части распределены биномиально вокруг одного и того же значения p; б) независимы друг от друга. То есть число красных бусин в остатке, соответствующем выборкам с количеством дефектных изделий s = 17, будет распределено точно так же, как и число красных бусин в остатке, соответствующем выборкам с s = 0 дефектных изделий.

Эта теорема ужасна. В ней утверждается, что если отдельные дефекты независимы, как это обычно свойственно процессу, находящемуся в статистически хорошо управляемом состоянии, то любая попытка использовать план приемочного контроля для принятия решения о 100%-ной разбраковке оставшейся части партии будет равносильна подбрасыванию монеты. (Подбрасывание монеты намного дешевле, чем испытания выборок.)

Вместо того чтобы брать выборку из партии, можно просто разделить партию с помощью случайных чисел на две части — выборку и остаток.

Упражнение 2. Если распределение дефектов в партиях уже, чем биномиальное, и если правило приемки остатка основано на испытаниях выборки, тогда правило будет таким: принимать остаток так, как он есть, когда в выборке много дефектов, и браковать остаток и проводить в нем отбраковку, когда в выборке мало или совсем нет дефектов, т.е. действовать наперекор обычным правилам.

Простой способ понять, как получается вышеописанный результат, — рассмотреть ситуацию, когда все входящие партии содержат одно и то же число дефектных изделий. Дефекты, которых нет в остатке, содержатся в выборке, и наоборот. Следовательно, большое число дефектных изделий в выборке будет указывать на малое их число в остатке.

И. Хилл (1960) указал на простой способ производить партии с однородным качеством. Допустим, 20 станков изготавливают одно и то же изделие, 19 из них не производят дефектов, а один выпускает только негодные изделия. Для формирования партии возьмем по одному изделию от каждого из 20 станков. Тогда каждая партия из 20 изделий будет содержать 5% дефектных изделий.

Партии почти постоянного качества не исключительное явление. Рассмотрим блок фиксирующих поддонов, например, в количестве 12 штук. Они вращаются в процессе штамповки листового металла. Один из поддонов неисправен. Почти все изделия, которые штампуются на нем, окажутся дефектными. Остальные 11 поддонов в хорошем состоянии. Выход партий, формируемых из 12 последовательных изделий, будет постоянно близок к значению 1/12, или 8,3% дефектных.

Упражнение 3. Доказательство правила «все или ничего». Выберем с помощью случайных чисел деталь из партии. Назовем ее деталью i. Она может быть дефектной или качественной. Следует ли нам проверить ее или пустить прямо в производство безо всякого контроля? Мы можем представить среднюю полную стоимость в виде таблицы (табл. 5).

Таблица 5

Мы видим, что варианты «да» и «нет» одинаковы, если p = k₁/k₂. Такое качество Александр Муд назвал равновесным. В точке равновесного качества полная стоимость одинакова для варианта «нет» и варианта «да». Дальше мы видим, что если p < k₁/k₂, то к меньшим общим потерям приводит вариант «нет», а если p > k₁/k₂, то вариант «да» (см. рис. 54).

Рис. 54. График, показывающий минимальные полные затраты на изделие в партии в зависимости от входящего качества p. Минимальная доля дефектных изделий лежит вдоль линии 0ВГ. Излом В происходит в точке равновесного качества Б, где p = k₁/k₂. Полная стоимость максимизируется при использовании 100%-ного контроля там, где минимум полных затрат обеспечило бы отсутствие контроля, и наоборот

Очевидно, что если наихудшая партия, которая поступит (например) на следующей неделе, будет отстоять слева от точки равновесия, то остальные партии будут лучше, еще больше отдаляясь влево. Ясно, что в этих условиях отсутствие контроля приведет к минимуму средних полных затрат (случай 1).

Если наилучшая партия находится справа от точки равновесия, тогда все другие партии будут хуже и отстоять еще дальше вправо. Это пример случая 2. Полный контроль всех партий приведет к минимуму средних полных затрат.

Таким образом, минимальные средние полные затраты лежат на ломаной линии 0ВГ. Для значений p, близких к точке равновесного качества Б, разницей между отсутствием контроля и 100%-ным контролем можно пренебречь.

Минимальные средние полные затраты для множества деталей. Допустим, мы имеем всего M деталей. Пусть p_i — средняя доля дефектных для i-й детали, а ki — стоимость проверки одной детали. Дополнительную стоимость отказа сборки обозначим К, предполагая, что она одинакова для разных деталей. (Нужны некоторые изменения в обозначениях, поскольку k₂ нам теперь понадобится для обозначения стоимости контроля детали № 2.) Следует ли проверять все детали или только некоторые? Если только отдельные, то какие? Используем аппроксимацию равенства (3).

Различие между двумя планами будет в пользу плана 2 на величину

Какую деталь проверять, а какую не проверять, чтобы минимизировать полные затраты? Другими словами, как можно максимизировать разницу между двумя планами? Ответ очевиден. Расположим M членов ряда

k_i – Kp_i, i = 1, 2, 3, …, M

по убыванию. Ряд начнется с положительных значений, постепенно они будут становиться меньше, перейдут через ноль и продолжат уменьшаться. Для минимизации средних полных затрат вышенаписанная сумма должна быть максимально большой. Соответственно, правило минимизации средних полных затрат звучит следующим образом:

1. Не проводить контроль деталей, для которых k_i – Kp_i положительно.

2. Проверять все детали, для которых k_i – Kp_i отрицательно.

Работайте со всеми поставщиками, чтобы добиться для всех комплектующих статистической управляемости и снижения доли p_i. Успех в этой работе приведет к снижению полных затрат и может позволить время от времени не проводить контроль отдельных деталей.

Замечание 1. Переход от слабо отрицательных к слабо положительным значениям лишь ненамного снизит затраты, однако значительное смещение — от больших отрицательных к большим положительным значениям — приведет к их существенному снижению.

Замечание 2. Мы могли бы сказать, что каждая деталь имеет точку равновесного качества, определяемую как p_i = k_i – K. Таким образом, наш результат для многих комплектующих всего лишь повторяет план 1 и план 2 для одной детали.

Замечание 3. Деталь с распределением доли дефектных единиц, которое колеблется возле точки равновесного качества, следует рассматривать как единичную.

Замечание 4. Используйте 100%-ный контроль для любой детали, если она не находится в статистически хорошо управляемом состоянии и, конечно же, если она находится в состоянии хаоса.

Упражнение 5. (Цель: показать, что, когда входящее качество устойчиво находится с одной стороны от точки равновесного качества, принятие любого плана контроля, кроме правил «все или ничего», приводит к риску увеличения полных затрат.) Предположим, что мы проверяем долю f входящих партий со средней дефектностью p. Отбор деталей проводится случайно (т.е. с помощью случайных чисел). Тогда средние полные затраты на одно изделие при контроле входящих материалов и дополнительных расходах на ремонт и повторные испытания сборок, отказавших из-за дефектной детали, будут равны

y = fk₁ + (1 – f) pk₂ (стоимостью kp мы пренебрегли). (5)

Вопрос в том, каково должно быть значение f, чтобы значение y стало минимальным? Заметим сначала, что y = k₁ безотносительно к значению f в точке, где p = k₁/k₂ (точке равновесного качества).

Слева от точки равновесия p < k₁/k₂. Равенство (5) удобно представить в форме:

y = pk₂ + f (k₁ – pk₂). (6)

Очевидно, что, если мы позволим значению f меняться от 0 до 1 слева от точки равновесия, y будет менять свое минимальное значение от pk₂ до значения k₁. Иными словами, любой контроль, в какой бы точке слева от точки равновесия (p < k₁/k₂) он ни проводился, будет увеличивать полную стоимость. Хорошо видно, что приемочные планы в этой области могут удваивать или утраивать минимальные полные затраты.

Чтобы исследовать правую сторону от точки равновесия, где p > k₁/k₂, перепишем равенство (5) в форме

y = k₁ + (1 – f)(pk₂ – k₁). (7)

Если мы позволим f меняться от 0 до 1 в этой области, y будет уменьшаться от значения pk₂ до своего минимума k₁. То есть 100%-ный контроль в области справа от точки равновесия приводит к минимуму полных затрат. Не 100%-ный контроль (т.е. f < 1) будет увеличивать средние полные затраты по отношению к минимальному значению.

Ранее была дана ссылка (109) на пример, представленный Уильямом Лацко. Теперь же мы обратимся к другому примеру.

Иллюстративный пример. Для производства компьютерных жестких дисков компания получает алюминиевые подложки партиями по 1000 штук. Первый шаг при получении партии — проверка выборки из 65 образцов, извлеченных из партии с помощью случайных чисел. Опыт показал, что входящие образцы, не прошедшие визуальный контроль и попавшие в производство, приводят к отказу готовых дисков. Каждая подложка, не выдержавшая визуальный контроль, замещалась на годную.

Средняя доля изделий, не прошедших визуальный контроль, составила примерно 1 к 40, или 0,025. Использовалось правило, согласно которому партия браковалась, если в выборке обнаруживалось 5 или более дефектных образцов (5 представляло собой верхний 3-сигмовый предел). Записи показали, что в прошлом очень мало партий браковалось: соответственно, для ближайшего будущего можно предположить наличие умеренной статистической управляемости.

Следовательно, средняя доля подложек, содержащих визуальные дефекты и попадающих в производство, равнялась 0,025 – (65/1000) × 0,025 = 0,023.

Полная себестоимость визуального контроля равна 7 центов на одно изделие.

Один процент подложек приходили в негодность вследствие некорректного обращения с ними при подготовке и проведении визуального контроля.

Описанное выше испытание годится только для визуальных дефектов. Дефекты, не выявляемые при визуальном контроле, приводят к отказу одного диска из 100 при финишных испытаниях. Это накладные расходы, общие и постоянные, безотносительно к доле входящих образцов, подвергаемых визуальному контролю; следовательно, в приводимой ниже таблице затрат мы их опустим.

Добавленная стоимость, создаваемая при изготовлении диска, равна 11 долл. Стоимость подложки — 2 долл.; всего — 13 долл. На отказавшую в готовом диске подложку можно подать рекламацию; следовательно, потеря готового диска обходится в 11 долл., не учитывая затраты на рекламацию. Пусть

f — доля изделий, контролируемых по описанному плану (65/1000 = 0,065);

k₁ — себестоимость визуального контроля на одно изделие (7 центов);

B — стоимость одного образца подложки (2 долл.);

k₂ — добавленная стоимость (11 долл.) изготовления одного диска;

p — среднее входящее качество по отношению к обнаруживаемым визуальным дефектам (0,025);

p' — средняя доля дисков, теряемых по иным, нежели визуальные, причинам (0,01);

p''— средняя доля образцов, попадающих при описанном плане в производство, которые отказали бы при визуальном контроле, если бы их проверяли (0,025 [1 – 65/1000] = 0,023);

F — доля образцов, испорченных некорректным обращением при подготовке к визуальному контролю и при самом визуальном контроле (0,01).

Теперь мы можем построить таблицу 6 для предсказания затрат.

Таблица 6

Заключение. Величина разницы между 100%-ным контролем и используемым планом настолько велика, что можно уверенно порекомендовать начать изменения немедленно. С этой рекомендацией можно было бы повременить, если бы наблюдались существенные отклонения значений долей дефектности и стоимости от использованных в таблице.

Следует отметить, что совместные с продавцом усилия по улучшению качества входящих образцов продолжаются в надежде достичь точки равновесия и отказаться от визуального контроля и связанных с ним дополнительных операций с дисками.

Примечание: здесь равновесное качество не просто k₁/k₂, как это было до сих пор, но мы не будем углубляться в этот вопрос.

Упражнение 6. Показать бесполезность следующего правила, которое крупный концерн навязал поставщику.

при определении приемлемости поставленного материала мы полагаемся на выборочный контроль, т.е. одно дефектное изделие будет приводить к отбраковке всей партии.

Комментарии: 1. Вот что происходит на деле. Большинство партий попадает прямо в производство, с контролем или без. Потребитель не может позволить себе задержку ни из-за дальнейшего контроля, ни из-за возврата продавцу. 2. Если k₁ > pk₂, тогда выборочный контроль увеличил бы полную стоимость по сравнению с минимальной при отсутствии контроля. Зачем увеличивать затраты? 3. Если k₁ < pk₂, тогда не выборочный, а 100%-ный контроль минимизировал бы полные затраты. И снова: зачем увеличивать затраты? 4. Если распределение качества входящих материалов в значительной степени неуправляемо и колеблется вокруг точки равновесия, наилучшим решением был бы 100%-ный контроль или применение правил Джойс Орсини. Но надо избавиться от этого ужасного состояния. Работайте с продавцом над улучшением качества, чтобы перейти к условию 1 (k₁ < pk₂), и продолжайте совершенствоваться, чтобы достичь, если возможно, нуля дефектов. 5. Коротко говоря, процитированное требование устарело, неэффективно и дает низкое качество при высоких затратах.

Упражнение 7. Оценка k. Предположим, что стоимость контроля изделия, взятого из поставки S, не отличается от обычных затрат на контроль для изделия, отобранного из партии объемом N. Пусть x_i = 1, если изделие дефектное; 0 — если хорошее. Предположим, что xⁱ = 1, тогда изделие i — дефектное. Теперь возьмем одно изделие из поставки S и проверим его — стоимость равна k₁. Оно также может оказаться дефектным, в этом случае мы извлечем и проверим другое, и так далее до тех пор, пока не доберемся до хорошего изделия. Можно показать эти возможности на дереве вероятностей (рис. 55). Очевидно, что средние затраты будут равны

(8)

где

q = 1 – p.

Следовательно, средние полные затраты на проверку одного изделия и замену дефектного изделия на хорошее будут равны

k₁ + pk = k₁/q.

В большинстве случаев p будет мало, q будет близко к 1, то в этих условиях мы можем заменить k₁/q на k₁.

Рис. 55. Проверка одного изделия ведет с вероятностью p к х_i = 1 и с вероятностью q к х_i = 0

Упражнение 8

Обозначения

N — число изделий в партии;

n — число изделий в выборке (предположительно отобранных из партии с помощью случайных чисел) — каждое дефектное заменяется на хорошее;

p — средняя входящая доля дефектных изделий; значение p — это грубая оценка среднего на предстоящие недели;

q = 1 – p;

p' — средняя доля дефектных изделий в забракованных партиях, которые надо разбраковать;

p" — средняя доля дефектных в партиях, которые приняты и идут прямо в производство;

k₁ — стоимость контроля одного изделия;

k₂ — стоимость демонтажа, ремонта, повторной сборки и испытаний сложного узла, отказавшего из-за попадания дефектного изделия в производство;

P — средняя доля партий, отправленных на отбраковку при первоначальном контроле (забракованных);

Q = 1 – P — доля партий, принятых при первоначальном контроле.

Каким бы ни был план контроля, можно быть уверенным, что

P = 0 и Q = 1, если n = 0,

P = 1 и Q = 0, если n = N.

Теперь давайте посмотрим, что случится со средней партией, когда мы приведем этот план в действие:

n изделий попадут в производство без дефектов;

(N – n) Q изделий попадут прямо в производство без испытаний, со средним качеством p;

(N – n) P будут забракованы и отсеяны. Все они затем попадут в производство без дефектов.

А. Покажите, что средние полные затраты на одно изделие будут равны

C = k₁ [1/q + Q (k₂/k₁)(p''– k₁/k₂)(1 – n/N)].

Б. Если p < k₁/k₂, тогда p''– k₁/k₂ будет отрицательным и мы достигнем минимума средних полных затрат при n = 0 (случай 1).

В. Если p > k₁/k₂ и если нам удастся найти план, для которого p''– k₁/k₂ будет отрицательным, то средние полные затраты будут меньше, чем стоимость 100%-ного контроля.

Г. Но если, несмотря на все наилучшие усилия, наш план приведет к тому, что p''– k₁/k₂ будет положительным, то полные затраты будут больше, чем это было бы при 100%-ном контроле всех входящих изделий. Это та же самая неприятная ловушка, которую мы учились избегать в упражнении 5.

Рис. 56. Партия из 50 бусин, извлеченных механически с помощью лопатки с 50-ю углублениями из большой партии красных и белых бусин. Мы рассматриваем 20 бусин как выборку, а остальные 30 — как остаток

Приложение к главе 15
Эмпирическая демонстрация нулевой корреляции между числом дефектных изделий в выборке и числом дефектных изделий в оставшейся части, когда процесс находится в состоянии статистического контроля

Эксперимент с красными и белыми бусинами, описанный в главе 11, можно легко модифицировать, чтобы в течение нескольких минут продемонстрировать нулевую корреляцию между числом дефектных изделий в выборке из партии и числом дефектных изделий в оставшейся части.

Математическое доказательство содержится в уравнении (4) из упражнения 1. Те же эксперименты демонстрируют наличие слабой корреляции между выборками и партиями.

В эксперименте надо всего лишь разделить на две части партию из 50 бусин, одна часть будет выборкой, другая — остатком (рис. 56). Для каждой партии сосчитайте и запишите число красных бусин в выборке и в остатке; затем верните 50 бусин этой партии в емкость. Перемешайте бусины и извлеките новую партию.

Полезно ввести некоторые обозначения. Партии постоянного объема N поступают с дефектами, распределенными биномиально со средним значением p. Из каждой партии извлекается без возврата выборка постоянного объема n. Считается число дефектов в каждой выборке и в каждом остатке. Пусть число дефектов в выборке будет s, а число дефектов в остатке — r (как и раньше). Тогда s и r будут случайными числами, для совместного распределения которых существует уравнение (4)). Пусть

= s/n, доля красных в выборке,

´= r/(N – n), доля красных в остатке,

E = p,

Var = pq/n,

E '= p,

Var '= pq/(N – n),

Cov (, ') = 0.

Дисперсии и ' уменьшаются с ростом N и n. Следовательно, большая выборка из крупной партии обеспечивает информацию о числе дефектов в оставшейся части совокупности и в партиях. Более того, мы можем для количественной проблемы (когда наша цель — дать характеристику партии по выборке) применить выборочную теорию для оценки партии и стандартных ошибок этих оценок.

Теперь взглянем на некоторые реальные результаты для выбранных объемов партий и выборок. На рис. 57–60 показана доля красных бусин в биномиальных выборках и остатках для выбранных значений N и n (данные были любезно подготовлены моим другом Бенджамином Теппингом на его компьютере). На самом деле выборка и оставшаяся часть — это выборки из одной и той же партии. На каждом графике представлены 100 выборок. Графики явно демонстрируют нулевую корреляцию между выборкой и остатком. Но чем больше выборка, тем лучше оценка доли красных бусин в выборках и остатках. Так, рис. 60 для выборки n = 1000 и остатка N – n = 9000 показывает, что большая выборка обеспечивает хорошую оценку как остатка, так и всей совокупности (выборка плюс остаток — в нашем случае чаша с красными и белыми бусинами), даже несмотря на то, что выборка и остаток некоррелированы. Удивительная особенность статистической теории состоит в том, что она позволяет нам по одной-единственной выборке, если та достаточно велика, вычислить размер поля, которое покрывает на рис. 57–60 в среднем 95% (например) возникших точек. Таким образом, выборочная теория обеспечивает оценки остатков и всех партий, а также дает значения стандартных ошибок этих оценок.

Рис. 57. N = 50, n = 20. Здесь выборка и остаток близки по объему, 20 и 30 соответственно. График показывает отсутствие корреляции между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке

Рис. 58. N = 600, n = 20. Здесь вариации в доле красных бусин в остатке явно намного меньше, чем в выборке. Причина в том, что остаток имеет объем N – n = 600 – 20 = 580 , что многократно превышает объем выборки. Здесь снова корреляция между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке, по-видимому, равна нулю

Рис. 59. N = 600, n = 200. Здесь видно, что происходит, когда мы увеличиваем объем выборки до 200 и уменьшаем объем остатка до 400. Этот график, как и раньше, иллюстрирует нулевую корреляцию между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке

Рис. 60. N = 10 000, n = 1000. Опять никакой корреляции

Сокращенный список рекомендуемой литературы

George Barnard, «Sampling inspection and statistical decisions», Journal of the Royal Statistical Society, ser. B, vol. 16 (1954): 151–171 (Discussion of Mood's theorem).

David Durand, «Stable Chaos, General Learning Press, 1971. (См. стр. 234.)

A. Hald, «The compound hypergeometric distribution and a system of single sampling plans based on prior distributions and costs», Technometrics 2 (1960): 275-340. (Discussions on prior distributions).

Statistical Theory of Sampling Inspection by Attributes, Academic Press, 1981.

H. Hamaker, «Economic principles in industrial planning problems: a general introduction», Proceedings of the International Statistical Conference (India, 1951) 33, pt. 5 (1951): 106–119.

«Some basic principles of sampling inspection by attributes», Applied Statistics (1958): 149–158. (Interesting discussion of various approaches).

I. David Hill, «The economic incentive provided by sampling inspection», Applied Statistics 9, (1960): 69–81.

«Sampling inspection in defense specification DEF — 131», «Journal of the Royal Statistical Society, ser. A, vol. 125 (1962): 31–87.

Alexander Mood, «On the dependence of sampling inspection plans upon population distributions», Annals of Mathematical Statistics 14 (1943): 415–425.

Joyce Orsini, «Simple rule to reduce total cost of inspection and correction of product in state of chaos», Ph. D. dissertation, Graduate School of Business Administration, New York University, 1982.

J. Sittig, «The economic choice of sampling systems in acceptance sampling», Proceedings of the International Statistical Conference (India, 1951) 33, pt. 5 (1951): 51–84.

P. Thyregod, «Toward an algorithm for the minimax regret single sampling strategy», Institute of Mathematical Statistics, University of Copenhagen, 1969.

B.L. van der Waerden, «Sampling inspection as a minimum loss problem,» Annals of Mathematical Statistics 31 (1960): 369–384.

G. Wetherill, Sampling Inspection and Quality Control, Methuen, London, 1969. (Дает прекрасное сжатое резюме.)

S. Zacks, The Theory of Statistical Inference, Wiley, 1971. Есть русский перевод: С. Закс. Теория статистического вывода: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

Отправить

Davidten

Стейкинг

apella

Ypzk72o furosemide 20 mg tab cost

Olegadar

признаки того что ты нравишься

BruceTop

Excuse, that I interfere, there is an offer to go on other way. gay porn

Donaldisi

Привет господа Ремонт скважин Ремонт скважин в Минске – это комплекс мер, направленных на восстановление работоспособности скважины и водоподъемного оборудования. Заметное уменьшение объема добываемой из скважины воды или появление в ней примесей могут вызывать разные причины. Основные неисправности – это: износ или повреждение погружного насоса, забивание песком (илом) фильтра скважины, износ и повреждение обсадных труб. Не рекомендуем пытаться устранять эти неисправности самостоятельно, так как неумелые действия могут привести к повреждению скважины или погружного насоса. Из-за чего затраты на ремонт скважины возрастут многократно. Стоимость ремонта скважин Наименование работ Цены, BYN Поднятие и замена насоса из скважины (без материала) от 200 руб Поднятие и замена насоса в промышленных скважинах от 1500 руб Замена и ремонт элементов автоматики оборудования скважины от 100 руб Диагностика и ремонт старых скважин от 100 руб Восстановление дебита скважин от 400 руб Видео инспекция скважин с выездом на место от 250 руб Извлечение застрявших в скважинах насосов от 230 руб Прочистка и промывка скважин от 230 руб Восстановление паспорта скважины от 70 руб Консервация скважин от 800 руб Кислотная обработка скважин Договорная Оценка водных запасов Договорная Ликвидация скважины Договорная Этапы ремонта скважины на воду: 1 этап: Диагностика. Выполняется обследование скважины. 2 этап: После выявления причины неисправности, составляется план работ по восстановлению скважины наиболее подходящим методом в каждом конкретном случае. 3 этап: После ремонта выдаётся акт выполненных ремонтных работ и рекомендации по уходу за восстановленной скважиной. Диагностика скважины и выявление причин неисправностей Перед тем как наметить план ремонтных работ и выяснить причины поломки, необходимо провести обследование и оценить состояние скважины. Если неисправность вызвана заиливанием и вообще попаданием посторонних примесей, то поможет обыкновенная промывка скважины. Несколько часов – и Ваша скважина снова даёт чистую воду. Если же дело серьёзнее, и повреждён фильтр либо насосное оборудование, понадобится ремонт скважины на воду. Для обеспечения беспрерывной работы скважины, необходимо правильно её эксплуатировать, проводить регулярное обслуживание и устранять мелкие поломки своевременно, не дожидаясь когда скважина перестанет работать совсем. Мы ценим доверие наших клиентов, поэтому наша компания “БурТехСервис” проводит регулярное техническое обслуживание пробуренных нами скважин. На фото представлено выполнение работ по замене скважинного насоса.

Donaldcoh

Добрый день господа Артезианская и песчаная виды скважин. Ориентируясь на цели и нужды своего заказчика компания “БурТехСервис” выполняет бурение как скважин на песок (до первого водоносного слоя – песчаный слой), так и артезианских скважин, расположенных глубже (водоносный слой известняк, в котором естественными способами отфильтровывается вода). Давайте разберемся, какому типу скважин отдать предпочтение. Сравнение артезианского и песчаного типов скважин Критерий Скважина на песок Артезианская скважина Глубина Бурение осуществляется на небольшую глубину до первого водоносного (песчаного) слоя – 20-60 метров При бурении артезианской скважины можно достичь большой глубины (до 250 метров) Срок службы 10-20 лет при условии регулярной эксплуатации Срок службы составляет свыше 50 лет независимо от регулярности эксплуатации Дебит (производительность) скважины Небольшой – около 600 литров в час Большой дебит скважины (до 20 м3 в час) Особенности монтажа Сложности при монтаже и эксплуатации оборудования для подачи воды. Не возникает трудностей при монтаже и использовании оборудования. Фильтр Необходимо установить фильтр для защиты питьевой воды от попадания в нее песка и других загрязнений Необходимости в установке фильтров нет, поскольку вода в известняковом слое отфильтровывается и обеззараживается естественными способами Затраты Скважины на песок – популярный и незатратный способ провести воду в дом Затраты гораздо выше ввиду сложностей проведения буровых работ и монтажа оборудования Объём водоснабжения Воды хватает на покрытие нужд лишь одного дома Водоснабжения с лихвой хватает на весь частный сектор или посёлок. skvazhina-na-pesok Скважина на песок artezianskaya-skvazhina Артезианская скважина Скважина на песок Популярность этого типа скважин обусловлена доступной ценой и быстротой построения. Весь процесс состоит из следующих этапов: Бурение скважины роторным или шнековым способом. В пробуренное отверстие монтируем обсадную трубу. В качестве обсадных труб используем трубы нПВХ из пищевого пластика ?90 или ?125. Они наиболее эффективно обеспечивают целостность ствола скважины и защищают оборудование от различных механических нагрузок извне После этого устанавливаем 3-метровый фильтр из полиамидной сетки галунного плетения европейского производства. Он защищает воду от попадания в нее песка и других загрязнений. Обсыпка фильтра фильтрующим песком Прокачка скважины до визуально чистой воды. Подбор и установка насосного оборудования. После того как скважина пробурена и установлен насос для обеспечения подъема воды на поверхность, рекомендуется обустроить скважину необходимым оборудованием. Обустройство скважины продляет срок ее эксплуатации, сохраняя ее в работоспособном состоянии долгие годы. С вариантами обустройства вы можете ознакомиться здесь. Артезианская скважина (на известняк) В артезианской скважине водоносный слой находится между двумя слоями известняковой породы на достаточно большой глубине – до 250 метров. Это обеспечивает воде непревзойденное качество и чистоту. Установка фильтров не требуется – на такой глубине вода отфильтровывается естественными способами. Скважина артезианского типа бурится роторном способом. Существует 4 вида конструкции артезианской скважины; Стандартная. В этом случае в грунтовом слое не содержится песка и глины, а давление воды очень высокое. Скважину оснащают одной металлической обсадной трубой. Диаметр трубы может достигать 159 мм. Не требует глубокого погружения насоса — воду можно добывать уже при наполненности 2 труб — до этой отметки она поднимается спокойно. С двойной обсадной трубой. В грунтовом слое имеется и песок, и глина, а давление воды очень слабое – самый оптимальный вариант для проведения работ. Без глинистых слоев встречаются довольно редко, потому чаще монтируется скважина с двойной обсадной трубой. Дополнительный элемент монтируется в зоне с сухим известняком. С кондуктором. В грунтовом слое не имеется песка и глины, давление воды высокое, но могут существовать преграды в верхних слоях – плывуны. Именно там монтируется кондуктор. Это помогает компенсировать давление. Телескопическая конструкция. Применяется в местах с неустойчивым грунтом с камнями и валунами. Конструкцию называют телескопической, так как здесь используется сразу три обсадных металлических трубы. Это позволяет компенсировать сильное давление среды. В распоряжении “БурТехСервис” имеется полной набор специальной техники, необходимой для проведения буровых работ на всех этапах, включая земельные работы. Вы можете ознакомиться со буровыми комплектами , а также с фотографиями техники в процессе работы. Свяжитесь с нами по телефону или оставьте заявку,наш специалист проконсультирует вас по всем вопросам бурения, а также обустройства скважин. В компании “БурТехСервис” работают высококвалифицированные и опытные специалисты по бурению — после окончания работ у вас будет сооружена автономная скважина с чистой водой.

NicoleGlola

AllExpress Endless coupons, discounts, promotions and flash deals. Competitive Prices On More Than 100 Million Items. Check Out All Deals on AllExpress. 24*7 Customer care. Buyer's Protection. Free Shipping Worldwide. Secure Payment Method. fast. Equipment for appearance . to anywhere in the world Unique products. Flexible and rigid bracelets . to any place inexpensive. Action chamber and accessories .constantly per day. Earrings .constantly fast. Sports bags .Anytime @a

RevolinskExeme

GAY PORN

NicoleMip

AllExpress Endless coupons, discounts, promotions and flash deals. Competitive Prices On More Than 100 Million Items. Check Out All Deals on AllExpress. 24*7 Customer care. Buyer's Protection. Free Shipping Worldwide. Secure Payment Method. inexpensive. Accessories and details for motorcycles . to any place inexpensive. Female watch .Anytime inexpensive. Portable electronics . to any place fast. Spare parts for household appliances . to anywhere in the world Unique products. Equipment for the house .always @a

NicoleGlola

AllExpress Endless coupons, discounts, promotions and flash deals. Competitive Prices On More Than 100 Million Items. Check Out All Deals on AllExpress. 24*7 Customer care. Buyer's Protection. Free Shipping Worldwide. Secure Payment Method. inexpensive. Accessories to a holiday and party . to any place inexpensive. Spare parts for a car . to anywhere in the world The best products. Jewelry on a wedding and an engagement .Anytime fast. Make-up .constantly per day. Demonstration stands and accessories . to anywhere in the world @a

Donaldtru

Добрый день дамы и господа Where is moderator?? It is about advertisement on your website. Thank. плиткорез ручной купить в гродно

Donaldrvh

Добрый день господа Where is administration? It is important. Thank. плиткорез электрический 920