Для большинства из нас 50 — это половина сотни и пышный юбилей, однако число 50 — не только юбилейная дата. С точки зрения скоростных вычислений это магическое число. Сегодня я подам вам на серебряном подносе правило пятидесяти. Сначала вы его не распробуете, но я надеюсь, что, когда вы дочитаете до конца, вам откроется совершенно новый мир. Правило пятидесяти станет еще прекраснее, если сочетать его с другими вычислительными техниками. Именно тогда скорость вычислений по-настоящему возрастет.

Начнем с самого простого. Обещаю, что будет занятно.

Правило пятидесяти можно использовать для возведения в квадрат всех двузначных чисел от 50 до 59.

Прибавьте к числу единиц 25. Получится первая половина ответа.

Возведите число единиц в квадрат. Он составит вторую половину ответа.

Вот и все. Так быстро.

Допустим, вы хотите возвести в квадрат 56. Число десятков — 5. Число единиц — 6.

Прибавьте к числу единиц 25. Получится 25 + 6 = 31, и это первые две цифры ответа.

Дальше возведите число единиц в квадрат. 62 = 36. Теперь у вас есть и вторые две цифры ответа.

Значит, 562 = 3136.

Возьмем еще один пример и возведем в квадрат 52.

Число единиц — 2. Прибавим к нему 25. Получится 27 — это первые две цифры ответа.

Квадрат числа единиц будет 22 = 4. Поскольку этот ответ должен составлять вторые две цифры ответа, добавьте перед ним 0 — 04. Значит, 522 = 2704.

Элегантности правилу пятидесяти добавляет то обстоятельство, что на самом деле его можно применять и при работе с числами, начинающимися не с 5.

Вот как выглядит формула для этих случаев: (50 + a)2 = 100(25 + a) + a2.

Если вы недоумеваете, почему одна часть этого уравнения равна другой, загляните в конец книги.

Предположим, вы хотите возвести в квадрат 62.

Вам нужно всего лишь вычислить разницу между 62 и 50. Ответ — 12. А теперь обратитесь к формуле и замените a на 12:

622 = (25 + 12) × 100 + 122 = 3700 + 144 = 3844

Словами: к 12 прибавьте 25. Получится 37. Умножьте 37 на 100 и прибавьте к результату квадрат 12, то есть 144.

Испытаем правило пятидесяти на числе 63.

Посчитайте разницу между 63 и 50. Получится 13. Сложите 13 и 25, умножьте результат на 100 и прибавьте к нему квадрат 13, то есть 169:

632 = (25 + 13) × 100 + 132 = 3800 + 169 = 3969

С помощью правила пятидесяти можно возводить в квадрат и числа меньше 50.

Возведем в квадрат 47. Разница между 47 и 50 составляет ‒3. Значит, вычитаем 3 из 25, умножаем результат на 100 и прибавляем квадрат ‒3:

472 = (25 ‒ 3) × 100 + (‒3)2 = 2200 + 9 = 2209

Здорово, да?

Вот и другие моментально решаемые примеры:

412 = (25 ‒ 9) × 100 + (‒9)2 = 1600 + 81 = 1681

322 = (25 ‒ 18) × 100 + (‒18)2 = 700 + 324 = 1024

712 = (25 + 21) × 100 + 212 = 4600 + 441 = 5041

Видите: это не техника, а мечта!

ПРАВИЛО ПЯТИСОТ

Если вашему внутреннему любителю задачек вдруг захочется возвести в квадрат число, близкое к 500, то вы можете провести апгрейд правила пятидесяти до правила пятисот.

Формула проста для понимания, даже если у вас за плечами только школьный курс математики:

(500 + a)2 = (250 + a)1000 + a2

Объяснение вы найдете в конце книги.

Если формулы сбивают вас с толку, то вот что значит эта вязь: посчитайте разницу между 500 и числом, которое вы хотите возвести в квадрат. Прибавьте результат к 250, умножьте на 1000 и прибавьте квадрат разницы значений.

Испытаем эту красоту на примере числа 508.

Разница между 508 и 500 составляет 8. Квадрат 8 — 64. Теперь мы готовы обратиться к формуле.

Прибавьте 8 к 250 и умножьте результат на 1000:

(250 + 8) × 1000 = 258000

Прибавьте квадрат разницы значений:

258000 + 64 = 258064

Значит, 5082 = 258064.

Нравится? Несмотря на то что в квадрат вы возводите трехзначное число, всего несколько элементарных вычислительных операций приводят вас к шестизначному ответу. Старомодный и тоскливый школьный метод заставил бы вас провести девять операций умножения и сложить уйму чисел. Хвала небесам, его времена прошли.

Правило пятисот, как и правило пятидесяти, универсально. Иными словами, оно сработает независимо от того, какие числа вы выберете. Убедимся в этом на примере числа меньше 500. Посчитаем квадрат 497.

Разница между 497 и 500 составляет ‒3. Квадрат ‒3 равен 9.

Получается: 4972 = (250 ‒ 3) × 1000 + (‒3)2 = 247000+ 9 = 247009

Чем больше тренировки, тем быстрее мы будем считать. Чтобы полностью освоиться, предлагаю попрактиковаться на следующих примерах:

5082 = (250 + 8) × 1000 + 82 = 258064

5112 = (250 + 11) × 1000 + 112 = 261121

5132 = (250 + 13) × 1000 + 132 = 263169

5252 = (250 + 25) × 1000 + 252 = 275625

4912 = (250 ‒ 9) × 1000 + (‒9)2 = 241081

4882 = (250 ‒ 12) × 1000 + (‒12)2 = 238144

Как вы можете убедиться, для возведения таких чисел в квадрат требуется буквально несколько вычислительных операций. Продолжите эту игру и впечатлите друзей на следующей вечеринке. Вы станете новым королем чисел. При столь высоком статусе вам и хитростей понадобится больше. В следующей главе вы найдете подсказку, как производить впечатление с помощью математического феррари.