Глава восьмая. Бенуа Мандельброт и открытие фракталов

Бенуа Мандельброт, блистательный польско-франко-американский математик, умерший в 2010 году, обладал поистине поэтическим вкусом к сложности и странности. Гениальное умение подмечать глубинные связи между далекими на первый взгляд явлениями подтолкнуло его к созданию новой области геометрии, расширившей наше понимание как природных форм, так и закономерностей поведения человека. В основу открытия Мандельброта легла простая, но неочевидная мысль о самоподобии. Чтобы понять, что такое самоподобие, рассмотрим всем известный пример – цветную капусту. Возьмите головку этого овоща, изучите ее форму, и вы увидите, что она состоит из соцветий. Отломите одно соцветие. На что оно похоже? На маленькую головку цветной капусты, тоже состоящую из крошечных соцветий. Отломите крошечное соцветие. На что оно похоже? На малюсенькую головку цветной капусты. Если продолжить этот процесс, вскоре потребуется лупа, и вы обнаружите, что все более мелкие кусочки по-прежнему напоминают головку, с которой вы начали. Таким образом, говорят, что головка цветной капусты самоподобна. Каждая ее часть повторяет целое.

В природе встречаются и другие самоподобные предметы и явления, обладающие самой разной формой: облака, береговые линии, молнии, скопления галактик, сеть кровеносных сосудов в нашем организме, а может быть, и последовательности взлетов и падений на финансовом рынке. Чем ближе мы присматриваемся к береговой линии, тем яснее видно, что она не плавная, а зазубренная, и каждый зазубренный сегмент содержит более мелкие и такие же зазубренные сегменты, которые можно описать методами Мандельброта. Поскольку самоподобные формы по природе своей приблизительны и грубоваты, классическая математика не обладает инструментарием для работы с ними. Ее методы со времен древних греков до прошлого столетия лучше подходят для гладких форм вроде окружностей. (Обратите внимание, что окружность не самоподобна: если разбить ее на сегменты чем дальше, тем мельче, то в конце концов они будут практически прямыми).

Математика, описывающая грубые шероховатые формы и способная работать с самоподобием и родственными материями вроде турбулентности, шума, кластеризации и хаоса, появилась лишь в последние десятилетия. И ее перводвигателем стал Мандельброт. На протяжении своей карьеры он часто переезжал, но дольше всего пробыл исследователем в IBM на севере штата Нью-Йорк. В конце семидесятых он прославился популяризацией идеи самоподобия и изобретением термина «фрактал» (от лат. fractus – «разбитый, сломанный»), описывающего самоподобные формы. В восьмидесятые он открыл «множество Мандельброта», очертания которого (оно похоже то ли на жучка, то ли на бородавчатого снеговика) стали символом вошедшей в моду науки о хаосе. Гораздо менее известен другой факт из биографии Мандельброта: его подрывные труды по экономике. Финансовые модели, которые он создал на основе своих фракталов, предполагали, что рынки ценных бумаг и валют гораздо более рискованны, чем считалось в те времена в бизнес-школах и инвестиционных банках, и что неизбежны непредсказуемые завихрения, например, падение индекса Доу – Джонса на 777 пунктов 29 сентября 2008 года.

С этими сторонами карьеры Мандельброта я познакомился еще до того, как прочитал его мемуары «Фракталист. Воспоминания ученого-одиночки» (Mandelbrot, B., The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick), изданные посмертно в 2012 году: Мандельброт закончил черновик незадолго до кончины в возрасте 85 лет. Я знал о его репутации «чудака-одиночки» и «нарушителя спокойствия», вполне заслуженной, невзирая на долгие годы работы в IBM. Однако я не был готов к тому, с каким невероятным количеством людей он так или иначе сотрудничал за свою карьеру. Возьмем неполный список тех, кто упоминается в его мемуарах: Маргарет Мид, Валери Жискар д’Эстен, Клод Леви-Стросс, Ноам Хомский, Роберт Оппенгеймер, Жан Пиаже, Фернан Бродель, Клаудио Аббадо, Роман Якобсон, Джордж Шульц, Дьёрдь Лигети, Стивен Джей Гульд, Филип Джонсон и японская императрица.

Не знал я и о том, что анархистские выходки Мандельброта в IBM по меньшей мере отчасти стали причиной появления этого проклятия современной жизни – компьютерного пароля. Однако больше всего меня поразила незаурядная интуиция Мандельброта. Он снова и снова находил простоту и даже красоту там, где другие видели лишь безнадежную путаницу. В чем его секрет? Любовь к игре в картинки, опора на видимое: «Когда я что-то ищу, то смотрю, смотрю, смотрю…»

Мандельброт родился в 1924 году в еврейской семье, жившей в Варшаве. Его родители не отличались математическими талантами. Отец торговал дамскими чулками, а мать была ассистенткой зубного врача благодаря «сильной правой руке и мощным бицепсам» – она отлично вырывала зубы. Зато дядя Мандельброта Шолем был математиком международного класса, учился в Париже и преподавал в Коллеж де Франс. «Никто не оказал на мою научную жизнь такого влияния, как Шолем», – рассказывает Мандельброт, хотя на поверку дядино влияние оказалось довольно-таки неожиданным.

Описывая свое варшавское детство, Мандельброт живо вспоминает, к примеру, навозную вонь, которую испускал один из стоматологических пациентов его матери, мясник с местной бойни; все зубы у него были гнилые, а в уплату за лечение он снабжал семью свежим мясом. Когда настала Великая депрессия, отцовскому делу пришел конец, и в результате семья уехала из Польши в Париж, проехав по территории гитлеровской Германии в запертом вагоне. «Из всех наших знакомых одни мы уехали во Францию и спаслись», – пишет Мандельброт и добавляет, что многих их соседей по варшавскому гетто «удержали на месте драгоценный фарфор или невозможность продать концертный рояль “Бёзендорфер”».

Париж совершенно очаровал юного Мандельброта. Семья поселилась в квартире, где не было горячей воды, в неблагополучном тогда Бельвиле близ парка Бют-Шомон, однако мальчик жадно исследовал город в целом – и Лувр, и старый музей науки на рю-Сен-Мартен, и Латинский квартал. Он быстро выучил новый язык. Как-то раз отец притащил домой «устарелую многотомную энциклопедию “Ларусс” и переплетенные дополнения к ней за несколько десятков лет. Я мгновенно прочитал все от корки до корки». Хотя в лицее, где учился Мандельброт, говорили на литературном французском, он нахватался «парижского кокни», на котором marrant («смешной») звучало как marron («коричневый»). В результате, по его словам, «разговорный французский у меня так и не установился и до сих пор сохранился акцент, который то усиливается, то слабеет и не всегда уловим».

В школе Мандельброт зарекомендовал себя как un crack («отличник» на сленге) и даже un taupin: «Лингвистически это усиленная до предела форма американского nerd (заучка, “ботаник”)», – поясняет он. (Это слово происходит от французского taupe – «крот».) От сверстников его выгодно отличала способность «геометризовать» любую задачу. Он не тасовал формулы в отличие от одноклассников, а при помощи поразительной зрительной памяти буквально видел, что сложное уравнение содержит замаскированную простую форму. Мандельброт рассказывает, как на национальном конкурсе оказался единственным во Франции школьником, которому удалось решить одну особенно заковыристую задачку. «Как ты умудрился? – недоумевал его учитель, некий месье Понс. – Взять этот тройной интеграл за такое время не в силах человеческих!» Мандельброт сообщил учителю, что просто изменил координаты, в которых была задана задача, и тогда стала видна ее геометрическая сущность – сфера, – на что месье Понс только побрел прочь, бормоча: «Ну конечно, конечно, конечно!»

Откуда же взялся у Мандельброта этот геометрический внутренний голос? Сам ученый предполагал, что это как-то связано с его детским увлечением шахматами и географическими картами. Кроме того, он благодарит за это «устаревшие» учебники по математике, которые попали в руки подростку-эмигранту и содержали больше картинок, чем было принято в школьных учебниках в те годы (и сейчас). «Изучение математики по таким учебникам позволило мне близко познакомиться с огромным зоопарком весьма конкретных форм всякого рода, собранным за многие столетия, – рассказывает Мандельброт. – Я мог мгновенно их распознавать даже в аналитических маскарадных костюмах, “чуждых” как мне, так и, пожалуй, их первоначальной природе».

Когда разразилась Вторая мировая война, Мандельброту было четырнадцать. После капитуляции Парижа его семья бежала в Виши, где Мандельброты как евреи-иностранцы жили в постоянном страхе разоблачения и вскоре были вынуждены разделиться. Под поддельными документами на чужое имя Мандельброт изображал ученика слесаря в нищей деревушке в Лимузине (где к его смеси трущобного парижского жаргона с литературным французским прибавились еще и следы сельского говора). Когда его едва не арестовали, он перебрался в Лион, где под носом у Клауса Барбье оттачивал свои геометрические таланты под руководством преданного своему делу учителя в местном лицее.

В то время Мандельброт задумал, по его собственному выражению, «кеплеровскую миссию». За триста лет до этого Иоганн Кеплер осмыслил нерегулярное на сторонний взгляд движение планет простым геометрическим решением: он предположил, что их орбиты не круглые, как считалось с древних времен, а имеют эллиптическую форму. Подростком Мандельброт «от всего сердца восхищался» достижениями Кеплера и мечтал и сам совершить нечто подобное – навести порядок в какой-нибудь нехоженой научной области одним смелым геометрическим ударом.

И в послевоенном Париже Мандельброт принялся за свои изыскания всерьез. Дядя Шолем уговорил его поступать в Высшую нормальную школу, Эколь Нормаль Сьюпериор, самое утонченное высшее учебное заведение во Франции, куда Мандельброт и был принят в возрасте двадцати лет (это удается лишь одному из двадцати абитуриентов-французов). Однако там математику преподавали настолько сурово и абстрактно, что это ему не подошло. В то время в Эколь Нормаль – которая, как тогда поговаривали, «на словах нормальная (normale), а претендует на превосходство (supérieure)», – преобладали взгляды полусекретной группировки под названием Бурбаки (в качестве шуточного псевдонима ученые взяли фамилию незадачливого французского генерала, жившего в XIX веке, который как-то раз хотел пустить себе пулю в лоб, но промахнулся). Главой этого кружка был Андре Вейль, один из величайших математиков XX века (и брат Симоны Вейль).

Целью Бурбаки было очистить математику, выстроить ее заново на идеальном логическом фундаменте, не затронутом интуицией физики или геометрии. Секту Бурбаки и особенно Вейля Мандельброт считал «прямо-таки отвратительными». Геометрию, без которой была немыслима кеплеровская мечта Мандельброта, они считали мертвой ветвью математики, годящейся разве что для детей. Поэтому на второй день обучения в Эколь Нормаль Мандельброт подал заявление об отчислении. Дядю Шолема такое решение глубоко возмутило, но это лишь укрепило решимость Бенуа. Шолем был «благоразумным конформистом и быстро примкнул к Бурбаки, поскольку было ясно, что этот кружок вскоре обретет огромный авторитет», а самого себя Мандельброт не без мании величия, как он и сам признает, считал «несогласным», которому предстояло преодолеть их косность. Чтобы продвинуться к своей цели, Мандельброт поступил в другую знаменитую французскую высшую школу – Эколь Политехник, где учился инженерный цвет нации. В то время она находилась в Латинском квартале, за великолепными воротами по адресу рю-Декарт, 5, и порядки в ней были, как в военной академии. Мандельброту выдали форму, в том числе «смутно напоминающую Наполеона» треуголку и столетней давности шпагу, которую он носил на церемониальных парадах в честь разных высокопоставленных лиц, в том числе Хо Ши Мина, который прибыл во Францию с визитом. Кроме того, он получил полагавшееся государственным служащим денежное довольствие на карманные расходы. «Это помогает ответить на вопрос, который мне часто задают американские родители и учителя: “Почему французские студенты в двадцать лет знают математику настолько лучше американских?” На это можно ответить: “Потому что их, в сущности, подкупают”».

Окончив Эколь Политекник с дипломом, соответствовавшим степени магистра, Мандельброт совершил очередной необъяснимый поступок (по крайней мере с точки зрения дяди Шолема). Он поехал в Калифорнийский технологический институт в Пасадену, чтобы изучать там гидроаэродинамику. Гидроаэродинамика занимается движением жидкостей и газов, например воды и воздуха, вокруг препятствий под воздействием различных сил. Эта область математики славится своей сложностью. А самая трудная задача гидроаэродинамики – это турбулентность: почему шквал ветра склонен разделяться на нерегулярные порывы, а в реках образуются водовороты. Нет ли какого-то геометрического принципа, который объяснил бы, как плавный поток вдруг сменяется непредсказуемой на первый взгляд турбулентностью? У этой задачи определенно был желанный кеплеровский оттенок. К несчастью, оказалось, что Теодор фон Карман, светило гидроаэродинамики, ради стажировки у которого Мандельброт и отправился в Пасадену, укатил в отпуск в Париж.

Вернувшись во Францию, Мандельброт, который из-за польского происхождения и квази-военной службы в Эколь Политекник столкнулся с такими же трудностями в самоопределении в обществе, как и в математике, «угодил в распахнутые объятия французской авиации». Его пребывание в школе молодого бойца на авиабазе в Нантере, которую он называл Camp de la Folie («Лагерь безрассудства»), было сплошной бюрократической комедией. «Я представился капитану. Он был всего пять футов росточком и терпеть не мог шестифутовых верзил, особенно когда они были ниже его по чину. Он потребовал мои документы. “В этом письме говорится лишь, что вы получили направление на базу. Такие бумаги имеет право подписывать только президент Франции”». Когда недоразумение было улажено, начальник авиабазы назначил Мандельброта связующим звеном между базой и научным сообществом. «Я исполнял обязанности спустя рукава, – пишет ученый, – и все были в восторге». Параллельно Мандельброт увлекся классической музыкой и ходил в Париже на концерты Джордже Энеску и «молодого худенького (!) флейтиста по имени Жан-Пьер Рампаль». Когда Мандельброт стал знаменитым, эта страсть позволила ему подружиться с великими дирижерами Шолти и Аббадо и композиторами Лигети и Чарльзом Вуориненом, на чьи сочинения повлияли мандельбротовские идеи фрактального самоподобия.

Уволившись из авиации и так и не получив докторскую степень, Мандельброт, которому было уже 26, стал «не первой молодости» аспирантом в Парижском университете, «находившемся тогда в одной из низших точек своей долгой и зачастую славной истории». Первые проблески кеплеровской мечты Мандельброт уловил, когда выбирал тему для диссертации. В один прекрасный день дядя Шолем, который к этому моменту уже списал племянника со счетов и полагал, что для математики он потерян, с презрением достал из мусорного ведра и вручил юному Бенуа репринт статьи о каком-то законе Ципфа. Этот закон был детищем эксцентричного гарвардского лингвиста Джорджа Кингсли Ципфа и описывал частоту появления разных слов в письменных текстах – статьях, книгах и так далее. Самое частотное слово в английском языке – the, за ним следует of, а дальше and. Ципф проранжировал подобным образом все слова в целом ряде письменных текстов и затем нанес частотность их употребления на график. Получилась кривая неправильной формы. Казалось бы, слова должны плавно распределяться от самых распространенных до самых редких, но на деле кривая сначала резко обрывается вниз, а потом выравнивается в длинный и постепенно снижающийся хвост, чем-то напоминая траекторию лыжника, съезжающего с крутой горы. Такая кривая говорит о крайнем неравенстве: почти всю работу делают несколько сотен самых частотных слов, а подавляющее большинство изнывает от безделья, канув в Лету (на самом деле Ципф еще недооценивал эту лингвистическую несправедливость: одним из главных своих источников он сделал «Улисса» Джойса, где полным-полно малоупотребительных слов). «Закон», который в итоге сформулировал Ципф, представляет собой простое, но точное численное соотношение между порядковым номером числа и его частотностью.

Доказано, что закон Ципфа справедлив для всех языков, и на первый взгляд он кажется занятным пустяком. Однако, как выяснилось, тот же принцип справедлив для самых разных явлений – это и размер островов, и население городов, и сколько времени книга держится в списке бестселлеров, и количество ссылок на веб-сайт, и распределение доходов и богатства в стране, как открыл в девяностые годы XIX века итальянский экономист Вильфредо Парето. Все это – примеры «степенно́го закона» распределения (речь идет о степени в математическом понимании). В природе и в обществе степенные законы действуют там, где имеет место крайнее неравенство или неоднородность: сначала высокий пик (соответствующий горстке крупных городов, самым используемым словам или очень богатым людям), а затем длинный хвост (множество мелких городков, редких слов или наемных рабов, трудящихся за гроши). В таких случаях идея «среднего» теряет смысл.

Мандельброт разобрался в законе Ципфа в метро по дороге домой от дядюшки. «Это был один из очень немногих отчетливых моментов озарения в моей жизни, – вспоминает он. – Я увидел, что у закона могут быть глубинные связи с теорией информации, следовательно, со статистической термодинамикой, и на всю жизнь увлекся степенными законами распределения». В результате Бенуа написал диссертацию о законе Ципфа. Ни дядя Шолем, ни диссертационный совет (главой которого был Луи де Бройль, один из основателей квантовой теории) не придали особого значения его стараниям подчеркнуть всю важность степенных законов, и после этого Мандельброт довольно долго был единственным математиком, серьезно относившимся к подобным законам и их длинным хвостам – и именно поэтому, когда полвека спустя важность этих законов была признана в полной мере, Мандельброт стал известен как «отец длинных хвостов».

Непопулярная тема диссертации с самого начала создала Мандельброту репутацию «ученого-солиста», поэтому он принялся искать других математиков с такими же новаторскими взглядами. Среди них был, в частности, Норберт Винер, основатель кибернетики (и автор ее названия) – науки о том, как разные системы, от телефонных коммутаторов до человеческого мозга, контролируются петлями обратной связи. Кроме того, единомышленником Мандельброта оказался Джон фон Нейман, создатель теории игр (и многого другого). С точки зрения Мандельброта, эти ученые были «сущие небожители». Он работал ассистентом у обоих ученых – сначала у Винера в Массачусетском технологическом, потом у фон Неймана в Институте передовых исследований в Принстоне, где с ним приключился поистине кошмарный случай. Он читал лекцию о глубинных связях между физикой и лингвистикой и видел, как именитые ученые в аудитории один за другим клюют носом и засыпают. Когда Мандельброт закончил, знаменитый историк математики Отто Нейгебауэр разбудил спящих воплем: «Протестую! Это худшая лекция в моей жизни!» Мандельброт от ужаса потерял дар речи, но, к счастью, в его защиту выступили два титана: сначала Роберт Оппенгеймер, который безупречно пересказал основное содержание лекции, превратив ее в один из своих легендарных «Оппи-спичей», а потом фон Нейман, который сделал то же самое, и получился один из не менее прославленных «Джонни-спичей». Их слушали как загипнотизированные, и все кончилось триумфом.

Вернувшись в Европу, Мандельброт, который недавно женился, провел два блаженных года с молодой супругой в Женеве. Там психолог Жан Пиаже, находившийся под сильным впечатлением от его работ по лингвистике, попытался привлечь его к сотрудничеству, чтобы обеспечивать математическую часть исследований. Мандельброт отклонил это предложение, невзирая на свое почтение к великому ученому (с некоторыми оговорками): «Пиаже мог ошибаться, мог выносить нестрогие суждения, но мошенником он не был». Фернан Бродель предлагал Мандельброту организовать в Париже, близ Люксембургских садов, исследовательский центр для изучения количественной истории, которую так любила школа «Анналов» с ее «новой исторической наукой». Однако принятый среди французских ученых математический пуризм по-прежнему угнетал Мандельброта. «Я не понимал, как совместить должность в каком-нибудь французском университете с моими неугасающими бешеными амбициями», – пишет он. А тут еще в 1958 году к власти вернулся Шарль де Голль, к которому Мандельброт питал особое отвращение, поэтому он принял предложение поработать летом в IBM в Йорктаун-Хайтс к северу от Нью-Йорка. И обрел там научный дом.

Поскольку IBM – крупная и довольно-таки бюрократизированная корпорация, казалось бы, она не могла стать подходящей площадкой для игр чудака-одиночки. Однако конец пятидесятых был в IBM началом золотого века научных исследований. «Мы легко можем позволить себе держать нескольких великих ученых, которые занимались бы тем, что им интересно», – сказал Мандельброту по прибытии руководитель исследовательской группы. А главное, в распоряжении Мандельброта оказались компьютеры IBM, на которых можно было строить геометрические изображения. В те времена программирование было делом трудоемким – в частности, нужно было возить перфокарты из корпуса в корпус в багажниках автомобилей-«универсалов». Когда учитель сына Мандельброта попросил помощи с компьютерным классом, Мандельброт согласился, но вскоре обнаружил, что школьники всего округа Вестчестер забираются в компьютеры IBM под его именем. «В этот момент сотрудникам компьютерного центра пришлось установить пароли, – рассказывает он. – Так что могу похвастаться, если это слово здесь подходит, что стоял у истоков полицейского вторжения в частную жизнь, символом которого стало это нововведение».

К следующему прорыву Мандельброта снова подтолкнул случай. Он приехал в Гарвард с лекцией о степенных законах и распределении богатства и увидел на доске в кабинете тамошнего профессора экономики диаграмму, по форме практически точно повторявшая схему, о которой Мандельброт собирался рассказывать, только отражала она не распределение благосостояния, а скачки цен на Нью-Йоркской хлопковой бирже. Как так получилось, что закономерности взлетов и падений на рынке хлопка оказались настолько похожи на возмутительно неравномерное распределение богатства в обществе? Это, несомненно, никак не соответствовало общепринятой модели финансовых рынков, которую предложил в 1900 году французский математик Луи Башелье (который скопировал ее из физики газа в равновесии). Согласно модели Башелье, колебания стоимости ценных бумаг или товаров на рынке должны быть плавными: флуктуации цен, упорядоченные по размеру, должны аккуратно укладываться в классическую гауссиану. Это основа так называемой гипотезы эффективного рынка.

Однако Мандельброт, вернувшись в IBM и при помощи ее компьютеров прошерстив накопившиеся за сто лет данные Нью-Йоркской хлопковой биржи, обнаружил куда более изменчивую закономерность, в которой преобладало небольшое количество очень резких колебаний. Видимо, здесь действовал степенной закон. Более того, финансовые рынки вели себя примерно одинаково на любых временных масштабах. Когда Мандельброт взял ценовой график за год, а потом уменьшил масштаб и посмотрел, что происходит с ним за месяц и за день, рисунок колебаний остался прежним. Иначе говоря, история колебаний цены оказалась самоподобной, как цветная капуста. «В самом сердце финансов лежит фрактал», – заключил Мандельброт.

Фрактальная модель финансовых рынков, которую разработал в дальнейшем Мандельброт, так и не пришлась по душе профессорам финансов, которые до сих пор по большей части придерживаются гипотезы эффективного рынка. Если анализ Мандельброта верен, полагаться на общепринятые модели попросту опасно. Так и оказалось в действительности, и не раз. Например, летом 1998 года хедж-фонд Long-Term Capital Management, который основали два экономиста, получившие Нобелевскую премию за работу в области теории портфельного выбора, а работали в нем двадцать пять обладателей докторской степени, разорился и едва не обрушил всемирную банковскую систему, когда непредвиденный финансовый кризис в России расстроил все его модели.

Мандельброт был недоволен, что его «вытеснили из экономического мейнстрима». И не без горечи вспоминает, как ему сначала предложили работу в бизнес-школе при Чикагском университете – бастионе ортодоксальной приверженности теории эффективного рынка – а затем декан бизнес-школы Джордж Шульц, впоследствии государственный секретарь в администрации Рейгана, аннулировал договор. Гарвард тоже сначала проявил к Мандельброту интерес, когда тот приезжал туда с лекциями, но когда речь зашла о постоянной должности, пошел на попятный. Впрочем, все эти неудачи не обескураживали Мандельброта. На прежнем месте, в IBM, его охватило «теплое чувство возвращения домой, к радостям старомодной коллегиальности в сообществе куда более открытом и “академическом”, чем Гарвард». В результате Мандельброт проработал в IBM до 1987 года, когда корпорация сочла необходимым прекратить поддержку свободных исследований. После этого Мандельброта пригласили преподавать в Йель, где в 1999 году в возрасте 75 лет он наконец получил постоянную академическую должность – «как раз вовремя».

Самое выдающееся открытие в своей карьере Мандельброт совершил в Гарварде в 1980 году. Благодаря своему другу Стивену Джею Гульду, тоже большому стороннику идеи разрывности, Мандельброта пригласили прочитать курс о том, как фрактальные идеи проливают новый свет на классическую математику. Это подтолкнуло его взяться за «голоморфную динамику» – абстрактный подход к теории хаоса. Голоморфная (комплексная) динамика была крайне популярна в парижских математических кругах в начале XX века, но вскоре привела к возникновению таких сложных геометрических форм, что не было и речи о том, чтобы их визуализировать, и тема оказалась заморожена.

Мандельброт нашел способ ее разморозить при помощи возможностей компьютера. В то время математики относились к компьютерам с презрением – они «содрогались при мысли, что машина замарает девственную “чистоту” их области». Однако Мандельброт пуристом никогда не был и завладел новеньким супермини-компьютером VAX, стоявшим в подвале научного центра Гарварда. Графические возможности компьютера позволили Мандельброту применять его в качестве своеобразного микроскопа, и он принялся исследовать геометрическую фигуру, порождаемую очень простой формулой (кстати, это была единственная формула, которую Мандельброт допустил на страницы своих мемуаров). Компьютер прорисовывал фигуру все более и более подробно, и Мандельброт сделал совершенно неожиданное открытие: целый чудесный мир – пятна, похожие на жуков, в окружении распускающихся бутонов, побегов, завитушек, стилизованных морских коньков и дракончиков, и все это оплетено изысканным кружевом. Поначалу Мандельброт заподозрил, что подобное геометрическое буйство – результат сбоя в работе оборудования. Но чем больше компьютер уменьшал масштаб картинки, тем точнее (и фантастичнее) становился узор; более того, складывалось впечатление, что он содержит бесконечное количество собственных копий, окаймленных своими затейливыми рококошными украшениями. Эта фигура получила название «множество Мандельброта».

Мандельброт по праву называет множество, названное в его честь, «бесконечно прекрасным». Его тонкая геометрия, еще отнюдь не расшифрованная до конца, содержит в себе бесконечный бестиарий зашифрованных хаотических процессов. Как этот бесконечно сложный объект – как говорят, самый сложный во всей математике – возник из такой простой формулы? С точки зрения английского физика и математика сэра Роджера Пенроуза, это нежданное богатство – яркий пример вечной платоновской реальности математики. «Множество Мандельброта – не порождение человеческого разума, а открытие, – писал Пенроуз. – Множество Мандельброта никто не создавал – оно существует, как гора Эверест!»

«Фракталист» – непоследовательная автобиография, в этой книге прослеживается своя фрактальная прерывистость. Несомненно, если бы автор прожил дольше, текст вышел бы глаже: его любовь пересматривать и переписывать неудачные черновики, как пишет Мандельброт, сопоставима с дотошностью Бальзака. Иногда на этих страницах встречаются и неприятно-высокомерные ноты («Пусть с моей стороны это и будет дерзостью, я заявляю…»), и прозрачные намеки на оскорбленное достоинство («Мне не нужна власть, я ни у кого не прошу одолжений… Академический мир не счел меня достойным».) Автор не особенно старается объяснить суть своих математических инноваций непосвященному читателю, в частности, не рассказывает, как понятие размерности служит критерием прерывистости фрактала (например, побережье Британии так извилисто, что его фрактальная размерность равна 1,25, то есть оно находится где-то между одномерной плавной кривой и двумерной гладкой поверхностью).

Впрочем, Мандельброта можно простить за то, что он не стал останавливаться на подобных технических подробностях. Его тон мемуариста тяготеет скорее к философии. Мир, в котором мы живем, отмечает он, – это «безбрежный океан сложности». Однако есть в нем и два «островка простоты». Во-первых, это евклидова простота гладких форм, открытая античными мыслителями. Во-вторых, это фрактальная простота самоподобной шероховатости, по большей части открытая самим Мандельбротом. Его геометрическая интуиция позволила ему выявить новую платоновскую сущность, свойственную неожиданно широкому диапазону вещей и явлений – от простой цветной капусты до утонченного множества Мандельброта. Восторг, с каким он относится к шероховатости, изломанности и сложности в формах, которые другие математики считали «чудовищными» и «патологическими», носит отчетливый отпечаток современности. И в самом деле, фракталы Мандельброта с их изысканными узорами, повторяющимися на все более и более мелких масштабах, заставляют вспомнить определение красоты, которое дал Бодлер: C’est l’infini dans le fini – «Бесконечное в конечном».