Проективная геометрия отличается от евклидовой настолько, насколько близка вам такая точка зрения (каламбур намеренный!), но корнями она по-прежнему уходит в геометрию Евклида. Это исследования новых видов преобразований, т. е. проекций, но изначально модель пространства, подвергающегося преобразованию, принадлежит Евклиду. Тем не менее проективная геометрия в целом заставила математиков стать более восприимчивыми к возможности существования нового образа геометрического мышления. И старый вопрос, пролежавший под спудом целые века, снова стал актуальным.

Практически все аксиомы Евклида настолько очевидны, что ни одному человеку в здравом уме не придет в голову подвергать их сомнению. Например, аксиома о том, что все прямые углы равны. Если она неверна, значит, что-то не так с самим определением прямого угла. Но пятый постулат, касающийся параллельных прямых, имеет совершенно другой оттенок. Он слишком сложен. Вот как его формулировал сам Евклид: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Звучит скорее как теорема, а не как аксиома. Было ли это теоремой? Может ли в таком случае быть у нее доказательство, исходящее из чего-то еще более простого, интуитивного?

Упростил формулировку постулата в 1795 г. Джон Плейфэр. Он выразил ее так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Эта аксиома логически эквивалентна пятому постулату Евклида: они являются следствием друг друга, при этом учитывают остальные аксиомы.