X. Инвариантность и относительность

Ключевую роль в нашем исследовании земель незримого играют уравнения. Они связывают различные объекты этих земель друг с другом и дают новое представление о том, как эти объекты себя ведут, – это мы видели, говоря о смысле волновых уравнений. Пожалуй, еще нигде так не проявлялась суть этих уравнений, как на тех дорогах, на которые мы теперь ступили. Уравнения Максвелла содержат настолько мощный ресурс познания окружающих нас территорий, что они с избытком вознаградят нас за то пристальное внимание, которое мы им уделили.

Уравнения Максвелла «работают» в трех измерениях, и они связывают поля, которые влияют друг на друга в разных направлениях. К примеру, электрическое поле в направлении с севера на юг зависит от поведения магнитного поля в направлении с востока на запад. Максвелл выписал все компоненты полей во всех возможных направлениях, получив 20 отдельных уравнений. Быть может, именно поэтому лорду Кельвину потребовалось много времени, чтобы прочесть соответствующую статью.

Существует более элегантный способ записи той же информации, и он укажет на новые важные особенности, которые весьма пригодятся нам в путешествии по физическим просторам. Итак, уравнения могут быть записаны всего в четыре строки с использованием математических объектов, называемых векторами. Поговорим об этом подробнее. Число – это базовая математическая концепция, которая может быть использована для описания разных физических параметров, размера или величины чего-либо, например веса машины, на которой мы сейчас путешествуем, или температуры двигателя, когда машина преодолевает крутой склон. Вектор же – это математическое понятие, которое может описывать объекты, обладающие как величиной, так и направлением, подобно стрелке-указателю. К примеру, скорость – это вектор. Вместо того, чтобы рассуждать, насколько быстро едет наша машина при движении с севера на юг и с востока на запад, мы можем рассматривать ее вектор. Длина вектора – это скорость машины, а угол указывает направление движения. Аналогично электрическое поле имеет величину и направление и поэтому может быть описано вектором.

Векторная форма записи уравнений Максвелла оказалась полезной не только с точки зрения экономии чернил. Такое лаконичное представление помогло выявить интересную математическую симметрию в этих уравнениях: они не меняются при изменении угла и ведут себя аналогично поведению сферы при вращении. Другими словами, если я поворачиваю все векторы так, что указывавшие прежде на север станут теперь указывать на восток, или на юго-запад, или еще куда-нибудь, ничего не изменится: те же уравнения будут верны. Говоря языком физики и математики, в этом случае уравнения «инвариантны» относительно вращений. Если мы повернем нашу машину и сменим направление движения с востока на север, то уравнения Максвелла останутся теми же.

Поиск инвариантностей и симметрий, подобных обнаруженным нами для уравнений Максвелла, представляет собой одно из вернейших руководств в поисках разумного маршрута при путешествии по землям незримого. В дополнение к вращательной инвариантности, в уравнениях Максвелла есть и еще одна, скрытая, инвариантность, а именно: уравнения не меняются при изменении скорости. Такая инвариантность относительно изменения скорости далеко не очевидна. Действительно, есть уравнения, дающие связь движущегося электрического заряда (или, что то же самое, электрического тока) и порождаемого этим движением магнитного поля. Если я меняю свою собственную скорость, то, получается, я меняю и видимую скорость тока. Кажется логичным и то, что в принципе я могу даже догнать ток, что с моей точки зрения станет эквивалентно его отсутствию. И что же, в таком случае, мне скажут о магнитном поле уравнения Максвелла?

На нашей карте местности, которую мы продолжаем дорисовывать в процессе путешествия, дорожная сеть олицетворяет электромагнетизм. Давайте проведем один мысленный эксперимент. Пусть мимо нас одна за другой проезжают машины, каждая со скоростью 50 км/час, и пусть каждая из них перевозит большой ящик электронов (следовательно, отрицательный заряд). Этот поток машин моделирует электрический ток. Следовательно, уравнения Максвелла говорят нам, что из-за этого тока должно появиться магнитное поле (точно так же, как электрическое поле появляется из-за наличия заряда у электронов). Так и происходит, и мы можем измерить оба поля. Теперь давайте представим, что мы сами ускоряемся до скорости 50 км/час в том же направлении, что и машины. Итак, мы движемся с ними в едином потоке. По отношению к нам все эти машины неподвижны, поэтому электрического тока больше нет. Следовательно, не должно быть и магнитного поля. Что же, действительно ли физические процессы вокруг нас изменились только потому, что мы теперь движемся? С точки зрения наблюдателя, стоящего на обочине дороги, ток есть, и согласно уравнениям Максвелла ничего не изменилось. Значит, есть и магнитное поле. Что же получается с точки зрения нашего эксперимента: каждому нужна своя «версия» уравнений Максвелла? Продолжая эту мысль, зададимся вопросом: а как насчет любого другого наблюдателя, который может двигаться с любой скоростью, в том числе и со скоростью 50 км/час в направлении, противоположном потоку машин? Должен ли он тогда увидеть более сильный электрический ток?

Решение кажущегося противоречия состоит в том, что мы все используем одни и те же уравнения Максвелла. Они одинаковы как для движущегося наблюдателя, так и для неподвижного, потому что эти уравнения обладают математическим свойством инвариантности относительно скорости. Действительно, для нас, едущих в потоке, магнитное поле исчезает, потому что исчезает ток, но само электрическое поле меняется таким образом, что в результате связи между движением и силами остаются неизменными. Это кажется почти чудом, но это в точности предсказывается уравнениями Максвелла. Говорят, что электрические и магнитные поля «ковариантны» – они совместно изменяются таким образом, что сохраняют инвариантными уравнения Максвелла. Нам нужна одна-единственная версия физики, вне зависимости от того, насколько быстро мы двигаемся друг относительно друга.

Все вышесказанное имеет далеко идущие последствия. Вспомните, что уравнения Максвелла могут быть использованы для получения волнового уравнения для электромагнитной волны. Последняя же движется со скоростью света. Если уравнения всегда одинаковы, то не имеет значения, с какой скоростью мы движемся. Следовательно, скорость света одинакова для всех движущихся объектов. Скорость света есть инвариант.

Тот факт, что скорость света всегда и для всех одинакова, независимо от собственной скорости каждого, есть основополагающий принцип теории относительности Эйнштейна. Теория относительности нужна и для описания быстро движущихся частиц, обладающих высокими энергиями. Мы встретим такие частицы во множестве. Согласно теории относительности, энергия (Е) и масса (m) связаны друг с другом знаменитым уравнением E = mc², где c есть скорость света – скорость волн, первоначально полученная из уравнений Максвелла.

Слишком много информации взято из системы уравнений, полученных еще в XIX веке. Удерживая электроны в связи с ядром, эти уравнения сохраняют всю землю Атома. Все частицы, имеющие электрический заряд, могут пропускать фотоны вперед и назад, притягивая или отталкивая друг друга – все это формирует дорожную сеть, соединяющую многие уже исследованные нами земли. Кроме того, уравнения Максвелла показали нам набор общих правил и идей – таких как инвариантность и относительность, – которые помогут нам в дальнейших исследованиях.