Даже если выучить все правила из этой книги, еще не факт, что вы будете считать быстрее других. Дело в том, что ни одно правило невозможно применить к примерам всех типов. Иногда какое-нибудь редкое правило приводит нас к ответу намного быстрее, чем все общие закономерности. Если мы осуществляем ряд похожих вычислений, полезно будет придумать собственные методы. Это вовсе не сложно. Все, у кого в школе была по математике тройка, с этим легко справятся. Когда я писал эту книгу, у меня возле кровати всегда лежали ручка и бумага. Так я записывал все сумасшедшие идеи, приходившие мне в голову по ночам. Как-то раз я проснулся в четыре часа утра, потому что понял, как расширить правило пятерки из главы 6. Эта идея оказалась вполне состоятельной. Давайте разработаем это правило вместе. Мой вопрос заключается в следующем: существует ли быстрый способ перемножить два различных числа, оба из которых заканчиваются на 5? Мой ответ — да!

Предположим, нам надо умножить 35 на 75.

Чтобы упростить метод, нам надо поставить запятую перед числом 5 в обоих случаях. Это означает, что сперва вам придется решить следующий пример: 3,5 × 7,5. Чтобы придумать правило, вспомним другое правило — то самое, которое учили в школе:

(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd

В этом случае c и d соответствуют ½.

Поэтому запишем формулу так:

(a + ½)(b + ½) = ab + (a + b) / 2 + ¼

Ну вот, теперь у нас есть чудесное правило. Перемножаем числа перед запятой:

3 × 7 = 21

Вычисляем половину суммы двух чисел перед запятой:

(3 + 7) / 2 = 5

Складываем два полученных числа и добавляем 0,25:

21 + 5 + 0,25 = 26,25

Убираем запятые в примере — и ответ готов:

35 × 75 = 2625

Давайте попробуем еще раз.

Например, умножим 125 на 75. Перед цифрой 5 поставим запятую:

12,5 × 7,5

Перемножим числа перед запятой:

12 × 7 = 84

Вычислим половину суммы двух чисел перед запятой:

(12 + 7) / 2 = 9,5

Сложим получившиеся числа и добавим 0,25:

84 + 9,5 + 0,25 = 93,75

Уберем запятые:

125 × 75 = 9375

Ну что скажете? Тогда, в четыре часа утра, мне это правило показалось довольно забавным, пускай и немного замороченным.

Давайте придумаем еще одно правило. Допустим, вы с друзьями решили посоревноваться, кто лучше возведет в квадрат числа, заканчивающиеся на 1, например 312, 412 и 512. Вы вполне можете опередить друзей и придумать правило, которое поможет решить такие примеры с невероятной быстротой. Правило будет проще, если перед единицами поставить запятую.

Это значит, что сперва нам надо придумать правило, в котором мы возводим в квадрат все числа с единицей после запятой, например 3,12, 4,12 и 5,12. Готовы? Тогда начинаем.

Помните квадратичное тождество первого типа?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

В нашем примере было бы логично поставить на место а число до запятой. Это означает, что числом b в этом правиле будет 0,1. Поэтому давайте подставим b = 0,1 в квадратичное тождество первого типа и посмотрим, что произойдет:

(a + 0,1)2 = a2 + a / 5 + 0,01

Ура! Мы придумали наше первое математическое правило. Каждый раз, возводя в квадрат a, будем добавлять одну пятую часть a и одну сотую. Затем будем складывать эти три маленьких числа и отбрасывать запятые. Вот и все, что от нас требуется.

Давайте воспользуемся этой чудесной формулой и вычислим, сколько будет 512. Вставляем запятую и сначала считаем произведение 5,12.

Число перед запятой у нас 5. Возведем в квадрат 5 и добавим одну пятую от 5:

52 + 5 / 5 = 25 + 1 = 26

Добавим после запятой 0,01. Получится, что 5,12 = 26,01. Уберем запятую: 512 = 2601.

Если вы отличаетесь упорством, то, возможно, захотите придумать похожую формулу для того, чтобы возводить в квадрат все числа, заканчивающиеся на 2, например 322, 422 и 522.

Добавим запятую перед числом 2 и применим квадратичное тождество первого типа, чтобы придумать нужное правило:

(a + 2 / 10)2 = a2 + 4a / 10 + (2 / 10)2 = a2 + 2a / 5 + 0,04

Возведем в квадрат a, добавим одну пятую удвоенного числа a, а потом добавим еще 0,04.

Допустим, нам надо возвести в квадрат 52. Вставим запятую перед числом 2 и применим формулу для того, чтобы возвести в квадрат 5,2.

Перед запятой у нас 5. Возведем в квадрат 5 и добавим одну пятую часть удвоенного числа 5:

52 + 5 × 2 / 5 = 25 + 2 = 270

Добавим 0,04 и получим 27,04.

В конце запятые можно удалить:

522 = 2704

Поняли принцип? Иначе говоря, каждое правило можно приспособить к решению самых разных задач. Это довольно занятно, однако этого недостаточно, чтобы стать лучшим из лучших. Если хотите и впрямь стать чемпионом среди чемпионов, то полезно будет научиться сочетать различные правила. Значит, пора переходить к следующей главе.