В прошлой главе мы остановились на решениях уравнения Уилера – Девитта, открытых Якобсоном и Смолином. Эти решения строятся для замкнутых линий, или петель. Что всё это означает?

Вы, конечно, помните фарадеевы линии – те, что несут электрическую силу и, по представлениям Фарадея, заполняют пространство? Из какой концепции «поля» происходят эти линии? Замкнутые линии, появляющиеся в решениях уравнения Уилера – Девитта – это, по сути, Фарадеевы линии гравитационного поля.

Однако теперь к идеям Фарадея добавляются две новые составляющие.

Первая из них заключается в том, что мы имеем дело с квантовой теорией. В квантовой теории всё дискретно. Это означает, что непрерывная паутина бесконечно тонких параллельных линий теперь становится похожей на реальную паутину: она содержит конечное число отдельных линий. Каждая такая линия, определяющая решение уравнения Уилера – Девитта, описывает одну нить этой паутины.

Второй новый аспект, играющий ключевую роль, состоит в том, что мы говорим о гравитации, а значит, как показал Эйнштейн, речь идет не о полях, погруженных в пространство, но о структуре самого пространства. Фарадеевы линии квантового гравитационного поля – это нити, из которых соткано пространство.

Поначалу исследования концентрировались на этих линиях и на том, как они «сплетаются» в наше трехмерное физическое пространство. На рис. 6.1 представлены первые попытки дать интуитивную картину дискретной структуры пространства, которая из этого получается.

Рис. 6.1. Квантовая версия фарадеевых силовых линий, из которых сплетается трехмерная сеть взаимосвязанных колец (петель)

Вскоре, однако, благодаря интуиции и математическим талантливым молодым ученым, таким как аргентинец Хорхе Пуллин и поляк Журек Левандовски, стало ясно, что ключ к пониманию физики обсуждаемых решений лежит в точках, где эти линии пересекаются. Эти точки называются узлами, а линии между узлами – ребрами. Сеть пересекающихся линий образует так называемый граф – это совокупность узлов, соединенных ребрами, как на рис. 6.3 (с. 179).

Фактически расчеты показывают, что без узлов физическое пространство не имеет объема. Иными словами, объем пространства сидит в узлах графа, а не в его ребрах. Линии связывают вместе отдельные объемы, находящиеся в узлах.

На то, чтобы полностью прояснить получившуюся картину квантового пространства-времени, ушли годы. Потребовалось преобразовать плохо определенный математический аппарат уравнения Уилера – Девитта в более определенную форму, пригодную для вычислений. После этого появилась возможность получать точные результаты. Ключевой технический результат, проясняющий физический смысл наших графов, – это расчет спектров объема и площади.

Возьмем любую область пространства, например комнату, в которой вы читаете эту книгу, если вы находитесь в комнате. Насколько велика эта комната? Размер комнатного пространства измеряется его объемом. Объем – это геометрическая величина, которая зависит от геометрии пространства, но геометрия пространства – как показал Эйнштейн и рассказывал я в главе 3 – это гравитационное поле. Объем, таким образом, – это свойство гравитационного поля, выражающее, сколько гравитационного поля находится между стенами вашей комнаты. Но гравитационное поле – это физическая величина, которая, как любая другая, подчиняется законам квантовой механики. В частности, как любая физическая величина, объем не может принимать произвольные значения, но только некоторые определенные, как я описывал в главе 4. Список всех возможных значений, если вы помните, называется спектром. А значит, должен существовать спектр объема (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Спектр объема: объем правильного тетраэдра, который физически может существовать, численно ограничен. Наименьший (внизу) – это самый маленький существующий объем

Дирак дал нам формулу, по которой вычисляется спектр любой переменной. Это вычисление требует времени: сначала – чтобы задать его, а затем – выполнить, и это довольно тяжелая работа. Эти расчеты были выполнены в середине 1990-х годов, и, как и ожидалось (Фейнман любил говорить, что мы ничего не должны считать, не зная заранее результат), спектр объема является дискретным, то есть объем может состоять только из дискретных пакетов. Это чем-то похоже на энергию электромагнитного поля, которое тоже складывается из дискретных пакетов – фотонов.

Узлы нашего графа представляют эти дискретные пакеты объема и, как и в случае с фотонами, могут иметь лишь определенные размеры, которые можно вычислить, используя общее квантовое уравнение Дирака. Каждый узел n в графе имеет свой собственный объем v_n, равный одному из значений в спектре объема. Узлы – это элементарные кванты, из которых состоит физическое пространство. Каждый узел графа – это квантовая частица в пространстве. Структура, которая при этом получается, изображена на рис. 6.3.

Ребро – это отдельная квантовая фарадеева линия. Теперь мы понимаем, что они представляют собой: если считать два узла двумя крошечными областями пространства, то они будут отделены друг от друга крошечной поверхностью. Размер этой поверхности – это ее площадь. Это вторая величина после объема, характеризующая квантовую паутину пространства, – площадь, ассоциированная с каждой линией.

Рис. 6.3. Слева изображен граф, образованный узлами, которые соединены ребрами. Справа – зернистое пространство, которое представлено этим графом. Ребра обозначают смежные частицы, разделенные поверхностями

Эта площадь, как и объем, – физическая переменная, и она имеет спектр, который можно рассчитать, используя уравнение Дирака. Площадь не является непрерывной величиной, она тоже зерниста. Не существует такой вещи, как произвольно малая площадь.

Пространство кажется нам непрерывным только потому, что мы не способны воспринимать чрезвычайно малый масштаб отдельных квантов пространства. Точно так же, когда мы вблизи рассматриваем ткань футболки, то видим, что она состоит из тонких переплетающихся нитей.

Когда мы говорим, что объем комнаты составляет, например, 100 кубических метров, мы на самом деле подсчитываем зерна пространства – кванты гравитационного поля, – которые в ней содержатся. Для комнаты их количество выражается стозначным числом. Когда мы говорим, что площадь этой страницы – 200 квадратных сантиметров, мы в действительности считаем число ребер паутины (или петель), пересекающих страницу. Для страницы этой книги число квантов площади выражается примерно семидесятизначным числом.

Идея, что измерение длины, площади и объема – это вопрос подсчета их отдельных элементов, была предложена в XIX веке самим Риманом. Математик, который разработал теорию непрерывных искривленных математических пространств, уже понимал, что дискретное физическое пространство, в конечном счете, более разумная идея, чем непрерывное.

Подводя итоги, можно сказать, что петлевая квантовая гравитация, или петлевая теория, объединяет общую теорию относительности с квантовой механикой довольно консервативным образом, поскольку она не вводит никаких других гипотез, кроме тех, которые содержатся в самих этих теориях, записанных в такой форме, чтобы они были совместимы. Однако выводы оказываются поистине радикальными.

Общая теория относительности говорит, что пространство – это нечто динамическое, подобно электромагнитному полю: огромный подвижный моллюск, внутрь которого мы все погружены, растягивающийся и изгибающийся. Квантовая механика утверждает, что любое поле такого рода состоит из квантов, иными словами, оно имеет тонкую зернистую структуру. Отсюда следует, что физическое пространство, будучи полем, тоже состоит из квантов. Такая же зернистая структура, характерная для других квантовых полей, присуща и квантовому гравитационному полю, а значит, и пространству. Мы ожидаем, что пространство будет зернистым. Мы ожидаем, что существуют кванты гравитации, так же как есть кванты света, кванты электромагнитного поля и частицы, служащие квантами квантовых полей. Но поскольку пространство является гравитационным полем, кванты гравитационного поля – это кванты пространства, его зернистые составляющие.

Главное предсказание петлевой теории состоит, таким образом, в том, что пространство не является континуумом, его нельзя делить до бесконечности, оно состоит из «атомов пространства», которые в миллиарды миллиардов раз меньше самого маленького из атомных ядер.

Петлевая теория описывает эту атомарную, или зернистую, квантовую структуру пространства в точной математической форме, полученной путем применения общих уравнений квантовой механики, выведенных Дираком, к эйнштейновскому гравитационному полю.

В частности, петлевая теория говорит, что объем (например, объем некоторого куба) не может быть сколь угодно малым. Существует минимальный объем. Не может существовать области пространства меньше этого минимального объема. Существует минимальный квантовый объем – элементарный атом пространства.

Помните Ахиллеса, соревнующегося с черепахой? Как отмечал Зенон, трудно принять идею, что Ахиллес преодолевает бесконечное число отрезков, прежде чем догнать медлительное животное. Математики нашли возможный ответ на это затруднение, показав, как бесконечное число последовательно уменьшающихся интервалов может, тем не менее, складываться в конечный совокупный интервал.

Но действительно ли это происходит в природе? Реальны ли интервалы между Ахиллесом и черепахой, становящиеся сколь угодно короткими? Действительно ли имеет смысл говорить о миллиардно-миллиардно-миллиардных долях миллиметра, а затем представлять их себе делимыми вновь и вновь бесконечное число раз?

Расчеты квантовых спектров геометрических величин показывают, что ответ на этот вопрос отрицательный: сколь угодно малых кусочков пространства не существует. Есть нижний предел делимости пространства. Он, конечно, очень мал, но он существует. Именно об этом догадывался Матвей Бронштейн в 1930-х годах. Расчеты спектров объема и площади подтверждают его идею и придают ей математически точную форму.

Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зерен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться все ближе и ближе к черепахе, пока, наконец, не настигнет ее одним квантовым скачком.

Однако если подумать, не есть ли это в точности то же решение, что было предложено Левкиппом и Демокритом? Они говорили о зернистой структуре материи, но мы плохо представляем себе, что же в точности они говорили о пространстве. К сожалению, у нас нет их текстов, и мы вынуждены обходиться скудными фрагментами, которые цитируют другие авторы. Это подобно попыткам восстановить шекспировские пьесы по списку цитат из Шекспира. Упоминаемое Аристотелем демокритовское рассуждение об абсурдности континуума как совокупности точек может быть применено к пространству. Я представляю себе, как спрашиваю Демокрита, имеет ли смысл деление пространственного интервала до бесконечности, а он в ответ может лишь повторить, что делимость должна иметь предел. Для философа из Абдеры материя состояла из неделимых атомов. Но я думаю, осознав однажды, что пространство очень похоже на материю и, как он сам отмечал, имеет свою собственную природу, «определенную физику», он бы без колебаний сделал вывод о том, что пространство тоже может состоять только из элементарных неделимых кусочков. Возможно, мы лишь идем по стопам Демокрита.

Я, конечно, не имею в виду, что физика двух последующих тысячелетий была бесполезной, что эксперименты и математический аппарат не нужны и что Демокрит столь же убедителен, как современная наука. Очевидно, что это не так. Без экспериментов и математики мы никогда не поняли бы того, что понимаем сейчас. Однако мы разработали свои концептуальные схемы понимания мира не только исследуя новые идеи, но также опираясь на мощную интуицию гигантов прошлого. Демокрит – один из них, и мы открываем новое, сидя на его титанических плечах.

Вернемся, однако, к квантовой гравитации.

Графы, которые описывают квантовые состояния пространства, характеризуется объемом v для каждого узла и полуцелой величиной j для каждого ребра. Граф с такой дополнительной информацией называется спиновой сетью (рис. 6.4). (Полуцелые величины в физике называют спином, поскольку они появляются в квантовой механике вращающихся объектов.) Спиновая сеть представляет квантовое состояние гравитационного поля – квантовое состояние пространства; зернистого пространства, в котором площадь и объем дискретны. Мелкоячеистые сети широко используются в физике как аппроксимации непрерывного пространства. Здесь же нет пространственного континуума, нуждающегося в аппроксимации, – пространство зернисто по своей природе.

Рис. 6.4. Спиновая сеть

Ключевое различие между фотонами (квантами электромагнитного поля) и узлами графа (квантами гравитации) состоит в том, что фотоны существуют в пространстве, тогда как кванты гравитации представляют собой само пространство. Фотоны характеризуются местом, «где они находятся». Кванты пространства не имеют места, где они могут находиться, поскольку они сами являются местом. Есть лишь один элемент информации, характеризующей их пространственное положение, – информация о том, с какими еще квантами пространства они соседствуют, какие еще кванты находятся рядом с ними. Эта информация выражается ребрами графа. Два узла, соединенные ребром, – это два близких узла. Это два зерна пространства, находящихся в контакте друг с другом, и такие «соприкосновения» определяют структуру пространства.

Кванты гравитации, таким образом, не находятся в пространстве, они сами и есть пространство. Спиновые сети, которые описывают квантовую структуру гравитационного поля, не погружены в пространство; они не заполняют его. Расположение отдельного кванта пространства определяется не иначе как только ребрами и теми связями, которые они выражают.

Если я буду переходить от зерна к зерну по ребрам, пока не завершу полный круг и не вернусь к исходному зерну, с которого начал, я получу петлю. Это и есть первоначальные петли петлевой теории. В главе 4 я показал, что кривизну пространства можно измерить, наблюдая за тем, вернется ли стрелка, перемещаемая по замкнутому контуру, в исходное положение или окажется повернутой. Математический аппарат теории определяет эту кривизну для любого замкнутого контура на спиновой сети, и это дает возможность определить кривизну пространства-времени, а значит, и силу гравитационного поля, по структуре спиновой сети.

Итак, квантовая механика – это не только зернистость. Важен также тот факт, что эволюция является вероятностной, и путь, по которому эволюционирует спиновая сеть, является случайным. Я подробнее расскажу об этом в следующей части, посвященной времени.

И наконец, важно не то, как вещи существуют, а то, как они взаимодействуют. Спиновые сети – это не сущности; они описывают влияние пространства на вещи. Также как электрон не находится в каком-то определенном месте, а размазан облаком вероятности по всем местам, пространство в действительности образует не одну конкретную спиновую сеть, а облако вероятностей по всей совокупности возможных спиновых сетей.

На предельно малых масштабах пространство представляет собой флуктуирующий рой квантов гравитации, которые воздействуют друг на друга и вместе влияют на вещи, проявляя себя в этих взаимодействиях как спиновые сети, как связанные друг с другом зерна (рис. 6.5).

Физическое пространство – это ткань, возникающая из безостановочного роения этой паутины отношений. Сами линии нигде не находятся; они не принадлежат какому-то месту, а сами создают места посредством своих взаимодействий.

Пространство создается взаимодействием отдельных квантов гравитации.

Рис. 6.5. В малом масштабе пространство не является непрерывным – это ткань из взаимосвязанных конечных элементов

Это первый шаг в направлении к пониманию квантовой гравитации. Второй касается времени, которому посвящена следующая глава.