8. Наш общий учитель. Леонард Эйлер

Сегодня Леонарда Эйлера можно, вероятно, считать самым значительным математиком, практически неизвестным широкой публике. Но при жизни его репутация была столь высока, что в 1760 г., во время Семилетней войны, когда русские войска разрушили ферму Эйлера в Шарлоттенбурге, генерал Иван Салтыков немедленно возместил ему ущерб. Российская императрица Елизавета добавила к этому еще 4000 рублей – громадную сумму по тем временам. И это был еще не конец истории. Эйлер был членом Санкт-Петербургской академии наук с 1726 г. и до тех пор, пока в 1741 г. он, обеспокоенный ухудшением политического состояния России, не уехал в Берлин. В 1766 г. он вернулся, выговорив жалование в 3000 рублей в год для себя, щедрую пенсию для своей супруги и обещание прибыльных должностей в будущем для сыновей.

Однако жизнь его ни в коем случае не была усыпана розами. В 1738 г. Эйлер ослеп на правый глаз и после этого всю жизнь страдал плохим зрением; позже на левом глазу у него развилась катаракта, и он почти полностью потерял зрение. Однако он был счастливым обладателем поразительной памяти; он мог продекламировать на память целиком поэму Вергилия «Энеида», в которой при желании для любой страницы называл первую и последнюю строки. Однажды, не в силах заснуть, Эйлер решил, что традиционный способ – считать овец – слишком тривиален, и коротал время за вычислением шестых степеней всех чисел до 100. Несколькими днями позже он все еще помнил их все. Его сыновья Иоганн и Кристоф часто выступали для отца в роли писцов; то же делали члены Академии Вольфганг Краффт и Андерс Лекселл. Помогал в этом также муж одной из внучек Эйлера Николай Фусс, который в 1776 г. стал его официальным помощником. Все эти люди имели хорошую математическую подготовку, и Эйлер обсуждал с ними свои идеи. Такая организация работы оказалась столь успешной, что и без того чудесная плодовитость Эйлера значительно повысилась после того, как он потерял зрение.

Буквально ничто не могло помешать работе Эйлера. В 1740-е гг. в Берлинской академии он брал на себя громадное количество административных дел, заведовал ботаническими садами и обсерваторией, нанимал работников, управлял финансами и разбирался с публикациями карт и календарей. Он выступал в роли консультанта при короле Пруссии Фридрихе Великом по вопросу усовершенствования канала Финлоу и гидравлической системы в королевском летнем дворце Сан-Суси. Королю работа Эйлера не понравилась. «Я хотел иметь большой фонтан в своем саду: Эйлер рассчитал силу колес, необходимых для подъема воды в резервуар, из которого она спускалась бы обратно по каналам и вырывалась в конечном итоге струей в Сан-Суси. Моя ветряная мельница была построена по всем правилам геометрии и не смогла поднять хотя бы глоток воды ближе чем на пятьдесят метров к резервуару. Суета сует! Суета геометрии!»

Исторические документы показывают, что Фридрих винил в неудаче фонтанного проекта не того человека и не ту причину. Архитектор короля, занимавшийся строительством Сан-Суси, писал, что хотел устроить в саду множество фонтанов, включая один гигантский, который выбрасывал бы воду на высоту 30 м. Единственным источником воды могла служить река Хафель, протекавшая в полутора километрах. План Эйлера состоял в том, чтобы прорыть канал от реки к насосу, работавшему от ветряка. Это подняло бы воду в резервуар, создававший перепад высот около 50 м, и обеспечивало бы достаточное давление для работы большого фонтана. Строительство началось в 1748 г. и продолжалось без всяких проблем до тех пор, пока не были установлены трубы от насоса к резервуару. Трубы были сделаны из деревянных дощечек, удерживаемых вместе железными обручами, примерно как делают бочки. Как только строители начали прокачивать через трубы воду в резервуар, трубы лопнули. Пустотелые стволы деревьев тоже не выдержали. Получалось, что нужно использовать металлические трубы, но те, что имелись, были слишком тонкими, чтобы обеспечить достаточное поступление воды в резервуар. Попытки решить все же эту проблему продолжались до 1756 г., затем прекратились на время Семилетней войны и ненадолго возобновились после. Затем королю это надоело, и проект был оставлен. Архитектор обвинял в неудаче Фридриха, который частенько задумывал и даже начинал великолепные проекты, но не давал денег, достаточных для их реализации. В докладе архитектора перечислены все ответственные за неудачу. Эйлера в их числе нет.

На самом деле работа Эйлера над этим проектом подтолкнула его к созданию теории гидравлического течения в трубах и анализу того, как движение воды влияет на давление в трубе. В частности, Эйлер показал, что движение вызывает повышение давления, даже когда разницы в высоте нет. Традиционная гидростатика ничего об этом не говорит. Эйлер рассчитал увеличение давления, дал рекомендации по поводу насоса и труб и открытым текстом предупредил, что строители – халтурщики и проект неизбежно потерпит неудачу. Он писал:

Он настаивал, что использовать нужно свинцовые трубы, а не деревянные и что толщину свинцовых стенок следует определить на основании экспериментов. Его совет был проигнорирован.

Фридрих никогда не испытывал особого уважения к ученым-практикам, предпочитая им артистичных гениев вроде Вольтера. Он посмеялся над слепотой Эйлера и назвал его «математическим Циклопом». Когда Фридрих писал о фиаско с фонтанами в Сан-Суси, с той поры миновало уже 30 лет и давно покойный Эйлер показался монарху удобным козлом отпущения. Существующее до сих пор представление о том, что это был математик не от мира сего, обитатель башни из слоновой кости без всяких практических навыков, – полная чепуха. Он консультировал правительство по вопросам страхования, финансов, артиллерии и лотерей. Для своего времени Эйлер был математическим мастером на все руки. И параллельно выпускал в мир непрерывный поток остроумных оригинальных исследований и учебников, мгновенно приобретавших статус классических.

В день своей смерти он тоже работал. Утром, как обычно, Эйлер дал одному из своих внуков урок математики, провел кое-какие расчеты, связанные с воздушными шарами, мелом на двух маленьких досках и обсудил недавнее открытие планеты Уран с Лекселлом и Фуссом. Позже в тот же день у него случилось кровоизлияние в мозг; он сказал: «Я умираю» – и скончался шесть часов спустя. В «Надгробном слове по месье Эйлеру» Николя де Кондорсе написал: «Эйлер перестал жить и считать». Для него математика была столь же естественной, как дыхание.

Отец Эйлера Пауль прошел курс теологии в Базельском университете и стал протестантским священником. Его мать Маргарет (урожденная Брюкер) была дочерью протестантского священника. Но Пауль помимо теологии слушал лекции математика Якоба Бернулли, в доме которого жил студентом, и дружил с братом Якоба Иоганном, с которым вместе учился в университете. Бернулли – архетипический пример математически талантливой семьи; на протяжении четырех поколений почти все они начинали с более традиционных профессий, но в конечном итоге всю жизнь занимались математикой.

Эйлер стал студентом Базельского университета в возрасте 13 лет, в 1720 г. Отец хотел, чтобы сын стал пастором. К 1723 г. юноша подготовил магистерскую диссертацию, сравнив философские взгляды Ньютона и Декарта, но, хотя он был примерным христианином, теология его не привлекала, не привлекали и классические языки – иврит и греческий. Математика – совсем другое дело: Эйлер ее обожал. К тому же он знал, как с ее помощью построить профессиональную карьеру. В его неопубликованных автобиографических бумагах можно найти такой абзац:

Иоганн быстро обратил внимание на поразительный талант молодого человека, и Пауль разрешил своему сыну изменить специальность, чтобы изучать математику. Несомненно, давняя дружба его с Иоганном помогла подмазать, где надо, бюрократические колеса.

Первую свою работу Эйлер опубликовал в 1726 г., а в 1727 г. он подал статью на ежегодный большой приз Парижской академии, темой которого в тот раз был поиск оптимального расположения мачт на парусном корабле. Выиграл конкурс Пьер Бугер, признанный специалист в этой области, но Эйлер оказался вторым. Это достижение заметили в Санкт-Петербурге, и после смерти Николя Бернулли его место предложили Эйлеру. Он отправился в Россию в возрасте 19 лет; такое путешествие в те времена занимало семь недель: сначала надо было плыть по Рейну на судне, затем передвигаться в карете, после, на последнем отрезке пути, вновь пересесть на судно.

В 1727–1730 гг. он служил также лейтенантом медицинской службы на Российском военном флоте, но затем, получив звание полного профессора, оставил флот и вскоре стал постоянным членом Академии. В 1733 г. Даниэль Бернулли оставил свою кафедру в Санкт-Петербурге, чтобы вернуться в Базель, и Эйлер стал его преемником на посту профессора математики. Его финансовое положение упрочилось достаточно, чтобы позволить себе женитьбу, и он без особого промедления связал себя узами брака с Катариной Гзелл – дочерью художника местной гимназии. С течением времени пара произвела на свет 13 детей, из которых восемь умерло во младенчестве; Эйлер как-то заметил, что лучше всего ему работалось с маленьким ребенком на руках и в окружении играющих детей.

Всю жизнь Эйлер испытывал хронические проблемы со зрением, обострившиеся в 1735 г. после сильнейшей лихорадки, от которой он чуть не умер. Как уже отмечалось, он тогда практически ослеп на один глаз. Это почти не повлияло на его научную продуктивность – на это вообще ничто никогда не влияло. Он выиграл большой приз Парижской академии в 1738 и 1740 гг.; всего он выигрывал этот приз 12 раз. В 1741 г., когда российская политическая жизнь стала слишком уж бурной, он переехал в Берлин и стал наставником племянницы Фридриха Великого. За 25 лет в Берлине он выпустил в свет 380 работ. Он писал книги по математическому анализу, по артиллерии и баллистике, по вариационному и дифференциальному исчислению, о движении Луны, орбитах планет, кораблестроении и навигации, написал даже научно-популярные «Письма немецкой принцессе».

Когда в 1759 г. умер Пьер Луи Моро де Мопертюи, Эйлер стал президентом Берлинской академии во всем, кроме формального титула, от которого отказался. Четыре года спустя король Фридрих предложил пост президента Жану ле Рон д’Аламберу, к которому Эйлер не испытывал особой симпатии. Д’Аламбер решил, что не хочет переезжать в Берлин, но дело было сделано, и Эйлер подумал, что ему пора сменить обстановку. В данном случае сменил он ее на прежнюю, поскольку вернулся по предложению Екатерины Великой в Санкт-Петербург, где и кончил свои дни, безмерно обогатив математику.

Почти невозможно убедительно рассказать о блестящем таланте Эйлера или о разнообразии и оригинальности его открытий в чем-то меньшем по объему, чем книга. Даже в этом случае это было бы непросто. Но мы можем бросить хотя бы один короткий взгляд на его достижения и проникнуться его замечательными способностями. Я начну с теоретической математики, а затем перейду к прикладной, не обращая внимания на хронологию, но стараясь выдерживать некоторую последовательность в развитии идей.

Во-первых и в-главных, Эйлер обладал поразительным чутьем на формулы. В своем «Введении в анализ бесконечно малых» 1748 г. он исследовал соотношение между экспоненциальной и тригонометрическими функциями для комплексных чисел, дающее формулу

Отсюда, приняв θ = π радиан = 180°, можно вывести знаменитое уравнение

связывающее две загадочные константы e и π и мнимое число i. Здесь e = 2, 718… является основанием натурального логарифма, а i – символ, который Эйлер ввел для корня квадратного из –1; он тоже широко используется и сегодня. Теперь, когда мы лучше понимаем комплексный анализ, это соотношение не кажется чем-то удивительным, но во времена Эйлера оно казалось сногсшибательным. Тригонометрические функции опираются на геометрию окружностей и измерения треугольников; экспоненциальная функция берет начало в математике сложного процента и опирается на логарифм как расчетный инструмент. Почему такие далекие друг от друга вещи должны быть так тесно, можно сказать интимно, связаны?

Сверхъестественное мастерство Эйлера в работе с формулами привело к триумфу и принесло ему великую славу в возрасте 28 лет, когда он решил базельскую задачу. Математики тогда активно искали интересные формулы для сумм бесконечных рядов, простейшей из которых, возможно, является формула

Базельская задача состояла в том, чтобы найти сумму обратных квадратов:

Многие знаменитые математики безуспешно пытались найти ответ на этот вопрос: Лейбниц, Стирлинг, де Муавр и трое самых искусных Бернулли: Якоб, Иоганн и Даниэль. Эйлер превзошел всех, доказав (или, по крайней мере, проведя расчет, на это указывающий, – строгость доказательств не была его сильной стороной), что эта сумма точно равна

Более простая бесконечная сумма, «гармонический ряд» обратных целых чисел, выглядит так:

и расходится – его сумма бесконечна. Невозмутимый Эйлер нашел весьма точную приближенную формулу:

где γ, которую мы сегодня называем постоянной Эйлера, равна, до 16 знаков после запятой,

Эйлер сам вычислил ее значение с такой точностью. Вручную.

Теория чисел, естественно, привлекала внимание Эйлера. Он вдохновлялся в значительной мере примером Ферма, а дополнительную мотивацию давала его переписка с другом Гольдбахом, математиком-любителем. Решение базельской задачи привело его к замечательному соотношению между простыми числами и бесконечными рядами (глава 15). Он нашел доказательства нескольких фундаментальных теорем, сформулированных Ферма. Одной из них была так называемая Малая теорема Ферма, названная так, чтобы отличать ее от Великой теоремы Ферма. Эта теорема гласит, что если n – простое число и a не кратно n, то aⁿ – a делится на n. Каким бы безобидным ни казалось на первый взгляд это утверждение, сегодня оно является основой для некоторых нераскрываемых, как считается, шифров, широко используемых в интернете. Кроме того, он обобщил результат для составного n, введя тотиент (или функцию Эйлера) ϕ(n). Это число целых чисел между 1 и n, не имеющих с n общих простых делителей. Он предложил гипотезу о законе квадратичной взаимности, позже доказанную Гауссом (глава 10); описал все простые числа, представляющие собой сумму двух квадратов (2, все числа вида 4k + 1, но не числа вида 4k + 3), и улучшил теорему Лагранжа о том, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов.

Учебники Эйлера по алгебре, математическому анализу, комплексному анализу и другим дисциплинам стандартизировали математическую запись и терминологию, значительная часть которой используется и сегодня (к примеру, π для числа «пи», e для основания натурального логарифма, i для корня квадратного из –1, Σ для суммы и f(x) для общего обозначения функции от x). Он даже свел воедино системы записи Ньютона и Лейбница по дифференциальному исчислению.

Мне нравится определять математика не как «человека, который занимается математикой», но как «человека, который видит возможность применить математику там, где никто другой ее не увидел бы». Эйлер редко упускал такую возможность. Вот два примера, которые дали начальный толчок развитию новой области, известной сегодня как комбинаторика, или дискретная математика; область эта занимается счетом и упорядочиванием конечных объектов.

Первым из них в 1735 г. стала загадка, связанная с городом Кёнигсберг в Пруссии (ныне Калининград в России). В этом городе, расположенном на реке Прегель, имеется два острова, связанных друг с другом и с берегами реки семью мостами. Загадка состояла в том, чтобы найти такой маршрут через город, который прошел бы по каждому мосту ровно один раз. Начало и конец маршрута могли находиться в разных местах. Эйлер доказал, что такого маршрута не существует, а для этого рассмотрел более общий вопрос с любым расположением островов и мостов. Он доказал, что требуемый маршрут существует в том, и только том случае, когда не более чем два острова связаны с внешним миром нечетным количеством мостов. Сегодня мы интерпретируем эту теорему как одну из первых теорем теории графов – науки о сетях из точек, соединенных линиями. Доказательство Эйлера было алгебраическим и использовало символьное представление маршрута, где острова и мосты обозначались буквами. Несложно доказать, что сформулированное Эйлером условие необходимо для существования требуемого маршрута; труднее доказать, что этого достаточно для его существования.

Второй комбинаторной задачей, которую Эйлер поставил в 1782 г., была загадка 36 офицеров. Имеется шесть полков, в каждом из которых есть шесть офицеров шести разных званий. Можно ли построить полки квадратом 6 × 6 так, чтобы ни в одном ряду и ни в одной колонне не оказалось двух офицеров одного полка или одного звания? Эйлер предполагал, что это невозможно, но этому результату пришлось дожидаться доказательства Гастона Тарри до 1901 г. В основе решения здесь лежит латинский квадрат, в котором n экземпляров n символов необходимо разместить в квадрате n × n так, чтобы каждый символ в каждой строке и в каждом столбце встречался ровно один раз. Требуется, чтобы 36 офицеров образовали два «ортогональных» латинских квадрата – один для полка, другой для ранга, так, чтобы все возможные пары были в них включены. Латинские квадраты применяются, в частности, при разработке статистических тестов, а их широкие обобщения, известные как блочные планы, фигурируют в нескольких областях математики. Одна из вариаций на тему такого квадрата – головоломка судоку.

Перечисленные мной результаты едва-едва затрагивают громадный объем всего того, что сделал Эйлер в теоретической математике, но не менее плодовит он был также в прикладной математике и в математической физике.

В своей «Механике» 1736 г. он систематизировал и существенно продвинул искусство расчета движения материальной точки. Самым серьезным новшеством было использование вместо геометрии математического анализа, позволившего унифицировать работу с совершенно разными задачами. За этим последовала книга о кораблестроении, которая начиналась с гидростатики и вводила, кроме того, дифференциальные уравнения для движения твердого недеформируемого тела. Эту тему он развил в 1765 г. в «Теории движении твердых тел», где определил систему координат, известную нынче как Эйлеровы углы; он связал ее с тремя осями инерции тела и моментами его инерции относительно этих осей. Оси инерции – это определенные линии, представляющие особые компоненты вращения тела; соответствующий момент определяет количество вращения относительно выбранной оси. В частности, Эйлер решил свои уравнения для Эйлерова волчка – тела с двумя равноправными осями инерции.

В механике жидкостей Эйлер установил фундаментальные уравнения, ныне известные как уравнения Эйлера, которые не потеряли своего значения до сих пор, несмотря на то что в них не учитывается вязкость. Он изучал теорию потенциала с приложениями в области гравитации, электричества, магнетизма и упругости. Его работа со светом способствовала успеху волновой теории, преобладавшей в физике вплоть до появления в 1900 г. квантовой механики. Некоторые его результаты в небесной механике астроном Тобиас Майер использовал при расчете таблиц движения Луны. В 1740 г. Эйлер написал «Метод нахождения кривых линий» (полное название работы намного длиннее приведенного здесь), где положил начало вариационному исчислению. Его задача – поиск кривых и поверхностей, минимизирующих (или максимизирующих) некоторую связанную с ними величину, такую как длина или площадь. Все его книги понятны, элегантны и прекрасно организованы.

Другие труды Эйлера затрагивают такие темы, как музыка, картография и логика – почти не существует областей математики, которые не привлекли бы внимания Эйлера. Лаплас замечательно сформулировал роль Эйлера: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш общий учитель».