XI. Быстр наш корабль по имени «Дирак»

Изучение уравнений Максвелла заполнило некоторые лакуны в нашем понимании физики за пределами КЭД и помогло построить систему дорог, связавших землю Атома с электроном. Теперь у нас есть возможность путешествовать не только по побережьям островов, которые мы откроем в дальнейшем, но и проникать в глубь этих островов. Перед нами приоткрылась и теория относительности Эйнштейна.

Однако уравнения Максвелла не являются квантово-механическими, а как мы уже знаем, без квантовой механики земля Атома не будет иметь смысла. Размышляя о том, как объединить принцип относительности и квантовую механику в КЭД, мы неожиданно для себя оказываемся вознаграждены. Мы уже видели волновую природу электронов, находящихся вокруг атомных ядер. Волновые свойства есть неотъемлемая черта химии и физики. Волна должна описываться каким-то волновым уравнением, которое расскажет нам, как эта волна себя ведет. Простейшее уравнение, которое можно использовать для описания поведения волны, было получено Эрвином Шрёдингером в 1925 году. Он придерживался классической идеи связи энергии частицы с ее импульсом, и простая ловкость рук превращает эту связь в волновое уравнение. Важным становится представление о новом базовом объекте – так называемом основном квантовом состоянии, которое содержит всю возможную информацию о частице. В указанном преобразовании энергия зависит от того, как меняется состояние частицы со временем и как импульс связан с расстоянием.

Но и этого нам уже недостаточно. На борт нужно взять теорию относительности. На нашей славной маленькой лодочке, боюсь, мы далеко не уплывем. Чтобы двигаться дальше, нам понадобится что-то более мощное и прочное. Нужен корабль посолиднее. Здесь на горизонте появляется Поль Дирак.

Классическая, дорелятивистская связь энергии и движения восходит к Исааку Ньютону и другим ученым XVII века. Эта связь заключается в том, что кинетическая энергия – энергия движения – есть половина произведения массы на квадрат скорости. После хитрых манипуляций Шрёдингера эта связь трансформируется в волновое уравнение, описывающее движение квантовой частицы. Уравнение Шрёдингера очень хорошо работает для прогнозирования поведения электронов и других частиц, учитывает многие тонкие квантовые эффекты, например переходы электронов между энергетическими уровнями в атоме, о чем мы уже говорили выше. Но эта связь энергии и импульса имеет место только при скоростях, гораздо меньших, чем скорость света; она еще не усвоила уроки теории относительности. Мы же хотим исследовать поведение частиц при высоких энергиях (и высоких скоростях), и поэтому нам нужно как-то улучшить уравнение Шрёдингера, чтобы учесть релятивистские эффекты.

Будем снова отталкиваться от идеи, использованной Шрёдингером для получения волнового уравнения, а именно от поиска связи между энергией и импульсом. Воспользуемся для этого соотношением Эйнштейна, которое связывает энергию и импульс. Энергия будет говорить нам, как квантовое состояние зависит от времени, а импульс – как квантовое состояние зависит от положения. Окончательно мы получим новое волновое уравнение, которое будет работать даже для скоростей, близких к скорости света.

Полная форма уравнения Эйнштена E = mc² включает импульс частицы, ее массу и энергию, связывая квадрат энергии с квадратом массы и квадратом импульса. При такой форме записи мы сталкиваемся с проблемой, пытаясь превратить эту формулу в квантовое уравнение.

Квадратное уравнение всегда имеет два решения. Если я знаю, что квадрат некоторого числа равен четырем, то что я могу сказать об этом числе? Это может быть двойка, потому что два умножить на два – как раз четыре. Но это может быть и минус два, потому что умноженное само на себя это число тоже, очевидно, даст четверку. Точно так же −E, умноженное на −E, равно E, умноженному на E. Получается, что наши новые уравнения в качестве решения допускают отрицательные энергии. Это не так-то легко прочувствовать. Что такое частица с отрицательной энергией или даже с отрицательной массой? Этот вопрос оказывается чрезвычайно важным.

Как вы помните, чтобы получить правильные ответы на вопросы о поведении квантовых частиц – о том, как и куда они движутся, как взаимодействуют или связываются друг с другом, – мы должны рассмотреть все возможные способы их поведения, когда они выходят из одной точки и финишируют в другой. Только в этом случае мы получаем правильное сочетание волнового и «частицеподобного» поведения, которое наблюдается в природе. Это означает, что мы не можем произвольно выбирать решения для нашего волнового уравнения. Нужно учитывать все возможные решения, а это означает, что мы должны позволить электронам иметь отрицательную энергию, причем значительное количество. Но мы не видим таких электронов вокруг себя.

Хуже того, возможность существования состояний с отрицательной энергией предполагает, что электроны, заряженные положительно, могут как бы «погружаться» в такие состояния и исчезать. Следовательно, количество электронов не будет сохраняться. Это очень плохое известие для закона сохранения электрического заряда. Кроме того, оно абсолютно несовместимо с уравнениями Максвелла.

Ничто из вышеописанного не соответствует реальному поведению электронов. Таким образом, прежний рецепт «изготовления по умолчанию» квантово-волнового уравнения для электронов (по крайней мере) не подходит. Нам действительно нужна лодка побольше.

Отрицательные решения допустимы, потому что в уравнение входит квадрат энергии. Что действительно необходимо – так это вывести уравнение, в котором энергия появлялась бы без квадратной степени.

Итак, подводя итог возникшим трудностям, можно сказать следующее: чтобы получить дополнительную информацию о частицах, нужно вывести уравнение, согласованное с принципами теории относительности, но которое не содержало бы энергию и импульс в квадрате. Нужна формула, которую можно, например, выразить словами: «энергия равна величине А, умноженной на массу, плюс B, умноженное на импульс», где A и B – некоторые неизвестные числа, которые подлежат определению. Это очень распространенный математический прием. Найдем A и B – и мы снова в пути!

Проблема в том, что нет чисел, которые «работали» бы, подставь мы их на место A и B. Чтобы уравнение «заработало», нам нужны такие A и B, которые бы «не коммутировали». В данном случае смысл этого слова далек от его обывательского значения. Коммутация означает, что произведение A на B равно произведению B на A. Для чисел это всегда верно – достаточно заглянуть в школьную таблицу умножения. Даже мнимые числа, такие как, например, квадратный корень из минус единицы, которые могли бы оказаться довольно странными, все равно демонстрируют свойство коммутации и, следовательно, никак не помогут нам в нахождении релятивистского волнового уравнения.

В этот момент возникает сильный соблазн сдаться, закончить путешествие и оставить белое пятно на оставшейся части карты. Быть может, поведение внутриатомных частиц просто не восприимчиво к математике? Быть может, просто не существует волнового уравнения, которое может дать описание поведения электронов и одновременно с этим удовлетворить теории относительности? Быть может, наконец, эти воды слишком бурные для нас, а дороги непроходимы?..

Но не для Поля Дирака!

Поль Дирак решил эту задачу в 1928 году. Он нашел уравнение, которое описывает движение квантовой частицы, движущейся с релятивистскими скоростями. Это уравнение включает в себя новый раздел математики, который мы еще не использовали в нашем путешествии, но запасливо держали под рукой. Первый шаг – это признаться, что действительно существуют математические объекты, которые не коммутируют. Один из типов таких объектов – матрица. В математике матрица представляет собой массив чисел, расположенных в строках и столбцах, а также правила сложения, умножения и других операций для таких объектов. Математики совершают много подобных преобразований: определяют какой-нибудь новый абстрактный математический объект, обладающий определенным поведением, а потом играют с ним, чтобы посмотреть, что получится. С точки зрения математика совершенно не важно, есть ли хоть какое-то соответствие между придуманной им игрушкой и реальным физическим миром. С точки зрения физика, который ищет некоммутирующие объекты, математика – сокровищница.

Матрицы могут оказаться на месте чисел, которые мы безуспешно пытаемся подставить в релятивистское уравнение. Матрицы заставят «работать» это уравнение, и таким образом математика приведет нас к пониманию того, какие физические предсказания мы сможем получить. Предсказания, следующие из уравнения Дирака, оказались крайне драматичны. Простейшие матрицы, которые обращаются к уравнению Дирака, представляют собой четыре столбца и четыре строки, по четыре числа в каждой. Они умножают квантовое поле, которое описывает частицу, точно так же, как в уравнении Шрёдингера. Но по «правилам матричной игры» объекты, сомножителями которых являются матрицы, – сами тоже уже не числа. Эти объекты должны иметь четыре компоненты, расположенные столбиком. Коль скоро вы решили, что вам нужны матрицы, вам для описания частицы окажутся нужны четыре квантовых поля, а не одно. Как и следовало ожидать, тот факт, что квантовое поле четырехкомпонентно, имеет реальные физические последствия. И теперь мы сможем отправиться на юг. А еще мы разгадаем одну тайну, с которой столкнулись давно, еще в земле Атома.