Часть четвертая. Большие размерности, абстрактные карты

Глава девятая. Геометрические создания

У нашего мира есть одна особенность, над которой останавливаются поразмыслить лишь немногие: это вопрос о том, сколько в нем измерений. Хотя довольно сложно сказать, что, собственно, это такое – измерение, – все же нам вполне очевидно, что окружающие нас предметы и пространство, в котором мы движемся, структурированы тремя измерениями, и их удобно называть высотой, шириной и глубиной. Это воспринимали как данность даже философы. Аристотель в самом начале трактата «О небе» пишет: «Три [измерения] суть все [измерения]». Почему? Потому что, утверждает он не без мистического флера, в числе 3 содержится начало, середина и конец, а следовательно, оно полно и совершенно. Менее мистическое доказательство трехмерности природы предложил александрийский астроном Птолемей. Если поставить три палки взаимно перпендикулярно и так, чтобы они сходились в одной точке, заметил Птолемей, четвертую добавить невозможно, поэтому большие размерности «не подлежат никакой мере и никакому определению». Впоследствии логику Птолемея подтвердили Галилей и Лейбниц, которые объявили, что три измерения пространства – это вопрос геометрической необходимости.

О «четвертом измерении» первыми заговорили кембриджские платоники, но они, похоже, имели в виду нечто скорее духовное, нежели пространственное. Один из них, Генри Мор, в 1671 году предположил, что четвертое измерение – это обиталище платоновских идей, а также, весьма вероятно, призраков. Примерно в то же время Декарт сделал на первый взгляд безобидный шаг – добавил дополнительную переменную к своей геометрии координат, что позволило ему дать определение четырехмерным sursolides. Робкие современники сочли это недопустимым, и в 1685 году математик Джон Уоллис списал это изобретение Декарта со счетов, назвав его «чудовищем по природе своей, менее правдоподобным, чем химера или кентавр!»

Кант, по крайней мере в ранних сочинениях, заигрывал с идеей, что трехмерное пространство может оказаться случайностью: возможно, предполагал философ, Господь создал и другие миры с другим числом измерений. Однако ко времени написания «Критики чистого разума» Кант решил, что пространство – не объективное свойство реальности, а навязано сознанием, чтобы привнести порядок в бытие. Более того, считал Кант, пространство в принципе может быть только евклидовым и трехмерным – это мы называем «аподиктической уверенностью». В 1817 году Гегель без особых доказательств предположил, что необходимость трех измерений основывается на самой природе идеи пространства.

Тем временем в мире математики уже приближалась революция. В первые десятилетия XIX века Гаусс, Лобачевский и Бойяи независимо исследовали «криволинейные геометрии», где кратчайшее расстояние между двумя точками уже не было прямой линией. В сороковые годы XIX века Артур Кэли и Герман Грассман, также независимо, расширили евклидовские рамки на пространства с числом измерений больше трех. Все эти новшества свел в единую величественную систему Бернхард Риман (1826–1866). В лекции перед сотрудниками Гёттингенского университета 10 июня 1854 года под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», Риман опроверг евклидову ортодоксию, которая доминировала и в математике, и, разумеется, в западной мысли целых 2000 лет. По Евклиду, у точки ноль измерений, у линии – одно, у плоскости – два, у тела – три. Четырех измерений ни у чего быть не может. Более того, евклидово пространство «плоское»: параллельные линии в нем не пересекаются. Риман вышел за пределы обоих предпосылок и переписал уравнения геометрии так, чтобы они описывали пространства любой кривизны и любых размерностей. При этом он определил набор чисел, так называемый тензор, который характеризует кривизну пространства высоких размерностей в каждой точке.

Неевклидова n-мерная геометрия Римана была сугубо интеллектуальным изобретением, ее не вдохновляли никакие потребности тогдашней науки. 60 лет спустя его тензорное исчисление обеспечило идеальный аппарат для трудов Эйнштейна по общей теории относительности. Однако непосредственным результатом римановской революции стало разрушение устоявшихся представлений о геометрии как о науке, описывающей физическое пространство. Стало очевидно, что в трех измерениях нет никакой метафизической необходимости. Возможно бесконечное разнообразие миров других размерностей, их можно описать логически непротиворечивой теорией, а следовательно, с математической точки зрения они реальны. Это привело к интересной линии умозаключений. Способно ли человеческое воображение зримо представить себе такие миры? Каково было бы жить в них? Случайно ли, что из всех возможных пространственных структур мы обитаем именно в трехмерном мире? Или – еще более смелое суждение – может статься, мы и в самом деле обитаем в мире высшей размерности, однако, подобно узникам в платоновской пещере, не в силах это осознать по невежеству.

«Человек, посвятивший этому всю жизнь, вероятно, сможет в конце концов представить себе четвертое измерение», – писал Анри Пуанкаре в конце XIX века. По его словам, выходит, что задача эта пугающе сложна, но, вероятно, дело в том, что у него были очень высокие стандарты, поскольку он, как математик, обладал непревзойденным пространственным воображением. Остальные считали, что некоторые представления о четвертом измерении можно получить и за более скромное время. В 1869 году Джеймс Дж. Сильвестр в своем обращении к Британской ассоциации под названием «Оправдание математика» (Sylvester, J. J., Plea for the Mathematician) утверждал, что настала пора геометрии высших измерений заявить о себе. Сильвестр считал, что представить себе четыре измерения не так уж сложно, надо лишь потренироваться. Некоторые шарлатаны от математики заходили еще дальше. В 1877 году четвертое измерение стяжало себе печальную известность, когда американский спирит Генри Слейд предстал перед лондонским судом по обвинению в мошенничестве. Он проводил сеансы с членами высшего лондонского общества и утверждал, что призывает духов из четвертого измерения. В защиту Слейда выступили выдающиеся физики, в том числе два будущих нобелевских лауреата: Слейд умудрился одурачить даже их своим талантом к салонным фокусам, в которых якобы было задействовано это невидимое расширение пространства (например, он чудесным образом извлекал предметы из наглухо запечатанных трехмерных емкостей). Слейд был признан виновным, однако таинственное четвертое измерение завладело воображением публики. В этой атмосфере викторианский школьный учитель Эдвин Э. Эбботт написал первое научно-фантастическое произведение на эту тему – маленький шедевр под названием «Флатландия. Многомерный роман», которому сопутствовала самая долгая слава в этом жанре.

«Флатландия» впервые вышла в свет в 1884 году и с тех пор выдержала бессчетное множество изданий; предисловия к ней в числе прочих писали Рэй Брэдбери и Айзек Азимов. По-моему, лучшее издание – это издание 2002 года с примечаниями Иэна Стюарта «Аннотированная Флатландия» (The Annotated Flatland). Зачем понадобились примечания? Дело в том, что, как следует из подзаголовка, у самой Флатландии несколько измерений: это научная фантастика, заставляющая читателя воображать невиданные пространства, сатира на викторианские нравы, особенно касающиеся женщин и общественного положения, и аллегория духовного пути.

Эдвин Эбботт был типичный неутомимый викторианец, удостоенный в «Словаре национальных биографий» (Dictionary of National Biography) двух страниц по два столбца. Он долгое время был директором Школы лондонского Сити, где в число его преданных учеников входил будущий премьер-министр Г. Г. Асквит. Был Эбботт и реформатором «Широкой церкви» и прославился проповедями в Оксфорде и Кембридже. Страстный поклонник Шекспира, он составил «Шекспировскую грамматику» (A Shakespearian Grammar, 1870), ставшую эталонным справочником, а также написал с полсотни других книг, многие на неподъемно сложные теологические темы. Что подвигло его на создание расширяющей сознание математической сатиры вроде «Флатландии», единственного его сочинения, которое переиздают до сих пор, до конца неясно. Вероятно, Эбботт как прогрессивный педагог хотел влить свежую кровь в английскую школьную программу по математике с ее унылым упором на зазубривание длинных доказательств из Евклида. А как церковнику передовых взглядов, ему, несомненно, импонировала задача примирения духовного и научного мировоззрений.

Дорогой в высшие измерения стал для Эбботта метод аналогии. Мы не можем сразу представить себе пространство, в котором на одно измерение больше, чем в нашем трехмерном мире. Зато мы можем представить себе пространство, в котором на одно измерение меньше: плоскость. Представим себе общество двумерных существ, заключенных в плоскостном мире. Какими мы их увидим? И еще более интересный вопрос: какими увидели бы они нас, трехмерных существ, если предположить, что мы можем как-то пройти сквозь их мир или перенести их в наше пространство высшего измерения?

Флатландия Эбботта – это бесконечная плоскость, в которой обитает строго иерархическое общество геометрических существ. Положение в обществе определяется числом сторон существа: женщины, стоящие на нижней ступени иерархии, – это просто отрезки, а мужчины бывают разные, от рабочих-треугольников и буржуа-квадратов до аристократов с пятью и больше сторонами, а у священнослужителей сторон так много, что они, в сущности, круглые. По социальной лестнице можно продвинуться – в карикатуре на викторианские представления о прогрессивной эволюции благонравные представители низших классов Флатландии иногда рождают детей, у которых сторон больше, чем у них. Неправильность формы приравнивается к аморальности и преступным наклонностям, и «в ряде государств» практикуется евгеническое истребление новорожденных: «младенец, у которого угол при вершине отклоняется от угла правильной фигуры на полградуса, подлежит немедленному уничтожению».

Повествование ведется от лица юриста-консерватора по имени А. Квадрат – кстати, это имя очень ему подходит. Он цветисто объясняет читателю (жителю Трехмерия вроде нас) архитектуру своего мира, его историю, политику, нравы и обычаи. Во Флатландии очень много абсурдного, которое Квадрат принимает как должное, иногда напрасно. Например, женщины Флатландии «полностью лишены способности рассуждать» и из-за своей линейной формы, подобной игле, крайне опасны: разгневавшись (или просто чихнув), «особа слабого пола» способна пронзить и мгновенно убить мужчину-многоугольник.

Кроме того, жизнь в двумерном мире сопряжена со множеством практических трудностей. Как флатландцы узнают друг друга в лицо? Представьте себе, что вы смотрите на лежащий на столе пенни. Сверху очевидно, что монета круглая. Но если посмотреть на нее с уровня столешницы, край монеты выглядит как отрезок прямой линии. Во Флатландии все выглядит как отрезки прямых, углов флатландцы не «видят». Чтобы преодолеть проблему узнавания, женщины и деловые люди при встрече ощупывают друг друга («Позвольте мне просить вас ощупать моего друга мистера Такого-то и быть ощупанным им»). Представители высших классов считают это вульгарным сверх всякой меры, и «ощупывание Окружности было бы расценено как наглое оскорбление». Сливки общества полагаются на выработанное долгими тренировками пространственное восприятие и геометрию, позволяющие измерить углы собеседника и, следовательно, уяснить для себя его общественное положение.

В какой-то момент в истории Флатландии реформаторы попытались преодолеть рознь между ощупывающими и неощупывающими классами и ввели для этого «Закон о всеобщей окраске». Отныне и впредь флатландцы получили право раскрашивать свои линейные профили в любые цвета, что обеспечило равенство в узнавании и одновременно сделало их мир не таким эстетически скучным. Общество встретило эту реформу с колоссальным энтузиазмом, однако это движение было жестоко подавлено, и силы реакции изгнали из Флатландии цвет.

Общественная сатира во «Флатландии» в целом схематична и несколько натужна. Не вполне удается Эбботту и выстроить последовательную схему двумерной жизни. Взять хотя бы вопрос о звуке и слухе во Флатландии. В пространстве с нечетным числом измерений, наподобие нашего трехмерного мира, звуковые волны распространяются в виде единого четкого волнового фронта. Если на каком-то расстоянии от вас выстрелят из пистолета, сначала слышна тишина, потом грохот, потом опять тишина. Но в пространствах с четным числом измерений, например на двумерной плоскости, шумоподобное возмущение вызывает систему волн, которая реверберирует вечно.

Кроме того, Эбботт упустил из виду, как работает мозг флатландца. Представьте себе, какой это кошмар – нарисовать схему нейронных связей на двумерной бумаге, где негде разместить отдельные «проводки» так, чтобы они не пересекались. Иэн Стюарт в комментариях к «Флатландии» хитроумно решает эту задачу за автора, выдвигая теорию «клеточных автоматов» – двумерных скоплений клеток, которые общаются с соседями по простым законам и способны выполнять те же задания, что и компьютер. Если у флатландцев вместо мозгов клеточные автоматы, они способны вести себя разумно (хотя, по утверждению философов вроде Джона Сёрла, вероятно, лишены сознания). Что касается более интимных подробностей существования флатландцев, например их сексуальной жизни, автор, как и подобает викторианцу, сохраняет благонравное молчание.

Однако в первую очередь Эбботта интересуют не подробности функционирования двумерного мира. Его главная тема – высшие размерности, и им посвящена вторая (и более интересная) половина книги. Если первая часть «Флатландии» – критика викторианского общества, то ее вторая часть – критика тех, кто отказывается признавать возможность существования незримых миров.

Однажды вечером, когда Квадрат с женой находятся дома, их посещает призрачный «незнакомец», сферическое существо из Трехмерия. Как трехмерная сфера сумела попасть в двумерный мир Флатландии? Читателю предлагается представить себе Флатландию в виде поверхности пруда. Если сфера поднимается из глубины и проходит сквозь эту поверхность, двумерные существа, обитающие на поверхности, видят ее. Сначала они не видят ничего, а затем, когда сфера притрагивается к поверхности, видят одну точку. Если сфера продолжает подниматься, обитатели поверхности видят, как точка расширяется в окружность, и радиус ее растет, пока не достигает максимума в момент, когда сквозь поверхность проходит ровно половина сферы. Затем флатландцы видят, как окружность сокращается в размерах, сжимается обратно в точку, а затем исчезает окончательно, когда сфера полностью поднимается над поверхностью.

Это явление пугает Квадрата. Как Незнакомец, принадлежащий, должно быть, к касте священнослужителей, судя по его округлой форме, появляется из ниоткуда, увеличивается и уменьшается по собственному желанию, а затем исчезает, как по волшебству? Незнакомец объясняет, что «в действительности я не Окружность, а бесчисленное множество Окружностей различных размеров». Квадрат, чье воображение не способно вместить идею трехмерного тела, не верит его словам. Тогда Незнакомец пытается доказать свое утверждение несколькими трюками, в частности, поднимается над Флатландией, невидимым зависает над Квадратом и дотрагивается до его центра. Наконец Незнакомец поднимает возмущенного Квадрата над Флатландией и переносит его в мир трехмерного пространства. Затем, паря невесомо, будто листок бумаги на ветру, Квадрат смотрит сверху на свой двумерный мир и видит и форму, и внутренности всех существ и строений. (Вернемся к примеру с пенни на столе: представьте себе, что вы смотрите на его край с уровня столешницы, а затем приподнимаетесь и смотрите на него сверху: вам внезапно открывается и круглая форма монеты, и голова Линкольна «внутри» нее).

Но еще сильнее ошарашивает Квадрата зрелище Незнакомца, который теперь предстает перед ним во всей своей трехмерной полноте: «То, что, по-видимому, было центром тела Незнакомца, лежало открытым перед моим взором. Я не видел ни сердца, ни легких, ни артерий – лишь гармоничное Нечто. В моем родном языке для него нет слов, но вы, мои дорогие читатели из Трехмерия, называете это Нечто поверхностью Сферы».

А теперь, если угодно, рассмотрим аналогию всего этого в пространстве высшей размерности. Если четырехмерный Незнакомец-гиперсфера решил бы пройти сквозь наше Трехмерие, как бы это выглядело? Сначала мы ничего не увидели бы, затем появился бы крошечный шарик-точка, потом он раздулся бы в сферу, а затем сжался в точку и исчез. Сферы различных размеров, которые предстали бы перед нами, были бы трехмерными сечениями гиперсферы, точно так же как окружности, которые видел Квадрат, были двумерными сечениями сферы. Все просто. Труднее заставить свое воображение считать эти трехмерные явления постепенным развертыванием четырехмерного объекта. Что бы мы увидели, если бы нас, подобно Квадрату, и в самом деле выдернули из нашего мира в «более пространственное пространство» с дополнительным измерением? Несомненно, мы были бы при виде гиперсферы огорошены не меньше, чем Квадрат при виде сферы. Кроме того, мы, к своему изумлению, обнаружили бы, взирая на наш трехмерный мир, что все предметы стали для нас прозрачными и мы видим их со всех сторон одновременно. Мы могли бы проникнуть в тело человека и удалить ему аппендикс, не разрезая кожу (большое благо для хирургов). Мы могли бы взять левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и вернуть в трехмерный мир в виде правого ботинка.

Обвыкнувшись в Трехмерии, Квадрат быстро улавливает аналогию для размерностей более высокого порядка. Если знакомый ему двумерный мир – это бесконечно тонкий срез трехмерного пространства, заключает он, то трехмерный мир, вероятно, просто тонкий срез четырехмерного пространства, пространства, где содержатся гиперсферы, которые настолько же превосходят сферического Незнакомца, насколько он превосходит круглых священников Флатландии. И зачем же останавливаться? «Дойдя до Четырех Измерений, запнемся ли мы на пороге Пятого Измерения, переступим ли через него? – риторически спрашивает Квадрат у Незнакомца. – О нет! Пусть лучше наши честолюбивые замыслы становятся все шире, по мере того как наше тело воспаряет все выше и выше. Тогда, уступая неудержимому порыву нашего разума, перед нами распахнутся двери Шестого Измерения, затем Седьмого, Восьмого и…»

Однако экстатические упования Квадрата Незнакомец воспринимает холодно. Как ни парадоксально, хотя Незнакомец явился во Флатландию нести благую весть о трех измерениях, сам он неспособен проделать воображаемый переход в четвертое измерение. «Аналогия! – фыркает он. – Чепуха! Какая еще аналогия?» И в припадке возмущения низвергает Квадрата обратно во Флатландию, где власти мгновенно заключают повествователя под стражу за подрывные разглагольствования о высшей реальности.

Духовный аспект «Флатландии» очевиден. Автор дразнит читателя мыслью, что вокруг нас существует незримый мир, причем находится он в принципиально новом направлении – «не к северу, а вверх», отчаянно пытается объяснить Квадрат, – и в этом мире обитают чудесные сущности, которые способны парить над нами, не занимая наше пространство. Вскоре английские церковники стали говорить о четвертом измерении как об обиталище Бога и Его ангелов. С момента публикации «Флатландии» не прошло и года, когда в Англии появилась брошюра под названием «Что такое четвертое измерение?» с подзаголовком «Раскрыта тайна привидений». (Hinton, Ch., What Is the Fourth Dimension? Ghosts Explained). Ее автор Чарльз Хинтон был неутомимым пропагандистом четвертого измерения и самозваным донжуаном: «Христос был Спасителем для всех людей, а я Спаситель женщин и ни капли Ему не завидую!» – поговаривал он. Сочетавшись браком с Мэри Буль, старшей дочерью Джорджа Буля, изобретателя булевой алгебры, Хинтон решил жениться и на одной из своих любовниц. После обвинения в двоеженстве он покинул Англию и оказался в США, где стал преподавать математику в Принстоне (Стюарт пишет в комментариях: «Здесь он изобрел машину для подачи бейсбольных мячей, которая выстреливала мячами. Работала она на порохе и некоторое время применялась на тренировках, но потом оказалось, что это все-таки опасно, и после нескольких несчастных случаев от нее решили отказаться».)

В 1907 году Хинтон написал что-то вроде продолжения книги Эбботта и назвал его «Случай во Флатландии» (Hinton, Ch., An Episode of Flatland). Такого успеха, как оригинальная «Флатландия», книга не имела, но кое в чем Хинтон все же сумел превзойти Эбботта: он лучше придумал, как помочь читателю наглядно представить себе четырехмерные тела. Эбботт, как мы видели, задействовал метод поперечных сечений: чтобы представить себе четырехмерный объект, надо смотреть, как его трехмерное сечение проходит через трехмерное пространство. Хинтон присовокупил к этому «метод теней»: понять, что такое четырехмерный объект, проще, если представлять себе, какие трехмерные тени, или проекции, он отбрасывает под разными углами. Например, одна из проекций гиперкуба выглядит как маленький трехмерный куб внутри куба побольше – этот предмет Хинтон назвал «тессеракт». Наконец, есть еще и метод раскладок. Подобно тому как трехмерную картонную коробку можно разложить в плоский крест, состоящий из шести квадратов, четырехмерный гиперкуб тоже можно разложить в трехмерный «крест» из восьми кубов. Развертку четырехмерного куба изобразил Сальвадор Дали на своей картине «Распятие, или Гиперкубическое тело», которая находится в коллекции нью-йоркского музея «Метрополитен».

Благодаря стараниям Эбботта и Хинтона и научно-популярным сочинениям француза Анри Пуанкаре «четвертое измерение» превратилось к началу XX века в понятное всем устойчивое выражение. Оно часто встречается в трудах Альфреда Жарри, Марселя Пруста, Оскара Уайльда и Гертруды Стайн. (В 1901 году Джозеф Конрад и Форд Мэдокс Форд совместно написали роман «Наследники» (Conrad, J., and Ford, F. M., The Inheritors) о расе существ из четвертого измерения, которые захватили наш мир). Идея четвертого измерения соблазняла художников-авангардистов, которые прибегали к ней для обоснования искажений трехмерной ренессансной перспективы. Особенно увлекались ей кубисты: ведь из четвертого измерения трехмерный предмет или человек виден сразу со всех сторон (вспомним, как Квадрат, поднявшись над Флатландией, в первый раз увидел все края предметов в своем двумерном мире). Аполлинер в книге «Художники-кубисты» (Apollinaire, G., Les peintres cubistes, 1913) назвал четвертое измерение «пространством как таковым», которое «наделяет предметы пластичностью».

Идею невидимых высших измерений с энтузиазмом приняли и теософы, которые считали ее оружием против козней научного позитивизма и культивировали у себя «астральное зрение», чтобы лучше чувствовать иные миры. Мистик П. Д. Успенский познакомил общество царской России с этой мыслью как с разгадкой всех «мировых тайн». А В. И. Ленина спиритуалистские следствия из идеи четвертого измерения тревожили, и он раскритиковал ее в своем «Материализме и эмпириокритицизме» (1909). Ленин писал, что математики могут сколько угодно исследовать возможность существования четвертого измерения, однако царя можно свергнуть лишь в трехмерном мире.

Любопытно, что едва ли не единственной сферой культуры, которую мода на высшие измерения почти не затронула, стала наука. Мало того, что сама эта мысль считалась не слишком респектабельной из-за связи с мистиками и шарлатанами: у нее еще и недоставало следствий, которые можно было бы проверить экспериментально. А затем во время Первой мировой войны Эйнштейн окончательно сформулировал общую теорию относительности. Теория Эйнштейна объединила три пространственных измерения и одно временное в четырехмерное многообразие «пространство-время», а затем определила гравитацию как кривизну в этом многообразии и тем самым создала впечатление, что загадочное четвертое измерение – это просто время (впечатление это ошибочное, поскольку, согласно теории относительности, нет никакого предпочтительного способа разделить четырехмерное пространство-время на чисто пространственные и временное измерения). Когда в 1919 году общая теория относительности получила триумфальное подтверждение и об этом писали газеты, мысль, что четвертое измерение – это время, проникла в культуру в целом, и интерес к пространствам высших размерностей начал угасать, как мы вскоре убедимся, преждевременно.

Разумеется, математикам все равно, сколько измерений у физического пространства, в котором мы живем. Неевклидова революция середины XIX века подарила им свободу исследовать пространственные структуры не только нашего мира, но и всех мыслимых. Этим они и продолжили заниматься, даже когда мода на четвертое измерение прошла, и изобрели пространства еще диковиннее – например, гильбертово пространство с бесконечным числом измерений, фрактальные пространства, у которых измерений может быть, к примеру, два с половиной, «резиновые» топологические пространства и так далее и тому подобное. Со времен Флатландии геометрия продвинулась очень далеко.

Пространство, где мы живем, по сравнению с вычурными пространствами высшей математики выглядит, пожалуй, довольно скучно. Лет сорок назад, однако, физикам пришлось рассмотреть возможность, что наш пространственный мир таит много нового и интересного с точки зрения размерностей. Чтобы понять, почему, вспомним, что в современной физике принято два набора законов – законы общей теории относительности, которые описывают, как ведут себя сверхмассивные тела на крайне больших масштабах (звезды и выше), и квантовые законы, которые описывают, как ведут себя тела на крайне маленьких масштабах (атомы и меньше). Казалось бы, отличное разделение труда. Но что будет, если нам захочется описать что-то одновременно очень массивное и очень маленькое, например, Вселенную через долю секунды после Большого взрыва? Общую теорию относительности и квантовую теорию нужно как-то привести в соответствие, создать из них «теорию всего». Однако сделать это для мира, в котором только три пространственных измерения, похоже, невозможно. Единственный известный способ примирить теорию относительности с квантовой теорией – предположить, что основные объекты, составляющие нашу Вселенную, не одномерные частицы, а двумерные струны и «браны» (от слова «мембрана») еще более высоких размерностей. Более того, если мы хотим, чтобы «теория великого объединения», которую называют еще теорией струн, а иногда М-теорией, была математически непротиворечивой, эти струны и браны должны вибрировать в пространстве, в котором не меньше девяти измерений.

Таким образом, теория струн требует, чтобы во Вселенной помимо трех знакомых нам измерений было еще шесть. Почему мы их не видим? На сей счет есть две гипотезы. Одна, давняя любимица сторонников теории струн, состоит в том, что шесть дополнительных измерений «компактифицированы», то есть свернуты в кольца исчезающе малого радиуса (представьте себе садовый шланг: издалека он выглядит как одномерная линия, но если взглянуть поближе, у него есть еще и крошечное круглое измерение). Однако в последнее время физики задумались и о том, что дополнительные измерения могут быть и макроскопического масштаба или даже бесконечного размера. А мы их не замечаем, поскольку все частицы, составляющие знакомый нам мир, застряли в трехмерной мембране, плывущей в мире высшей размерности. Если окажется, что это так, мы попадем примерно в то же положение, что и флатландцы. Но Квадрату, чтобы узнать о существовании высших измерений, потребовался визит Незнакомца, а мы пришли к этой гипотезе посредством теоретических рассуждений и, вероятно, даже сумеем подтвердить ее экспериментально. (Для этого, например, можно столкнуть субатомные частицы и посмотреть, не исчезнут ли в дополнительном измерении какие-то из новых частиц, возникших в результате столкновения.)

Из теории струн следует, что нас окружают невидимые измерения, и если окажется, что это правда – очень большое «если», кстати – это станет очередной коперниковской революцией, поскольку перевернет представления о нашем месте в порядке вещей. Как выразился физик Нима Аркани-Хамед, «Земля – не центр Солнечной системы, Солнце – не центр нашей Галактики, наша Галактика – всего лишь одна из миллиардов себе подобных во Вселенной, не имеющей центра, а теперь еще и вся наша трехмерная Вселенная может оказаться тонкой мембраной в полномасштабном многомерном пространстве. Если рассмотреть сечения через дополнительные измерения, то окажется, что наша Вселенная занимает одну бесконечно малую точку в каждом сечении, а вокруг пустота».

Остается один важный вопрос, который Эдвин Эбботт во «Флатландии» не затронул. Этот вопрос неявно задал Аристотель (впрочем, и он оставил его без удовлетворительного ответа): почему наш привычный мир имеет три измерения? С середины XIX века известно, что это не вопрос геометрической необходимости. Способна ли наука дать на него ответ? Или это просто космическая случайность?

Сторонники теории струн выдвинули несколько необычайно элегантных и изящных гипотез, объясняющих, как из девяти пространственных измерений, которые предполагает эта теория, после Большого взрыва раздулись до огромных размером ровно три, а остальные шесть оказались задавлены и остались крошечными. Но есть и другое объяснение, вероятно, более понятное: в мире, где количество пространственных измерений отличается от трех, не могут существовать существа вроде нас. В пространстве с размерностью выше трех невозможны стабильные орбиты планет (это доказал 100 лет назад Пауль Эренфест). Не будет в нем и стабильных орбит для электронов внутри атомов. Поэтому в мире, где больше трех измерений, не будет никакой химии, а следовательно, никаких живых существ, чье существование основано на химических процессах.

А что можно сказать о мире, где пространственных измерений меньше трех? Как уже отмечалось, в двумерной Флатландии, как и в других пространствах с четным числом измерений, не могут без помех распространяться звуковые волны. Однако трудности не ограничиваются звуком – в пространстве с четным числом измерений невозможно передавать четкие сигналы любого вида. А значит, в этом мире нельзя и перерабатывать информацию, без чего немыслима разумная жизнь. Так что методом исключения (пусть читатель в качестве упражнения подумает, почему разумная жизнь не могла бы существовать в одномерной Лайнландии) мы приходим к выводу, что единственный мир, подходящий для существования созданий вроде нас – перерабатывающих информацию и основанных на химических процессах – это мир, в котором пространственных измерений ровно три.

Поэтому неудивительно, что мы очутились в трехмерном мире. (Физики называют это «антропный принцип»). И нечего роптать. В фундаментальном смысле трехмерное пространство – самое богатое из всех возможных. Чем оно лучше одномерного и двумерного, очевидно: в Лайнландии и Флатландии нет места для интересной сложности. (Вспомните, как визуально бедна жизнь во Флатландии, где все предметы выглядят как отрезки.) Что до пространств с четырьмя и больше измерениями, там все слишком «легко»: так много степеней свободы, так много вариантов поворотов и движений, что любые сложности сразу реконструируются и исчезают. Нужный градус творческого напряжения достигается лишь в трехмерном пространстве – вот, наверное, почему математики считают его самым интересным и трудным для изучения.

Возьмем хотя бы гипотезу Пуанкаре, одну из величайших и самых неподатливых задач современной математики. В целом она гласит, что любое n-мерное тело, обладающее определенным алгебраическим свойством, можно при помощи разных манипуляций превратить в n-мерную сферу. Пуанкаре сформулировал эту гипотезу в 1904 году. К 1961 году удалось доказать, что она справедлива в любых пространствах пяти измерений и выше. В 1982 году гипотеза была доказана для четырехмерного пространства. Но лишь в нашем веке Григорию Перельману удалось разобраться с самым, как выяснилось, сложным случаем гипотезы Пуанкаре – случаем трехмерного пространства.

Приучив себя к мысли о «более пространственном пространстве», чем наш трехмерный мир, мы, несомненно, расширили границы своего воображения, и это способствовало научному прогрессу. И теперь мы, несомненно, можем понять, почему Квадрату, не говоря уже о всевозможных теософах, платониках и кубистах, так хотелось вознестись в чертоги четвертого измерения и дальше. Но нам не обязательно следовать за ними. Что касается интеллектуальных богатств и эстетического разнообразия, нам вполне достаточно трехмерного мира.