9. Повелитель теплоты. Жозеф Фурье

Шел 1804 г., идеи математической физики буквально витали в воздухе. Иоганн Бернулли уже применил Ньютоновы законы движения в комбинации с Гуковым законом о силе, которую развивает растянутая пружина, к колебаниям скрипичной струны. Его идеи привели Жана ле Рона д’Аламбера к формулировке волнового уравнения. Это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее скорости изменения формы струны как в пространстве, так и во времени, показывает поведение самых разных волн – волн на воде, звуковых волн, других колебаний. Аналогичные уравнения в свое время предлагались для магнетизма, электричества и гравитации. Теперь Жозеф Фурье решил применить эти же методы в другой области физики – к потоку теплоты в теплопроводящей среде. После трех лет исследований он представил длинную записку о распространении тепла. Записка была прочитана в Парижском институте и встретила смешанную реакцию, так что решено было организовать комиссию для ее проверки. Когда по итогам проверки был написан отчет, стало ясно, что члены комиссии недовольны. На то у них было две причины – одна хорошая, другая плохая.

Жан-Батист Био обратил внимание членов комиссии на, как он утверждал, проблему с выводом уравнения для потока теплоты. В частности, Фурье не упомянул одну из его собственных работ 1804 г. Это был плохой повод для недовольства, поскольку статья Био была неверна. Хороший же повод состоял в том, что ключевой шаг в рассуждениях Фурье – преобразование периодической функции в бесконечный ряд синусов и косинусов угла, кратного заданному, – не был проведен с должной строгостью. В самом деле, Эйлер и Бернулли не один год пытались обосновать ту же идею в контексте волнового уравнения. Фурье поспешил пояснить свои рассуждения, но комиссию это не удовлетворило.

Тем не менее задача считалась важной, и Фурье существенно прояснил подходы к ней, так что институт объявил, что призовой задачей на 1811 г. будет распространение тепла в твердом теле. Фурье добавил к своей записке кое-какие дополнительные результаты, в основном об остывании и об излучении тепла, и подал работу на конкурс. Новая комиссия присудила ему приз, но отметила все тот же недостаток, связанный с тригонометрическими рядами:

Как правило, победившая в конкурсе работа сразу же публиковалась, но в данном случае комиссия, сославшись на эти недостатки, отказалась делать это.

В 1817 г. Фурье был избран членом Парижской академии наук. Пять лет спустя умер секретарь математической секции Академии Жан Деламбр. На освободившееся место претендовали Франсуа Араго, Био и Фурье, но Араго снял свою кандидатуру, и Фурье выиграл с подавляющим преимуществом. Вскоре после этого Академия опубликовала «Аналитическую теорию тепла» Фурье – ту самую записку, ставшую победителем конкурса. Выглядит так, будто Фурье оказал на комиссию административное давление, но на самом деле работу в печать отправил еще Деламбр. Тем не менее Фурье, должно быть, получил немалое удовлетворение.

Отец Фурье был портным, у которого от первого брака осталось трое детей. После смерти жены он женился вновь, и в этом втором браке на свет появилось ни много ни мало 12 детей, из которых Жозеф был девятым. Когда мальчику было девять лет, его мать умерла, а через год умер и отец. Свое образование Жозеф начал в школе, которой заведовал музыкант местного Осерского собора. Мальчик прекрасно проявил себя в изучении французского языка и латыни. В 1780 г., в возрасте 12 лет, он продолжил обучение в местной же Королевской военной школе. У него неплохо шла литература, но к 13 годам начал проявляться и основной талант – математика. Мальчик самостоятельно читал сложные математические тексты: так, меньше чем за год он одолел все шесть томов «Курса математики» Этьена Безу.

В 1787 г. Фурье, намереваясь стать священником, отправился в бенедиктинский монастырь Сен-Бенуа-сюр-Луар, но остался при этом всецело погруженным в математику. Позже он отказался от мысли принять обеты, в 1789 г. покинул монастырь и представил в Академию работу по алгебраическим уравнениям. Через год после этого Фурье работал учителем в своей старой школе. Дело осложнялось еще и тем, что в 1793 г. он стал членом городского революционного комитета; Фурье писал, что можно «питать возвышенную надежду установления среди нас свободного правления, избавленного от королей и церковников», и хотел посвятить себя делу революции. Однако жестокость террора первых дней Французской революции оттолкнула его, и он попытался уйти в отставку. Это оказалось политически невозможным, Фурье был уже неразрывно связан с революцией. Среди революционеров обычны были внутренние межфракционные разборки, ведь у каждого из них было свое представление о том, каким курсом должна идти революция. Фурье оказался вовлеченным в публичную поддержку одной из фракций в Орлеане. В результате – арест и перспектива познакомиться с Мадам Гильотиной. Однако в этот момент был обезглавлен Робеспьер – один из наиболее влиятельных революционеров, – и политическая атмосфера смягчилась. Фурье был освобожден.

Его математическая карьера успешно развивалась под внимательными взглядами великих французских математиков того времени. Он посещал Высшую нормальную школу (École Normal) и был одним из первых ее студентов после открытия в 1795 г. Он брал уроки у Лагранжа, которого считал лучшим ученым Европы; у Лежандра, который не произвел на него особого впечатления; у Гаспара Монжа. Он получил место в Центральной школе общественных работ (École Centrale des Travaux Publics), которая позже была переименована в Политехническую школу (École Polytechnique). Революционное прошлое не осталось безнаказанным для Фурье: он был вновь арестован и заключен в тюрьму. Однако вскоре его освободили по причинам, которые остаются для нас туманными, но связаны, скорее всего, с активной закулисной деятельностью его учеников и коллег – и с очередными изменениями в политической повестке дня. К 1797 г. он был в полном ажуре, унаследовав после Лагранжа кафедру математического анализа и механики.

В это время Наполеон вторгся в Египет. Фурье, наряду с Монжем и Этьен-Луи Малю, поступил в его армию в качестве научного советника. После первых успехов Наполеона Горацио Нельсон уничтожил французский флот в сражении на Ниле, и Наполеон оказался заперт в Египте. Фурье переквалифицировался в администратора и организовал там систему образования; кроме того, он немного занимался археологией. Фурье был членом-основателем математического отделения Каирского института и курировал отчеты о научных открытиях экспедиции. Он познакомил Жана-Франсуа Шампольона с Розеттским камнем, что стало для Шампольона ключевым шагом к расшифровке иероглифов.

В 1799 г. Наполеон бросил свою армию в Египте и возвратился в Париж. В 1801 г. Фурье последовал за ним и вернулся на свою профессорскую кафедру. Но Наполеон решил, что Фурье – слишком способный управленец, чтобы оставаться без дела, и предложил ему пост префектора департамента Изер. Это было предложение, от которого нерешительный Фурье был не в состоянии отказаться, и он переехал в Гренобль. Там он руководил осушением болот в Бургуэне, заведовал строительством новой дороги Гренобль – Турин и работал по приказанию Наполеона над объемным «Описанием Египта», опубликованным в 1810 г. В 1816 г. Фурье переехал в Англию, но вскоре вновь вернулся во Францию и стал постоянным секретарем Академии. Еще в Египте у него возникли проблемы с сердцем, которые продолжились и после возвращения во Францию; его мучили частые приступы удушья. В мае 1830 г. он упал с лестницы, в результате чего его состояние сильно ухудшилось, и вскоре после этого умер. Имя Фурье – одно из 72 имен, начертанных на Эйфелевой башне. Но если говорить только о математике, то важнейшим для Фурье стало время пребывания в Гренобле, поскольку именно там он осуществил свое грандиозное исследование по теплоте.

Тепловое уравнение Фурье описывает в символьном виде поток теплоты в теплопроводящем стержне – к примеру, металлическом. Если какая-то часть этого стержня горячее соседних с ней участков, тепло от нее распространяется на прилежащие области; если эта часть холоднее соседних участков, она нагревается за счет прилежащих областей. Чем больше разность температур, тем быстрее распространяется теплота. Скорость перетекания теплоты определяет также, насколько быстро охлаждается весь стержень целиком. Тепловое уравнение Фурье описывает, как все эти процессы взаимодействуют между собой.

Первоначально разные участки стержня могут быть нагреты или охлаждены до различных температур; таким образом создается температурный профиль распределения теплоты. Решения уравнения описывают, как начальное распределение теплоты вдоль стержня изменяется с течением времени. Точная форма уравнения привела Фурье к простому решению в одном частном случае. Если начальное распределение температуры представляет собой синусоиду, которая имеет максимум в центре, а к концам стержня сходит на нет, то с течением времени профиль температуры не меняется, а значение ее убывает и экспоненциально стремится к нулю. Однако Фурье хотел знать, что происходит с теплотой при произвольном начальном температурном профиле. Предположим, к примеру, что первоначально стержень нагрет на половине своей длины и охлажден на второй половине. Тогда начальный профиль представляет собой своеобразный меандр. Меандр – это не синусоида.

Чтобы получить решения несмотря на это препятствие, Фурье использовал важное свойство своего уравнения – его линейность. То есть любые два решения этого уравнения при сложении дадут еще одно решение. Если бы он мог представить начальный профиль как линейную комбинацию синусоид, то решение представляло бы собой соответствующую комбинацию экспоненциально убывающих синусоид. Он обнаружил, что меандр можно представить в таком виде, если взять бесконечное число синусоид и сложить профили вида sin x, sin 2x, sin 3x, sin 4x и т. д. Чтобы получить точно прямоугольную форму, потребуется бесконечное число подобных слагаемых. Так, для стержня длиной 2π формула выглядит так:

Красиво, не правда ли?

Расчеты убедили Фурье в том, что если использовать наряду с синусовыми и косинусовые слагаемые, то можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда любой начальный температурный профиль, каким бы сложным он ни был, даже если в нем имеются разрывы непрерывности, как в меандре. Поэтому и решение своего уравнения Фурье мог записать в той же форме. Каждое слагаемое убывает со своей скоростью; чем больше циклов колебания укладывается на синусоиде или косинусоиде, тем быстрее убывает соответствующая ей составляющая. Поэтому температурный профиль меняет не только размер, но и форму. Кроме того, Фурье методом интегрирования вывел общую формулу для слагаемых своего ряда.

Работа произвела на комиссию достаточно сильное впечатление, чтобы присудить ей приз, но членов комиссии встревожило заявление Фурье о том, что его метод применим к любому начальному профилю, даже если на нем будет множество скачков других разрывов непрерывности – как на меандре, только хуже. В качестве обоснования Фурье апеллировал к физической интуиции, но математики всегда опасаются, что интуитивные выводы и представления на самом деле могут основываться на каких-то неявно принимаемых предположениях. В самом деле, ни предложенный метод, ни возникающая в связи с ним проблема не были по-настоящему новыми. Тот же вопрос уже поднимался в связи с волновым уравнением и вызвал ссору между Эйлером и Бернулли; Эйлер опубликовал те же самые интегральные формулы разложения в ряд, что и Фурье, с более простым и элегантным доказательством. Главным различием было утверждение Фурье о том, что его метод применим к любым профилям, непрерывным или с разрывами, – утверждение, на которое Эйлер не решился. Для волн этот вопрос был не настолько серьезным, потому что прерывистый профиль был бы моделью порванной скрипичной струны, которая, естественно, колебаться не стала бы вообще. Но для распределения теплоты профили вроде меандра вполне могли иметь разумную физическую интерпретацию и потому тоже являлись объектом идеализированных модельных допущений. Но в остальном фундаментальная математика в том и другом случае была одна и та же, и на тот момент задача оставалась нерешенной.

Задним числом можно сказать, что обе стороны диспута были отчасти правы. Основная проблема здесь заключается в сходимости ряда: имеет ли бесконечная сумма какое-то определенное разумное значение? Для тригонометрических рядов это довольно тонкий вопрос, осложненный необходимостью рассматривать не одну, а несколько разных интерпретаций «сходимости». Для полного ответа требовалось три ингредиента: новая теория интегрирования, разработанная Анри Лебегом; язык и строгие правила теории множеств, придуманной Георгом Кантором; и радикально новый подход, найденный Бернхардом Риманом. В результате выяснилось, что метод Фурье применим к широкому, но все же не универсальному классу начальных профилей. Физическая интуиция здесь служит хорошим ориентиром, и эти профили вполне годятся для любой разумной физической системы. Но, если подойти строго математически, никогда не следует обещать слишком много, ибо существуют исключения. Так что Фурье был прав по существу, но и его критики тоже были в чем-то правы.

В 1820-е гг. Фурье одним из первых начал исследования в области глобального потепления. Однако его интересовали не изменения климата, вызванные деятельностью человека; он просто хотел понять, почему на Земле достаточно тепла для поддержания жизни. Чтобы выяснить это, он применил свои знания о теплопроводности к нашей планете. Единственный очевидный источник тепла – излучение, получаемое Землей от Солнца. Часть этого тепла планета излучает обратно в космос, а того, что остается, должно хватать на обеспечение наблюдаемой средней температуры на поверхности. Но этого не хватало. По расчетам Фурье, Земля должна была быть заметно холоднее, чем на самом деле. Фурье сделал вывод, что в этих процессах, видимо, задействованы какие-то другие факторы, и опубликовал в 1824 и 1827 гг. статьи на эту тему. Со временем он решил, что наиболее вероятным объяснением является какое-то дополнительное излучение из межзвездного пространства, и безнадежно в этом ошибся. Однако он предложил (и отверг) также и верное объяснение: что атмосфера может играть роль своеобразного одеяла и удерживать под собой больше тепла, чем уходит в космос.

Вдохновением для него стал эксперимент, который провел геолог и физик Орас-Бенедикт де Соссюр. Исследуя возможность использования солнечных лучей для приготовления пищи, де Соссюр обнаружил, что самым эффективным из всех предложенных им устройств является изолированный ящик, закрытый тремя слоями стекла, разделенными довольно толстыми прослойками воздуха; это устройство могло нагреваться до 110 °C как на теплых равнинах, так и высоко в холодных горах. Следовательно, в механизме нагрева значительную роль играет воздух внутри ящика и действие стекла. Фурье предположил, что атмосфера Земли могла бы, в принципе, действовать примерно тем же манером, что и солнечная печь де Соссюра. Выражение «парниковый эффект», возможно, происходит от этого предположения, но первым его использовал Нильс Экхолм в 1901 г.

В конечном итоге Фурье так и не поверил, что этот эффект и есть искомый источник дополнительного тепла отчасти потому, что ящик полностью исключал конвекцию, за счет которой тепло в атмосфере переносится на большие расстояния. Он не оценил особую роль двуокиси углерода и других «парниковых газов», которые поглощают и испускают инфракрасное излучение таким образом, что тепло попадает в ловушку. Точный механизм достаточно сложен, и аналогия с парником обманчива, поскольку парник работает благодаря тому, что удерживает теплый воздух в замкнутом пространстве.

Кроме того, Фурье разработал вариант своего уравнения для потока тепла в отдельных областях на плоскости, или в пространстве, используя то, что мы сегодня называем оператором теплопроводности, который сочетает изменения температуры в заданной точке с диффузией тепла в ее окрестности. Со временем математики поняли, как с помощью ряда Фурье можно решить тепловое уравнение для пространств любой размерности. К тому моменту стало уже ясно, что сам метод имеет гораздо более широкую сферу применения – и вовсе не в области теплопередачи, а в радиоэлектронике.

Это типичный пример единства и общности математики. Тот же метод применим к любой функции, не только к профилю распределения теплоты. Метод представляет функцию в виде линейной комбинации более простых компонент, что делает возможной обработку данных и получение информации из некоторого диапазона компонент. К примеру, один из вариантов Фурье-анализа используется для сжатия изображений в цифровых камерах – изображение шифруется в виде комбинации простых графических образов, основанных на функции косинуса, что уменьшает объем памяти, необходимый для их хранения.

Формулы, появившиеся в результате озарения, посетившего Фурье почти 200 лет назад, стали обязательным и надежным инструментом для математиков, физиков и инженеров. Периодическое поведение широко распространено в природе, и везде, где оно наблюдается, можно получить соответствующий ему ряд Фурье и посмотреть, куда он нас приведет. Обобщение метода – преобразование Фурье – применимо и к непериодическим функциям. А его дискретный аналог – быстрое преобразование Фурье – представляет собой один из наиболее широко используемых алгоритмов в прикладной математике и применяется для обработки сигналов и высокоточной арифметики в компьютерной алгебре. Ряды Фурье помогают сейсмологам разбираться в механизме землетрясений, а архитекторам – проектировать сейсмоустойчивые здания. Они помогают океанографам составлять карты океанских глубин, а нефтяным компаниям – вести геологическую разведку на нефть. Биохимики используют их для анализа структуры белков. Уравнение Блэка – Шоулза, которое трейдеры используют для оценки биржевых опционов, является близким родственником теплового уравнения. Наследие нашего повелителя теплоты почти беспредельно.