Глава седьмая. Аватары высшей математики

«Научные занятия чистой математикой… вероятно, требуют самого оригинального склада человеческого духа». Так заявил философ (и математик в прошлом) Альфред Норт Уайтхед. Но тогда странно, что те, кто занимается этой «наукой», все же ощущают потребность оправдать свое призвание, не говоря уже о средствах, которые выделяет им остальное общество на подобные занятия. Отметим, что Уайтхед упоминает именно чистую математику. Он не говорит о ее прикладной разновидности, которая культивируется за то, что приносит пользу эмпирическим наукам или применима в коммерческих целях (ее еще иногда пренебрежительно зовут «промышленной математикой»). Чистая математика не ведает подобных забот. Самые сложные ее проблемы коренятся в ее собственных внутренних тайнах.

Разумеется, время от времени исследования по чистой математике все же находят сугубо практическое применение. Золотая гусыня теории сносит золотое яйцо. Именно к такому свойству математики – порождать неожиданно полезные побочные продукты – и привлек внимание в 1959 году Эйбрахам Флекснер, основатель Института передовых исследований в Принстоне, в своей статье в журнале Harper’s Magazine под названием «Полезность бесполезных знаний» (Flexner, A., The Usefulness of Useless Knowledge). Однако «аргумент золотой гусыни» (по выражению гарвардского историка Стивена Шейпина) не слишком по душе чистым математикам. В частности, британский математик Г. Г. Харди прямо-таки с презрением относился к мысли, что у «настоящей» математики должно быть практическое значение. В своей книге «Апология математика», вышедшей в 1940 году, которую Дэвид Фостер Уоллес по праву назвал «самым понятным прозаическим произведением о математике в истории английской литературы», Харди утверждал, что цель математики та же, что и цель искусства: создание внутренней красоты. Полнейшая бесполезность его специальности – теории чисел – приносила ему подлинное наслаждение. Несомненно, Харди, скончавшийся в 1947 году, был бы крайне огорчен, узнав, что его «чистую» теорию чисел вынудили служить грязным делишкам – стать основой открытого ключа криптографии, который позволяет покупателям посылать зашифрованную информацию о кредитной карте в интернет-магазины, не обмениваясь секретными ключами шифрования, благодаря чему стала возможной электронная коммерция с оборотом в триллионы долларов, а без его трудов в другой области математики – функциональном анализе – не удалось бы выстроить модель Блэка – Шоулза, при помощи которой на Уолл-стрит оценивают опционы.

Парадокс чистой математики на службе грубой коммерции не ускользнул от Майкла Харриса: название его мемуаров «Математика без апологий» (Harris, M., Mathematics Without Apologies) пародирует название классического труда Харди. Харрис – выдающийся американский математик средних лет, работающий в блистательно-чистой стратосфере, где встречаются алгебра, геометрия и теория чисел. «Главной задачей первой части моей карьеры, – пишет он, – была гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера», которая «касается простейшего класса полиномиальных уравнений, эллиптических кривых, для которых не существует простого способа определить, конечно или бесконечно число их решений» (эллиптические кривые лишь на первый взгляд элементарны, а на самом деле обладают глубинной структурой, которая делает их бесконечно интересными). Почти всю свою профессиональную жизнь Харрис провел в Париже, и это очень заметно: его мемуары полны подлинно галльской интеллектуальной игры и к тому же содержат ссылки на фигуры вроде Пьера Бурдьё, Иссэя Мияке и Катрин Милле (которую он называет «сексуальной стахановкой»), к тому же в них упоминается бесконечное множество парижских светских приемов с шампанским, на которых «за первыми двумя бокалами сопоставляются математические записи, а дальше беседа переходит на университетскую политику и сплетни». Это озорной, остроумный и сардонический текст (в алфавитном указателе есть пункт fuck-you money, то есть деньги, позволяющие, мягко говоря, послать все к черту и жить безбедно). Он содержит увлекательные художественные отступления, например, анализ оккультной математической структуры романов Томаса Пинчона, и очаровательные маленькие интерлюдии из области элементарной математики, вдохновленные галантными попытками Харриса разъяснить суть теории чисел одной английской актрисе за званым ужином на Манхэттене.

Харрис начинает с несложного определения простого числа, а потом по кирпичику выстраивает на его основе объяснение вышеупомянутой гипотезы Бёрча – Свиннертон-Дайера, которую международная группа ведущих математиков на пресс-конференции в Париже в 2000 году объявила одной из семи «Задач тысячелетия», назначив за решение каждой из них награду в миллион долларов. Харрис со знанием дела описывает самые глубокие открытия в современной математике, особенно провидческие труды Александра Гротендика. И много говорит о «пафосе» математического призвания. Он крайне скептически относится ко всему, что принято считать причиной увлеченности чистой математикой – что она красива, истинна, вообще хороша, – и особенно пренебрежительно отзывается об утилитаристском подходе к математике в духе золотой гусыни. «Делать вид, будто исследования по чистой математике вдохновлены возможностью применить ее на практике, не просто нечестно, но и не в наших интересах», – замечает Харрис. И добавляет, что открытые ключи шифрования, сделав мир безопасным для «Амазона», погубили мелкие книжные магазинчики (впрочем, только в США, а не во Франции, где закон запрещает розничным интернет-торговцам предлагать бесплатную доставку книг, продаваемых со скидкой). И с подлинно олимпийским высокомерием пишет о внезапной популярности «финансовой математики», которая открывает путь к вторичному обогащению на Уолл-стрит: «Один мой коллега хвастался, что студентов программы по финансовой математике в Колумбийском университете по умолчанию ежедневно кормят свежими фруктами, сыром и шоколадным печеньем, а другие кафедры, в том числе моя парижская, считают за счастье предлагать своим дипломникам, которым вечно не хватает калорий, чай в пакетиках и горстку крекеров». Даже в элитарной французской Эколь Политехник – Политехнической школе – семьдесят процентов студентов-математиков мечтают сделать карьеру в финансах.

Не вызывает у Харриса особого почтения и претензия на то, что занятия чистой математикой оправданы ее красотой, как говорили и Харди, и множество его единомышленников. Харрис поясняет, что когда математики говорят о красоте, на самом деле они имеют в виду удовольствие. «Вне этой области, где царит блаженная лень, считается дурным тоном признавать, что нас вдохновляет удовольствие, – пишет Харрис. – А чтобы примирить столь низменный мотив с “возвышенными умственными привычками”, можно прибегнуть к доводам эстетики».

Тогда с какой стати общество должно платить горстке людей за творческие упражнения в том, что доставляет им удовольствие? «Если бы меня спросил об этом государственный чиновник, – отвечает Харрис, – я бы заявил, что математики, как и прочие ученые, нужны в университетах, где они учат ограниченное количество студентов приемам, необходимым для развития технологического общества, а несколько большее количество студентов занимают курсами, которые призваны развеять иллюзии излишне самонадеянных претендентов на особенно популярные профессии (подобно тому как экзамен по началам математического анализа в США обязателен при приеме в медицинские школы)». На самом деле математический анализ врачам не нужен, но Харрис хотя бы соглашается, что инженерам, экономистам и руководителям службы материально-технического снабжения не обойтись без солидных знаний по математике, даже если с его точки зрения эта математика тривиальна.

Наконец, предполагается, что математика ценна тем, что она истинна. Со времен древних греков математика воспринимается как парадигма познания – она точна, необходима и не подвержена влиянию времени. Но о познании чего идет речь? Описывают ли истины, которые открывают математики, вечное высшее царство объектов – идеальных окружностей и тому подобного – существующих в общем и целом независимо от математиков, которые их изучают? Или математические объекты – на самом деле конструкции, созданные человеком, и существуют лишь в нашем сознании? А может быть – еще радикальнее – чистая математика не описывает вообще никаких объектов и это просто изысканная игра формальных символов, в которую играют при помощи карандаша и бумаги?

Вопрос о том, что же такое математика, не дает покоя философам, но не слишком тревожит Харриса. Философы, занимающиеся проблемами математического существования и истинности, утверждает он, как правило, не обращают особого внимания на то, чем, собственно, занимаются математики. Он пристрастно противопоставляет «философию Математики» (с заглавной «М») – «чисто гипотетический субъект, придуманный философами» – «философии математики» (со строчной «м»), отправной точкой которой служат не априорные вопросы эпистемологии и онтологии, а деятельность трудящихся математиков.

Тут Харрис несколько лукавит. Он почему-то не упоминает, что стандартные противоположные точки зрения в философии математики изначально сформулировали не философы, а математики, более того, некоторые величайшие математики минувшего столетия. Отцом «формализма», считающего высшую математику игрой в формальные символы, стал Давид Гильберт, «супергигант», по оценке Харриса. А за «интуиционизмом», согласно которому числа и другие математические объекты – мысленные конструкции, стоят Анри Пуанкаре (тоже «супергигант»), Герман Вейль и Л. Э. Я. Брауэр. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед занимали так называемую позицию «логицизма» и в своих фундаментальных Principia Mathematica стремились показать, что математика – это просто переодетая логика. А Курт Гёдель отстаивал «платонизм», согласно которому математика описывает вечное и идеальное царство объектов, существующих вне нашего сознания, подобно платоновскому миру форм.

Все эти титаны математики были страстно увлечены философией «Математики с большой буквы», по выражению Харриса. Жаркие споры между ними и их сторонниками разгорелись особенно сильно в двадцатые годы и зачастую переходили на личности. Удивляться здесь нечему: математика того времени переживала «кризис» в результате целой череды открытий, способных подорвать любую уверенность, например, появления неевклидовых геометрий и открытия парадоксов в теории множеств. Возникло ощущение, что под математику нужно подвести новый прочный фундамент, иначе старому идеалу несомненности настанет конец. Под вопросом оказался сам способ заниматься математикой – какие типы доказательств можно признавать и какие применения бесконечности допускать.

И по техническим, и по философским причинам ни одна из конкурирующих фундаментальных программ начала XX века не была признана удовлетворительной (в частности, теоремы о неполноте Гёделя привели к непреодолимым проблемам и для формализма Гильберта, и для логицизма Рассела и Уайтхеда: грубо говоря, теоремы о неполноте говорят, что непротиворечивость правил математической «игры» Гильберта в принципе недоказуема, а логическая система наподобие системы Рассела и Уайтхеда не способна вместить в себя все математические истины). Вопросы математического существования и истинности остались без ответа, и философы по-прежнему размышляли над ними, пусть и безрезультатно, свидетельством чему служит откровенное название статьи Хилари Патнэма, вышедшей в 1979 году: «Философия математики, или Почему ничего не получается» (Putnam, H., Philosophy of Mathematics: Why Nothing Works).

С точки зрения Харриса все это несколько vieux jeu. Ощущение кризиса в профессии, такое острое меньше века назад, несколько померкло, старые трудности удалось либо кое-как преодолеть, либо замаскировать. Если спросить у современного математика, к какой партии он принадлежит, ответом, как в анекдоте, будет, что он платоник по будням и формалист по выходным. То есть математики во время работы над математическими задачами считают, что имеют дело с реальностью, не зависимой от сознания, но когда у них появляется настроение поразмышлять абстрактно, многие утверждают, что математика – всего лишь бессмысленная игра с формальными символами.

Сегодня сдвиги парадигм в математике имеют отношение скорее к поиску более совершенных методов, чем к кризису. Например, бытует мнение, что всю математику можно выстроить из теории множеств. Теория множеств отталкивается от простой идеи, что что-то одно – элемент чего-то другого, и показывает, как на самом скромном материале можно создавать структуры бесконечной, как видно, сложности – системы чисел, геометрические пространства, нескончаемую иерархию бесконечностей. Например, число 0 определяется как «пустое множество», то есть множество, в котором нет ни одного элемента. Число 1 можно определить как множество, которое содержит один элемент – 0 и больше ничего. Число 2, следовательно, можно определить как множество, содержащее 0 и 1, и так далее – каждое следующее число содержит множества для всех предыдущих чисел. Таким образом, числа перестают быть началом начал и рассматриваются как просто множества постепенно усложняющейся структуры.

В 1930-е годы компания блестящих молодых парижских математиков, в которую входил и Андре Вейль, составила заговор с целью укрепить здание математики, перестроив его на логическом фундаменте теории множеств. Этот проект под коллективным nom de guerre Бурбаки просуществовал несколько десятков лет и породил целую череду толстых трактатов. Следствием его деятельности стала, в частности – как ни безумно это звучит – реформа школьного образования в 1960-е годы и введение «новой математики», которая выбила почву из-под ног американских школьников и их родителей, поскольку интуитивное представление о числе заменили непонятным жаргоном теории множеств.

Физики говорят о поисках «теории великого объединения» – и конечно, теория множеств отличается такой сокрушительной обобщенностью, что вполне может показаться «теорией объединения теорий всего». Именно такой она и виделась членам Бурбаки. Однако через несколько десятков лет после запуска программы в их среду затесался выдающийся математик Александр Гротендик – и все преобразил. Он создал новый стиль чистой математики, головокружительно абстрактный и не менее плодотворный. Гротендика стали считать величайшим математиком последнего полувека задолго до его кончины в 2014 году – он умер в возрасте 86 лет отшельником в Пиренеях. Как отмечает Харрис, Гротендика с полным правом можно назвать не только величайшим, но и самым романтичным из математиков: «Его история – готовое художественное произведение».

Даже сухие факты его биографии будоражат воображение. Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были активными анархистами. Отец Гротендика, еврей из России, принимал участие и в восстании против царизма в 1905 году, и в революции 1917 года. Он избежал тюремного заключения при большевиках, дрался с приспешниками нацистов на улицах Берлина, сражался на стороне республиканцев во время Гражданской войны в Испании (вместе с матерью Гротендика) и после капитуляции Франции был депортирован из Парижа в Освенцим, где и погиб.

Мать Гротендика была нееврейка родом из Гамбурга. Она вырастила сына на юге Франции. Там мальчик проявил талант и к математике, и к боксу. После войны он отправился в Париж и изучал математику у великого Анри Картана. Сначала Гротендик работал в Сан-Паулу и в Канзасе, затем в Гарварде, а в 1958 году получил приглашение в Институт высших научных исследований, который был недавно основан одним частным предпринимателем и находился под Парижем, в лесах Буа-Мари. Там Гротендик провел следующие двенадцать лет и все это время перестраивал ландшафт высшей математики, поражая своих высоколобых коллег и юных учеников.

Гротендик был мужчина внушительный – бритоголовый красавец, суровый и при этом обаятельный. Его беспощадный минимализм проявлялся и в презрении к деньгам, и в монашеской манере одеваться. Непреклонный пацифист и антимилитарист, он в 1966 году отказался ехать в Москву на Международный конгресс математиков, чтобы получить медаль Филдса – высочайшую награду по математике. Однако на следующий год он все-таки отправился в Северный Вьетнам, где читал лекции по чистой математике в джунглях студентам, эвакуированным из Ханоя из-за американских бомбежек. Он (по собственной воле) почти всю жизнь не занимал никаких должностей, стал отцом троих детей в браке и двоих вне брака, основал радикально-экологическую группировку Survivre et Vivre и один раз был арестован за то, что отправил в нокаут двоих жандармов на политической демонстрации в Авиньоне.

Из-за своих непоколебимых и зачастую параноидальных принципов Гротендик в конце концов оказался изгоем во французских математических кругах. В начале девяностых он скрылся в Пиренеях, где, как сообщала горстка его поклонников, сумевших выследить своего кумира, провел оставшиеся годы, питаясь супом из одуванчиков и размышляя о том, как метафизические злые силы рушат божественную гармонию мира, для чего, по всей видимости, слегка изменяют скорость света. Говорили, что за ним присматривают жители окрестных деревень.

Представления Гротендика о математике заставили его разработать новый язык или даже, возможно, идеологию, позволяющую выразить доселе невообразимые мысли. Он первым сформулировал принцип, согласно которому знать математический объект – все равно что знать его отношения со всеми другими объектами того же рода. Иначе говоря, если хотите знать подлинную природу математического объекта, не заглядывайте внутрь него, а поглядите, как он играет с приятелями.

Такая «однородная группа» математических объектов называется категорией – подчеркнутый поклон Аристотелю и Канту. Например, категория может состоять из абстрактных поверхностей. Эти поверхности как-то взаимодействуют, то есть существуют естественные способы переходить с одной на другую и обратно с учетом их общей формы. Скажем, если у двух поверхностей одинаковое число отверстий, как у бублика и кофейной чашки, одна поверхность математически может быть гладко трансформирована в другую.

А можно представить себе категорию разных алгебраических систем, для которых существует операция, подобная умножению; эти алгебры тоже как-то взаимодействуют – в том смысле, что существуют естественные способы переходить из одной в другую с учетом их общей структуры умножения. Такие двусторонние отношения между объектами, сохраняющие структуру, называются морфизмами, а иногда, чтобы подчеркнуть их абстрактную природу, «стрелками». Они определяют общие очертания взаимодействий в пределах категории.

Тут начинается самое интересное: взаимодействиям в одной категории, например, в категории поверхностей, могут тонко подражать взаимодействия в другой, например, в категории алгебр. То есть взаимодействуют уже категории – существует естественный способ переходить из одной в другую и обратно, и он называется функтор. Вооружившись подобным функтором, можно делать очень общие суждения об обеих категориях, не вдаваясь в утомительные подробности природы каждой из них. Можно также отметить, что поскольку категории взаимодействуют друг с другом, они сами составляют категорию – категорию категорий.

Теорию категорий придумали в сороковые годы Сондерс Маклейн из Чикагского университета и Сэмюэль Эйленберг из Колумбийского университета. Поначалу многие математики отнеслись к ней с сомнением и даже прозвали «абстрактной чушью». Разве может такой разжиженный подход к математике, из которой отцежено практически все ее классическое содержание, привести к чему-то, кроме стерильности? Однако Гротендик заставил его засверкать всеми гранями. С 1958 по 1970 год он работал над тем, чтобы при помощи теории категорий создавать новаторские структуры беспрецедентной насыщенности. С тех пор высокоумные абстракции теории категорий нашли применение в теоретической физике, информатике, логике и философии. Французский философ Ален Бадью с восьмидесятых годов опирается на теорию категорий (причем опирается как квалифицированный математик) при исследовании идей бытия и трансцендентности.

Проект Гротендика начался еще с Декарта – это объединение алгебры и геометрии. Их уподобляют инь и ян математики: геометрия – пространство, алгебра – время, геометрия – как живопись, алгебра – как музыка и так далее. Выражаясь не так изысканно, геометрия занимается формами, а алгебра – структурами, в частности, структурой, скрытой в уравнениях. И как показал Декарт, когда изобрел «декартову систему координат», уравнения способны описывать формы: например, уравнение x+y²²=1 описывает окружность с радиусом 1. Оказывается, алгебра и геометрия связаны теснейшим образом и обмениваются «нежными ласками», по выражению Андре Вейля.

Благодаря проницательности Вейля в сороковые годы стало очевидно, что диалектические отношения между алгеброй и геометрией позволяют найти ответ на некоторые самые неподатливые загадки математики. А труды Гротендика подняли эту диалектику на такие высоты абстракции – говорят, они страшили даже великого Вейля – что математикам открылось новое понимание этих загадок. Гротендик заложил основы для многих величайших математических открытий последних десятилетий, в том числе для доказательства Великой теоремы Ферма в 1994 году – колоссального интеллектуального достижения, чья практическая и коммерческая ценность равна нулю.

Гротендик преобразил современную математику. Однако по большей части это преображение – заслуга его куда менее известной предшественницы Эмми Нётер. Именно Эмми Нётер, родившаяся в Баварии в 1882 году, во многом создала абстрактный подход, вдохновивший теорию категорий. Однако она была женщиной в мужском научном мире, и ей отказали в должности профессора в Гёттингене, а факультетские блюстители традиций пытались запретить ей даже читать бесплатные лекции, что и заставило Давида Гильберта, главу немецких математиков, заметить: «Не вижу причин, почему ее пол мешает ей занять эту должность. У нас же университет, а не баня». Эмми Нётер была еврейка, поэтому, когда власть захватили нацисты, бежала в США, где преподавала в Брин-Морском колледже до самой своей смерти (она скончалась от острой инфекции в 1935 году).

У Нётер от природы была интеллектуальная привычка решать задачи, восходя на все более высокие уровни обобщения, и эту склонность разделял и Гротендик, который, как говорили, любил решать задачи не «клин клином вышибая», а повышая уровень моря абстракций, в которых проблема «тонула и растворялась». В его системе представлений знакомые объекты изучения математиков – уравнения, функции, даже геометрические точки – возрождались в виде гораздо более сложных и гибких структур. Все старое казалось лишь тенями, или, как предпочитал называть их Гротендик, «аватарами» нового. (Изначально аватара – земное воплощение индуистского бога; у многих французских математиков при выборе терминов проявлялась слабость к индуистской метафизике, что, вероятно, объясняется авторитетом Андре Вейля, который был не только математиком, но и специалистом по санскриту.)

Процесс этот наблюдался отнюдь не в единичных случаях. Каждая новая абстракция непременно оказывалась аватарой абстракции высшего порядка. Как пишет Майкл Харрис, «Доступные понятия интерпретируются как аватары недоступных концепций, которые мы пытаемся уловить». А когда математики улавливают новые понятия, они поднимаются по «лестнице» абстракций все выше и выше. Вот на это, утверждает Харрис, и стоит обратить внимание философам: «Если бы вы спросили, какая характеристика современной математики настойчиво требует философского анализа, я бы посоветовал взобраться по лестницам понятий и аватар в поисках смысла, а не искать прочные основания».

А что же там, на самом верху этой лестницы? Вероятно, с лукавой серьезностью предполагает Харрис, там таится «Великая Теорема», из которой и проистекает вся математика, «нечто порядка сансара = нирвана». Но достичь ее невозможно, поскольку к ней ведет бесконечное множество ступеней.

Вот она, драма математики. В отличие от теоретической физики, которая может надеяться на обретение «окончательной теории», описывающей все силы и частицы Вселенной, чистая математика вынуждена признать, что ее поиски истины в последней инстанции ни к чему не приведут. Как отмечает Харрис, «За каждым сорванным покровом таится следующий покров». Математика обречена, по выражению Андре Вейля, на бесконечный цикл «познания и безразличия».

Но не исключено, что все еще хуже. Благодаря второй теореме о неполноте Гёделя, той, которая, грубо говоря, гласит, что математика никогда не докажет собственную непротиворечивость, математики не могут быть абсолютно уверены, что аксиомы, лежащие в основе их трудов, не содержат какое-то логическое противоречие, которое пока никто не обнаружил. Математик Владимир Воеводский, родившийся в Советском Союзе, в своей речи по случаю восьмидесятилетия Института передовых исследований назвал такую возможность «крайне тревожной для любого рационально мыслящего человека». И в самом деле, открытие подобного противоречия может стать смертельным ударом для чистой математики, по крайней мере в том виде, в каком мы знаем ее сейчас. Тогда размоется грань между истинным и ложным, рухнет лестница аватар, а Великая Теорема примет поистине ужасающую форму 0=1.

Но интернет-торговля и финансовые инструменты при этом, как ни странно, не пострадают.