2. Сила притяжения
Из двух фундаментальных сил классической физики сила притяжения, удерживающая нас на поверхности Земли, выражена наиболее явно. Мы рассмотрим более подробно ее происхождение и последствия, что значительно расширит наше понятие о массе, с которым мы познакомились в предыдущей главе. Мы увидим, что существует три концептуально различных и тем не менее одинаковых массы, что является одной из великих загадок физики.
Рассмотрим феномен приливов и отливов, причиной которых является сила притяжения: мы увидим, что они касаются не только земных океанов, но также управляют множеством других явлений Солнечной системы.
1. Выражение силы притяжения
Три массы…
Притяжение между двумя телами
Сила притяжения управляет нашей повседневной жизнью: необязательно быть внимательным наблюдателем, чтобы понять, что земная поверхность неизбежно притягивает к себе все предметы. И что эта сила действует на расстоянии: спрыгните с летящего самолета, чтобы убедиться в этом! Но если мы выкопаем яму, наше падение вниз продолжится и там, то есть нас притягивает центр Земли.
А теперь вопрос: если все тела испытывают земное притяжение, то же самое должна испытывать и Луна: почему же она не падает?
Переместимся немного повыше и представим себя в геоцентрической системе отсчета: мы находимся в космосе и видим, как Земля медленно вращается у нас под ногами. Речь идет об инерциальной системе отсчета. Это значит, что при отсутствии воздействующей силы Луна должна иметь равномерную прямолинейную траекторию, а значит, должна была бы уже давно отдалиться от Земли. Однако Луна вращается вокруг Земли, то есть испытывает «нормальное ускорение», заставляющее ее описывать дугу (➙ рис. 2.1). Но где ускорение, там и сила, направленная в сторону ускорения, то есть… прямо к Земле! А вот и результат!
Рис. 2.1 – Сила Земли, воздействующая на Луну и на яблоко
Таким образом, Земля притягивает все, абсолютно все: это она заставляет яблоко падать с дерева, и она же удерживает Луну на ее орбите. К такому гениальному выводу пришел Ньютон, который первым сформулировал понятие гравитации.
Мы могли бы представить некое загадочное «притягивающее тело» в центре Земли, так же как в центре любой планеты и любой звезды. Но мы также можем предположить, что притяжение осуществляет обычная материя, из которой состоит Земля.
Напрашивается простой вывод: если обычная материя способна притягивать предметы на расстоянии, мы, человеческие существа, состоящие из материи, также должны притягивать к себе другие тела! Первый же прохожий на улице должен испытывать наше непреодолимое притяжение…
Так ли это? Ответ – да! Но это притяжение ничтожно и невидимо для нас. Зато его можно определить с помощью современных измерительных приборов: подвесьте к потолку два очень тяжелых шара на веревках так, чтобы они не касались друг друга (такой подвес называют маятником). Вы «увидите» (с помощью измерительного прибора), что оба маятника наклонены друг к другу, а вовсе не висят вертикально (впервые подобное измерение было проделано в 1798 г.).
Способность притягивать и способность притягиваться
Чем больше измерений мы сделаем, тем вернее убедимся в том, что чем большим весом и плотностью обладает тело, тем сильнее его способность притягивать окружающие предметы: это называют активной гравитационной массой, свойственной каждому объекту, которая отражает его способность притягивать другие объекты и выражается в килограммах.
Не следует путать ее с инертной массой, которая является инерцией объекта, то есть его сопротивляемостью ускорению. В то время как активная гравитационная масса представляет собой его способность притягивать другие тела. То есть на первый взгляд между ними нет никакой связи: единственный вывод – обе массы тем больше, чем больше вес и плотность объекта.
Это объясняет, почему Земля, которая представляет собой гигантское тело, с такой силой притягивает предметы, в то время как мы сами, хилые человечки, слишком малы, чтобы осуществлять видимое притяжение.
Таким образом, сила притяжения, действующая на объект, пропорциональна активной гравитационной массе притягивающего тела. Продолжим наше исследование новым опытом.
Поднимем два предмета: левой рукой теннисный шарик, а правой чугунное ядро каторжника. Ядро покажется нам гораздо тяжелее шарика. Поскольку ядро поднять сложнее, значит, сила притяжения, которая действует на него, больше, чем та, что действует на теннисный шарик.
Таким образом, сила притяжения также зависит еще от одного параметра, свойственного объекту, на который она воздействует: он называется пассивной гравитационной массой, выраженной в килограммах, которая точно соответствует интуитивному смыслу массы. В нашем случае чугунное ядро имеет гораздо большую пассивную гравитационную массу, чем теннисный шарик, потому что оно тяжелее: сила притяжения, действующая на него, гораздо больше, чем та, что действует на теннисный шарик.
ПРОГУЛКА ПО ЛУНЕ
На Луне астронавт чувствует себя очень легким: и действительно, активная гравитационная масса Луны гораздо меньше, чем у Земли, и сила ее притяжения слабее. Астронавт, прогуливающийся по Луне, может прыгать как кузнечик, все выше и выше, все дальше и дальше… пока со всего маху не натолкнется на первое же препятствие, которое перед ним возникнет.
На самом деле то, что астронавт стал легче, не означает, что его инертная масса стала меньше: масса тела является параметром, присущим каждому телу, и везде остается одинаковой. Инертность астронавта остается той же, что и на Земле, но, поскольку он чувствует себя легче, он забывает об этом. Прыгать он сможет выше, но от толчка инерция повлечет его с той же силой, что и на Земле. Соединение малого веса и большой инертности будет новым опытом для него, и ему придется двигаться с осторожностью.
Как же много получается разных масс! Пора подвести некоторый итог:
• инертная масса представляет собой сопротивляемость объекта ускорению;
• активная гравитационная масса представляет собой способность тела гравитационно притягивать к себе другие объекты;
• пассивная гравитационная масса представляет собой способность тела быть гравитационно притянутым другим телом.
Именно эту последнюю массу мы в повседневном обиходе именуем «весом»: когда мы говорим, что человек весит 60 кг, это означает, что его пассивная гравитационная масса равна 60 кг. А человек с весом в 100 кг испытывает двойное гравитационное притяжение по сравнению с тем, кто весит 50 кг.
Два довольно загадочных опыта
Чтобы следовать дальше и более подробно рассмотреть силу притяжения, ее необходимо изолировать от других сил: лучше всего переместиться на Луну, где трение воздуха не создаст помех, поскольку там нет атмосферы.
Там мы сможем провести два заключительных опыта, результаты которых ошеломляют…
Синхронное падение двух тел
Гордо помашем чугунным ядром в одной руке и теннисным шариком в другой на одинаковой высоте. Одновременно бросим на землю: против всякого ожидания и ядро и шарик достигнут пола в одно время. Это значит, что оба предмета получили одинаковое ускорение. (Опыт с перышком и молотком был проделан астронавтами корабля «Аполлон» в 1969 г.)
На предметы действуют две силы, противоположные друг другу:
• более высокая инертная масса ядра стремится замедлить его падение (ускорение затруднено);
• более высокая пассивная гравитационная масса ядра заставляет его испытывать более сильное притяжение Луны, что «толкает его вперед».
Поскольку ускорение обоих предметов одинаково, из этого следует, что действующие на них вышеупомянутые нагрузки уравновешивают друг друга: следовательно, инертная масса равна пассивной гравитационной массе. Результат, который никак невозможно было предвидеть!
Взаимное притяжение двух тел
Теперь проделаем второй опыт, похожий на первый и с таким же поразительным результатом. Подцепим наше ядро и теннисный шарик к двум горизонтальным пружинам высокой растяжимости, расположенным друг напротив друга (➙ рис. 2.2). Оба предмета притягиваются друг к другу благодаря силе притяжения, действующей между двумя телами, хотя этого и не видно невооруженным глазом. Чем сильнее растянута пружина, тем сильнее ее «тянет» предмет и, следовательно, тем больше сила притяжения предмета напротив.
УСКОРЕНИЕ ОДИНАКОВОЕ, СИЛЫ РАЗНЫЕ
Мы увидели, что чугунное ядро и теннисный шарик, сброшенные на Луне с одинаковой высоты, падали с одинаковой скоростью: означает ли это, что сила удара по поверхности Луны у обоих предметов одинакова? Ответ «нет», потому что, даже если их ускорение и одинаково, инерция (= инертная масса) у них разная: когда ядро брошено, его уже очень трудно остановить, разве что приложить колоссальное усилие. Однако когда ядро касается поверхности Луны, его скорость внезапно меняется с 8 км/ч на 0 км/ч, что потребует от почвы огромной силы: возможно, ядро оставит небольшую вмятину на месте падения, в то время как теннисный шарик подскочит, не нанеся ущерба.
Чья пружина растянута больше, ядра или шарика? Ответ на этот вопрос однозначен: обе пружины растянулись одинаково, а это значит, что ядро и шарик с одинаковой силой притягивают друг друга.
Рис. 2.2. – Гравитационное притяжение между ядром и шариком
Здесь также действуют силы, противоположные друг другу:
• активная гравитационная масса ядра больше массы шарика, то есть ядро сильнее притягивает шарик (который стремится сильнее растянуть пружину);
• пассивная гравитационная масса ядра больше массы шарика, поэтому ядро сильнее притягивается шариком (и старается сильнее растянуть пружину).
Поскольку обе пружины растянуты на одинаковую длину, значит, обе нагрузки компенсируют друг друга: то есть активная гравитационная масса равна пассивной гравитационной массе.
Загадочное равенство
Таким образом, оба наших эксперимента выявили совершенное равенство:
Инертная масса = пассивная гравитационная масса = активная гравитационная масса
Вот почему все три величины называют массой! Впрочем, в дальнейшем мы будем говорить просто о «массе» объекта, не уточняя, о какой именно.
Если результаты этих двух опытов кажутся вам «странными» и «волшебными», значит, вы все поняли!
Тождество «гравитационная масса = инертной массе» (а именно: «Два тела, брошенные одновременно, падают с одинаковой скоростью») всегда чрезвычайно интриговало физиков. Именно это и подтолкнуло Эйнштейна к созданию общей теории относительности, которая создает новую теорию гравитации: в дальнейшем мы обязательно к ней вернемся.
Равенство двух гравитационных масс («Силы, действие которых испытывают на себе два взаимодействующих предмета, равны») остается таким же загадочным с тех пор, как его открыл Ньютон. В дальнейшем оно позволит нам говорить просто о взаимном притяжении двух тел, не уточняя, кто кого притягивает, поскольку тела притягивают друг друга с одинаковой силой.
НЕВЕРНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ?
Равенство двух гравитационных масс означает, что сила, с которой теннисный шарик действует на ядро, равна силе, с которой ядро действует на теннисный шарик (что подтверждается предыдущим опытом). Однако это справедливо для любого тела: например, сила, с которой вы действуете на Землю, идентична той, с которой Земля воздействует на вас!
Вы не чувствуете себя настолько сильным? Такой результат поначалу кажется абсурдным, но все-таки он верен. Но важно понять, что ускорение будет очень разным: Земля обладает огромной инертностью (= огромной массой) и не сдвинется ни на миллиметр на ваших глазах, несмотря на огромную силу, с которой вы на нее воздействуете, в то время как ваша смехотворная инертность делает вас для Земли просто «игрушкой».
Возможно, все эти на первый взгляд странные заключения происходят от того, что определение, которое мы дали силе, неверно и не соответствует здравому смыслу. Мы представили силу в виде отношения F→; = ma→; в инерциальной системе отсчета. Не лучше ли записать, что F→; = a→;?
И действительно, если ускорение объектов одинаково, учитывать инертную массу нет никакого смысла: определенное пространство (= «определенная F→;») вызывает определенное ускорение (= «определенная a→;») независимо от рассматриваемого объекта (= m не играет роли). В этом случае мы находим силу, с которой Земля действует на нас, большой, а силу, с которой мы действуем на Землю, – незначительной: а это все же гораздо более интуитивное ощущение.
На самом деле, как всякий уважающий себя физик, в дальнейшем мы будем придерживаться нашего первого определения F→; = ma→;. Почему? Потому что электромагнитная сила придает объекту ускорение, которое зависит от его параметров, что вновь придает смысл упомянутой «m» (инертности объекта). Между тем вопреки всякому ожиданию именно электромагнитная сила в большей степени управляет нашей повседневной жизнью, хотя на первый взгляд она кажется совершенно скрытой от глаз. Именно это мы увидим в следующей главе.
Сила, действующая на расстоянии
Мы еще не закончили с гравитацией, разберем-ка ее поподробнее.
Вполне естественно, что сила притяжения уменьшается, если расстояние между двумя объектами увеличивается. В противном случае Солнце притягивало бы нас гораздо сильнее Земли, и мы давно бы на нем изжарились.
ЗАГАДОЧНОЕ ДЕЙСТВИЕ НА РАССТОЯНИИ
Может показаться удивительным, что два тела, разделенные пустотой, могут взаимодействовать друг с другом. Например, как Луна может создавать приливы и отливы на Земле, если ни один «вестник» не сообщает океанам о присутствии Луны, находящейся в 380 000 км над нами.
Тем не менее современная физика полагает, что всякое массивное тело испускает во все стороны такие частицы «вестники», называемые гравитонами. Именно они, достигнув объекта, сообщают ему о присутствии притягивающего тела и создают таким образом силу притяжения.
Эта гипотеза позволяет проще понять, почему гравитация уменьшается пропорционально квадрату расстояния.
Возьмем массивное ядро, которое испускает, к примеру, сто гравитонов в секунду во всех направлениях. Когда гравитоны преодолеют расстояние в 1 м, они будут распределены по поверхности сферы с радиусом 1 м, центром которой является ядро, а площадь составит 12,5 м² (площадь сферы с радиусом r равна 4πr²).
Когда гравитоны преодолеют 10 м, они будут распределены по сфере с радиусом 10 м, то есть на площади 1250 м². Таким образом, на одной единице площади будет в 100 раз меньше гравитонов, если расстояние до ядра увеличится в 10 раз (см. схему ниже).
Мы видим уменьшение, пропорциональное квадрату расстояния. А если число гравитонов разделить на 100, сила притяжения будет в 100 раз слабее, то есть сила притяжения подчиняется тому же закону уменьшения.
Гравитоны пока не были обнаружены из-за отсутствия достаточно точных приборов, но физики почти уверены, что они существуют. Им даже известна их скорость, которая равняется скорости света. Описание электромагнитной силы позволит нам понять, почему физики позволяют себе такую уверенность.
Если точнее, измерения показывают, что сила притяжения уменьшается пропорционально квадрату расстояния: если расстояние между объектами увеличилось в десять раз, сила притяжения уменьшится в сто раз.
Итак, теперь нам известно, что такое гравитация! Подведем итоги:
• Сила притяжения пропорциональна активной гравитационной массе притягивающего тела.
• Сила притяжения пропорциональна пассивной гравитационной массе притягиваемого тела.
• Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Осталось уточнить размер силы для заданных массы и расстояния, чтобы представлять себе порядок величин. И результат довольно поразительный: сила, действующая между двумя объектами массой 1 кг, находящимися на расстоянии 1 м, в 10 миллиардов раз меньше, чем сила, необходимая, чтобы открыть дверь с хорошо смазанными петлями! Понятно, что притянуть прохожего на улице нам не удастся…
Частное значение этой силы, действующей между двумя объектами массой 1 кг на расстоянии 1 м, называется гравитационной постоянной и обозначается G: именно она является коэффициентом гравитационного взаимодействия, с помощью которого можно измерить силу притяжения, действующую на любое тело независимо от его массы и расстояния до него. G является одной из фундаментальных физических констант, чье значение может быть установлено без дополнительных пояснений.
ВЫРАЖЕНИЕ СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ
Сила притяжения, осуществляемая телом с массой М на объект с массой m, находящийся на расстоянии d, выражается следующим образом:
Чтобы найти силу, с которой объект с массой m действует на тело с массой М, достаточно поменять местами М и m: мы увидим, что выражение силы не меняется. Таким образом, два взаимодействующих тела подвергаются действию одинаковой силы благодаря тому, что их гравитационные массы равны (М и m взаимозаменяемы).
Поскольку сила выражена вектором, необходимо указать ее направление: она направлена в сторону ускорения в инерциальной системе отсчета, то есть в сторону притягивающего тела.
А какую же роль играет вес?
Другое название силы притяжения
В предыдущих параграфах мы самым подробным образом рассмотрели понятие различных масс, но лишь вскользь упомянули понятие «вес».
Определение веса не так уж сложно: весом объекта называется сила, с которой он действует на поверхность земли, находясь в неподвижном состоянии. Однако эта сила практически полностью складывается из земного притяжения. Таким образом, можно приблизительно констатировать, что вес – это просто другое название силы притяжения.
В основном мы употребляем слово «вес», когда говорим об объектах, находящихся в непосредственной близости к поверхности планеты (в повседневной жизни), но употребляем понятие «сила притяжения», когда речь идет о космических объектах (спутниках, планетах, звездах).
Таким образом, когда мы говорим, что «весим» больше, чем кто-либо, это означает, что мы испытываем большую силу притяжения.
То есть понятие «вес» отличается от понятия «масса», как мы уже говорили, – если вы попадете на Луну, ваша масса останется прежней (этот параметр свойственен объекту); но вы будете «весить» меньше, потому что сила притяжения, действующая на вас, будет меньше.
Вернемся на Землю, где все нам привычнее. От чего же зависит вес объекта?
• разумеется, от его массы;
• от массы притягивающего тела, в данном случае Земли (она одинакова для любого объекта, расположенного на Земле);
• от гравитационной постоянной G, одинаковой для всех, как и указывает ее название;
• от расстояния между двумя взаимодействующими телами, в данном случае между Землей и объектом.
Каково это расстояние? 0 км – раз объект находится на поверхности Земли? Поскольку Земля огромна, ее масса понемногу распределена повсюду под нами, то есть определять расстояние до Земли не имеет смысла. Однако можно продемонстрировать (спасибо математике!), что все происходит так, будто масса Земли сосредоточена в ее центре. Но от центра Земли нас отделяет ее радиус, равный 6380 км, а это означает, что, если бы вся Земля целиком находилась от нас на расстоянии 6380 км, она действовала бы на нас с той же силой.
Таким образом, радиус Земли и есть то самое расстояние от Земли до объекта. И оно одинаково абсолютно для всех: даже если вы подниметесь на вершину Эвереста (8,8 км), вы почти не удалитесь от центра Земли (6389 км вместо 6380 км).
СТРАШНАЯ СТРЕЛКА ВЕСОВ
Встаньте на весы: что они показывают? Значение в килограммах, которое соответствует массе. Однако не стоит торопиться…
На самом деле весы испытывают на себе силу, с которой вы на них воздействуете (например, с помощью маленьких пружин, которые сжимаются слабее или сильнее, в зависимости от комплекции и роста человека). Однако сила, с которой вы действуете на весы, возникает из-за земного притяжения, что и является вашим весом. Таким образом, весы измеряют вес, а не массу, но почему же в таком случае они показывают результат в килограммах, а не в ньютонах?
Причина в том, что вес и масса связаны отношением P = mg. Но на Земле g = 10mc ², то есть между весом и массой добавляется коэффициент 10. Поэтому вместо того, чтобы показать 600 ньютонов (величину веса), весы покажут 60 кг (вашу массу). Коэффициент 10 в каком-то смысле заложен внутри весов.
Это значит, что ваши весы могут служить только на Земле, поскольку коэффициент g = 10 m/c² существует только на Земле! Отвезите весы на Луну, где сила тяжести в 6 раз слабее, и весы покажут 10 кг, потому что измеренный вес будет равняться 100 ньютонам.
Но не радуйтесь раньше времени, потому что этот результат ложный! Ваша масса по-прежнему равна 60 кг, просто ваш вес был поделен на 6.
В конечном итоге все эти параметры постоянны, за исключением массы объекта, которая зависит… от самого объекта! Также мы констатируем, что вес равняется произведению массы объекта m и константы g, единой для всех. Эта константа называется ускорением свободного падения. Она присуща любой планете и зависит, как мы увидели, от ее массы и ее радиуса.
Если обозначить вес буквой P, мы получим формулу P→; = mg→;.
Стрелка представляет собой вектор, чье направление следует уточнить: сила направлена к центру Земли, а значит, ускорение свободного падения тоже.
Ускорение свободного падения
Выражение веса P→; = mg→; очень похоже на выражение силы F→; = ma→;. Оно является верным для инерциальной системы отсчета, которой в первом приближении является земная система отсчета. Однако единственной силой, действующей на объект в свободном падении, является вес, то есть это можно записать как F→; = P→; или, используя двойное соотношение, ma→; = mg→;. Получается, что a→; = g→;. Таким образом, поле тяготения соответствует ускорению свободного падения объекта, каким бы он ни был. Поэтому величина g также называется ускорением свободного падения. Мы обнаруживаем, что все объекты, брошенные одновременно, падают с одинаковой скоростью, если на них действует только их вес.
Между тем g является константой, которую легко вычислить: на Земле она составляет примерно 10 м/с². Это означает, что в свободном падении на Земле скорость любого объекта каждую секунду возрастает на 10 м/с, то есть на 36 км/ч. То есть по прошествии 10 секунд объект движется уже со скоростью 360 км/ч!
Разумеется, на практике на объект действует и другая сила, которая его тормозит, – сопротивление воздуха. А значит, реальная скорость объекта будет гораздо ниже и даже стабилизируется, если объект сброшен с большой высоты: именно в этом состоит смысл парашюта, к которому мы вернемся в дальнейшем.
НЕВЕСОМОСТЬ
Вы едете в лифте, когда внезапно трос обрывается, и вы оказываетесь в свободном падении. Ускорение свободного падения одинаково для всех тел, поэтому и вы и лифт падаете с одинаковой скоростью. Это значит, что по отношению к лифту у вас нет никакого ускорения: не двигаясь, вы можете находиться внутри лифта в подвешенном состоянии. Иными словами, вы в невесомости.
Теперь перенесемся на Международную космическую станцию на орбите на высоте 350 км. Вы и космическая станция испытываете ускорение свободного падения, и именно оно удерживает вас на орбите, препятствуя вашему движению по прямой. Вы и станция подвержены одинаковому ускорению, то есть по отношению к станции у вас нет никакого ускорения. Так же как и в лифте, вы находитесь в состоянии невесомости.
Итак, если космонавты в космической станции находятся в состоянии невесомости, это не означает, что на них не действует гравитация (вес в космосе всего на 4 % меньше, чем на Земле): просто они испытывают такое же ускорение, что и станция.
В конечном итоге, если для того, чтобы оказаться в невесомости, нужно полететь в космос, это потому, что необходимо выйти из атмосферы, трение которой заставило бы упасть станцию на Землю. Пример с лифтом показывает, что можно испытать невесомость и на Земле, но этот опыт будет гораздо более кратким.
На практике существует специальный аэробус, предназначенный для тренировки космонавтов в атмосфере, – какое-то время самолет находится в свободном падении, прежде чем выровняться, не достигнув земли.
