3. Потенциальная энергия и закон сохранения энергии

Смысл потенциальной энергии

До сих пор мы рассматривали энергию кинетическую в ее макро- и микроскопическом (температура) аспектах. Она одна воплощает в себе все формы энергии, какие мы только можем себе представить: например, электрическая энергия связана с движением электронов по проводам.

Что же касается барреля нефти, бифштекса или ядерного топлива, они обладают энергией только в том смысле, в котором они способны вырабатывать кинетическую энергию. То есть они обладают потенциалом раскрыть кинетическую энергию. Другими словами, они обладают потенциальной кинетической энергией (что мы сокращаем до потенциальной энергии).

Из этого мы могли бы заключить, что на самом деле они энергией не обладают, ибо она всего лишь потенциальна. Но на самом деле под энергией мы подразумеваем настоящую кинетическую энергию и скрытую, которой предстоит себя проявить. То есть понятие энергии объединяет «явную» кинетическую энергию и кинетическую энергию потенциальную.

Приведем пример, чтобы точнее сформулировать понятие потенциальной энергии. Бросим мяч с крыши многоэтажного дома (силу трения в данном примере мы не учитываем). Изначально у мяча нет никакой скорости, то есть никакой кинетической энергии. Но благодаря гравитации мяч приобретет скорость, то есть он обладает «потенциальной кинетической энергией». Чему она равна?

Пророем яму к центру Земли: мяч продолжит падать с ускорением до тех пор, пока не достигнет центра Земли. То есть именно в центре Земли мяч достигнет своей максимальной кинетической энергии, которую мы обозначим E_Kmax. Это значит, что в момент броска мяч обладал «потенциальной энергией», равной E_Kmax (= он обладал потенциалом выработать кинетическую энергию E_Kmax) (➙ рис. 7.1).

Рис. 7.1 – Свободное падение мяча в туннеле, пересекающем Землю

С другой стороны, достигнув центра Земли, мяч больше не сможет ускоряться: его потенциальная энергия станет нулевой. То есть потенциальная энергия мяча, которую ему придает тяжесть, напрямую связана с высотой, на которой он находится: чем с большей высоты он падает, тем большую скорость он разовьет при падении.

Мы видим, что во время падения кинетическая энергия мяча изменилась от 0 до E_Kmax, в то время как его потенциальная энергия изменилась с E_Kmax до 0. Таким образом, общая энергия мяча (кинетическая + потенциальная) во время его движения осталась неизменной: его «потенциальная» энергия просто перешла в «кинетическую».

ВЕЛИЧИНА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Представим электрон, расположенный рядом с протоном. Предположим, что речь идет о точечных частицах. Из-за электростатического притяжения у электрона появится кинетическая энергия, потому что он будет ускоряться в сторону протона. То есть он с самого начала обладает потенциальной энергией.

Но сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между электроном и протоном. По мере того как электрон будет приближаться к протону, сила будет нарастать, а в момент их контакта она уже будет стремиться к бесконечности. Это значит, что ускорение будет стремиться к бесконечности: электрон приобретет бесконечную кинетическую энергию. Иными словами, изначально электрон обладал бесконечной потенциальной энергией.

Вывод довольно досадный: если все частицы обладают бесконечной потенциальной энергией, понятие потенциальной энергии становится не вполне адекватным… Именно по этой причине физики предпочитают считать «началом» потенциальной энергии то место, какое сочтут нужным. Другими словами, они скажут, к примеру, что потенциальная энергия электрона, находящегося в 1 м от протона, условно равна 0.

То есть величина потенциальной энергии не имеет смысла, поскольку она принята условно. В свою очередь, изменение потенциальной энергии сохраняет весь свой смысл: если кинетическая энергия увеличивается, потенциальная на столько же уменьшается. То есть изменение потенциальной энергии противоположно по смыслу изменению кинетической.

В дальнейшем в квантовой механике мы увидим, что частицы не могут считаться точечными и находящимися в определенном месте, и это уже снимает часть проблемы. Однако физики все же продолжают определять начало потенциальной энергии там, где им хочется…

Поскольку цель этой книги оставаться как можно ближе к физическому смыслу, мы никогда не будем пользоваться подобной условностью. В данной книге если объект обладает потенциальной энергией E, то это потому, что он действительно может приобрести максимальную кинетическую энергию E.

Точно так же кинетическая энергия может превратиться в потенциальную. Так будет, если мы продолжим туннель на другую сторону Земли. Увлекаемый своим полетом мяч продолжит траекторию вдоль по туннелю. В этом случае его кинетическая энергия уменьшится, а потенциальная будет параллельно возрастать (мяч будет набирать высоту).

Из предыдущего примера мы можем сделать несколько выводов. Первый в том, что понятие потенциальной энергии связано с понятием силы. В самом деле, чтобы объект обладал потенциальной энергией, необходимо, чтобы он мог достичь энергии кинетической, то есть он должен быть способен приобрести ускорение. А где ускорение, там и сила, что приводит нас к выражению F^→; = ma^→;.

Таким образом, своим существованием потенциальная энергия в предыдущем примере обязана силе тяжести, ее называют потенциальной энергией силы тяжести.

С другой стороны, в предыдущем примере мы констатируем, что энергия мяча сохранилась во время его движения. Сохранение энергии – важная идея физики, но ее надо рассматривать с осторожностью. В этом мы убедимся в следующем параграфе.

Сохранение энергии

Энергия сохраняется не всегда

Поскольку энергия содержит всю настоящую и будущую кинетическую энергию, нам хочется сказать, что энергия объекта всегда сохраняется: если объект приобретает кинетическую энергию, значит, часть его потенциальной энергии реализовалась в форме кинетической.

Проблема в том, что потенциальная энергия зависит от силы, действующей на объект, однако сила эта может измениться, если изменится окружающая среда. Энергия объекта сразу изменится тоже.

Приведем пример: возьмем отрицательно заряженный шар, который лежит на земле. Его кинетическая энергия равна нулю, а в отсутствие других заряженных объектов его потенциальная электростатическая энергия также равна нулю (шар не может приобрести скорость таким путем). Теперь поднесем к нему отрицательно заряженную линейку: наш шар внезапно обретает потенциальную энергию, потому что приобретет ускорение из-за отталкивания разных зарядов. Одним словом, шар приобрел энергию просто потому, что его окружение изменилось.

Таким образом, сохранение энергии объекта существует только тогда, когда окружающее его пространство остается неизменным. Так было с мячом, который бросили с крыши дома. Земля, которая его притягивала, оставалась неизменной.

Пример с двумя заряженными шарами

Чтобы все уточнить, разберем другой пример. Для этого возьмем два одинаково заряженных шара с одинаковой массой, которые толкнем навстречу друг другу. Шар слева будет темным, а шар справа светлым.

• Опыт 1 (➙ рис. 7.2.а): два шара, расположенные на большом расстоянии друг от друга, катятся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. На них действует одинаковая сила (принцип взаимодействия), а значит, у них одинаковое ускорение (одинаковая масса). Из-за отталкивания одинаковых зарядов шары затормозят, одновременно остановятся и покатятся в противоположные стороны.

Подведем первый энергетический итог: вначале, когда шары были далеко друг от друга, они не взаимодействовали и их потенциальная энергия была равна нулю (на них не действовала сила). То же самое произошло в конце, когда они снова разошлись на большое расстояние. Таким образом, их энергия является кинетической только в начале и в конце.

Рис. 7.2 – Отталкивание двух одинаково заряженных шаров

В обоих опытах общая энергия сохраняется. Во втором опыте произошел переход энергии от темного шара к светлому.

Поскольку окружающая среда остается неизменной (и нет никакого внешнего воздействия), общая энергия шаров сохраняется. Это значит, что конечная кинетическая энергия шаров равна их начальной кинетической энергии. Попросту говоря, шары катятся назад с той же скоростью, с какой катились вперед.

• Опыт 2 (➙ рис. 7.2.b): тот же опыт, но теперь вначале темный шар катится быстрее светлого. И в этом случае ускорение двух шаров одинаково. Поскольку скорость светлого шара меньше, он вскоре остановится и быстро покатится обратно. Темному шару, напротив, понадобится больше времени, чтобы остановиться. Светлый шар будет уже далеко, когда темный покатится в обратную сторону. То есть темному шару не удастся приобрести большую скорость.

Таким образом, темный шар потеряет энергию, поскольку от высокой первоначальной скорости он перейдет к слабой конечной (при этом его потенциальная энергия останется неизменной), а светлый шар энергию приобретет. Такое изменение энергии происходит потому, что окружение шаров нестабильно: на темный шар действует светлый, который находится в движении.

С другой стороны, на оба шара не воздействует ничего извне: то есть их общая энергия должна сохраняться. Это легко проверить по рис. 8.2.b: в ходе взаимодействия энергия попросту перешла от темного шара к светлому, но общая энергия шаров осталась прежней.

Учитывая трение

Нам известно достаточно, чтобы вновь обратиться к примеру мяча, который летит с крыши дома, учитывая на этот раз силу трения воздуха. Не будем забывать, что сила трения возникает из-за электростатического отталкивания между молекулами воздуха и атомами мяча: на микроскопическом уровне происходит нечто похожее на то, что показано на рис. 8.2.b.

Общая энергия системы (воздух + мяч) сохраняется, но часть энергии мяча сообщается воздуху: кинетическая энергия мяча уменьшается (мяч тормозит), в то время как кинетическая энергия молекул воздуха увеличивается (воздух нагревается).

По мере того как энергия мяча будет снижаться, он достигнет центра Земли с меньшей скоростью, чем в вакууме (у него более слабая кинетическая энергия), и поднимется не так высоко по ту сторону Земли (более слабая потенциальная энергия).

Выводы

Запомним: сохранение энергии объекта существует при условии, что окружающая среда остается неизменной (в том числе на молекулярном уровне, если молекулы взаимодействуют), потому что в этом случае можно определить потенциальную энергию.

В частности, энергия сохраняется, если объект «изолирован». Например, Вселенная (которая изолирована по определению, поскольку ничего вне ее не существует): общая энергия Вселенной сохраняется.

Это означает, что создать энергию невозможно. Если мы хотим увеличить количество энергии, необходимо где-то ее взять. Утешительно то, что и уничтожить энергию также невозможно.

Это утверждение влечет за собой многие выводы. Поднимитесь по горной тропинке: вы набираете высоту, следовательно, увеличивается потенциальная энергия силы тяжести, не теряя скорости (кинетическая энергия постоянна). Это значит, что ваша макроскопическая энергия увеличивается. Но вы же где-то берете эту энергию: потенциальная микроскопическая энергия пищи, которую вы употребили, уменьшается благодаря химическим процессам, происходящим в вашем теле.

Также, когда вы спускаетесь по тропинке, вы теряете макроскопическую энергию, но эта энергия переходит в другое место. В частности, она переходит в теплоту – шагая, вы подогреваете пространство вокруг себя.

Таким образом, переход энергии от одного тела к другому в нашей жизни происходит постоянно. В следующей главе мы рассмотрим это в подробностях.

СЛЕДУЕТ ЗАПОМНИТЬ

• Энергия связана с движением (кинетическая энергия) и с возможностью движения (потенциальная энергия).

• Кинетическая энергия пропорциональна массе объекта m и его скорости в квадрате ν. Ее формула E_K = ½mν².

• Для умеренного давления отношение между давлением, объемом и температурой газа выражается: PV = νRT (где P – давление, V – объем, ν – число молей, T – температура, а R – универсальная газовая постоянная). Это называется уравнением состояния идеального газа.

• Температура тела (по Кельвину) пропорциональна средней кинетической энергии молекул в системе отсчета этого тела. Эта связь помогает объяснить уравнение состояния идеального газа, полученное опытным путем.

• Общая энергия объекта подразделяется на макроскопическую (называемую механической энергией) и микроскопическую (называемую внутренней энергией).

• Общая энергия объекта сохраняется при условии, что внешнее материальное окружение остается неизменным, в том числе на молекулярном уровне, если молекулы взаимодействуют. В противном случае понятие потенциальной энергии для этого объекта не имеет смысла.

• В частности, энергия изолированного объекта сохраняется: во Вселенной невозможно создать или уничтожить энергию.