В 1794 г. Адриен-Мари Лежандр открыл еще одну эквивалентную формулировку постулата, в которой говорится о подобных треугольниках – фигурах, имеющих равные углы, но разные длины сторон. Однако он, как и большинство математиков того времени, предпочел бы что-то более интуитивное. Им казалось, что пятый постулат избыточен: это следствие из других аксиом, и что только для него упущено доказательство. И Лежандр перепробовал всё, что мог, чтобы доказать его. Используя только другие аксиомы, он доказал – для своего удовольствия, по крайней мере, – что сумма внутренних углов треугольника не превосходит 180°. (Ему наверняка было известно, что в сферической геометрии сумма больше, но ведь это геометрия сферы, а не плоскости.) Если сумма всегда равна 180°, то отсюда сразу логически вытекает пятый постулат. И он предположил, что сумма может быть меньше 180°, и построил свои рассуждения на этом.

Неожиданным следствием оказалась зависимость между площадью треугольника и суммой его углов. Точнее, то, что площадь пропорциональна разнице между реальной суммой углов и 180°. Это казалось многообещающим: если бы он мог построить треугольник, у которого стороны вдвое больше, чем у исходного, то столкнулся бы c противоречием, потому что площадь большего треугольника не может быть равной площади меньшего. Тем не менее он попытался построить больший треугольник и снова уперся в пятый постулат.

Однако ученый всё же извлек из своего опыта кое-что полезное. Безотносительно пятого постулата он доказал, что некоторые треугольники не могут иметь сумму углов больше 180°, а другие имеют сумму углов меньше 180°. Если один треугольник имеет углы, которые в сумме дают больше, чем 180°, то таким же свойством обладали бы и все треугольники; аналогично было бы при сумме меньше 180°. Значит, есть три возможных варианта:

• сумма углов в любом треугольнике равна 180° (по евклидовой геометрии);

• сумма углов в любом треугольнике меньше 180°;

• сумма углов в любом треугольнике больше 180° (случай, который Лежандр вроде бы исключил; позже выяснилось, что для этого он воспользовался очередным недоказанным утверждением).