Глава тринадцатая. Опасная идея бесконечно малого

Говоря о бесконечном, обычно имеют в виду бесконечно большое: немыслимые просторы, безграничный мир, безудержную силу, абсолют. Однако есть и другого рода бесконечность, совсем иная, пусть и по-своему восхитительная. Это бесконечно малое.

В обиходе «бесконечно малым» (infinitesimal) часто называют что-то очень маленькое по человеческим стандартам, такое крошечное, что его и измерять-то не стоит. Как правило, в этих словах звучит презрение. В своей биографии Фридриха Великого Карлейль говорит нам, что когда Лейбниц предложил объяснить, что такое бесконечно малое, королеве Пруссии Софии Шарлотте, та ответила, что по этому вопросу ей разъяснений не нужно: она знакома с ничтожествами на примере своих придворных. Чуть ли не единственный случай, когда в словах «бесконечно малое» не было уничижительного оттенка, я обнаружил в неоконченном романе Трумена Капоте «Услышанные молитвы» (Truman Capote, Answered Prayers), где повествователь рассказывает об изысканных овощах, подаваемых к столу людей очень богатых: «petits pois зеленее зеленого и микроскопические (infinitesimal) морковки». Зато примеров, когда infinitesimal путают с его антонимом infinite, полным-полно. Несколько лет назад в журнале New Yorker напечатали отрывок из интервью с одной голливудской старлеткой, где она рассказывала, что всегда находит чем занять вынужденные перерывы на съемках: записывает доходы и расходы, отвечает на письма и так далее. «Если как следует организовать свое время, – сказала актриса, – можно достичь поистине infinitesimal» (На что редакция печально заметила: «Знаем, знаем»).

Однако в строгом смысле слова бесконечно малое от нас в точности так же далеко, как и бесконечно большое. Паскаль в 72-й из своих «Мыслей» говорит о «двойной бесконечности» природы как о двух безднах, между которыми заключен конечный человек. Бесконечно великое лежит снаружи, на окружности всех вещей, а бесконечно малое – внутри, в центре всех вещей. Эти две крайности: «Одно зависит от другого, и одно ведет к другому. Крайности сходятся и, удаляясь друг от друга, соединяются. Они встречаются в Боге и только в Боге». Познать бесконечно малое нам еще труднее, чем бесконечно большое: «Философы только притязали на проникновение в нее [бесконечность малого], и на этом все спотыкались».

Стоит добавить, что и поэтический вымысел тут не особенно помог. В литературе было много попыток представить себе бесконечно большое: проповедь о вечности отца Арнолла в «Портрете художника в юности», квази-бесконечная «Вавилонская библиотека» Борхеса. А о бесконечно малом лишь обиняками говорится у Блейка – это бесконечность, которую можно увидеть «в единой горсти» и – пожалуй, более наглядно – в «Рапсодии» Свифта:

 

Натуралистами открыты

У паразитов паразиты,

И произвел переполох

Тот факт, что блохи есть у блох.

И обнаружил микроскоп,

Что на клопе бывает клоп,

Питающийся паразитом,

На нем – другой, ad infinitum.

 

Со времен своего возникновения идея бесконечно малого воспринималась с глубоким недоверием, даже больше, чем бесконечно большое. Как что-то может быть меньше любой данной конечной величины и при этом не обращаться в ничто? Аристотель попытался запретить саму идею бесконечно малого на основании ее абсурдности. Дэвид Юм провозгласил, что эта мысль ударяет по здравому смыслу посильнее любой религиозной доктрины. Бертран Рассел отметал ее как «ненужную, ошибочную и внутренне противоречивую».

Но бесконечно малое вытерпело все попреки и оскорбления и на поверку оказалось небывало мощным инструментом постижения физической истины, движителем научной революции, начавшейся в эпоху Просвещения. Это был один из самых причудливых зигзагов удачи в истории научной мысли: в конце XIX века бесконечно малое сослали в темный подвал, казалось, на веки вечные, а в шестидесятые годы XX века полностью реабилитировали. И теперь оно служит хрестоматийным примером раз и навсегда разрешенного философского парадокса. Остается открытым только один вопрос: реально ли оно?

Парадоксально, но факт: бесконечно малое придумали прежде всего именно для того, чтобы спасти мир природы от нереальности. Эта идея, по всей видимости, появилась в древнегреческой мысли приблизительно в V веке до н. э. в ходе жарких метафизических дебатов о природе бытия. По одну сторону баррикад стояли монисты, Парменид и его последователи, которые утверждали, что бытие неделимо и любые перемены – лишь иллюзия. По другую – плюралисты, в том числе Демокрит и его сторонники-атомисты, а также Пифагор, утверждавшие, что перемены происходят на самом деле и их суть – это перестановка частей реальности.

Но если начинаешь дробить реальность и делить Одно на Много, где остановиться? Демокрит считал, что вещество можно анализировать до уровня крошечных единиц – атомов, которые, хотя и конечны по размеру, больше делиться не могут. Однако тут вставал другой вопрос – о пространстве, театре перемен. Нет никаких причин, почему нельзя вечно продолжать процесс деления пространства на все более и более мелкие части. Следовательно, рано или поздно эти части окажутся меньше любой конечной величины.

Этот вывод завел плюралистов в страшный тупик, а все благодаря самому способному ученику Парменида – Зенону Элейскому. Зенон, обидевшись на тех, кто насмехался над его учителем, как рассказывает Платон, придумал ни много ни мало сорок диалектических доказательств единства и неизменности реальности. Самые известные из них – четыре парадокса движения, два из которых, «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха», направлены против бесконечной делимости пространства. Рассмотрим парадокс дихотомии. Чтобы проделать тот или иной путь, необходимо сперва пройти половину расстояния. Но для этого нужно сначала пройти четверть расстояния, а перед этим – одну восьмую часть и так далее. Иначе говоря, нужно проделать бесконечное число «под-путей» в обратном порядке. А значит, невозможно даже начать путь.

Говорят, когда Зенон рассказал этот парадокс Диогену Синопскому, Диоген «опроверг» его – встал и ушел. Но парадоксы Зенона отнюдь не тривиальны. Бертран Рассел называл их «невероятно тонкими и глубокими», и по сей день многие философы не считают, что они окончательно разрешены. Аристотель отметал их как глупости, но опровергнуть не мог, напротив, он добивался, чтобы их невозможно было ни доказать, ни опровергнуть, поскольку отрицал вовсе существование бесконечности в природе. Можно делить пространство сколько угодно, говорил Аристотель, но бесконечного числа частей никогда не получишь.

Отвращение Аристотеля к настоящей бесконечности возобладало в древнегреческой философии, а сто лет спустя «Начала» Евклида вычеркнули рассуждения о бесконечно малом и из геометрии. Это стало катастрофой для античной науки. Идея бесконечно малого предлагала заполнить понятийный пробел между числом и формой, статикой и динамикой. Возьмем хотя бы задачу о площади круга. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми, скажем, треугольника или квадрата – задача несложная. Но что делать, если границы фигуры криволинейны, как, например, у круга? Есть хитрый способ выйти из положения: притвориться, будто круг – это такой многоугольник, состоящий из бесконечного множества прямолинейных сегментов, каждый бесконечно малой длины. Именно такой подход позволил Архимеду в конце III века до н. э. вывести современную формулу площади круга с числом p. Однако Архимеду пришлось отказаться от применения бесконечности из-за евклидовых структур. Он был вынужден оформить свое доказательство как reductio ad absurdum, причем дважды reductio: круг он уподобил конечному многоугольнику, у которого число сторон все больше и больше. Это неуклюжее доказательство получило название «метод исчерпывания», поскольку предполагал постепенное «исчерпывание» площади криволинейной фигуры замещением ее сетью из все более и более мелких прямолинейных фигур.

Для статической геометрии метод исчерпывания оказался вполне действенным как альтернатива запретному бесконечно малому. Однако он оказался бесплодным для решения задач динамики, когда до бесконечности нужно дробить и пространство, и время. Например, падающее на землю тело постоянно ускоряется под воздействием гравитации. У него нет фиксированной скорости ни для какого конечного промежутка времени, пусть даже и в тысячную долю секунды: его скорость меняется каждый «миг». Аристотель считал понятие мгновенной скорости бессмысленным, евклидова аксиоматика не извлекала из нее никакой пользы. Осмыслить движение с постоянным ускорением можно было только рассуждениями с полной опорой на понятие бесконечно малого. Но именно таких рассуждений греки боялись как огня из-за horror infiniti – наследия Зенона. Вот почему греческая наука оградила сама себя от попыток математически атаковать задачи о веществе в движении. Физика под влиянием Аристотеля стала наукой качественной, а не количественной, а о пифагорейской цели познать мир через число все забыли. Да, греки накопили много конкретных знаний о природе, однако любовь к строгим ограничениям не позволила им открыть ни единого физического закона.

Несмотря на то, что Аристотель и Евклид подвергли бесконечно малое остракизму, эта идея не полностью исчезла из западной мысли. Благодаря сильному влиянию Платона, который в отличие от Аристотеля не ограничивал все сущее одним лишь миром чувственного восприятия, бесконечно малое продолжило свою мутноватую карьеру объекта трансцендентных спекуляций. Неоплатоники, в том числе Плотин, и раннехристианские богословы вроде святого Августина отождествили бесконечность с Богом и тем самым восстановили ее репутацию. Средневековые философы потратили на диспуты о бесконечно малом даже больше времени, чем о бесконечно большом.

В эпоху Возрождения платонизм снова вошел в моду, и бесконечно малое просочилось обратно в математику, хотя в несколько мистическом обличье. Иоганн Кеплер полагал, что бесконечно малое существует как ниспосланный свыше «мост непрерывности» между криволинейным и прямолинейным. Логические тонкости его не особенно интересовали – «Природа учит геометрии интуитивно, безо всякой рационализации», – писал он. Поэтому в 1612 году он применил бесконечно малое для расчета идеальных пропорций важнейшего предмета – винного бочонка. И его расчеты оказались верными.

Теплые чувства Кеплера к бесконечно малому разделяли Галилей и Ферма. Все трое понемногу сдвигались от бесплодных структур евклидовой геометрии в сторону плодородной, пусть и несколько нестрогой и буйной, науке о движении, описывавшей перемещение тел в бесконечно делимых пространстве и времени. Но эти натурфилософы оказывались в некоторой богословской западне, из которой было никак не выбраться: как настоящая бесконечность, которую следует считать атрибутом исключительно Господа, может существовать в конечном мире, который Он создал?

Сильнее всего этот вопрос взволновал Блэза Паскаля. Природа являет нам две бесконечности как непостижимые тайны, которыми нужно восхищаться, а не пытаться их понять, писал Паскаль. И применять в рассуждениях, мог бы он добавить. Ведь Паскаль был еще и математиком и свободно вводил бесконечно малые величины в свои расчеты площадей криволинейных фигур. Трюк состоял в том, чтобы опустить их как пренебрежимо малые, как только удавалось получить желаемый конечный ответ. Это оскорбляло логические чувства его современников вроде Декарта, но критикам Паскаль отвечал, в сущности, что чего разумом не понимаешь, то сердцем чувствуешь.

Труды Паскаля предвосхитили современную науку о природе, однако он (как и Ферма и Галилей) так и не порвал с евклидовой традицией. Но геометрия в одиночку никак не могла совладать с бесконечно малым, а без этого невозможно было исчислить движение. Укротить бесконечно малое удалось Ньютону и Лейбницу лишь в шестидесятые-семидесятые годы XVII века, когда они более или менее одновременно разработали «математический анализ бесконечно малых», который мы теперь знаем просто как математический анализ. Древние философские сложности с бесконечно малыми величинами сменились чистейшим восхищением их научным плодородием.

А в руках Ньютона бесконечно малые оказались плодородными до предела. Хотя соперник Ньютона Лейбниц придумал более элегантную систему формул для математического анализа бесконечно малых, которой мы пользуемся сегодня, именно Ньютон применил этот новый инструмент для осмысления вселенской гармонии. Он сформулировал законы движения и тяготения, а затем поставил перед собой задачу вывести из них точные параметры орбиты планеты вокруг Солнца. Задача была поистине неподъемная, если учесть, что скорость планеты и расстояние от Солнца постоянно меняются. Ньютон не сразу стал подступаться к форме орбиты, а придумал изобретательный прием: разбить ее на бесконечное число сегментов, а затем сложить воздействие гравитационной силы солнца на скорость планеты в каждом бесконечно малом сегменте.

Мгновенную скорость, понятие, которое ставило в тупик предшественников Ньютона, он определил как отношение двух исчезающе малых величин: бесконечно малого расстояния, пройденного за бесконечно малое время. Ньютон назвал такое соотношение бесконечно малых величин «производной». Вот простой пример того, как он применял бесконечно малые величины. Представим себе камень, падающий с крыши здания. По пути к земле камень постоянно ускоряется под воздействием земной гравитации. За t секунд он пролетает 16t футов, то есть к концу 1 секунды он пролетит 16 футов (=16×1²²), к концу 2 секунды – уже 64 фута (=16×2²), а к концу 3 секунды 144 фута (=16×3²) и так далее. Очевидно, скорость камня непрерывно растет. Теперь предположим, что вы ходите узнать мгновенную скорость камня в какой-то конкретный момент его падения – в момент t. Согласно рассуждениям Ньютона, такая мгновенная скорость – это отношение двух бесконечно малых величин: бесконечно малое расстояние, пройденное сразу после момента t, деленное на бесконечно малое время. Теперь вычислим это отношение, обозначив бесконечно малый отрезок времени ε. В момент t секунд камень уже пролетел 16t² футов. Бесконечно малое время спустя, в момент t+ε, он пролетел уже 16(t+ε)² футов. Таким образом, расстояние, которое он пролетает за это бесконечно малое время, это разность между двумя расстояниями: 16(t+ε)²-16t² футов. Раскроем скобки и получим 16t²+32tε+16ε²-16t² футов, что упрощается в 32tε+16ε². Теперь, чтобы получить мгновенную скорость камня, надо поделить это бесконечно малое расстояние на бесконечно малое время, то есть на ε. Таким образом, отношение бесконечно малых выглядит как (32tε+16ε²)/ε. Сократим ε и получим 32t+16ε. Но поскольку слагаемое 16ε бесконечно мало (бесконечно малая величина, умноженная на конечное число, остается бесконечно малой), его можно, в сущности, считать равным нулю, по крайней мере, так полагал Ньютон. Следовательно, мгновенная скорость падающего камня в момент t составляет 32t фута в секунду. Через три секунды после падения камень падает со скоростью 32×3=96 футов в секунду.

Проделав по тому же принципу гораздо более сложные вычисления, Ньютон обнаружил, что планеты должны двигаться по эллиптическим орбитам с солнцем в одном из фокусов, то есть пришел в точности к эмпирическому закону, который Кеплер сформулировал на основе обширных астрономических наблюдений, сделанных в XVII веке астрономом Тихо Браге. Так Ньютон сумел объединить движение небесное и земное – а все благодаря математическому анализу бесконечно малых.

Доказательство закона об эллипсах, которое проделал Ньютон, – самое выдающееся достижение научной революции. Явное следствие из него – что природа подчиняется логике – сделало первооткрывателя святым покровителем Просвещения. В 1727 году Вольтер, побывав на похоронах Ньютона, проведенных с королевскими почестями, писал: «Недавно одна ученая компания обсуждала пустой и легкомысленный вопрос: “Кто был величайшим человеком в истории – Цезарь, Александр, Тамерлан или Кромвель?” Кто-то ответил, что это был Исаак Ньютон. И по праву: ведь нам стоит со всем почтением относиться именно к нему, к тому, кто обуздал наш разум силой истины, а не к тем, кто поработил его насилием». Одним движением Ньютон преобразил телеологически-насыщенный космос Аристотеля в упорядоченную, рациональную машину, которая может служить философам образцом для переустройства человеческого общества. Возвысив закон природы до положения объективного факта, ньютоновское мировоззрение вдохновило Томаса Джефферсона заявить, что нарушенный договор дает американцам «полученное по законам природы» право восстать против Георга III.

Однако мысль, лежавшая в основе этого триумфа человеческого разума, по-прежнему казалась многим оккультной и сомнительной. Да и сам Ньютон относился к ней, мягко говоря, с недоверием. Когда он в своих «Началах» представлял доказательство закона об эллипсах, то всеми силами постарался, чтобы анализ бесконечно малых привлекался в нем как можно меньше, и в результате проследить логику получившегося изложения, втиснутого в евклидовские рамки, оказалось невозможно. (Даже нобелевский лауреат Ричард Фейнман запутался в хитросплетениях ньютоновских рассуждений, когда рассказывал о них студентам на лекции в Калифорнийском технологическом институте.) В более поздних сочинениях Ньютон следил за тем, чтобы не рассматривать бесконечно малые сами по себе – только в отношениях, которые всегда были конечными. В последние годы жизни он и вовсе отрекся от идеи бесконечно малого.

Сильное недоверие к бесконечно малым величинам питал и Лейбниц. С одной стороны, они требовались для его метафизического принципа natura non facit saltum («природа не делает прыжков»); без этих амфибий, плавающих между существованием и несуществованием, переход от возможности к реальности был, похоже, немыслим. С другой стороны, они сопротивлялись любым попыткам строгого определения. Как Лейбниц ни старался, он только и мог, что множить аналогии, сравнивая, например, песчинку с земным шаром, а земной шар со звездами. Но когда его ученик Иоганн Бернулли привел в пример крошечных созданий, которых удалось разглядеть в микроскоп (только что изобретенный Левенгуком), Лейбниц возмущенно возразил, что эти малюсенькие существа все же имеют конечный, а не бесконечно малый размер. В итоге он решил, что бесконечно малые величины – просто fictiones bene fundatae («хорошо обоснованные выдумки»): они помогают делать изящные открытия, не приводят к ошибкам, однако на самом деле не существуют. Однако Джорджу Беркли этого было мало. В 1734 году он опубликовал гневную филиппику в адрес математического анализа бесконечно малых под названием «Аналитик, или Обращение к нечестивому математику» (The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Его подтолкнул к этому растущий престиж науки механики, таящий в себе угрозу ортодоксальному христианству («нечестивый математик», к которому он обращается, – это, как принято считать, друг Ньютона Эдмунд Галлей). Беркли утверждал, что догматы христианского богословия, как бы ни противоречили они логике (как иногда представляется на первый взгляд), не могут состязаться в туманности и нелогичности с опорой новой науки – бесконечно малым. Сторонники математического анализа были поставлены перед дилеммой: или бесконечно малые величины равны нулю, а в этом случае вычисления, предполагающие деление, теряют смысл, или они не равны нулю, а тогда ответы неверны. Быть может, насмешливо заключал Беркли, нам лучше всего считать бесконечно малые величины «призраками ушедших чисел».

А между тем по ту сторону Ла-Манша Вольтер, в числе прочих, ничуть не волновался из-за тонкостей, связанных с понятием бесконечно малых; он беззаботно называл математический анализ «искусством перечисления и измерения того самого, чье существование невозможно себе представить». Ведь математический анализ бесконечно малых как инструмент научных исследований оказался так хорош, что не оставлял места для сомнений. В конце XVIII века математики, в том числе Лагранж и Лаплас, применяли его для разъяснения самых темных мест небесной механики, которые ставили в тупик Ньютона. Мощь математического анализа была сопоставима разве что с его универсальностью. Он давал возможность проделывать вычисления, связанные с любыми непрерывными изменениями. Дифференциальное исчисление позволило выразить скорость изменений как отношение бесконечно малых. Интегральное исчисление показало, как через сумму бесконечного количества подобных изменений описать общую эволюцию рассматриваемого явления. А основная теорема анализа связывает две эти операции, причем довольно красиво, показывая, что одна из них логически представляет собой зеркальное отражение другой.

В этот золотой век научных открытий ученые относились к бесконечно малым величинам, как к любым другим числам, пока в вычислениях не становилось удобным приравнивать их к нулю (как не без лукавства делал Ньютон в случаях вроде вышеописанной задачи о падающем камне). Такое беззаботное отношение к бесконечно малым отражено в совете французского математика Жана Лерона д’Аламбера: «Allez en avant, et la foi vous viendra» («Вперед, и вера придет к тебе сама»).

Однако оставались и такие, кто считал недопустимым, что здание современной науки зиждется на таком шатком метафизическом фундаменте. На протяжении всего XVIII века предпринималось множество попыток опровергнуть все обвинения в адрес бесконечно малых, выдвигаемые критиками вроде Беркли, и найти логичный набор правил их применения. Все эти попытки оказались безуспешными, а некоторые попросту глупыми (Карл Маркс уже в середине следующего века тоже приложил руку к этой задаче и оставил больше тысячи неопубликованных страниц на эту тему). С философской точки зрения одним из наиболее симпатичных был подход Бернара де Фонтенеля, который попытался подвести рациональную основу под идею бесконечно малого, описав его как нечто обратное бесконечно большому. Хотя в конечном итоге Фонтенель так и не справился с формальными сложностями, он провидчески утверждал, что реальность объектов вроде бесконечно малого в конечном итоге зависит от их логической непротиворечивости, а не от их существования в реальном мире.

В XIX веке, когда Гегель и его последователи воспользовались путаницей вокруг бесконечно малого как подтверждением своих представлений, что математика внутренне противоречива, наконец удалось найти способ избавиться от этой досадной идеи, не жертвуя восхитительной конструкцией математического анализа, которая на ней строилась. В 1821 году великий французский математик Огюстен Коши сделал первый шаг, задействовав математическое понятие «предела». Это понятие, смутно просматривавшееся еще в идеях Ньютона, было призвано определить мгновенную скорость не как отношение бесконечно малых, а как предел ряда обычных конечных дробей; члены этого ряда никогда не достигали предела, но приближались к нему «на сколько нам угодно». В 1858 году немецкий математик Карл Вейерштрасс придал выражению «на сколько нам угодно» точный логический смысл. Затем, уже в 1872 году, Рихард Дедекинд, тоже немец, показал, как гладкая непрерывная числовая линия, которая, как раньше считалось, скреплялась воедино клеем из бесконечно малых, может быть представлена в виде бесконечного множества рациональных и иррациональных чисел, никогда не соприкасающихся друг с другом попарно.

Все эти новшества были предназначены сугубо для специалистов и усваивались, мягко говоря, не без труда. (Собственно, так обстоят дела и сегодня, как скажет вам любой студент-первокурсник, которому на занятиях по матанализу пришлось продираться сквозь загадочные доказательства теорем о пределах, полные всяких «дельта-эпсилон».) Совокупно они позволяют сделать три фундаментальных вывода. Во-первых, они говорили об окончательном, как тогда казалось, изгнании бесконечно малого из ортодоксальной научной мысли. «Отпала необходимость предполагать, что такое существует», – заметил с явным облегчением Бертран Рассел. Во-вторых, они означали возвращение математики к евклидовой строгости и ее формальному отделению от физики после бурной эпохи открытий, когда они были практически неразличимы. В-третьих, они помогли преобразить господствующую в философии картину мира. Если бесконечно малого не существует, то, как заметил Рассел, теряют смысл идеи «следующего мига» и «состояния изменения». Природа становится статичной и прерывистой, поскольку нет никакого гладкого переходного элемента, позволявшего одному событию перетекать в другое. В несколько абстрактном смысле все перестало «держаться». Возникшее от этого общее ощущение онтологической прерывистости прослеживается и в культурных тенденциях к модернизму, о чем свидетельствует и пуантилизм Сера, и «хронофотографии» Мейбриджа, из которых он составлял первые прото-фильмы, и поэзия Рембо и Лафорга, и «серийная техника» Шёнберга, и романы Джойса.

Некоторая ностальгия по бесконечно малому сохранилась только у философов-одиночек. На рубеже веков французский философ Анри Бергсон утверждал, что новое «кинематографическое» восприятие перемен фальсифицировало наш дорефлексивный опыт, когда бесконечно малые моменты времени плавно перетекали один в другой. Американец Чарльз Пирс, один из основоположников прагматизма, тоже призывал придавать особое значение нашему интуитивному восприятию непрерывности. Пирс был категорически против «старомодного предубеждения против бесконечно малых величин» и утверждал, что субъективное «сейчас» имеет смысл, только если трактовать его как бесконечно малое. Между тем в мире математики бесконечно малое хоть и было изгнано из «высоколобой» науки, но сохранило популярность среди «низколобых» практиков: физики и инженеры по-прежнему находили в нем бесценный эвристический инструмент для рутинных расчетов, который при всей его якобы неаккуратности всегда приводил их к верному ответу, как и Ньютона.

Ведь несмотря на все строгости Аристотеля, Беркли и Рассела никто так и не смог формально доказать, что идея бесконечно малого логически противоречива. А с прогрессом в логике в начале XX века стало проступать новое понимание логической непротиворечивости и его отношения к истинности и существованию. Первопроходцем в этом был логик Курт Гёдель, уроженец Австрии. Сегодня Гёдель знаменит в первую очередь своей «теоремой о неполноте», доказанной в 1930 году, согласно которой, грубо говоря, никакая система аксиом не способна породить все математические истины. Однако за год до этого Гёдель защитил диссертацию и получил в ней результат, пожалуй, не менее важный, который известен как «теорема о полноте», что вызывает некоторую путаницу. У этой теоремы есть очень интересное следствие. Возьмите любой набор утверждений, сформулированный на языке логики. И тогда теорема о полноте гарантирует, что пока эти утверждения взаимно непротиворечивы, то есть из них не следует никакого противоречия, существует такое толкование, при которой все эти утверждения истинны. Такая интерпретация называется моделью для этих утверждений. Рассмотрим, к примеру, утверждения «все a – b» и «некоторые a – c». Если мы истолкуем a как «люди», b как «смертные», а c как «рыжие», то множество людей – это модель для этой пары утверждений. Гёдель показал, как конструировать модели из абстрактных математических ингредиентов. Тем самым он поспособствовал развитию раздела логики под названием «теория моделей», которая изучает отношения между формальными языками и их интерпретациями.

Самое яркое открытие теории моделей – это фундаментальная неопределенность семантики, отношений между языком и реальностью. Оказывается, теория на формальном языке, призванная описать какую-то уникальную реальность, как правило, неспособна ограничиться только ею. В ней появляются «непреднамеренные интерпретации», искажающие смысл. Для примера, пусть и не слишком жизненного, возьмем теорию, состоящую из одного-единственного утверждения «Все люди смертны». Преднамеренная интерпретация предполагает, что модель этой теории – множество людей. Но если слово «люди» взято для обозначения кошек, а «смертные» – для обозначения любознательности, то множество кошек тоже служит моделью для этой теории, но непреднамеренной. Более интересный пример дает нам теория множеств. Преднамеренная интерпретация гласит, что аксиомы теории множеств описывают абстрактную вселенную множеств и из них следует существование высших бесконечностей в этой вселенной. Однако оказывается, что эти аксиомы с тем же успехом можно интерпретировать как относящиеся к старым добрым натуральным числам, среди которых нет никаких высших бесконечностей. Поэтому аксиомы теории множеств не описывают исключительно ту уникальную реальность, которую должны. По одной интерпретации они говорят о вселенной множеств, по другой, нелепой, но такой же достоверной, рассказывают о ряде 1, 2, 3… Когда мы полагаем, что высказываем истинные утверждения о высших бесконечностях, звуки, которые мы издаем, вполне могут быть поняты как истинные утверждения об обычных числах.

Для разработки этой интереснейшей непоследовательности больше всех сделал Абрахам Робинсон (1918–1974). Биография у Робинсона была необычайно бурная для логика, а образ жизни – светский и даже аристократический. Он родился в силезском шахтерском поселке Вальденбург (теперь это польский город Валбжих) и подростком вместе с семьей бежал от фашистов в Палестину. Там он изучал математику и философию в Еврейском университете и при этом вступил в подпольную сионистскую военную организацию «Хагана». Робинсон получил стипендию в Сорбонне и очутился там незадолго до прихода немцев. Ему удалось в последний момент перебраться в Лондон во время бомбежек, и там он стал сначала сержантом движения «Сражающаяся Франция», а затем техническим специалистом в британских ВВС. Несмотря на ужасы и сумятицу военного времени, Робинсон продолжал заниматься чистой математикой и логикой и при этом прекрасно работал на армию – проводил исследования по аэродинамике и «теории крыла». После войны Робинсон с женой, талантливой актрисой и модным фотографом из Вены, частенько появлялись на парижских показах коллекций высокой моды. Робинсон читал лекции как приглашенный профессор в Университете Торонто и Еврейском университете, а затем в начале шестидесятых получил должность профессора философии и математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, которую до него занимал Рудольф Карнап. Поддавшись очарованию Голливуда, Робинсон с женой жили на вилле в каньоне Мандевиль, построенной в стиле Ле Корбюзье, и дружили с актером Оскаром Вернером. Работы Робинсона делали его одним из величайших специалистов по математической логике в мире, а при этом он был светским львом и бонвиваном – и к тому же одним из первых открыто высказывался против Вьетнамской войны. В конце шестидесятых он перешел в Йель и помог превратить его в мировой центр логики, а в 1974 году, в возрасте 55 лет, умер от рака поджелудочной железы.

Величайшим и гениальнейшим достижением Робинсона было то, что он в одиночку реабилитировал идею бесконечно малого. Исходил он из того, что размышлял о языке математики как о формальном объекте, подлежащем логическому изучению и манипулированию. Вот вкратце суть его рассуждений.

Начнем с математической теории, которая описывает, как работает старая добрая арифметика: обыкновенные дроби, их сложение и умножение и так далее. Для краткости назовем теорию арифметики T. Мы исходим из предположения, что T – теория логически непротиворечивая, из нее невозможно вывести противоречие вроде «0=1». (Если бы в обычной арифметике таилось противоречие, нам пришлось бы плохо: повсюду рушились бы мосты).

А теперь добавим кое-что в теорию арифметики T. Для начала добавим новый символ – я назову его INF (от infinitesimal, бесконечно малое). Теперь добавим несколько аксиом, описывающих предполагаемое поведение INF. Мы хотим, чтобы это INF вело себя как бесконечно малое – было меньше любого конечного числа и все же больше нуля. Так вот, чтобы это передать, нам понадобится много новых аксиом, точнее, бесконечный их список. Вот они:

(Новая аксиома № 1). INF меньше 1, но больше 0.

(Новая аксиома № 2). INF меньше ½, но больше 0.

(Новая аксиома № 3). INF меньше ⅓, но больше 0.

…

(Новая аксиома № 1 000 000). INF меньше 1/1 000 000, но больше 0.

(Новая аксиома № 1 000 001). INF меньше 1/1 000 001, но больше 0.

И так далее до бесконечности.

Теперь обозначим обогащенную теорию, которую мы получим, если начнем с T и добавим к ней все эти нововведения, как T*. Похоже, T* охватывает все, что мы имеем в виду под понятием бесконечно малого. В ней есть символ INF, обозначающий число, которое, согласно новым аксиомам, меньше любого конечного числа, но больше нуля. Но откуда мы знаем, что T* непротиворечива? Вспомним, что так пугало в бесконечно малом и греков, и Джорджа Беркли, и даже Ньютона: вдруг оно ведет к парадоксу, непоследовательности, противоречию? Но Робинсон сумел показать, что эти опасения безосновательны. Если T, теория обычной арифметики, непротиворечива, то обогащенная теория арифметики, охватывающая бесконечно малое, тоже непротиворечива. Это Робинсон и доказал.

Как ему это удалось? Предположим, T* противоречива. То есть, в сущности, предположим, что из ее аксиом можно вывести противоречие. Это доказательство будет состоять из конечного количества строк: одни – аксиомы, другие – выводы из прежних строк, содержащие нелепицы вроде «0=1». В этом конечном числе строк может быть приведено только конечное число новых аксиом об INF (самое большое – одна аксиома на строку). Скажем для наглядности, что последняя аксиома T*, то есть аксиома с самым большим порядковым номером, задействованная в доказательстве, – это

(Новая аксиома № 147). INF меньше ¹/₁₄₇, но больше 0.

Таким образом, мы предполагаем, что ни одна из новых аксиом T* после Новой аксиомы № 147 не нужна для доказательства противоречия, скрытого в T*.

И вот тут-то Робинсон и проделал главный фокус. Пусть INF — это обыкновенная набившая оскомину дробь, которая просто меньше ¹/₁₄₇, а точнее, предположим, что INF – это просто название дроби ¹/₁₄₈. При таком истолковании ни одна из строчек доказательства не говорит ничего о бесконечно малом. Все это утверждения, описывающие обыкновенные дроби, причем утверждения безупречно истинные. Так что теперь у нас появилось доказательство, убедительное в обычной теории арифметики. Но последняя строчка этого доказательства все равно гласит «0=1». Значит, мы только что доказали, что обычная арифметика противоречива!

Если обогащенная теория T* противоречива, значит, обычная теория T тоже должна быть противоречива. И наоборот, если обычная теория T непротиворечива, значит, обогащенная теория T* тоже должна быть непротиворечива. Так что если надстроить обычную арифметику бесконечно малым и связанными с ним аксиомами, это не повышает риск противоречивости. Обычных парадоксов, которые ассоциируются с бесконечно малым, удается избежать, поскольку ни одна из новых аксиом по отдельности не говорит, что INF меньше всех положительных чисел. Для такого утверждения нужен весь бесконечный список новых аксиом целиком. Но втиснуть весь список в конечное доказательство невозможно.

Поэтому, как показал Робинсон, можно безо всяких опасений предполагать, что T* непротиворечива. Но это еще не все. Заручившись доказательством непротиворечивости, мы можем привлечь теорему Гёделя о полноте, которая гласит, в сущности, что непротиворечивости достаточно для реальности. Непротиворечивая теория гарантированно обладает моделью – существует абстрактная вселенная, которую эта теория описывает, и это описание истинно. В случае обогащенной теории T* эта модель «нестандартна»: она содержит всевозможные экзотические сущности в дополнение к обычным конечным числам, используемым в арифметике. Среди сущностей, обитающих в этой нестандартной вселенной, есть и бесконечно малые числа. Они окружают каждое конечное число плотным крошечным облачком, которое Робинсон из уважения к Лейбницу назвал «монадой».

∞

Озарение по поводу бесконечно малого посетило Робинсона в 1961 году, когда он приехал в Принстон в творческий отпуск; говорят, это случилось у входа в Файн-Холл. Через пять лет Робинсон опубликовал работу «Нестандартный анализ» (Non-standard Analysis), где подробно разобрал математический потенциал своего открытия. Эпиграф для своей книги Робинсон взял из повести Вольтера «Микромегас» о гигантском инопланетянине, который в изумлении обнаруживает, какие микроскопические по его меркам люди населяют Землю: «Je vois plus que jamais qu’il ne faut juger de rien sur sa grandeur apparente. O Dieu! qui avez donnéune intelligence á des substances qui paraissent si méprisables, l’infiniment petit vous coûte autant que l’infiniment grand» («Теперь я более чем когда-либо убежден, что ни о чем нельзя судить по его размерам. Господи, ты даровал разум столь неприметным, крохотным существам! Для тебя сотворить бесконечно малое так же просто, как бесконечно большое»).

Любопытно, что добавление бесконечно малых к вселенной математики, которое удалось осуществить Робинсону, никоим образом не меняет свойств обычных конечных чисел. Все, что можно сказать о них и доказать при помощи рассуждений с участием бесконечно малых, – вопрос чистой логики и может быть доказано и обычными способами. Однако едва ли это означает, что подход Робинсона бесплоден. «Нестандартный анализ» Робинсона возродил к жизни интуитивные методы, которые первыми разведали Ньютон и Лейбниц, и доказательства, полученные его способами, лаконичнее, глубже и менее ad hoc, чем аналогичные стандартные. Робинсон и сам сразу же применил нестандартный анализ для решения одной крупной проблемы в теории линейных пространств, не поддававшейся другим математикам. А в дальнейшем нестандартный анализ обрел много сторонников в международном математическом сообществе, особенно во Франции, и с большим успехом применялся в теории вероятностей, физике и экономике, где прекрасно моделирует, предположим, бесконечно малое воздействие отдельного торговца на ценообразование.

Помимо этого открытия в математической логике Робинсону принадлежит и другая заслуга: он осуществил одну из величайших реабилитаций в истории идей. Он сумел избавить идею бесконечно малого от малейших подозрений в противоречивости спустя две с лишним тысячи лет после того, как эта идея зародилась, сразу вызвав массу вопросов, и почти век с тех пор, как от нее избавились, казалось, навсегда. Но при этом вопрос об онтологическом статусе бесконечно малого остался открытым. Разумеется, среди мыслителей есть и такие, кто считает, что любой математический объект, не содержащий противоречий, обладает реальностью, выходящей за пределы чувственного мира. Подобной платонической философии придерживался и сам Робинсон на заре своей карьеры, но в дальнейшем он отказался от нее в пользу взглядов Лейбница, согласно которым бесконечно малые числа – это всего лишь «хорошо обоснованная выдумка».

Какова бы ни была реальность бесконечно малых, они реальны не в меньшей степени, чем обычные числа – положительные, отрицательные, рациональные, иррациональные, вещественные, мнимые и так далее. Когда мы говорим о числах, как учит современная логика, наш язык просто не может провести разграничение между нестандартной вселенной, доверху полной бесконечно малыми, и стандартной, где их нет. Однако остается осмысленным вопрос о том, обладают ли бесконечно малые физической реальностью, играют ли они роль в архитектуре природы.

Можно ли бесконечно делить вещество, пространство и время? Это заставляет вспомнить извечный метафизический вопрос, который (как говорят) облек в новую метафорическую форму Бертран Рассел: что есть реальность – груда песка или ведро патоки? В нашем веке вещество проанализировали до уровня атомов, а потом оказалось, что они, в свою очередь, состоят из протонов и нейтронов, а те – из частиц еще меньше, так называемых кварков. Можно ли считать, что на этом все? Вправе ли мы называть кварки «песчинками» вещества? Есть некоторые данные, что и у кварков имеется внутренняя структура, однако для изучения этой структуры нужно столько энергии, что физики никогда не сумеют ее накопить. Что касается пространства и времени, согласно современным спекулятивным теориям, они тоже могут иметь прерывистую, как у песка, структуру на самом маленьком масштабе, где минимальная длина – это планковская длина 10 сантиметров, а минимальное время – планковское время 10^–33–43 секунд (говорят, ровно столько времени требуется нью-йоркскому таксисту, чтобы просигналить, когда зажегся зеленый свет). И снова сторонники бесконечной делимости всегда могут сказать, что будь у нас больше энергии, мы открыли бы масштабы пространства-времени еще меньше – новые миры внутри миров. А еще они могут указать на сингулярность, из которой родилась наша Вселенная при Большом взрыве – бесконечно маленькое средоточие энергии. Что лучше бесконечно малого послужит началом всего сущего, онтологическим посредником между бытием и ничем?

Однако самое яркое представление о бесконечно малом даст, пожалуй, ощущение конечности нашего бытия перед лицом вечности – мысль, которая одновременно и способствует смирению, и пробуждает гордость. Эта мысль и ее ассоциации с бесконечно малым очень трогательно прозвучала в монологе Скотта Кэри, героя фильма «Невероятно уменьшающийся человек», снятого в 1950-е годы. В финале он под воздействием фантастического излучения уменьшается до того, что вот-вот исчезнет. «И вот я уменьшался и уменьшался – и во что же превратился? В бесконечно малое», – говорит он, а затем задумчиво произносит под звездным небом текст, достойный Паскаля: «Бесконечно большое и бесконечно малое так близки. Но я вдруг понял, что на самом деле это две стороны одного понятия. Неимоверно маленькое и неимоверно огромное рано или поздно сойдутся воедино, словно замкнется гигантский круг. Я посмотрел вверх, будто каким-то образом мог осознать, что происходит на небесах. И в этот миг я узнал ответ на загадку бесконечности. Я думал о ней с точки зрения человека и его ограниченных измерений. Я пренебрегал величием природы. Считал, что существование начинается и кончается в человеческом восприятии, а не с точки зрения природы. И ощущал, как мое тело уменьшается, тает, обращается в ничто. Но теперь мои страхи растаяли. И сменились смирением. Ведь весь этот огромный, величественный мир что-то да значит. А тогда и я что-то значу. Да-да, пусть я меньше мелкого, но тоже что-то значу. Для Господа не бывает нуля. Я еще существую».

Как, по-видимому, и бесконечно малое.