Порядок без периодичности

Разобраться в новом явлении помогли предшествовавшие математические работы, а потому вновь вернемся к мозаикам. Оказалось, что плоские непериодические мозаики возможны, причем это было результатом интенсивного математического поиска, никак не связанного ни с химией, ни с физикой. История показывает, что математики часто разрабатывают новые, совершенно абстрактные теории и представления, которые, по их мнению, не имеют никакого практического значения, однако физики и химики со временем начинают использовать эти разработки в качестве инструмента для описания реально наблюдаемых явлений.

В 1961 г. математик Хао Ванг высказал гипотезу, что любая мозаика из повторяющихся элементов всегда периодична. В 1966 г. его ученик Роберт Бергер показал, что гипотеза Ванга неверна и в доказательство представил набор из 20 426 плиток, которые могли замостить неограниченно расширяющуюся плоскость, образуя непериодическую мозаику. Через некоторое время он, впрочем, сумел сократить число необходимых плиток до 104.

Математики заинтересовались новой проблемой и стали искать варианты таких мозаик, состоящих из меньшего количества составляющих плиток. В 1971 г. Р. Робинсон предложил всего шесть плиток для непериодического замощения плоскости.

Несмотря на то что герой нашего рассказа Д. Шехтман, воздадим должное математику, работы которого помогли понять то, как устроены квазикристаллы. Это английский математик Роджер Пенроуз (рис. 5.68). Поскольку он не только заложил основы теоретического подхода к квазикристаллам, но и подключился к их изучению, следует сказать немного о нем самом. Пенроуз возглавляет кафедру математики Оксфордского университета, активно и успешно работает в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории, однако квазикристаллы, вероятно, обладают удивительным свойством уводить ученых в сторону от основных занятий (далее будет рассказано о еще одном подобном случае). Имя Пенроуза, возможно, некоторым знакомо благодаря созданному им (совместно с отцом Лайонелом Пенроузом) «невозможному треугольнику», который в литературе называют треугольником Пенроузов. Этот треугольник вызывает странное чувство «правильности» и одновременно «невозможности». Вслед за треугольником появилась масса вариантов других невозможных конструкций, напоминающих те, что были показаны выше (рис. 5.69).

Наиболее сильное впечатление производит объемный монумент – 13-метровая скульптура из алюминия, сооруженная в 1999 г. в австралийском городе Перт (рис. 5.70). При рассматривании с конкретной точки возникает полная иллюзия невозможного треугольника. Однако стоит лишь изменить угол зрения, как становится понятно, что это всего лишь три прямые балки, расположенные под определенным углом и не имеющее к треугольникам никакого отношения.

Приблизительно так были сделаны снимки других невозможных конструкций. Для получения таких картинок необходимо лишь выбрать нужную точку съемки.

Вернемся к непериодическим мозаикам. В 1976 г. (очень вовремя, за шесть лет до открытия Шехтмана) Пенроуз достиг рекордного результата, он сумел создать непериодическую мозаику всего из двух плиток – утолщенного и утонченного ромбов, имеющих строго определенные пропорции. Эта мозаика сразу приобрела широкую известность среди математиков, рядом с мозаикой помещен снимок Пенроуза в холле Института Митчелла (Техас), где пол выложен этой мозаикой, ставшей популярной и получившей название по имени ее создателя (рис. 5.71).

Показанная на рисунке мозаика собрана из ромбов двух цветов. При внимательном рассматривании становится очевидным, что она упорядочена – узор распространяется в пяти направлениях от одного центра и в каждом из направлений строго воспроизводится. Этой мозаикой можно замостить бесконечную плоскость без пробелов. А что значит отсутствие периодичности? Дело в том, что невозможно выделить некий фрагмент узора и «охватить» его какой-либо фигурой (даже очень сложной, как, например, показанная ранее ящерица), которая будет играть роль «кафельной плитки», т. е. периода.

Обычная непериодическая мозаика, например мозаичное художественное полотно М.В. Ломоносова, не упорядочена, а мозаика Пенроуза не периодична, но упорядочена. Сложность состоит в том, что упорядоченность подобных мозаик непросто установить при обычном рассматривании. Еще труднее собрать такую мозаику из составляющих плиток, это требует внимания и соблюдения некоторых, далеко не таких простых правил. Если они будут нарушены, рост мозаики в какой-то момент прекратится. Таким образом, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Чтобы установить факт, что конкретная мозаика непериодическая и в то же время упорядоченная, требуется специальный математический анализ. Потому доверимся математикам при решении таких вопросов.

Пенроузу удалось найти иной тип узоров, тоже собираемых всего из двух плиток со строго определенными пропорциями, он их условно назвал «воздушным змеем» и «дротиком». С помощью двух таких плиток можно замостить неограниченную поверхность, причем двумя типами узоров (рис. 5.72).

В центре показанных выше мозаик находятся пятилучевые звезды, но, если использовать более двух типов ромбовидных «кафельных плиток», можно создавать непериодические мозаики, содержащие семи- или одиннадцатилучевые звезды, где каждый тип плитки имеет свою окраску (рис. 5.73).

Пенроуз детально описал принципы создания таких мозаик, на сегодня их создано уже несколько десятков.

Далее произошло знаменательное событие, на которое поначалу никто не обратил внимания. В 1982 г. (за несколько месяцев до открытия Шехтмана) английские физики Алан Маккей и Роберт Амман взяли одну из мозаик Пенроуза, мысленно расставили в ее вершинах условные атомы, преобразовали ее в пространственную конструкцию и рассчитали, какую дифракционную картину должна давать такая структура. Оказалось, что должны получиться светлые точки, расположенные по вершинам десятиугольника!

Итак, принципиально было показано, что непериодические кристаллы возможны, оставалось дождаться момента, когда такое явление будет обнаружено экспериментально, что и удалось сделать ничего не подозревавшему Шехтману буквально в тот же год. А связали воедино теоретические расчеты Маккея и Аммана с экспериментами Шехтмана те самые энергичные Дов Левин и Пол Стейнхардт, которые смогли ознакомиться со статьей Шехтмана до ее публикации, а заодно ввели в употребление термин «квазикристаллы». Итак, можно сказать, что математическая дисциплина, изучающая мозаики, помогла предсказать квазикристаллы и объяснить их строение. Естественно, в нобелевском докладе Шехтмана были показаны эти удивительные мозаики. Математик Пенроуз не остался в стороне от проблем квазикристаллов, а активно подключился к этой теме. Вероятно, он был немного удивлен тем, что его абстрактные математические упражнения с мозаиками вскоре оказались интересными для физиков и химиков. Он разработал модели объемных непериодических мозаик и, кроме того, предложил свою схему роста квазикристаллов.

Плоскую периодическую мозаику достраивать очень просто – надо прикладывать к имеющемуся собранному участку новые кафельные плитки с разных сторон. Собирать непериодическую мозаику намного сложнее, необходимо руководствоваться строгой стратегией. С кристаллами все обстоит приблизительно так же. Обычные кристаллы растут снаружи путем последовательного добавления все новых и новых частиц к внешним граням, но в случае квазикристаллов такая схема не годится. Пенроуз считает, что в процессе их роста наращиваются сразу целые группы частиц, которые, образно говоря, заранее «договариваются» подойти к поверхности в нужный момент времени. Звучит образно и несколько необычно, но в случае квантовых представлений, которые дополнительно привлекает для этого Пенроуз, многое не укладывается в обычную логику. Впрочем, окончательно вопрос о механизме роста квазикристаллов пока не решен.