Ребенком я много времени проводил в университете, где преподавал мой отец, и пытался решать примерчики, набирая цифры на его старинной счетной машинке. Дело было в начале 1970-х, а электронных калькуляторов тогда еще не изобрели. Отцовская счетная машинка была громоздкой и весила несколько десятков килограммов. От нее пахло табаком, потому что отец имел обыкновение выбивать о счетную машинку свою трубку. Но, несмотря ни на что, считала она исправно, хоть и с ужасным шумом. Это было настоящее чудо механики! Папин мастодонт состоял из моторчика, шестеренок и крутящихся циферблатов. Отцу машинка нужна была, чтобы высчитывать статистику населения. Все это происходило задолго до того, как в социологии появились сложные математические модели. Больше всего времени занимало деление — на него у машинки уходило секунд десять, не меньше. Для меня это был настоящий рай! Иногда я даже считал с машинкой наперегонки.

В этой книге я не привожу фокусов с делением просто-напросто потому, что никаких особенно интересных я не нашел, однако совсем забрасывать деление мы не будем. При помощи определенных приемов можно выяснить, делится ли определенное число на какое-нибудь другое. Одни приемы известны, другие менее распространены, некоторые легкие, но есть и настолько сложные, что представляют интерес лишь для ученых и самых въедливых зануд.

ДЕЛЯТСЯ НА 2

Число делится на 2, если последняя цифра в нем делится на 2. Это означает, что все числа, заканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8, делятся на 2.

Примеры таких чисел — 12, 24, 36, 78 и 90.

ДЕЛЯТСЯ НА 3

Число делится на 3, если сумма составляющих его цифр делится на три. Если вам сложновато проверить, делится ли сумма составляющих его чисел на три, можно проверить, делится ли сокращенная сумма на 3. Сокращенная сумма получается, если сократить сумму до одной-единственной цифры. Если эта конечная цифра делится на 3, значит, все число тоже делится на 3.

Пример — число 18. Сумма составляющих его цифр равна 9. 9 делится на 3.

Другой пример — число 726. Сумма составляющих его чисел равна 15. 15 делится на 3. Конечно, можно было бы вычислить сокращенную сумму числа 726. Она составляет 6, а 6, разумеется, делится на 3.

ДЕЛЯТСЯ НА 4

Число делится на 4, если его часть, обозначенная двумя последними цифрами, делится на 4. Примеры таких чисел — 200, 304, 508 и 496.

ДЕЛЯТСЯ НА 5

Число делится на 5, если последняя цифра в нем — 0 или 5.

ДЕЛЯТСЯ НА 6

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

ДЕЛЯТСЯ НА 7

Этот трудоемкий метод не очень соответствует цели моей книги — научить вас быстрому счету. Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо убрать последнюю цифру в нем, удвоить ее и вычесть полученное число из оставшегося. Если у вас по-прежнему не получается определить, делится ли полученное число на 7, ту же процедуру следует повторить снова, пока не станет понятно, делится ли полученное число на 7.

Покажу вам, как действует этот странный метод. Давайте проверим, делится ли 30618 на 7. Убираем последнюю цифру, то есть 8, удваиваем ее и вычитаем полученное из оставшегося числа:

3061 ‒ 2 × 8 = 3061 ‒ 16 = 3045

Простым смертным вряд ли понятно, делится ли на 7 число 3045. Поэтому повторим весь процесс заново.

Убираем последнюю цифру, то есть 5, и вычитаем из оставшегося числа 2 × 5:

304 ‒ 2 × 5 = 304 ‒ 10 = 294

Думаю, нам по-прежнему непонятно, поэтому повторим процесс еще раз. Убираем последнюю цифру, то есть 4, и вычитаем 2 × 4 из оставшегося числа:

29 ‒ 2 × 4 = 21

Все, задача выполнена. 21 — удивительное число, которое входит в таблицу умножения. Каждому ясно, что 21 делится на 7. Это означает, что исходное число, 30618, тоже делится на 7.

ДЕЛЯТСЯ НА 8

Число делится на 8, если его часть, обозначенная тремя последними цифрами, делится на 8. Это не всегда очевидно, поэтому сперва можно два раза поделить три последние цифры на 2. Если последнее число по-прежнему останется четным, значит, исходное число делится на 8.

ДЕЛЯТСЯ НА 9

Число делится на 9, если сумма цифр в нем тоже делится на 9.

ДЕЛЯТСЯ НА 10

Все числа, заканчивающиеся на 0, делятся на 10.

ДЕЛЯТСЯ НА 11

Чтобы выяснить, делится ли число на 11, используется один занятный фокус. Нам надо попеременно вычесть и сложить цифры в числе по порядку. Если полученное число делится на 11, значит, исходное тоже делится на 11. Докажем на наглядном примере.

Проверим, делится ли на 11 число 2848857. Вычитаем и складываем цифры в числе по порядку:

2 ‒ 8 + 4 ‒ 8 + 8 ‒ 5 + 7 = 0

0 делится на 11. Значит, 2848857 тоже делится на 11.

ДЕЛЯТСЯ НА 12

Число делится на 12, если оно делится на 3 и на 4.

ДЕЛЯТСЯ НА 13

Метод здесь похож на тот, что мы использовали, выясняя, делится ли число на 7. Чтобы понять, делится ли число на 13, отбросим последнюю цифру, умножим ее на 9, после чего вычтем произведение из оставшегося числа. Если ответ все еще не ясен, продолжим таким же образом, пока не станет очевидно, делится ли полученное число на 13.

Посмотрим, делится ли на 13 число 28561. Отбросим последнюю цифру, то есть 1. Умножим 1 на 9 и вычтем произведение из оставшегося числа:

2856 ‒ 1 × 9 = 2856 ‒ 9 = 2847

Чтобы узнать, делится ли 2847 на 13, осуществим то же самое еще раз.

Отбрасываем последнюю цифру, то есть 7. Умножаем 7 на 9 и вычитаем полученное произведение из оставшегося числа:

284 ‒ 7 × 9 = 284 ‒ 63 = 221

Повторим процесс заново. Отбрасываем 1, умножаем 1 на 9 и вычитаем из оставшегося числа:

22 ‒ 1 × 9 = 13

Уфф, ну наконец-то.

Разумеется, 13 делится на 13. Это означает, что 28561 тоже делится на 13.

ДЕЛЯТСЯ НА 14

Число делится на 14, если оно делится на 7 и на 2.

ДЕЛЯТСЯ НА 15

Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5.

ДЕЛЯТСЯ НА 17

Метод здесь похож на тот, что мы использовали, выясняя, делится ли число на 7 и 13. Чтобы выяснить, делится ли число на 17, отбросим последнюю цифру, умножим ее на 5 и вычтем полученное произведение из оставшегося числа. Если нам по-прежнему непонятно, делится ли число на 17, продолжим в том же духе, пока не придем к очевидному ответу. Проверим, делится ли на 17 число 9928.

Отбросим последнюю цифру, то есть 8, умножим 8 на 5 и вычтем полученное произведение из оставшегося числа:

992 ‒ 5 × 8 = 952

Повторим то же самое. Отбросим последнюю цифру (теперь это 2) и вычтем произведение 2 и 5 из оставшегося числа:

95 ‒ 5 × 2 = 95 ‒ 10 = 85

Повторим еще раз. Отбросим последнюю цифру, то есть 5, и вычтем 5, умноженное на 5, из оставшегося числа:

8 ‒ 5 × 5 = 8 ‒ 25 = ‒17

Ответ очевиден: ‒17 делится на 17.

Это означает, что исходное число, то есть 9928, тоже делится на 17.

Бывает, что в правильности ответа мы сомневаемся. Если, на ваш взгляд, пользоваться калькулятором нечестно, то выход все равно имеется. В следующей главе вы прочтете, какие математические фокусы помогут вам проверить, верно ли вы посчитали.